Límites de funcións - edu.xunta.gal · Páxina 5 5) COMPARACION DE INFINITOS Cando x) f f e x) f...
Transcript of Límites de funcións - edu.xunta.gal · Páxina 5 5) COMPARACION DE INFINITOS Cando x) f f e x) f...
Páxina 1
LÍMITES DE FUNCIÓNS
1º) DEFINICIÓN :
Diremos que o límite dunha función y = f(x) nun punto x = a é o número k, k)x(flimax
, se para
calquera sucesión de valores xn da variable independente que se acheguen indefinidamente ó punto a, a
correspondente sucesión de valores da variable dependente, yn = f(xn), achéganse indefinidamente ó punto k
Y Tanto a como k poden ser:
+, -, ou números reais, sendo este caso o que está representado
no gráfico
y = f(x)
k + (máis infinito) : representa “algo” máis positivo que calquera
número real positivo que fixemos
- (menos infinito): representa “algo”máis negativo que calquera
número negativo que fixemos
a X
No caso de que a e k sexan números reais a definición expresa a
pola esquerda pola dereita idea intuitiva de que cando x está moi cerca de a entón y=f(x) esta
moi cerca de k
2º) INTERPRETACIÓNS GRÁFICAS E NUMÉRICAS: Exemplos
a) k)x(flimx
( 12
x
xlimx
) b) k)x(flim x
x
x 2lim 1
x
()
Cando os valores de x aumentan en positivo os Cando os valores de x decrecen en negativo os
correspondentes valores de y estan moi cerca de 1 correspondentes valores de y estan moi cerca de –1
A idea de límite pódese interpretar numéricamente
x x 2y f ( x )
x
x x 2y f ( x )
x
1 3 -1 1
10 1,2 -10 -0,8
100 1,02 -100 -0,98
1000 1,002 -1000 -0,998
10000 1,0002 -10000 -0,9998
A medida que x
aumenta en
positivo
Os valores de y
acheganse cada vez
máis a 1
A medida que
x aumenta en
negativo
Os valores de y
acheganse cada
vez máis a -1
x
x)x(fy
2
x
x)x(fy
2
Páxina 2
3) LÍMITES LATERAIS
Diremos que o límite dunha función y = f(x) pola dereita dun punto x = a é o número k,
( k)x(flimax
) se para calquera sucesión de valores xn da variable independente que se acheguen
indefinidamente ó punto a, por valores maiores que a, a correspondente sucesión de valores da variable
dependente, yn = f(xn), achéganse indefinidamente ó punto k
Diremos que o límite dunha función y = f(x) pola esquerda dun punto x = a é o número k
( k)x(flimax
), se para calquera sucesión de valores xn da variable independente que se acheguen
indefinidamente ó punto a, por valores menores que a, a correspondente sucesión de valores da variable
dependente, yn = f(xn), achéganse indefinidamente ó punto k
a) pola dereita de x = 2 42
)x(flimx
b) pola dereita de x = 0 x
limx
1
0
pola esquerda de x = 2 22
)x(flimx
pola esquerda de x = 0 x
limx
1
0
Temos o seguinte resultado : que unha función teña límite nun punto equivale a que esa función teña
límite pola dereita, pola esquerda dese punto e ademáis coincidan. Asi nos dous exemplos anteriores non
hai límite, inda que si hai límites laterais.
Nos dous exemplos seguinte os límites pola dereita e a esquerda coinciden, e polo tanto hai límite
c)
)x(flimax
. (
21 1
1
)x(limx
) d)
)x(flimax
. (
2
1 1
1
)x(limx
)
Cando x está moi cerca de 1 os correspondentes Cando x está moi cerca de 1 os correspondentes
valores de y aumentan en positivo indefinidamente valores de y decrecen en negativo indefinidamente
Exercicio : Fai táboas de valores para simular numéricamente o límite, en cada un dos apartados
21
1
)x()x(fy
21
1
)x()x(fy
x)x(fy
1
2xse 2x
2xse x)x(fy
Páxina 3
4) CÁLCULO DE LÍMITES
Sempre o primeiro paso será substituir o valor ó que se acerca x na expresión da función y = f(x). Se da
un número real o límite está acabado. (Exemplo : 3
5
3
232
3
x
xlimx
)
Podemos usar as propiedades dos límites respecto das operacións:
Límite da suma (resta) é igual a suma (resta)dos límites
Límite do producto é igual ó producto dos límites
Límite do cociente é igual ó cociente dos límites ( Sempre que as expresións dos cocientes teñan
sentido)
Límite dunha potencia é igual ó límite da base elevado ó límite do expoñente (Sempre que as
expresións das potencias teñan sentido)
Estes resultados estan resumidos e xeneralizados a outros casos ( cando aparecen infinitos ):
Lim (f+g)
Lim g
+ - L
Lim
f
+ + IND +
- IND - -
K + - K+L
Lim (f.g)
Lim g
+ - 0 L > 0 L < 0
Lim
f
+ + - IND + -
- - + IND - +
0 IND IND 0 0 0
K > 0 + - 0 KL KL
K< 0 - + 0 KL KL
Páxina 4
Lim (f/g)
Lim g
+ - 0 L > 0 L < 0
Lim
f
+ IND IND IND () + -
- IND IND IND () - +
0 0 0 IND 0 0
K > 0 0 0 IND () K/L K/L
K< 0 0 0 IND () K/L K/L
Lim (f g)
Lim g
+ - 0 L > 0 L < 0
Lim
f
+ + 0 IND + 0
0 0 IND () IND 0 IND ()
1 IND IND 1 1 1
0<K<1 0 + 1 KL K
L
K>1 + 0 1 KL K
L
En definitiva os casos indeterminados son : -, K/0, 0.(), 0/0, /, 0, 0
0,
1
Páxina 5
5) COMPARACION DE INFINITOS
Cando xlim f ( x )
e xlim g( x )
, entón f(x) é un infinito de orde superios a g(x) se :
x
f ( x )lim
g( x ) o que equivale a
x
g( x )lim 0
f ( x )
1) Calquera función exponencial de base maior que 1 é un infinito de orde superior a calquera potencia
a)x
10x
2lim
70x b)
8
xx
23xlim 0
3'7
2) Calquera función exponencial de base maior que 1 e calquera potencia é un infinito de orde superior a
calquera función logarítmica
a)x
x10
2lim
49.log ( x ) b)
3
x7
5xlim
log ( x ) c) 2
xx
log ( x )lim 0
e
3) Dada dúas potencias de x, a de maior exponente é un infinito de orde superior
a) 1
2
3 3
x x
x xlim lim
xx
b)
433 4x x
5x 5xlim lim 0
xx c)
30
25x
xlim
1234.x
4) Dadas dúas función exponenciais de base maior que 1 , a de maior base é un infinito de orde superior
a)
x
xx
8lim
3'7 b)
x
xx
2lim 0
35.8
5) Se nunha suma hai varios sumandos infinitos, a orde da suma é a do sumando de maior orde
a) 20 x x
x xlim x 4 lim 4
b) 20 19 3 20
x xlim x 450.x 27.x 123 lim x
Páxina 6
6) LÍMITES DE POLINOMIOS
a) LÍMITES INMEDIATOS : cando substituimos o valor de x na función da un número real
27748373 23
2
.xxlimx
972727 22
2
)()x(limx
b) LÍMITES INFINITOS : os valores de x tenden a + ou - Temos entón a seguinte regra que é a que usaremos na práctica: o límite cando x tende a infinito dun
polinomio coincide co límite cando x tende a infinito do término de máis alto grado dese polinomio :
).().(x 2lim)xx(limxx
222 222
).().(x 2lim)xx(lim -x x
222 333
7) LÍMITES NO INFINITO DE COCIENTE DE POLINOMIOS. (INDETERMINACIÓN /)
Como sempre o primeiro paso será substituir o valor de x na función. Se da un número real o límite estaría
rematado. Usaremos que o límite dun cociente é igual ó cociente dos límites, e, os límites de polinomios.
Chegamos así á indeterminación / que neste caso resolverémola dividindo o numerador e o
denominador entre o término de máis alto grado
Aparecen tres casos :
a) Grado do numerador maior que o grado do denominador : O límite é sempre +, ou, -
52
3232
3
x
xxlimx
Indeterminado
Razoadamente :
3
3 3 3 3 2 2
22x x x
33 3
3x 2x 3 2 33
3x 2x 3 3 0 0 3x x x x xlim lim lim2 52x 52x 5 0 0 0
x xx x
Ou tamén así :
22
3
2
3lim
2
3lim
52
323lim
2
3
2
3 x
x
x
x
xx
xxx
o límite da + xa que inicialmente era + / +. Se fose - / + o resultado sería - ( funciona a regra dos
signos)
b) Grado do numerador igual ó grado do denominador : O límite é igual á división dos coeficientes dos
términos de máis alto grado
52
3232
2
x
xxlimx
Indeterminado
Razoadamente :
2
2 2 2 2 2
22x x x
22 2
3x 2x 3 2 33
3x 2x 3 3 0 0 3x x x x xlim lim lim52x 52x 5 2 0 2
2xx x
Ou tamén así :
2
3
2
3lim
2
3lim
52
323lim
2
2
2
2
xxx x
x
x
xx
Páxina 7
c) Grado do numerador menor que o grado do denominador : O límite é sempre cero
52
3233
2
x
xxlimx
Indeterminado
Razoadamente :
2
2 3 3 3 2 3
33x x x
33 3
3x 2x 3 3 2 3
3x 2x 3 0 0 0 0x x x x x xlim lim lim 052x 52x 5 2 0 2
2xx x
Ou tamén 033
lim2
3lim
52
323lim
3
2
3
2
xx
x
x
xx
xxx
A indeterminación / pode aparecer noutros límites que non son cocientes de polinomios inda que é o
caso máis típico e necesitaremos outros métodos para resolvelos, como facer operacións previas para
simplificar a expresión
8) INDETERMINACIÓNS DO TIPO 0/0 Aparecerán sobre todo en cocientes de polinomios onde se anulan simultáneamente o numerador e o
denominador. A solución será descompoñer en factores o numerador e o denominador para poder eliminar
o factor común que os anula. E como en tódolos casos ás veces convén facer algunha operación previa que
simplifique a expresión. Para factorizar usaremos estes métodos :
Se é posible sacar factor común :
0
02
0
x
xxlimx
Indeterminado. Entón 111
00
2
0
)x(limx
)x(xlim
x
xxlim
xxx
Se é posible aplicar igualdades notables :
Diferencia de cadrados = Suma x Diferencia
0
0
2
42
2
x
xlimx
Indeterminado. Entón 422
22
2
4
22
2
2
)x(limx
)x)(x(lim
x
xlim
xxx
Cadrado dunha suma. Cadrado dunha resta
0
0
1
122
1
x
xxlim
x
Indeterminado. Entón 011
1
1
12
1
2
1
2
1
)x(limx
)x(lim
x
xxlim
x x x
0
0
2
442
2
x
xxlim
x
Indeterminado. Entón 022
2
2
44
2
2
2
2
2
)x(limx
)x(lim
x
xxlim
x x x
Se temos un polinomio de 2º grado cbxxa 2 sempre podemos factorizalo así
)xx)(x-(xa cbxxa 1
2
2 onde x1 e x2 son as solucións da ecuación 0 cbxxa 2
0
0
372
2322
2
2
1
xx
xxlim
x
Indeterminado. Entón 13
2
2
132
2
122
372
232
2
1
2
12
2
2
1
x
xlim
)x)(x(
)x)(x(
limxx
xxlim
x x x
Regra de Ruffini. Sempre podemos usar o número ó que se acerca x como primeiro número para dividir por
Ruffini
2
3
4
1
422
122
16208
43
223
23
2
x
xlim
)x)(x)(x(
)x)(x)(x(lim
xxx
xxlim
2xx x
Neste caso empezaríamos dividindo por Ruffini entre 2 :
Páxina 8
9) INDETERMINACIÓNS
Normalmente operando na expresión da función convertense nun límite directo ou ben noutra
indeterminación coñecida:
0
12
0
3
4
12
2
322 xx
limx
Indeterminado
operando:
0
0
4
63
4
1223
4
12
2
3222222
x
xlim
x
xlim
xxlim
xxx
)( Indeterminado. Hai que factorizar:
4
3
2
3
22
23
22
xlim
))(x(x-
)(x-lim
xx
Se na expresión da función hai unha resta na que polo menos aparece unha raíz cadrada funciona bastante
ben multiplicar e dividir pola expresión conxugada.
xxxlimx
32 Indeterminado
Entón :
)()()(
))((
xxx
xlim
xxx
xxxlim
xxx
xxxxxxlimxxxlim
xxxx 3
3
3
3
3
333
22
22
2
222
Usamos que suma por diferencia é igual a diferencia de cadrados. Chegamos asi ata unha
indeterminación
que resolveremos como no caso do cociente de polinomios dividindo entre o termino de
maior grao:
2 2 2x x x x
2
3x 3x
3x 3 3 3x xlim lim lim lim23 1 0 1x 3x x x 3x x x 3x x
1 1xx x x x
Ou así : )3(
3lim
2 xxx
x
x
)(
3lim
2 xx
x
x
)(
3lim
xx
x
x 2
3
2
3lim
x
x
x
Páxina 9
Páxina 10
ASÍNTOTAS. ( Como exemplo do cálculo de límites ) Asíntotas horizontais. A recta y = k é asíntota horizontal da función y = f(x) se existe algún dos
límites:
lim ( ) lim ( )x x
f x k ou f x k
Como moito dúas asíntotas horizontais
A gráfica pode cortar á asíntota horizontal pero na maioría dos casos a partir dun punto permanece por
encima ou por debaixo dela
Convén estudiar se a gráfica da función aproxímase á asíntota por encima ou por debaixo.
Asíntotas verticais. A recta x = a é unha asíntota vertical da función y = f(x) se existe algún dos
seguintes límites:
lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
x a
x a
x a
f x
f x
f x
Pode haber infinitas asíntotas verticais
Nos cocientes de funcións están nos ceros do denominador que non anulan o numerador
Páxina 11
Asíntotas oblicuas. A recta y = m.x +n , con m 0, é unha asíntota oblicua de y=f(x) se existe algún
dos límites lim[ ( ) ] lim[ ( ) ]x x
f x mx n f x mx n
0 0 ou con mf x
xf x mx
x x
lim
( )lim[ ( ) ] e n =
m ten que ser un número real non nulo e n un número real
Se unha función ten asíntotas oblicuas en + ou - entón non pode ter horizontais e recíprocamente.
A gráfica da función pode cortar a asíntota oblicua.
Convén estudiar se a gráfica da función aproxímase á asíntota por encima ou por debaixo.
Unha función racional ten asíntotas oblicuas se o grado do numerador é unha unidade maior que o grado
do numerador, e pódense calcular efectuando a división
Exercicios :
1) a)
4
12
2
322 xx
limx
b)
1
3
1
121 x
x
x
xlimx
c)
xx
x
x
xlimx 4
2
4 24 d)
20
142
x
x
xlimx
2) a) 1
xxlimx
b) )( 1152
xxxlimx
c) 121 22
xxxxlimx
LÍMITES INMEDIATOS e
1. a) 1
4lim(2 6)x
xx
b)
3
2 1lim
4 2x
x
x
c)
0lim
2x
x
x d)
3
2lim
5 7x
x
x
2. a)
2
2
0
3 1lim
2
x
x
x
x
x
b)
2
3
5 3 6lim
2 4x
x x
x x
b)
3. a)4
4 2
3 7 1lim
2 3x
x x
x x x
b)
7
5 5
6lim
8x
x
x x
c)
2 12 3
2
3 2lim
1
x
x
x
x
x
d)
24 7lim
2 1x
x
x
e)24 7
lim2 1x
x
x
4. Dada
2 4 0
( ) 2 10
5
x se x
f x xse x
. Fai a gráfica da función e calcula :
a) 2
lim ( )x
f x
b) 2
lim ( )x
f x
c) 0
lim ( )x
f x
d)0
lim ( )x
f x
5. Debuxar catro gráficas de funcións que verifiquen:
Páxina 12
a) 3
lim ( ) 2x
f x
b) lim ( )x
f x
c) lim ( ) 3x
f x
d) 2
lim ( )x
f x
6. Tendo en conta a seguinte gráfica, correspondente a unha función y = f(x),. calcula os seguintes límites e
indica cales serían as asíntotas:
a) lim ( )x
f x
b) lim ( )x
f x
c) 1
lim ( )x
f x
d) 1
lim ( )x
f x
e) 1
lim ( )x
f x
f) 0
lim ( )x
f x
g) 0
lim ( )x
f x
h) 0
lim ( )x
f x
i) 5
lim ( )x
f x
j) 5
lim ( )x
f x
k) 5
lim ( )x
f x