Límites - Ejercicios Resueltos
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1
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
ESCUELA DE ECONOMIA
CATEDRA DE MATEMATICAS I
PROFA. MA. RITA AMELII
EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO DE LIMITES
1. Si f(x) = x ² + 2 y g(x) = 1/x ; calcular:
a. (f + g)(x)
b. (f - g)(x)
c. (f.g)(x)
d. (f/g)(x)
Resolución :
Hallamos cada uno de los límites por separado f(x) = 2 ² + 2 = 11 y g(x) = 1/3
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 11 + 1/3 = 34/3
b. (f - g)(x) = f(x) - g(x) = 11 - 1/3 = 32/3
c. (f.g)(x) = f(x) . g(x) = 11.(1/3) = 11/3
d. (f/g)(x) = f(x) / g(x) = 11/(1/3) = 33
2. Calcular el límite de la función f(x) = (2.x³ - 1)/(3.x ² + 4), cuando x 1
Resolución:
(2.x³ - 1)/(3.x ² + 4) = (2.x³ - 1)/ (3.x ² + 4) = 1/7
3. Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10), cuando x 2
2
Resolución:
(x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) = (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/ (x ² + 3.x - 10) =
= (2³ - 2.2 ² - 6.2 + 12)/(2 ² + 3.2 - 10) = 0/0
Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios
(Numerador) P(x) = x³ - 2.x ² - 6.x + 12 = (x - 2).(x ² - 6)
(Denominador) Q(x) = x ² + 3.x - 10 = (x - 2).(x + 5)
- El límite del cociente P(x)/ Q(x) es:
(x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) = [(x - 2).(x ² - 6)]/[(x - 2).(x + 5)]
= (x ² - 6)/(x + 5) = -2/7
4. Calcular el límite de la función f(x) = (3.x ² - 4.x)/x, cuando x 0
Resolución :
(3.x ² - 4.x)/x = (3.x ² - 4.x)/ x = 0/0, indeterminación.
- Se simplifican numerador y denominador (factor común)
(3.x ² - 4.x)/x = x.(3.x - 4)/x
= (3.x - 4) = -4
5. Calcular 1/(x - 3) ²
Resolución :
1/(x - 3) ² = 1 / (x - 3) ²
= 1/0, indeterminación.
Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3.
1/(x - 3) ² = 1 / (x - 3) ² = 1/0 = + ∞
3
1/(x - 3) ² = 1 / (x - 3) ² = 1/0 = + ∞
Como los límites laterales coinciden, 1/(x - 3) ² = + ∞
6. Calcular el límite de la función f(x) = 1 / (x - 1), cuando x 1.
Resolución :
1 / (x - 1) = 1 / (x - 1)
= 1/0, indeterminación.
- Se estudian los límites laterales:
1/(x - 1) = 1 / (x - 1)
= 1/0 = + ∞
1/(x - 1) = 1 / (x - 1)
= 1/0 = - ∞
Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.
7. Calcular el límite de la función f(x) = (3.x ² - 2.x - 5)/(x - 4), cuando x ∞
Resolución :
En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es ∞.
(3.x ² - 2.x - 5) / (x - 4) = 3.x ²/x
= 3.x/1 = +∞
8. Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 5)/(-x ² - 4), cuando x ∞
Resolución :
El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto:
4
(x³ - 5)/(-x ² - 4) = x³/(-x ²)
= = x/(-1) = -∞
9. Calcular (-3.x ² - 2.x + 5)/(4.x ² - 4)
Resolución :
El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto:
(-3.x ² - 2.x + 5)/(4.x ² - 4) = (-3.x ²)/(4.x ²) L = -3/4
10. Calcular (x ² - x + 1)/(x³ - 4.x + 3)
Resolución :
El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto:
(x ² - x + 1) / (x³ - 4.x + 3) = x ²/x³
= 1/x L= 0
11. Resolver el limite
Resolución :
La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el límite, ya que este límite 0/0.
Factorizando:
5
12. Resolver el siguiente limite:
Resolución :
Como el limite queda indeterminado debido a la división:
entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x7:
13. Calcular el siguiente limite:
Resolución :
Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendríamos:
14. Calcular
Resolución :
6
Calcular el límite:
Resolución :
Multiplicando numerador y denominador por la expression conjugada del denominador:
15. Encontrar la solución del siguiente limite
Resolución :
La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminación de la forma 0/0.
Debido a que se puede expresar como
por lo que:
16. Resolver el siguiente limite:
7
Resolución :
Como el límite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero dividiremos entre x100
con lo que:
por lo tanto:
17. Calcular :
Resolución :
Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar los productos
Dividiremos entre la variable de mayor potencia:
por lo tanto
8
18.
19.
Solución:
La solución del límite da una indeterminación de la forma
Para resolver este límite aplicamos la siguiente expresión:
Aplicando al límite:
Pasando al límite: L = 1
9
20.
10