LMITES INFINITOS EN UN PUNTOTema 6.3 * 2 BCS

Apuntes Matemticas 2 BCS

Lmites infinitosSea la funcin de proporcionalidad inversa:f(x) = k / x , donde k es un nmero real distinto de cero.

Cuando hallamos el siguiente lmite:Lm f(x) = lm (k / x) = k / 0 = oox0 x0Vemos que el resultado, en un punto finito, es infinito.Si el resultado es oo, no existe lmite en dicho punto.El signo del infinito depender del signo de k, no de su valor.Lo mismo ocurrir si hallamos sus lmites laterales, a la izquierda y derecha de x=0.

Cuanto ms prximo a cero se encuentre el valor de x, ms grande se har el valor de la funcin.Grficamente el resultado de dicho lmite es una recta vertical, llamada ASNTOTA VERTICAL, con la cual la grfica tiende a juntarse.

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LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO

EJEMPLO 1

Si representamos la funcin: x 3f(x)= ------ = 1 + ------- x 3 x - 3

Hiprbola de centro (3, 1)

Vemos que en x=3 la funcin no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=3, donde la grfica tiende a juntarse con una recta vertical.Decimos que presenta una asntota vertical en el punto x=3.

Sin embargo, a la hora de dibujar la funcin, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de x=30 3 x Y

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Para ver cmo se comporta la funcin en las proximidades de x=3 habr que calcular sus lmites laterales:

Lmite por la derecha: x 3 lm = ----- = + oo x3+ x - 3 +0 pues x vale algo ms de 3.

Lmite por la izquierda: x 3 lm = ----- = - oo x3- x - 3 - 0 pues x vale algo menos de 3.

Los lmites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una funcin en determinados puntos crticos.0 3 x Y

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EJEMPLO 2

Queremos representar la funcin:f(x) = x / ( x2 - 4)

Vemos que cuando x vale 2 -2 , el valor de y es +/- 2 / 0La funcin no existe en x=2 ni en x=-2Sin embargo s existe en las proximidades de dichos valores de x.Decimos que presenta una asntota vertical en el punto x1= 2 y otra en x2= - 2.

Veamos su comportamiento en x = 2

x 2 lm -- = ----- = + oo x2+ x2 - 4 +0 x 2 lm = ------ = - oo x2- x2 - 4 - 0 -2 0 2 x Y

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Tenamos f(x) = x / ( x2 - 4)

Veamos ahora su comportamientoen x = - 2

x - 2 lm -- = ----- = + oo x- 2+ x2 - 4 - 0 pues x vale algo ms de 2 y por tanto x2 < 4 x - 2 lm = ----- = - oo x- 2- x2 - 4 + 0 pues x vale algo menos de 2 y por tanto x2 > 4-2 0 2 x Y

Los lmites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una funcin en determinados puntos crticos.

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LMITES EN EL INFINITOTema 6.4 * 2 BCS

Apuntes Matemticas 2 BCS

Lmites en el infinitoSea la funcin de proporcionalidad inversa:f(x) = k / x , donde k es un nmero real distinto de cero.

Cuando hallamos el siguiente lmite:Lm f(x) = lm (k / ( oo)) = 0x oo x oo Vemos que el resultado, en un punto infinito, es finito.En este caso el lmite existe y vale cero.

Cuanto ms grande sea el valor de x, positivo o negativo, ms pequeo se har el valor de la funcin.Grficamente el resultado de dicho lmite es una recta horizontal, llamada ASNTOTA HORIZONTAL, con la cual la grfica tiende a juntarse.

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Ejemplo 1

y = x / (x 3)Para x = 1000 y = 1000/997 = 1,003Para x=10000 y = 10000/9997 = 1,0003Para x = 100000 y = 1,00003Por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco.Adems se acerca a y=1, aunque nunca llega.Lm f(x) = 1x+oo

Ejemplo 2

y = x / (x2 4)Para x = 1000 y = 1000/999996 = 0,001Para x=10000 y = 10000/9999996 = 0,0001Para x = 100000 y = 0,00001Para x = 1000000 y = 0,000001Lm f(x) = 0x+oo

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Otro ejemplo

y = x / (x2 4)Para x = 1000 y = 1000/999996 = 0,001Para x=10000 y = 10000/9999996 = 0,0001Para x = 100000 y = 0,00001Para x = 1000000 y = 0,000001

Est ya claro que:Lm f(x) = 0x+oo

Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguir una sucesin de valores idntica, aunque ahora negativos.Lm f(x) = 0x oo

La funcin presenta una recta asntota horizontal que es y = 0.Si los dos lmites hallados fueran de distinto valor, la funcin tendra dos asntotas horizontales: y = L1 e y = L2

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EJEMPLO 1

Sea f(x) = 4 / x

Cuando el valor de x se aproxima a cero, x0,por su derecha o por su izquierda, la grfica tiende a juntarse con el eje de ordenadas.Por ello x=0 es una Asntota Vertical.

Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x oo, vemos que la grfica tiende a juntarse con el eje de abscisas.Por ello la recta y=0 es una Asntota Horizontal.-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 xy=f(x)-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 xyEJEMPLO 2

Sea f(x) = x / (2+x)

Cuando el valor de x se aproxima a - 2, por su derecha o por su izquierda, la grfica tiende a juntarse con la recta vertical x = - 2.Por ello x= - 2 es una Asntota Vertical.

Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, vemos que la grfica tiende a juntarse con la recta y = 1.Por ello la recta y=1 es una Asntota Horizontal.

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EJEMPLO 3

Sea f(x) = x / (x2 + 1)

Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x oo, el valor de f(x) tiende a cero.La grfica tiende a juntarse con el eje de abscisas x=0

Por ello la recta y=0 es una Asntota Horizontal.

Como se aprecia no existen asntotas verticales ni oblicuas.Mn -2 -1 0 1 2 xy-1 -0,5 0,5 1Mx

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