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Límites infinitos y Límites al infinito

En matemáticas el símbolo se lee infinito y se refiere concretamente a una

posición dentro de la recta de los números reales, no representa ningún número real.

Si una variable independiente está

creciendo indefinidamente a través de

valores positivos, se escribe (que

se lee: tiende a más infinito), y si

decrece a través de valores negativos,

se denota como (que se lee:

tiende a menos infinito). Similarmente, cuando una función

crece indefinidamente y toma valores

positivos cada vez mayores, se escribe , y si decrece tomando valores

negativos escribimos .

Miremos en la figura 1 la grafica de la

función , para valores de

positivos muy grandes. Si tomamos cada vez mayor, está

cada vez más cerca de 0, pero nunca

tomará el valor de cero. Si es

suficientemente grande podemos conseguir que se acerque a 0 tanto

como queramos. Decimos que cuando

Definiciones de Límite infinito

Caso 1 (Ver figura 2)

, implica que:

, existe

, si para cualquier

100 1,0x10-4

1.000 1,0x10-6

10.000 1,0x10-8

100.000 1,0x10-10

1.000.000 1,0x10-12

Figura 1

Figura 2

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número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un

número tal que, para todos los dentro del entorno reducido de de radio

se cumple que

Expresándolo de otra manera: si para cualquier número positivo A que se considere existe un entorno reducido

de donde la función vale más que A, quiere decir que puede

hacerse mayor que cualquier número,

con tal de que se acerque lo

suficiente a . Por eso se dice que el

límite de cuando tiende a es

.

Caso 2 (ver figura 3)

, implica que:

, existe

Caso 3 (Ver figura 4) Para cualquier número positivo (por grande que sea), es posible encontrar

un número positivo tal que para todos los mayores que , es mayor

que . Es decir que puede ser mayor que cualquier número, si es lo

suficientemente grande.

, implica que: , existe

Figura 3

Figura 5

Figura 4

Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 3

Caso 4 (Ver figura 5)

Para cualquier número positivo (por grande que sea), es posible encontrar un número negativo tal que para todos los mayores que , es menor

que . Es decir que puede ser menor que cualquier número, si es lo

suficientemente grande.

, implica que: , existe

Caso 5

, implica que: , existe

Caso 6

, implica que: , existe

Caso 7

, implica que: , existe

Caso 8

, implica que: , existe

Teoremas acerca los limites al Infinito

1.

2.

3. , si el grado de el grado de

4. , si el grado de el grado de

5. , si el grado de al grado de

Veamos siguiente ejemplo donde se pide hallar

Si reemplazamos directamente obtenemos una expresión extraña:

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Racionalicemos la expresión:

La técnica que se sigue es la de dividir cada término que contenga la variable

por la variable de mayor exponente y luego aplicar los teoremas anteriores o sea:

Teoremas acerca los límites Infinitos

Si n es cualquier número entero positivo, entonces:

1.

2. , si es par

3. , si es impar

Si c es cualquier número real, y :

4. , si y

5. , si y

6. , si y

7. , si y

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Sean y funciones con dominios respectivamente y sea un

número tal que todo intervalo abierto que contenga a contiene números

diferentes de en .

Si

8.

9.

10.

11.

Si

12.

13.

14.

15.

Si

16.

17.

Si

18.

19.

Veamos siguiente ejemplo donde se pide hallar:

Si realizamos la sustitución directa se obtiene:

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Como podemos aproximarnos a 2 por la derecha como por la izquierda

tenemos:

. Así el numerador tiende a ser

positivo y el denominador tiende a , tenemos entonces:

Analicemos ahora cuando se aproxima a 2 por la izquierda:

. Así el numerador tiende a ser

positivo y el denominador tiende a , tenemos entonces:

Al ser los límites laterales diferentes, el límite no existe puesto que el límite es único.

Ejercicios: