LÍMITES MEDIANTE INFINITÉSIMOS

Para ciertos límites la regla de L'Hôpital no es aconsejable, pues la cantidad de veces en que ésta debe ser aplicada para llegar al resultado final se convierte en excesiva. Como ejemplo, el alumno puede tratar de hallar por L'Hôpital el límite:

límite que efectivamente puede ser hallado -pero tras un largo trabajo- mediante esta regla. Por el contrario, nuestro trabajo se simplifica notablemente si sustituimos en el denominador "sen x" por -lo que se llama infinitésimo equivalente-, "x". Entonces, el límite se reduce a:

A cuyo límite, transformado en más sencillo, podemos ahora aplicar la regla de L'Hôpital:

(aquí hemos utilizado la relación trigonométrica: sin(2x) = 2 sin x cos x ), llegamos al resultado final aplicando la regla de L'Hôpital otras tres veces más:

* NOCIÓN DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.

Acabamos de utilizar la equivalencia: sin x ~ x (aquí el símbolo "~" significa "equivalente") cuando x -> 0. Una equivalencia que puede ser confirmada gráficamente:

En la circunferencia trigonométrica consideramos un ángulo x muy pequeño (tendiendo a 0).

Para un ángulo x muy pequeño, el seno (en rojo) y el valor de x (el arco verde) son los lados prácticamente de un triángulo isósceles, es decir, son prácticamente iguales.

Por lo tanto, se da la relación: sin x ~ x en e(0) (léase "los infinitésimos sin x, x son equivalentes en el entorno de cero"). Por entorno de 0 , se entiende el conjunto de puntos próximos a 0, es decir, tomado un valor pequeño e, se trata del intervalo (0-e, 0+e).

Observe que no podemos hablar de infinitésimos equivalentes si no añadimos el entorno del punto en el que estas funciones son equivalentes. En nuestro ejemplo se trataba del entorno de 0.

Matemáticamente se dice que dos funciones f(x) y g(x) son equivalentes en e(a) si se cumple:

(Observe que para que las funciones f(x) y g(x) cumplan la condición de arriba no necesariamente ambas deben tener el mismo límite en x=a, pues por ejemplo en caso de dos límites 0, el cociente 0/0 es indeterminado, y no necesariamente 1). De cualquier manera, hay dos clases de funciones equivalentes que tienen interés en Matemáticas, son:

* Infinitésimos: funciones cuyo límite en x = a es 0.

* Infinitos: funciones cuyo límite en x = a es + ó - .

ATENCIÓN: Aquí no estamos diciendo que todos los infinitésimos en el entorno de un punto son equivalentes. Lo que decimos es que aquellas funciones que en el entorno de un punto x = a son infinitésimos (porque su límite en a es 0) y además son equivalentes (porque el límite de f(x)/g(x) en a es 1) tienen especial interés en Cálculo.

Por ejemplo, en el entorno del punto x=0, son infinitésimos las funciones:

entre ellos podemos tomar algunos infinitésimos equivalentes:

La nota de ATENCIÓN que hemos dicho arriba para infinitésimos también es válida para infinitos. Ejemplos de infinitos en el entorno del punto x=0, son:

o ejemplos de infinitos en el entorno de infinito (cuando x tiende a + ) son:

todos ellos tiene por límite infinito (en cualquiera de sus signos) en el infinito. Observe como todo polinomio es un infinito en el entorno de infinito. Y por ejemplo, ene(+ ) se tiene

algo que pertenece a una regla general para funciones polinómicas en e(+ ) : "En el infinito todo polinomio es equivalente a su término de máxima potencia":

* Cálculo de límites mediante infinitésimos (o infinitos) equivalentes.

Para calcular límites con indeterminaciones tipo 0/0, / , podemos sustituir ciertos infinitésimos (o ciertos infinitos) por infinitésimos (o infinitos) equivalentes tal como vamos a ir viendo en los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 1: Hallar mediante infinitésimos equivalentes el límite:

El límite pedido está formado por el cociente de dos infinitésimos en e(0), lo cual conduce a la forma indeterminada 0/0. Nosotros podemos considerar las siguientes equivalencias entre infinitésimos:

Por tanto podemos realizar la sustitución de estos infinitésimos en el límite anterior:

EJEMPLO 2: Hallar mediante infinitésimos equivalentes el límite:

Nuevamente el límite es el cociente de dos infinitésimos en e(0), lo cual conduce a la indeterminación 0/0. En este caso podemos considerar la siguiente equivalencia:

que tras sustituir en el límite, tenemos:

EJEMPLO 3: Hallar mediante infinitos equivalentes el límite:

En este caso, para e(+ ) los dos polinomios del cociente son infinitos, y como hemos dicho, son equivalentes a su término de máxima potencia:

EJEMPLO 4: Hallar mediante infinitésimos el límite:

Este límite puede ser expresado en la forma:

el cual tiene la forma ×0, aquí podemos hacer el cambio x = 1/t , con lo que ahora t se encuentra en e(0) y el límite puede ser resuelto mediante infinitésimos equivalentes:

donde se ha tenido en cuenta la equivalencia ln(1 + t) ~ t , en e(0).

Algunos infinitésimos equivalentes en e(0) son:

Estas tablas de infinitésimos equivalentes son fáciles de obtener a partir del desarrollo de Maclaurin par una función f(x). Por ejemplo, vamos a expresar los desarrollos de Maclaurin de algunas funciones:

NOTA: La notación " " (llamada notación de Landau) hace referencia a infinitésimos de orden superior a la potencia n-ésima de x, es decir, términos que son despreciables por contener potencias n+1 de x, términos que para cálculo de límites se pueden ignorar. Lo que nos indican estas expresiones es que en e(0) se cumplen esas igualdades (o equivalencias).

Para las expresiones de arriba, en la práctica suele ser suficiente con limitarnos a los dos primeros términos del desarrollo. De aquí que en la mayoría de los casos podamos expresar:

que son las equivalencias utilizadas en el cálculo de límites. Sólo para ciertos límites se hace necesario tomar algún término más del desarrollo de Maclaurin.

Es también interesante conocer el desarrollo de Maclaurin de la función :

interesante porque a partir de esta expresión, donde el exponente m puede ser cualquier número, podemos obtener diversas parejas de infinitésimos equivalentes ene(0), tales como:

(para m = -1)

( m = -2)

(m = 1/2)

Como regla general para x "muy pequeño" tenemos:

Por otra parte, podemos tener en el entorno de 0 expresiones como:

entonces podremos utilizar aproximaciones tales como:

donde por u indicamos el seno de x, o mejor dicho, el desarrollo limitado del seno de x , por ejemplo podemos poner:

sen x ~ x

y entonces:

EJEMPLO 5: Hallar mediante infinitésimos equivalentes el límite:

Solución: Aquí aparece la función cosecante, que es la inversa del seno, csc x = 1/sen x. Sustituímos esta relación y nos da un límite de la forma 0/0.

ahora tomamos como infinitésimo equivalente para el seno su propio desarrollo hasta el grado 5 (se puede comprobar que si lo tomáramos sólo hasta el grado 3 no eliminamos la indeterminación):

por tanto, tenemos para el límite:

NOTA: Hemos expresado, según la notación de Landau, por a los términos que son infinitésimos de orden superior a x5 .

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

2. El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

3. El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5. Si una sucesión an converge a L, la sucesión (an − L) es un infinitésimo.

6. Si una sucesión an es divergente, su inversa es un infinitésimo.

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

2. El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

3. El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5. Si una sucesión an converge a L, la sucesión (an − L) es un infinitésimo.

6. Si una sucesión an es divergente, su inversa es un infinitésimo.