Límites y Continuidad
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INGIENERIA INDUSTRIAL EDUARDO OROZCO MORALESSEMESTRE II/2013 CALCULO I
Límites y Continuidad 1. Límite de una función en un punto. Propiedades.
A) LIMITE EN UN PUNTO.
A1) Límite finito:
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por
Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,) exceptuando el
propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,)
A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).
B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
B1) siempre que no aparezca la indeterminación .
B2) con .
B3) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .
B4) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .
B5) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.
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B6) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y
no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .
LIMITES LATERALES.
C1) Límite por la
izquierda:
C2) Límite por la
derecha:
TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata).
TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata).
Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale en lugar de 1.
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2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.
A) LIMITES EN EL INFINITO.
A1) Límite finito .
A2) Límite infinito .
Todo lo
referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.
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B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.
B1) Asíntotas verticales .
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites
laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función.
Asíntota vertical
B2) Asíntotas horizontales .
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer
cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la
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asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función
B3) Asíntotas oblicuas . Dada la función y = f(x), si se verifica que
a) b) c)
entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para . La asíntota
puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función
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3. Cálculo de límites. A) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-
En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-
B) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-
INDETERMINACIÓN Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Ejemplo.-
En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-
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D) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplos.-
E) INDETERMINACIONES - - Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:
de donde resulta que:
Pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores.
En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
Aplicar la igualdad
Anterior a la resolución del siguiente límite:
LIMITES
DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS . En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:
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Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:
(Usa la fórmula del sen(x/2))
En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la i determinación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes
aplicando la Regla de L'Hôpital.
Función continúa en un punto y en un intervalo .
Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:
a. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.
b. Existe el .
c. Ambos valores coinciden, es decir .
Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:
Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b).
Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si .
Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si .
Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:
a. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
b. y = f(x) es continua por la derecha en x=a.
c. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.
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TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . (La demostración es inmediata) Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO
Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 existe un entorno de x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).
Demostración: Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).
Tomemos . Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:
Es decir:
Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar)
TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN
Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.
Demostración:
Tomemos . Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:
De modo que es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el
entorno de x=a.
5. Operaciones con funciones continuas .
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:
a. es continua en x=a.
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b. es continua en x=a.
c. es continua en x=a si .
d. es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).
TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) es continua en x=a.
Demostración:
De lo dicho anteriormente resulta que:
6. Discontinuidades .
Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a).
B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.
C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
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Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función en
x=a al . Dicho valor es el que convierte a la función en continua.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al
valor .
Estudiar, como aplicación de lo anterior, la continuidad y discontinuidades de las funciones elementales vistas en el capítulo anterior y de las funciones definidas a trozos.
Función continúa
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Discontinuidad evitable
Se dice cuando la función no existe en ese punto de estudio pero el limite si
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Discontinuidad evitable
Primera especie
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Segunda especie
Se define así basta que uno de sus límites laterales de como resultado menos infinito
También se afirma que pueda tener asíntota vertical.