7/23/2019 Lineal a a a Aaaaaaaaaaaaaaa

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Problema 1

Dadas dos rectas distintas y secantes:L

1:a

1x+b

1y+c

1=0

yL

2:a

2x+b

2y+c

2=0

,

probar que las rectas que pasan por el punto de interseccin de

L1y L

2

estn dadas

por la ecuacin:

a

a

(2x+b2y+c2)=0(1x+b1 y+c1)+

Donde y son nmeros reales (A es la ecuacin que se conoce como Haz de

rectas)

Desarrollo:

Hallando los puntos de interseccin deL

1y L

2:

X1=

b2

c1c

2b

1

a1 b2b1 a2

Tambien secumple : a

1b

2 b

1a2

Y1=a1c2c1 a2

a1 b2b1a2

eemplazando en A de pendiente m se demuestra que: (!eneral)

Y(a1 b2b1 a2 )a1c2+c1 a2X( a1 b2b1a2)b2c1+c2b1

=m

esol"iendo con arti#cios se lle!a a demostrar:a

a

(2x+b2y+c2)=0 , R(1x+b1 y+c1)+

Problema $

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Halle el "alor de kR para que la rectaL

1:2x+y+3=0

%orme un n!ulo 45

con la rectaL

2:kxy+5=0

Desarrollo:

Por la %rmula: tan=m

2m

1

1+m1 m2

Dnde:m

2es la pendiente de L

2

m1

es la pendiente de L1

=45

m1=2

m2=k

eemplazando: 1=k(2)1+k(2)

esol"iendo: K=13

Problema &

Dado el trin!ulo de "'rtices A(2,3,4 ) ,B (1,1,5 )y C(5,5,4 ) , alle:

a) as ecuaciones de las medidas del trian!ulob) as coordenadas del baricentro del trian!uloc) as coordenadas del baricentro del trin!ulo cuyos "'rtices son los puntos mediosde los lados del trin!ulo anterior*

Desarrollo:

a) +alculando los "ectores AB , BC y CA

AB=(1,4,1)

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BC=(4,6,1)

CA=(3,2,0)

cuaciones de las mediasAB , BC , CA

AB=(2,3,4 )+(1,4,1)

BC=(1,1,5 )+(4,6,1)

CA= (5,5,4 )+(3,2,0)

b) as coordenadas del baricentro: !=(Xa+Xb+Xc

3,Ya+Yb+Yc

3,"a+"b+"c

3)

calculando!

:

!=(8

3,7

3,13

3)

c) l baricentro de los puntos medios: #=(X

1+X

2

2,

Y1+Y

2

2,

"1+"

2

2)

+alculo de los puntos medios deAB , BC , CA

AB=(32,1,9

2 )

BC=(3,2,9

2)

CA=(7

2,4,4 )

Hallando ! :

!=(8

3,7

3,13

3)

Problema -

a) Dados $= (0% 0 )y L= {(0,3)+(1 %1)/ R } . alle un punto &L tal que &$

sea perpendicular aL

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b) ncuentre la ecuacin de la recta equidistante de las rectasL

1:2x3 y2=0

y

L2:6x9y26=0

Desarrollo:

a)&=&'+=(0,3)+ (1 %1)=( %3)

&$=$&=( %3+)

/i &$ es perpendicular a L (&$es pe)pendicula) a

( %3+) * (1 %1 )=0

(=3

2

&=(3

2%3

2)

b)L

1:2x3y2=0

L1:6x9y6=0

L

2:6x9y26=0

( L1/L

2

L3 equidistante de

L1y L

2 tendr la %ormaL

3:6x9yc=0

Donde c=6+(26)

2=10

L3:6x9 y10=0

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