Límites y Continuidad...CJSF 5to. Año 2019 Unidad No. 4: Límites y Continuidad Pág. 5 3....

Unidad No. 3: Límites

Pág. 0

Armado y diseño de la unidad: Prof . Andrea Gandolf i

Página web: http://acgandolf i .w ix.com/matematica

Unidad No. 4

Límites

y

Continuidad

Nombre: ………………………….………………

5to. año-2019

Casa Salesiana

Juan Segundo Fernández

Unidad No. 3: Límites

Pág. 0

CJSF 5to. Año 2019

Unidad No. 4: Límites y Continuidad

Pág. 1

2

2

2 5 2 02

: / 2 3 0 34 33

x x si xx

f A f x x x si xx si xx

0 0 0

lim lim limx x x x x x

f x f x f x L

Unidad 4: Límites y Continuidad

No siempre trabajar en matemática significa realizar cálculos. Muchas veces es necesario hacer especulaciones con respecto al comportamiento de una función y justificar las afirmaciones realizadas, lo cual no se reduce a cuentas, sino a razonamientos lógicos.

Dado el siguiente gráfico de una función partida, se pide:

En forma gráfica:

2

2

2

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

3

3

3

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

0

0

0

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

lim

lim

x

x

f x

f x

Límite de una función

Llamamos límite de una función f cuando x tiende a un valor 0x al valor, L , al que se acerca f x

cuando x toma valores cada vez más cercanos a 0x .

0

limx x

f x L

Límites laterales

Decimos que una función f x tiene límite cuando x tiende a 0x si y solo si los límites laterales por

izquierda y por derecha en 0x son iguales. O sea:

Im

Dom

Queremos saber el comportamiento de la función cuando

x ,

x ,

, 0x , 3x , en forma gráfica

y en forma analítica.

2x

Discontinua esencial con salto finito en x=0

Discontinua evitable en x=-2

Discontinua esencial con salto infinito en x=3

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2

2

2 5 2 02

: / 2 3 0 34 33

x x si xx

f A f x x x si xx si xx

Y en forma analítica:

Si queremos calcular analíticamente 0

limx

f x , completaremos la siguiente tabla:

Límites laterales

¿Qué fórmula corresponde a cada límite?

0 0

lim lim

x x

f x 0 0

lim lim

x x

f x

x -0,01 -0,001 -0,0001 0,01 0,001 0,0001

f x

¿Qué nos conviene hacer para no realizar la tabla de valores?

0

00

lim

lim

x

xx

f x

f x

0lim

x

f x


limx

f x , no tiene sentido calcular los límites

laterales. ¿Por qué?

2lim

x

f x

2lim

x

f x


limx

f x

3

3

lim

lim

x

x

f x

f x

3lim

x

f x


limx

f x , pensaremos que tipo de función es. ¿Qué

hacíamos para graficarla?

2lim

x

f x

2lim

x

f x

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Pág. 3

Si queremos calcular analíticamente límites infinitos: lim

xf x

lim

x

f x

1. A partir de la observación de los siguientes gráficos de funciones, se pide: a.

Im Dom

0

0

0

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

3

3

3

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

2

2

2

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

lim

lim

x

x

f x

f x

b. Im Dom

1

1

1

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

2

2

2

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

5

5

5

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

lim

lim

x

x

f x

f x

CJSF 5to. Año 2019


Pág. 4

lim

lim

x

x

f x

f x

c. Im Dom

2

2

2

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

0

0

0

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

1

1

1

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

d.

Im Dom

1

1

1

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

0

0

0

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

1

1

1

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

lim

lim

x

x

f x

f x

2. Grafiquen una función f x cuyo dominio sea y que no exista el límite cuando x tiende a

-2.

CJSF 5to. Año 2019


Pág. 5

3. Realicen el gráfico de una función f x cuyo dominio sea 2 y no exista el límite cuando

x tiende a -3 y a 2, pero que tenga límite cuando x tiende a 4.

4. Grafiquen dos funciones distintas que verifiquen que

2 2

lim lim , 2 fx x

f x f x Dom y

2

2 limx

f f x

5. Consideren la función

2 5 6: /

3

x xf A f x

x

a. Hallen el dominio de f x

b. ¿Qué tipo de función es? Graficar:

c. Completen:

3 3 3

lim lim lim

limlim

x x x

xx

f x f x f x

f xf x

3f

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Pág. 6

6. Dibujen el gráfico de una función f x que cumpla:

a.

2 2

lim , lim 3x x

f x f x y 2f b. 2 2

lim , lim 3

x x

f x f x y 2 1f

7. Observen los siguientes gráficos correspondientes a funciones exponenciales y determinen los siguientes límites:

a.

8. Observen los siguientes gráficos correspondientes a funciones logarítmicas y determinen los siguientes límites:

1

lim lim

x x

h x h x

1

lim lim

x x

p x p x

lim limx x

f x f x

lim limx x

g x g x

b.

¿ lim ?¿ ?x

Existe h x Por qué ¿ lim ?¿ ?x

Existe p x Por qué

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Pág. 7

9. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las que sean falsas. a. Si existen y coinciden los límites laterales de una función en un punto, entonces existe

el límite de la función en dicho punto.

b. Si el dominio de una función es , entonces el valor del límite de esa función en un punto coincide con la imagen de la función en dicho punto.

10. Determinen si son verdaderos o falsas las siguientes afirmaciones. Justifiquen sus respuestas utilizando gráficos.

a. 2

lim 3 2 3

x

Si f x f

b. 2

2 3 lim 3

x

Si f f x

c.

2

2 limfx

Si Dom f x

d.

2

lim 2 fx

Si f x Dom

e.

2

lim 2 fx

Si f x Dom

11. Grafiquen y calculen los límites que se piden:

a.

21

1: / 3 2 1 1

11 1

2

x

xsi x

xf A f x si x

x si x

Im Dom

1

1

1

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

1f

1

1

1

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

1f

lim

lim

x

x

f x

f x

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Pág. 8

b.

2

2 30

: / 1 0 2

33 2

4

xsi x

xf A f x x si x

x x si x

Im Dom

0

0

0

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

0f

2

2

2

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

2f

lim

lim

x

x

f x

f x

12. Determinar si existe el límite de0limx

x (podes ayudarte pensando en la gráfica de la función.).

Justificar. :

13. Calcular el 2limx

f x siendo

2

2

8 2: /

2x

x si xf A f x

e si x: (podes ayudarte

pensando en la gráfica de la función.). Justificar. :

14. Dado el siguiente gráfico de una función partida, se pide:

0

0

0

limlim

lim

(0)

x

x

x

f xf x

f x

f

2

2

2

limlim

lim

2

x

x

x

f xf x

f x

f

3

3

3

limlim

lim

3

x

x

x

f xf x

f x

f

Im Dom

4

4

4

limlim

lim

4

x

x

x

f xf x

f x

f

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Pág. 9

Indicar si las siguientes funciones son continuas. Justificar analíticamente.

a. 2 1

0: / 4

2 1 0

x

si xf A f x x

x si x b.

3 4 2: / 1

22

x si x

f D f xsi x

x

15. Dados los siguientes datos de una función f x que, clasificar la discontinuidad:

a.

x 0 x 0

Dom 0 ; lim f x 3 y lim f x 3

b.

x 5 x 5

Dom ; lim f x 0 ; lim f x y f 5 0

c.

x 2 x 2

Dom 2 ; lim f x 3 y lim f x 5

d.

x 0 x 0

Dom ; lim f x 2 ; lim f x 2 y f 0 2

Definición: Decimos que una función f x es continua en

si se verifica:

0

0 x xf x lim f x

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Pág. 10

16. Analizar la continuidad de las funciones del punto 1.

17. Analizar la continuidad de las funciones del punto 11.

18. Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsan según corresponda. Justificar cada respuesta:

a. Si 0 fx Dom , entonces, f x es continua en 0x .

b. Si 0x xlim f x es un número real, entonces, f x es continua en 0x

.

c. Si

0 0x x x x

lim f x lim f x , entonces, f x tiene una discontinuidad esencial en 0x .

d. Si

0 0x x x xlim f x lim f x , entonces, f x es continua en 0x

.

e. Si

0 0x x x x

lim f x lim f x , y 0 fx Dom , entonces, f x es continua en 0x .

19. Dadas los siguientes gráficos de funciones, determinar si existen los límites indicados:

a. : / f f x senx

b. 1

: / f f x senxx

limx

senx

1lim

x

senxx

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Pág. 11

Álgebra de límites

Si 0

limx x

f x y 0

limx x

g x son números reales, entonces:

0 0 0


f x g x f x g x

0 0 0


f x g x f x g x

0 0 0


f x g x f x g x

0

0

0

limlim

limx x

x xx x

f xf x

g x g x

(Siempre que el l ímite del denominador sea dist into de cero. )

Asíntotas y Cálculo de límites

Una de las aplicaciones de límites, es que nos permite calcular analíticamente las asíntotas de una función.

Asíntota vertical:

x a es una asíntota vertical al gráfico

x alim f x

x ay / o lim f x

Asíntota Horizontal:

y b es una asíntota horizontal al gráfico de f x

xlim f x b

xo lim f x b

Asíntota Oblicua:

y mx b es una asíntota oblicua al gráfico f x

x

f xm lim

x

x

b lim f x mx

20. Calculen analíticamente los siguientes límites:

2lim

2

x

x

x 2lim

2

x

x

x

1lim

2

x x

a. 3

5lim

2 6

x x b.

3

5lim

2 6

x x c.

2

5lim

3x x

d.

1lim 2

3

x

x e.

1lim 2

3

x

x f. 1

1lim 2

3

x

x

g. 2

3 1lim

2

x

x

x h. 1

3 1lim

2

x

x

x i.

3 1lim

2

x

x

x

j.

2

1limx x

k.

2

3lim 9x

x l.

lim 5 2x

x

m.

lim 5 2x

x

n.

1

0

3lim

4

x

x o.

1

0

3lim

4

x

x

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Pág. 12

Dadas las siguientes fórmulas de funciones calcular analíticamente las asíntotas verticales (si existen) :

a. 2 1

1

x

f xx

b. 4 3

2

8

6

x x

f xx x

c. 3

3

x

f xx

d.

senxf x

x

e. 5

2

sen xf x

x

f. 2 1

1

sen xf x

x

A veces en la resolución de ciertos límites, no podemos hacer el reemplazo directo pues llegamos a una expresión donde el numerador y el denominador tienden a cero (cociente de infinitésimos).

f es un infinitésimo para

0

0 lim 0x x

x x f x

Límites Indeterminados

Decimos que un límite está indeterminado, cuando en un comienzo no podemos determinar cuál es su resultado. Este dependerá de cada caso.

Es importante que quede claro que si el límite presenta una determinación, ésta se debe “salvar”

Cociente de Infinitésimos. Del Tipo

0

0

Cociente de Polinomios:

Para “Salvar” la indeterminación del tipo 0

0

, factorizamos ambos polinomios (tener en

cuenta que ya conocemos una raíz de ambos polinomios ¿Cuál es?...... ,luego simplificamos , y calculamos el límite.

a. 2

1 1

1 lim lim

1 1

x x

x

x x

b.

4 3

22

8lim

6x

x x

x x

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Pág. 13

Cociente de expresiones Irracionales:

Para “Salvar” la indeterminación del tipo 0

0

,en este caso, se multiplica y

divide por el conjugado de las expresiones irracionales.

c. 3

3lim

3

x

x

x

Cociente de Funciones Trigonométricas

: / senxf f x

x 0lim

x

senx

x

2: /

2

sen xf f x

x

2

2lim

2

x

sen x

x

Conclusión: Si 0 0

lim 0 lim 1

x x x x

senf xf x

f x

e.

0

5lim

2x

sen x

x f.

2

1

1lim

1x

sen x

x

21. Dadas las siguientes fórmulas de funciones calcular analíticamente las asíntotas verticales (si

existen, o indicar las coordenadas del punto abierto). Graficar en el para verificar.

a.

2x x 6f xx 3

Dom

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Pág. 14

b. 2

4f x3x 9x 30

Dom

c.

2

x 1f xx x 2

Dom

d. 2

xf xx 2x 2

Dom

e. 2

2

x

f xx

Dom

f. 5

4

sen xf x

x Dom

Dadas las siguientes fórmulas de funciones calcular analíticamente las asíntotas horizontales. (si

existen) :

a.

2x 1f x3x 2

b. 2

4f x3x 9x 30

c. 4 3

2

8

6

x x

f xx x

d.

2x 1f xx 1

CJSF 5to. Año 2019


Pág. 15

Cociente de Infinitos. Del Tipo

Cociente de Polinomios:

Para “Salvar” la indeterminación del tipo

, se divide numerador y

denominador por x elevado al mayor exponente de la expresión dada.

a.

2 1 12 2 1

lim lim lim3 2 23 2 3

x x x

x x x

x x

x

xxx

x

b. 2

4lim

3 9 30

x x x

c. 4 3

2

8lim

6

x

x x

x x

Cociente de expresiones Irracionales:

También se divide por x

elevado al mayor exponente, recordando que 2x x .

d.

2

21

1lim lim

11

x x

xx

xx

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Pág. 16

22. Dadas las siguientes fórmulas de funciones calcular analíticamente las asíntotas verticales (si

existen. Graficar en el para verificar. Calcular los siguientes límites:

a.

2

3x 6f xx x 2

c.

2

x 1f xx x 2

d. 2

xf xx 2x 2

b. 2 1

3

x

x

23. Indiquen verdadero o falso. Justifiquen sus respuestas: a. Una función puede tener varias asíntotas verticales.

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Pág. 17

b. Una función puede tener varias asíntotas horizontales cuanto x

c. Una función puede cortar a alguna de sus asíntotas

d. La función xf x

x 3 tiene asíntotas en x 3 e y 2

e. La función

2xf xx 3

no tiene asíntotas horizontales.

f. La función

2

4x 2f xx 2x 2

tiene asíntotas verticales.

24. Realizar el gráfico de una función f x que cumpla lo siguiente:

a.

x 4

x 3

x

Dom 4;3

lim f x

limf x 1

limf x 2

b.

x

x

x 1

Dom 1

lim f x 6

lim f x 4

limf x

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Pág. 18

Dadas las siguientes fórmulas de la función

22xm xx 5

calcular su dominio y hallar

analíticamente las asíntotas (vertical, horizontal y oblicua):

Como la función no tiene asíntota horizontal, sospechamos que puede tener asíntota oblicua de la forma: n

y mx b .

Calculamos m y b.

2 2

2 2

2

2

22x x x x

2

x

2x 2xf x 2x 2xx 5m lim lim lim lim lim 2

x 5xx x x x 5x

x xx 5x

22

x x x x x

10x2x 2x x 52x 10xb lim f x mx lim 2x lim lim lim 10

x 5xx

xx 5

x5 x 5

Por lo tanto la ecuación de la A.O.:

y 2x 10

25. Hallar analíticamente las ecuaciones de las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones:

a.

2x 1f xx 1

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Pág. 19

b.

3 2

2

x 2x xf xx 5x

26. Realizar el gráfico de una función f x que cumpla lo siguiente:

a.

x 4 x x

f xDom 4;0 ; lim f x ; lim 1 y lim f x x 2

x

CJSF 5to. Año 2019


Pág. 20

3

3

3

limlim

lim

3

x

x

x

f xf x

f x

f

Repaso para la evaluación

1. Dado el siguiente gráfico, se pide:

Im Dom

1

1

1

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

0

0

0

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

4

4

4

limlim

lim

x

x

x

f xf x

f x

a. Analizar la continuidad de la función.

2. A partir de la observación del siguiente gráfico de funciones, se pide:

Im Dom

2

2

2

limlim

lim

2

x

x

x

f xf x

f x

f

0

0

0

limlim

lim

0

x

x

x

f xf x

f x

f

a. Analizar la continuidad de la función.

3. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las que sean falsas.

c. Si existen y coinciden los límites laterales de una función en un punto, entonces existe el límite de la función en dicho punto.

lim

lim

x

x

f x

f x

lim

lim

x

x

f x

f x

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Pág. 21

d. Si el dominio de una función es , entonces el valor del límite de esa función en un punto coincide con la imagen de la función en dicho punto.

4. Dada la siguiente función:

2x 1 si x 0

f : A / f x x 42x 1 si x 0

a. Hallar el dominio b. Calcular, analíticamente :

A.

0limx

f x

B.

lim

xf x

C.

lim

xf x

D. 4

limx

f x

c. Analizar la continuidad de la función.

5. Analizar analíticamente la continuidad en los puntos que consideres necesario de las siguientes funciones:

a. 3 4 2

: / 12

2

x si x

f D f xsi x

x

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Pág. 22

b.

3 1

: / 2 1 1 12 11

si xf A f x x si x

x si xx

6. Resolver analísticamente los siguientes límites, realizando todos los cálculos. Justificar

a.

2

3lim 9x

x b.

3

5lim

2 6x x c.

65

x

xlím

7. Calcular analíticamente las asíntotas verticales de la siguiente función cuya formulas es:

2

2 2 =16

xf xx .Graficar en el para verificar.

8. Dadas las siguientes fórmulas de funciones calcular analíticamente las asíntotas verticales,

horizontales y oblicuas (si existen). Graficar en el para verificar.

a. 2

1 =2 3

xf xx x

b.

2 2 3 =1

x xf xx

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Pág. 23

c.

2 2 3 =2

x xf xx

d.

4

2

7 2f = 1

xxx

9.

Dada la siguiente fórmula de función

a 2 si x 0f x sen 5x

si x 02x

, determinen, si es posible, el valor

de a para que exista 0

limx

f x . Justificar.

10. Calcular analíticamente 1x

lím f x

2

31

3: /

11

1

xsi x

xf D f x

sen xsi x

x

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