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Cálculo Diferencial
Otoño 2014
Límites y Continuidad
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Contenido
2.1 Introducción al concepto de límite de una función.
2.2 Límites unilaterales en funciones algebraicas, compuestas y especiales.
2.3 Técnicas para calcular límites
2.4 Límites al infinito relacionadas a las asíntotas verticales y horizontales.
2.5 Continuidad y teoremas sobre continuidad
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2.1 Introducción al concepto de límite de una función
• La tangente a una curva es una recta que toca la curva.
• En otras palabras, una recta tangente debe tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto
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Ejemplo
• Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1, 1).
• SOLUCIÓN: • Podremos encontrar la ecuación de
la recta tangente t conociendo su pendiente m.
• La dificultad es que solo conocemos un punto P sobre t, y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos.
• Podemos calcular una aproximación a m eligiendo un punto cercano Q(x, x 2) sobre la parábola
• Calculando la pendiente mPQ de la recta secante PQ.
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Ejemplo
• Elegimos x 1 de manera que Q P.
• Por ejemplo:
1
12
x
xmPQ
5.25.0
25.1
15.1
125.2
PQm
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Ejemplo
• Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes, y esto lo expresamos simbólicamente escribiendo
• La ecuación de la recta tangente en (1, 1) como
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Aproximación a la tangente
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Ejemplo
• Supongamos que una pelota se deja caer desde la plataforma superior de observacion de la Torre CN en Toronto, a 450 m sobre el suelo.
• Encuentre la velocidad de la pelota después de 5 segundos.
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Solución
• La distancia que recorre cualquier cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (Este modelo de caída libre no considera la resistencia del aire.)
• Si la distancia de caída después de t segundos se denota por s(t) y se mide en metros,
222 9.42
8.9
2
1ttgtts
• La dificultad para encontrar la velocidad después de 5 s es que se trata de un solo instante de tiempo
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Ejemplo
• La siguiente tabla muestra los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante periodos cada vez mas pequeños
• Parece que, a medida que acorta el periodo, la velocidad promedio es cada vez mas cercana a 49 m/s.
• La velocidad instantánea cuando t = 5 se define como el valor limite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez mas cortos que comienzan en t =5
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Ejemplo
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Limites
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Ejemplo
• Encuentre el valor de
• Sin embargo, la función no esta definida en x=1
• Eso no importa, porque la definición del limite considera los valores x que están cerca de a, pero no son iguales a a.
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Solución
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Ejemplo:
• Encuentre el valor de • Solución:
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Ejemplo:
• Determine el valor
• Basados en estos resultados podríamos inferir que:
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Limites Laterales
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Limites Laterales
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Limites Laterales
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Solución
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2.3 Técnicas para calcular límites
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Ejemplo
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Solución
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Solución
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Leyes de los limites
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Ejemplo
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Solución
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Sustitución Directa
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Ejemplo
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Propiedades de los limites
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejercicio
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Ejercicio
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Teoremas
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Ejemplo
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Solución
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Ejemplo
Encuentre el limite del Coseno cuando el ángulo tiende a cero
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Ejemplo
Encuentre el limite del Seno cuando el ángulo tiende a cero
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Ejemplo
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
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2.2 Límites unilaterales
• Definición formal del limite
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Ejemplo
• Encuentre un numero tal, que
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Solución
1240.1
4510.1
5751.2
02.45
8.165
3
2
1
3
3
x
x
x
xx
xx
9114.0
6364.1
5478.2
08.35
2.265
3
2
1
3
3
x
x
x
xx
xx
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Solución
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Ejemplo
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Solución
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Ejercicio
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Limite por la izquierda y derecha
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Ejemplo
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2.4 Límites al infinito relacionadas a las asíntotas verticales y horizontales.
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Limites Infinitos
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Limites Infinitos
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Limites Infinitos
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Limites Infinitos
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Ejemplo
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Ejercicio
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Limites Infinitos
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Limites cuando x se aproxima a infinito
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Ejercicio
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Asintota Vertical
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Ejemplo
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Asíntota Horizontal
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Limites infinitos
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2.5 Continuidad y teoremas sobre continuidad
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Ejemplo
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Ejemplo
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Solución
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Discontinuidades
Discontinuidad Removible
Discontinuidad Removible
Discontinuidad Infinita
Discontinuidad de salto
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Continuidad por la derecha
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Continua sobre un intervalo
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Ejemplo
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Teorema
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Funciones polinomial y racional
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Ejemplo
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Ejemplo
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En que puntos son continuas las siguientes funciones
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Composición de funciones
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejercicio
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Teorema del Valor Intermedio
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Ejemplo
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Ejercicio
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Ejercicio