Facultad de Ingeniería

Profesor Jorge Peñailillo Bacho Lógica :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Una expresión del lenguaje a la cual puede aplicarse con sentido, uno y sólo uno de los calificativos “verdadera” o “Falsa” se denomina proposición. Es decir una proposición es una expresión susceptible a ser verdadera o falsa, . p : el perro tiene dos patas . q : la tierra es cuadrada

Si una proposición es verdadera diremos que su valor de verdades V y si es falsa diremos que su valor de verdad es F.

Se llama función proposicional o proposición abierta a una proposición abierta a una proposición en que el sujeto esta dado en forma de símbolo y puede ser reemplazado por algunos de los elementos de un conjunto fijado con anterioridad. p (x) : x es un número natural x ∈ R Cada vez que el símbolo o variable (x) sea reemplazado por un elemento del conjunto (en este caso R) la función proposicional pasa a ser una proposición y tiene su valor de verdad. Si x=2 “ 2 es un número natural Entonces es V Si x= 0.5 “ 0.5 es un número natural” Entonces es F

Al conjunto al que pertenece la variable se le llama dominio o universo de la función proposicional. Las funciones proposicionales pueden tener más de una variable. q(x,y) : x e y viajaron en un crucero el año 2007 Talas de Verdad. Axioma de la negación p y p tienen valores de verdad contrarios. La negación:

p p V F F V

La disyunción

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

La conjunción

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

Condicional

p q p ⇒ q V V V V F F F V V F F V

Bicondicional

p q p ⇔ q V V V V F F F V F F F V

Disyunción excluyente

p q p ∨ q V V F V F V F V V F F F

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Profesor Jorge Peñailillo Bacho

Escriba las proposiciones de los enunciados con simbología lógica y probar con una tabla de verdad.

a) Si a*b = 0 entonces a= 0 ó b = 0 b) El producto de dos números reales es mayor que cero si y sólo si ambos son positivos o ambos negativos

El condicional p ⇒ q se puede expresar en palabras: . . . .

El bicondicional p ⇔ q se puede expresar en palabras

. . . . . .

Determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles son funciones

proposicionales: a) Los números mayores que 24 son impares b) El número entero x es mayor que 17 c) Los múltiplos de 6 son infinitos d) Los enteros x e y son factores de 36

Demostrar que si p, q y r son proposiciones entonces:

[ p ⇒ q ] ∧ [ q ⇒ r ] ⇒ [ p ⇒ r ]

a) Usar las tablas de verdad b) Usar las propiedades.

Sea el conjunto A = { x ∈ N / x < 5 } y B = { y ∈ N / y < 4 } Sean las proposiciones: p : { ( ∀ x ∈ A ) , ( ∃y ∈ B ) / x + y < 6 } q : { (∃ x ∈ A ) , ( ∃ y ∈ B ) x * y = 15 }

a) Determinar el valor de verdad de cada proposición b) Escribir la negación de p y q

Facultad de Ingeniería

Profesor Jorge Peñailillo Bacho Demuestre que las siguientes proposiciones son Tautologías:

Leyes de Morgan: ∼ ( p ∨ q) ⇔ ∼p ∧ ∼ q ∼ ( p ∧ q) ⇔ ∼p ∨ ∼ q

p ⇒ q ⇔ ( ∼p ∨ q ) Leyes de identidad: p ∨ T ⇔ T p ∧ T ⇔ p p ∨ C ⇔ p p ∧ C ⇔ C

Leyes de Idempotencia: p ∨ p ⇔ p p ∧ p ⇔ p Leyes de Asociatividad:

{ (p ∨ q ) ∨ r } ⇔ { p ∨ (q ∨ r ) }

{ (p ∧ q ) ∧ r } ⇔ { p ∧ (q ∧ r ) } Leyes de Conmutatividad:

p ∨ q ⇔ q ∨ p p ∧ q ⇔ q ∧ p p ⇒ p ∨ q ; p ∧ q ⇒ p

∼ (∼p ) ⇔ (p) Leyes de la Distributividad:

{ p ∨ (q ∧ r) } ⇔ { (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) }

{ p ∧ (q ∨ r) } ⇔ { (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) }

(p ⇒ q ) ⇔ ( ∼ q ⇒ ∼ p )

(p ⇔ q ) ⇔ ( ∼ p ⇔ ∼ q )