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Sistema axiomatico de Lukasiewicz Deduccion Natural

Sistemas deductivos

Logica Computacional

Departamento de Matematica Aplicada

Universidad de Malaga

Curso 2005/2006


Contenido

1 Sistema axiomatico de Lukasiewicz

Sistema proposicional

Extension a predicados

2 Deduccion Natural

Introduccion

Reglas del sistema

Pruebas en DN

Metateorıa del sistema DN

Deduccion natural en primer orden


Sistema Axiomatico de Lukasiewicz, L

Consideraremos el lenguaje de la Logica Proposicionaltomando los conectivos ¬, → como primitivos:

Axiomas:

Ax.1 A → (B → A)

Ax.2 (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))

Ax.3 (¬A → ¬B) → (B → A)

Regla de inferencia: Modus PonensDe las formulas A y A → B se obtiene comoconsecuencia inmediata B. Brevemente:

MP A, A → B ` B o bien

A A → B

B


Deduccion sintactica

Definicion

Dado un conjunto Ω de fbfs, se dice que A es deducible en Ldesde Ω, y lo denotamos Ω ` A, si existe una deduccion de Aa partir de Ω, esto es, una secuencia finita y ordenada B1, B2,. . . , Bn tal que

Cada Bi es un axioma, una formula de Ω, o resulta de laaplicacion de MP a dos formulas anteriores de lasecuencia.

Bn = A.

Si Ω = ∅ entonces escribimos ` A y decimos que A es unteorema.


Un ejemplo de demostracion en L

Ejemplo

A → A es un teorema de L.

1 A → ((A → A) → A) Ax. 1

2 (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A)) Ax. 2

3 (A → (A → A)) → (A → A) MP 1, 2

4 A → (A → A) Ax. 1

5 A → A MP 3, 4


Resultados teoricos

Proposicion

Todo sistema axiomatico, y en particular L, tiene lassiguientes propiedades:

Propiedad de Monotonıa: Si Ω ⊆ Ω′ y Ω ` A, entoncesΩ′ ` A.

Propiedad de Compacidad: Si Ω ` A, entonces existe unsubconjunto finito Γ ⊆ Ω tal que Γ ` A.

Si A es deducible de A1,. . . An, entonces la inferenciaA1, . . . , An ` A puede usarse como una nueva regla,regla derivada.


Metateorema de la deduccion

Proposicion

Para todo conjunto Γ de fbfs

Γ ∪ A ` B si y solo si Γ ` A → B

Ejemplo

¬B → (B → A) es un teorema de L; el metateorema de ladeduccion reduce este problema a ¬B ` B → A:

1 ¬B Hip.

2 ¬B → (¬A → ¬B) Ax. 1

3 ¬A → ¬B MP 1, 2

4 (¬A → ¬B) → (B → A) Ax. 3

5 B → A MP 3, 4


` (A → B) → ((B → C) → (A → C))

Ejemplo

El metateorema de la deduccion (aplicado tres veces) reduceeste problema a establecer A → B, B → C, A ` C:

1 A → B Hip

2 A Hip

3 B MP–1,2

4 B → C Hip

5 C MP–3,4


Correccion y completitud de L

Proposicion

El sistema axiomatico L es correcto para la semantica dela Logica Proposicional:

Si Ω ` A entonces Ω |= A

El sistema axiomatico L es completo para la semantica dela Logica Proposicional:

Si Ω |= A entonces Ω ` A


Sistema de Lukasiewicz, L1

Considera como primitivos los conectivos ¬, →, ∀.

Axiomas:

1 A → (B → A)

2 (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))

3 (¬A → ¬B) → (B → A)

4 ∀xA(x) → A(t) donde t es libre para x en A(x)

5 ∀x(A → B(x)) → (A → ∀xB(x)) donde x /∈ Vlib(A)

Reglas de inferencia:

Modus Ponens: A, A → B ` B

Generalizacion: A ` ∀xA


Metateorema de la deduccion

Observacion

Notese la necesidad de las restricciones en Ax. 4 y Ax. 5.

Adviertase la diferencia entre el Ax. 4 y la regla (GEN).

El teorema de la deduccion no se satisface en L1 si no seimponen restricciones similares.

Teorema (de la deduccion)

Si Ω ∪ A ` B y en la deduccion de B no se utiliza la regla(GEN) con respecto a ninguna variable libre de A entoncesΩ ` A → B. En particular,

Si A es una fbf cerrada y Ω ∪ A ` B entonces Ω ` A → B


Correccion y completitud de L1

Teorema

Correccion: Todo teorema de L1 es una fbf valida.

Completitud: Toda fbf valida es un teorema de L1.

Teorema (de completitud de Godel)

Dado un conjunto Ω de fbfs cerradas y una fbf A se tiene que

Ω |= A si y solo si Ω ` A


Deduccion Natural

Los Sistemas de Deduccion Natural surgen para salvar losobstaculos de los sistemas axiomaticos.

“El proposito de estos sistemas es recoger el modohabitual de argumentar en la vida diaria y permitir unmodo mas natural de realizar deducciones”(Gentzen).

No introducen axiomas y vienen dados por un conjuntode reglas de inferencia (generalizadas).

Reconocen todos los conectivos del lenguaje de la LogicaProposicional.

Definen para cada conectivo suficientes reglas parareconocer el significado de cada uno aisladamente.

Las deducciones adquieren protagonismo sobre lasdemostraciones y no se introducen axiomas.


Reglas del sistema

Eliminacion de → (e-→): Coincide con la regla MPdel sistema axiomatico: Si de Ω podemos derivarA → B y A, entonces tambien podemos derivar B.

Ω ` A → B Ω ` A

Ω ` B

A → BAB

Introduccion de → (i-→): Coincide con elmetateorema de la deduccion. Si podemos derivar B,anadiendo la hipotesis adicional A a Ω, entonces esposible derivar A → B de Ω.

Ω ∪ A ` B

Ω ` A → B

A...

BA → B


Reglas del sistema

Eliminacion de ∧ (e-∧) (dos reglas): Si de Ω se derivaA ∧ B, entonces podemos derivar A y podemos derivar B.

Ω ` A ∧ B

Ω ` A

Ω ` A ∧ B

Ω ` B

A ∧ B

A

A ∧ B

B

Introduccion de ∧ (i-∧): Si de Ω podemos derivar A ypodemos derivar B, entonces tambien podemos derivar A ∧ B.

Ω ` A Ω ` B

Ω ` A ∧ B

A

B

A ∧ B


Reglas del sistema

Eliminacion de ∨ (e-∨): Razonamiento por casos.Si podemos derivar A ∨ B, anadiendo la hipotesisadicional A podemos derivar C y anadiendo lahipotesis adicional B tambien podemos derivar C,entonces podemos derivar C.

Ω ` A ∨ B Ω ∪ A ` C Ω ∪ B ` C

Ω ` C

A ∨ B A...

C B...

CC

Introduccion de ∨ (i-∨) (dos reglas): Si de Ω derivamos A,tambien podemos derivar A ∨ B y podemos derivar B ∨ A.

Ω ` A

Ω ` A ∨ B

Ω ` B

Ω ` A ∨ B

A

A ∨ B

B

A ∨ B


Reglas del sistema

Introduccion de ¬ (i-¬): Reduccion al absurdo.Si de Ω podemos derivar B y anadiendo la hipotesisadicional A, podemos derivar ¬B, entonces de Ωpodemos derivar ¬A.

Ω ` B Ω ∪ A ` ¬B

Ω ` ¬A

B A...

¬B¬A

Eliminacion de ¬ (e-¬): Ley de doble negacion. Si podemosderivar ¬¬A, podemos derivar A.

Ω ` ¬¬A

Ω ` A

¬¬A

A


Todas las reglas de la Deduccion Natural

A B

A ∧ B(i-∧)

A ∧ B

A(e-∧)

A ∧ B

B(e-∧)

A → B A

B(e- →)

[A]....

B

A → B(i- →)

¬¬A

A(e-¬)

C

[A]....

¬C

¬A(i-¬)

A ∨ B

[A]....

C

[B]....

C

C(e-∨)

A

A ∨ B(i-∨)

B

A ∨ B(i-∨)


Representacion de pruebas en DN

Las derivaciones Ω `DN A se representan mediante unasecuencia lineal y finita de formulas de la siguiente forma:

Ω... (Calculo)

A

en la que las formulas intermedias del calculo son tales que

Son generadas por aplicacion de las reglas en Ω.

Pueden formar subconjuntos (delimitados por uncorchete) que se derivan de una hipotesis adicional, deformulas anteriores y, quizas, de otra subderivacion,siguiendo las reglas del sistema.


Ejemplo `DN (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))

1 p → (q → r) Hip. Ad.

2 p → q Hip. Ad.

3 p Hip. Ad.

4 q (→e), 2,3

5 q → r (→e), 1,3

6 r (→e), 4,5

7 p → r (→i), 3–6

8 (p → q) → (p → r) (→i), 2–7

9 (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) (→i), 1–8


Ejemplo: A ∨ (B ∧ C) `DN (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

1 A ∨ (B ∧ C) Hip.

2 A Hip. ad.

3 A ∨ B (∨i)

4 A ∨ C (∨i)

5 (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (∧i)

6 B ∧ C Hip. ad.

7 B (∧e)

8 C (∧e)

9 A ∨ B (∨i)

10 A ∨ C (∨i)

11 (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (∧i)

12 (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (∨e)


Silogismo Disyuntivo: A ∨ B, ¬A `DN B

1 A ∨ B Hip.

2 A Hip. ad.

3 ¬B Hip. ad.

4 ¬A Hip.

5 ¬¬B (¬i)

6 B (¬e)

7 B Hip. ad.

8 B Rep.

9 B (∨e)


Correccion y completitud de DN

Teorema (Correccion de DN)

El sistema DN es correcto, es decir

Si Γ `DN A entonces Γ |= A

Teorema (Completitud de DN)

El sistema DN es completo, esto es,

Si Γ |= A entonces Γ `DN A


Estrategias de deduccion

1 Si la conclusion es del tipo A ∗ B, usaremos (i–∗):

Si es A ∧ B dividimos la deduccion en dos partesSi es A ∨ B solo podemos seguir la estrategia si yahemos generado A o B;Si es A → B, iniciamos una subderivacion con hipotesisadicional A hasta generar B.

2 Si una hipotesis inicial o adicional o una formula yagenerada es de la forma H = A ∗ B, usar (e-∗):

Si es A ∨ B y queremos generar C, construimos dossubderivaciones empezando en A y B respectivamente yterminando en C;Si es A → B, solo podemos seguir la estrategia si yahemos generado A.

3 En otro caso, usar (i-¬).


Uso de reglas derivadas

Agrupamos las reglas derivadas mas utilizadas como reglas deintroduccion y reglas de eliminacion y como tales pueden serconsideradas en las estrategias de deduccion.

Ley de Doble Negacion:

A

¬¬A

Silogismo disyuntivo:

A ∨ B

¬A

B

A ∨ B

¬B

A

Modus tollens:A → B

¬B

¬A


Uso de reglas derivadas

Contradiccion:A...

B ∧ ¬B

¬A

Eliminacion de ¬-∧ (de M.):

¬(A ∧ B)

¬A ∨ ¬B

Eliminacion de ¬-∨ (de M.):

¬(A ∨ B)

¬A

¬(A ∨ B)

¬B

Eliminacion de ¬-→:

¬(A → B)

A

¬(A → B)

¬B



Reglas asociadas al cuantificador universal.

(¬, ∀)¬∀xA(x)∃x¬A(x)

(∀, ¬)∀x¬A(x)¬∃xA(x)

(∀, e)∀xA(x)A(t)

donde t es libre para x en A(x).

(∀, i)A(x)∀xA(x)

donde x satisface:

No ocurre libre en ninguna hipotesis

No ocurre libre en ninguna de las hipotesis adicionales delas derivaciones aun no finalizadas



Reglas asociadas al cuantificador existencial

(¬, ∃)¬∃xA(x)∀x¬A(x)

(∃, ¬)∃x¬A(x)¬∀xA(x)

(∃, i)A[x/t]∃xA(x)

donde t es libre para x en A(x).

(∃, e)

∃xA(x)A(x)B

B

donde x satisface:

No ocurre libre en ninguna hipotesis

No ocurre libre en ninguna de las hipotesis adicionales delas derivaciones no finalizadas para B, salvo en A(x).

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