Logica Difusa

Lgica DifusaUna introduccin prctica

Tcnicas de Softcomputing

Carlos Gonzlez [email protected]

ndice general

1. Introduccin 51.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Tratamiento de la Incertidumbre . . . . . . . . . . 61.2. Qu es la Lgica Difusa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Diferencias con Probabilidad . . . . . . . . . . . . . 81.3. Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Conjuntos Difusos y Variables Lingsticas 132.1. Conjuntos Difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Definicin de conjunto difuso . . . . . . . . . . . . 142.1.2. Operaciones de Conjuntos Difusos . . . . . . . . . 152.1.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4. Representacin de conjuntos difusos . . . . . . . . 17

2.2. Variables Lingsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.1. Modificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Razonamiento Aproximado 213.1. Razonamiento Aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1. Reglas Difusas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Inferencia Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1. Inferencia de Mamdani . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.2. Inferencia TSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.1. Control del Pndulo Invertido . . . . . . . . . . . . 273.3.2. Propina al mesonero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

[4] NDICE GENERAL

Captulo1Introduccin

4 La Lgica Difusa proporciona un mecanismo de inferencia que permitesimular los procedimientos de razonamiento humano en sistemas basa-dos en el conocimiento. La teora de la lgica difusa proporciona un marcomatemtico que permite modelar la incertidumbre de los procesos cogni-tivos humanos de forma que pueda ser tratable por un computador. Eneste primer captulo se describirn los fundamentos y caractersticas deeste mecanismo de representacin de la incertidumbre.

1.1. Introduccin

EL ser humano posee grandes habilidades para comunicar su ex-periencia empleando reglas lingsticas vagas. Por ejemplo, unfamoso cocinero de televisin podra dar instrucciones para tos-tar pan como:

1. Cortar dos rebanadas de pan medianas.

2. Poner el horno a temperatura alta.

3. Tostar el pan hasta que quede de color ligeramente marrn.

El uso de esos trminos lingsticos en cursiva podran ser segui-dos sin problema por un humano, que es capaz de interpretar estasinstrucciones rpidamente. La lgica convencional no es adecuada pa-ra procesar este tipo de reglas. Por ejemplo, si pasramos un da conTiger Woods para aprender a jugar al golf, al final de la jornada po-dramos tener un montn de reglas del tipo:

Si la bola est lejos del hoyo y el green est ligeramente inclinadohacia la derecha, entonces golpear la bola firmemente empleandoun ngulo ligeramente inclinado hacia la izquierda de la bandera.

Si la bola est muy cerca del hoyo y el green entre la bola y el hoyoest plano, entoncces golpear la bola directamente hacia el hoyo.

Figura 1.1: Conocimientoexperto en un dominio deaplicacin concreto.

Estas reglas son muy descriptivas y pueden ser fcilmente enten-dibles por un humano, pero difcilmente representables en un idiomaque pueda ser entendido por un computador. Palabras como lejos,muy cerca no tienen fronteras bien definidas, y cuando se quieren

5

[6] CAPTULO 1. INTRODUCCIN

trasladar a cdigo pueden resultar descripciones artificiales. Por ejem-plo, el trmino Distancia se podra codificar con este conjunto de in-tervalos:

Cerca: La bola est entre 0 y 2 metros del hoyo.

Medio: La bola est entre 2 y 5 metros del hoyo.

Lejos: La bola est ms all de 5 metros del hoyo.

Con esta representacin, qu ocurre con una bola que est en4.99 metros del hoyo? Empleando estos intervalos, el ordenador lo re-presentara firmemente en el intervalo Medio. Y si incrementamosunos pocos centmetros, lo catalogara como Lejos. Esto se puedemejorar creando intervalos ms pequeos, pero el problema base se-guira siendo el mismo por el uso de intervalos discretos. Comparadocon el modo de razonar de un humano, estos trminos lingsticos sedeben corresponder con fronteras vagas, donde 4.99 metros deberaestar ms asociado al trmino lejos que media distancia.

Queda claro que el conocimiento experto presenta a menudo, ca-ractersticas de vaguedad e imprecisin, debido a tres razones princi-palmente:

1. Pereza: Obtener una lista completa de todas las variables que in-tervienen en el dominio del problema puede ser demasiado traba-jo. Adems, como el mundo real es no determinista (aleatoriedady excepciones), hay veces que no es posible establecer completa-mente todas las variables del entorno.

2. Ignorancia Terica: En la que no existe una lista completa defactores a tener en cuenta para el dominio del problema (no seconoce un mtodo terico para modelar el problema).

3. Ignorancia Prctica: Incluso conociendo todas las variables, pue-de ser difcil obtener datos concretos asociados para su estudio.Adems, esta informacin puede estar incompleta, e incluso sererrnea (por ejemplo en el mbito mdico, llena de sntomas in-correctos, mentiras deliberadas, falsos positivos...).

Esta incertidumbre en el modelado de conocimiento experto exis-te en multitud de disciplinas (mdicas, ciencias, ingeniera, derecho,educacin...). En Inteligencia Artificial se aplica en multitud de reasde trabajo, como visin por computador, procesamiento del lengua-je natural, procesamiento de la informacin, aprendizaje automtico,juegos...

1.1.1. Tratamiento de la Incertidumbre

Existen multitud de enfoques para el tratamiento de la incertidum-bre. Las primeras aproximaciones vienen de principios del siglo XIX,con un tratamiento de la informacin puramente probabilista. Los pri-meros sistemas expertos de inicio de los 70 modelaron el conocimientocon un enfoque puramente lgico, con las limitaciones que conlleva es-te tipo de enfoques. La siguiente generacin de sistemas expertos em-plearon tcnicas probabilistas con resultados prometedores. El princi-pal problema de esta aproximacin fue el crecimiento exponencial delas probabilidades necesarias para calcular la distribucin conjuntade probabilidad cuando el nmero de variables aumentaba. De estaforma, surgieron otras aproximaciones entre las que cabe destacar:

1.2. Qu es la Lgica Difusa? [7]

Mtodos No Numricos

Existen algunas aproximaciones no numricas que utilizan un ra-zonamiento mucho ms cercano al humano (cualitativo). Uno de losmtodos ms ampliamente estudiados en esta categora es el razona-miento por defecto, que trata las conclusiones de los sistemas dereglas como vlidas hasta que se encuentre una razn mejor para creeralguna otra cosa. Las redes cualitativas y los sistemas de manteni-miento de coherencia son otros ejemplos de mtodos no numricospara el tratamiento de la incertidumbre.

Mtodos Numricos

De entre los mtodos numricos, cabe destacar la familia de los m-todos probabilistas, que asocian un valor numrico (grado de creen-cia) entre 0 y 1 para resumir la incertidumbre sobre las oraciones. As,una probabilidad de 0.8 sobre una oracin no significa 80 % verdade-ro, sino un 80 % de grado de creencia sobre la oracin (las creenciasdependen de las percepciones recibidas por el agente inteligente hastael momento, que constituyen la evidencia sobre la que se hacen lasafirmaciones sobre probabilidades. Las probabilidades pueden cam-biar cuando se adquieren ms evidencias.

Ejemplo ProbabilidadesAl sacar una carta de labaraja, el agente asigna 1/40de sacar el as de copas.Despus de mirar la carta, laprobabilidad ser de 0 o 1.

Existen varias familias de tcnicas probabilistas entre las que dis-tinguimos los mtodos exactos (Redes bayesianas, Diagramas de in-fluencia...) y los aproximados (Mtodo Bayesiano subjetivo, Factoresde certeza...).

Existen otros mtodos numricos no probabilistas para el trata-miento de la incertidumbre. La teora de Dempster-Shafer que utili-za grados de creencia dados por intervalos de valores para representarel conocimiento. La lgica difusa es igualmente un mtodo de razo-namiento aproximado no probabilista, que puede definirse como unaextensin de la lgica multivaluada que facilita enormemente el mo-delado de informacin cualitativa de forma aproximada. Su xito sedebe principalmente a la posibilidad de resolver problemas de unagran complejidad y poco definidos que, mediante mtodos tradiciona-les, son difciles de solucionar.

1.2. Qu es la Lgica Difusa?

Bsicamente la Lgica Difusa es una lgica multivaluada que per-mite representar matemticamente la incertidumbre y la vaguedad,proporcionando herramientas formales para su tratamiento.

Precisin Vs. SignificadoLo ms relevante de lainformacin es su significado,no la precisin. Por ejemplo, sinos va a caer una pesa sobrela cabeza, nos interesa quealguien nos grite rpidamenteCuidado, arriba!!, y no quenos diga que un objeto de500Kg de masa, se estaproximando a tu cabezasiguiendo unas trayectoriaperpendicular y recta a unavelocidad de 47.32 m/seg.

Como indica Zadeh [3], Cuando aumenta la complejidad, los enun-ciados precisos pierden su significado y los enunciados tiles pierdenprecisin., que puede resumirse como que los rboles no te dejan verel bosque.

Bsicamente, cualquier problema del mundo puede resolverse co-mo dado un conjunto de variables de entrada (espacio de entrada),obtener un valor adecuado de variables de salida (espacio de salida).La lgica difusa permite establecer este mapeo de una forma adecua-da, atendiendo a criterios de significado (y no de precisin).

Le trmino Lgica Difusa fue utilizado por primera vez en 1974. Ac-tualmente se utiliza en un amplio sentido, agrupando la teora de con-junto difusos, reglas si-entonces, aritmtica difusa, cuantificadores,etc. En este curso emplearemos este significado extenso el trmino.


1.2.1. Diferencias con Probabilidad

Los conceptos empleados en Lgica Difusa y Probabilidad estnrealacionados en cierto modo, pero son totalmente diferentes. De for-ma resumida, la probabilidad representa informacin sobre frecuen-cia de ocurrencias relativas de un evento bien definido sobre el total deeventos posible. Por su parte, el grado de pertenencia difuso repre-senta las similitudes de un evento con respecto a otro evento, dondelas propiedades de esos eventos no estn definidas de forma precisa.

Veamos un ejemplo, un superviviente de un accidente de avin seencuentra en medio del desierto. Hace dos das que est caminandosin agua en busca de algn poblado cercano donde puedan socorrer-le. De repente encuentra dos botellas de lquido, etiquetadas como semuestra en la figura 1.2. La botella A difusa est etiquetada como quecontiene lquido potable con un grado de pertenencia 0.8, mientrasque la botella B probabilista est etiquetada como que contiene conprobabilidad 0.8 un lquido potable. Cul debera elegir el supervi-viente?

Botella Difusa

BotellaProba-bilista

Figura 1.2: Botellas difusay probabilista etiquetadas.La botella A indica que el lquido que contiene es bastante similar

a otros que son potables. Naturalmente este valor numrico dependede la funcin de pertenencia asociada al concepto de lquido potable.Supongamos que la funcin de pertenencia asocia 1 al agua pura, porlo que un valor de 0.8 indicara que la botella A contiene agua nototalmente pura, pero todava potable (o al menos no es un veneno, oalgn lquido perjudicial para el organismo).

La probabilidad asociada a la botella B indica que, tras realizar unalto nmero de experimentos, el contenido de la botella B es potableel 80 % de las veces. Pero, qu ocurre el otro 20 % de las veces?. Enestas ocasiones, el lquido no era potable y, por tanto, hay un 20 % deprobabilidad de que mueras bebiendo el lquido de esa botella porquecontenga amoniaco en lugar de agua.

Qu debera elegir el superviviente si las botellas estuvieran eti-quetadas con valores de 0.5 fuzzy y 0.5 de probabilidad? En este casodebera rechazar A porque un grado de pertenencia de 0.5 indicaraque el contenido de la botella no es muy parecido a los lquidos po-tables en ese dominio de conocimiento. La botella B tendra 0.5 deprobabilidad de ser potable (tambin es incertidumbre total), pero ten-dra un 50 % de probabilidad de que el lquido fuera potable, por loque debera jugrsela y elegir la botella B.

1.3. Historia

El concepto de Lgica Difusa fue creado por Lofti A. Zadeh, cate-drtico de la Universidad de Berkeley (California) [2]. En su propuesta,la lgica difusa fue presentada como una forma de procesamiento deinformacin en la que los datos podran tener asociados un grado depertenencia parcial a conjuntos. Fue a mediados de los 70 cuando estateora se aplic a los sistemas de control (cuando los pequeos orde-nadores empotrados tuvieron suficiente potencia como para permitirsu ejecucin). Desde entonces el nmero de aplicaciones industrialesy su utilizacin en productos de consumo (como veremos en la seccin1.5) ha crecido exponencialmente.

Figura 1.3: Lofti A. Zadeh.En una primera etapa (entre 1965 y 1974), Zadeh describi el con-

cepto general de conjunto difuso y su funcin de pertenencia asociadaque toma valores en el intervalo unitario. En esta primera etapa no

1.4. Caractersticas [9]

se describieron en profundidad los mecanismos de razonamiento y lalgica asociada a esta representacin.

En la segunda etapa (desde 1972 hasta el 2000) se introducen dosconceptos importantes: la variable lingstica y el concepto de reglasif-then. En la actualidad, la mayora de aplicaciones de conjuntos difu-sos utilizan estos conceptos. Gracias al desarrollo de los conceptos deesta segunda etapa evolucionaron rpidamente aplicaciones de controldifuso (espcialmente en Japn).

El trmino de Soft Computing apareci en 1981 en el BISC (Ber-keley Initiative in Soft Computing), y puede ser definido como el uso demetodologas que proporcionan los fundamentos para el diseo, desa-rrollo y uso de sistemas inteligentes. Las principales metodologas queforman este grupo son la Lgica Difusa, la Computacin Evolutiva,Mtodos Probabilsticos y Aprendizaje Mquina. En general estas m-todologas y tcnicas se combinan ofreciendo mejores resultados.

La tercera etapa de desarrollo (desde 1996) se centra en la compu-tacin con palabras, empleando procesamiento del lenguaje naturalpara la bsqueda en internet y el desarrollo de respuesta automti-cos. En la actualidad existen multitud de lneas de investigacin queemplean intensivamente la teora de la lgica difusa en diversidad dereas de aplicacin.

1.4. Caractersticas

El Principio de Incompatibilidad [3] dice que la descripcin del com-portamiento de un sistema complejo no puede realizarse de forma ab-solutamente precisa. Para solucionar este problema Zadeh plantea lanecesidad de obtener herramientas capaces de manejar de forma ri-gurosa y fiable informacin imprecisa, lo cual obliga a desarrollar dosaspectos:

Representacin de la informacin imprecisa: Para esto lo quepropone es el empleo de la Teora de conjuntos difusos. As comodescribir la experiencia de los sistemas complejos en sus relacio-nes entrada-salida mediante proposiciones condicionales del tipoSi-Entonces (Ejemplo: Si la presin es muy alta Entonces vacia-mos el recipiente) de manera que las variables de entrada y lasvariables de salida quedan ligadas.

Inferencia sobre informacin imprecisa: Ahora se necesita unaforma de combinar esta informacin para obtener nuevos hechos.Entonces Zadeh establece la necesidad de un mtodo de inferen-cia generalizado e introduce lo que se conoce como Regla Compo-sicional de Inferencia.

A partir de este principio, se pueden describir las principales ca-ractersticas esenciales de la lgica difusa y los sistemas difusos:

1. El razonamiento exacto puede verse como un caso particulardel razonamiento aproximado. Cualquier sistema lgico puedeser fuzzificado. Mediante lgica difusa se puede formular el co-nocimiento humano de una forma sistemtica, y puede ser fcil-mente incluido en sistemas de ingeniera.

2. El conocimiento se interpreta como una coleccin de restriccio-nes difusas sobre una coleccin de variables. Los sistemas difu-sos son especialmente interesantes para la definicin de sistemascuyo modelo exacto es difcil de obtener (es necesario introduciruna aproximacin).


Figura 1.4: En la actualidad, multitud de productos de consumo(lavadoras, microondas, cmaras de vdeo, televisores) y sistemas(ascensores, trenes, motores, frenos, control de trfico) utilizaninternamente mtodos de lgica difusa.

3. La inferencia puede verse como un proceso de propagacin deestas restricciones difusas.

4. Se utiliza ampliamente en sistemas de ayuda a la decisin. Lalgica difusa permite obtener decisiones con valores incompletoso informacin incierta.

Los sistemas difusos son muy recomendables en aquellos proble-mas muy complejos donde no existe un modelo matemtico simpleasociado. Igualmente en procesos que obedecen a un comportamien-to no lineal, la solucin difusa plantea grandes ventajas. La solucindifusa require que el conocimiento experto sea expresado lingsti-camente, requisito que es normalmente fcil de obtener.

1.5. Aplicaciones

Desde mediados de los aos 70, la lgica difusa se ha utilizadoampliamente debido a varios factores. Uno de ellos es que el uso deconocimiento experto permite la automatizacin de tareas. En mu-chas reas de aplicacin se reduce considerablemente la necesidad deoperadores que basan su conocimiento en la experiencia (y que dif-cilmente podra ser expresado con ecuaciones diferenciales). De estemodo, si existe un conocimiento del proceso, es posible modelarlo me-diante lgica difusa.

Los sistemas basados en lgica difusa son fciles de disear, mo-dificar y mantener. Pese a la prdida de precisin, la reduccin detiempo de desarrollo y mantenimiento es muy relevante para su usoindustrial.

1.5. Aplicaciones [11]

Otro factor a tener en cuenta es que el control difuso permite di-sear soluciones de alta calidad que eviten las patentes existentes enotros sistemas de control. En Japn este tipo de controladores se aso-cia a modernidad, alta calidad y tecnolgicamente potente. En Europasin embargo se trata de ocultar el trmino difuso por su significa-do negativo. En la actualidad multitud de productos de electrnica deconsumo emplean lgica difusa (ver Figura 1.4).

Por citar algunos ejemplos de uso, la empresa Japonesa Matsuhitautiliza en sus lavadoras un sistema de control que determina auto-mticamente el ciclo de lavado segn el tipo, cantidad de suciedad ytamao de la colada. Los estabilizadores de imgenes en sus cmarasdigitales incorporan reglas que eliminan las vibraciones involuntariasde la mano del operario, comparando la imagen actual con las imge-nes anteriores de la memoria. En el mbito de la automocin, Mitsu-bishi y General Motors emplean sistemas de transmisin automticay control de temperatura basados en lgica difusa.

Otro caso de xito es el metro de Sendai (Japn), que cuenta con 16estaciones. El sistema de control difuso est dividido en dos mdulos,uno para el control de la velocidad (similar al de [1]) y otro para la pa-rada automtica. Este controlador difuso ofrece importantes ventajassobre los controladores convencionales, como el mayor confort en elviaje para los pasajeros y menor consumo de energa.

Captulo2Conjuntos Difusos y

Variables Lingsticas

4 Como hemos visto en el captulo anterior, la lgica difusa permite a unordenador razonar en trminos lingsticos y reglas de una forma similara como lo realizan los seres humanos. A diferencia de la lgica boolea-na clsica, la lgica difusa es multi-valuada definiendo grados de perte-nencia (grados de verdad). En este captulo estudiaremos dos entidadesclave: los conjuntos difusos y las variables lingsticas.

2.1. Conjuntos Difusos

COMO lgica multi-valuada, en la definicin de grados de perte-nencia, la lgica difusa emplea valores contnuos entre 0 (querepresenta hechos totalmente falsos) y 1 (totalmente ciertos).As, la lgica binaria clsica puede verse como un caso particular dela lgica difusa.

Zadeh propone en 1965 por primera vez la nocin de ConjuntoDifuso [2]. Este hecho marca el principio de una nueva teora denomi-nada Teora de Conjuntos Difusos.

Los conceptos se asocian a conjuntos difusos (asociando los valoresde pertenencia) en un proceso llamado fuzzificacin. Una vez que tene-mos los valores fuzzificados podemos trabajar con reglas lingsticasy obtener una salida, que podr seguir siendo difusa o defuzzificadapara obtener un valor discreto crisp.

De este modo, a diferencia de la teora clsica de conjuntos quese basa en el principio bsico de la lgica de forma que un individuopertenece o no pertenece a un conjunto, la idea bsica de un con-junto difuso es que un elemento forma parte de un conjunto con undeterminado grado de pertenencia.

De este modo una proposicin no es totalmente (sino parcialmente)cierta o falsa. Este grado se expresa mediante un entero en el intervalo[0, 1].

Un ejemplo claro es la representacin de la altura de una poblacinde individuos.

13

[14] CAPTULO 2. CONJUNTOS DIFUSOS Y VARIABLES LINGSTICAS

Figura 2.1: Descripcin de conjuntos crisp (arriba) y fuzzy (abajo) depersona alta.

Nombre Altura Crisp FuzzyPaco 2.05 1 1.0Juan 1.95 1 1.0Toms 1.87 1 0.95Carlos 1.80 1 0.82Pedro 1.79 0 0.71Andrs 1.60 0 0.36

En la representacin crisp, se dibuja una lnea que separa clara-mente en 1.8m los individuos que son altos de los que no lo son, aso-ciando un valor de pertencia estricto al conjunto de los altos a aquellosque superan esa altura. Sin embargo, el conjunto difuso permite ex-presar que Carlos tiene un grado de pertenencia al conjunto de losaltos en A(Altura) = 0,82.

As, un conjunto difuso proporciona una transicin suave entre loslmites de lo que sera un conjunto crisp. El Universo del discurso sedefine como todos los posibles valores que puede tomar una determi-nada variable (en el caso de la imagen anterior se correspondera conel eje horizontal de las grficas, desde 150 a 210cm).

2.1.1. Definicin de conjunto difuso

La teora de conjuntos difusos es un intento de desarrollar unaserie de conceptos para tratar de un modo sistemtico el tipo de im-precisin que aparece cuando los lmites de las clases de objetos noestn claramente definidos. Un conjunto difuso puede definirse comouna clase en la que hay una progresin gradual desde la pertenen-cia al conjunto hasta la no pertenencia; o visto de otra forma, en laque un objeto puede tener un grado de pertenencia definido entre lapertenencia total (valor uno) o no pertenencia (valor cero). Desde estaperspectiva, los conjuntos convencionales (o conjuntos crisp) puedenverse como un caso particular de conjuntos difusos; un conjunto di-fuso que slo admite dos grados de pertenencia (uno y cero).

2.1. Conjuntos Difusos [15]

Un conjunto difuso puede definirse de forma general como un con-junto con lmites difusos. Sea X el Universo del discurso, y sus elemen-tos se denotan como x. En la teora clsica de conjuntos crisp se defineun conjunto C se define sobre X mediante la funcin caracterstica deC como fC .

fC(x) =

{1 cuando x C0 cuando x / C

Este conjunto mapea el universo X en un conjunto de dos elemen-tos, donde la funcin fC(x) es 1 si el elemento x pertenece al conjuntoC y 0 si el elemento x no pertenece al conjunto C.

Si generalizamos esta funcin para que los valores asignados a loselementos del conjunto caigan en un rango particular y as indicarel grado de pertenencia de los elementos a ese conjunto, tendremosuna funcin de pertenencia de un determinado conjunto difuso. Lafuncin de pertenencia A por la que se define un conjunto difuso A,sera:

A = X [0, 1]Donde A(x) = 1 si x est totalmente en A, A(x) = 0 si x no est

en A y 0 < A(x) < 1 si x est parcialmente en A. Este valor entre0 y 1 representa el grado de pertenencia (tambin llamado valor depertenencia de un elemento x a un conjunto A.

As, el intervalo de la ecuacin anterior es de nmeros reales e in-cluye los extremos. Aunque [0, 1] es el rango de valores ms utilizadopara representar funciones de pertenencia, cualquier conjunto arbi-trario con alguna ordenacin total o parcial podra ser utilizado.

2.1.2. Operaciones de Conjuntos Difusos

A B

AB

A B

AB

A

AComplemento

Interseccin

Unin

A

Figura 2.2: Descripcingrfica de operacionesestndar con conjuntosdifusos.

Las tres operaciones bsicas que se definen sobre conjuntos crisp(complemento, unin e interseccin), pueden generalizarse de variasformas en conjuntos difusos. No obstante, existe una generalizacinparticular que tiene especial importancia. Cuando se restringe el ran-go de pertenencia al conjunto [0, 1], estas operaciones estndar sobreconjuntos difusos se comportan de igual modo que las operaciones so-bre conjuntos crisp. Dichas operaciones se definen del siguiente modo(ver Figura 2.2):

A(x) = 1 A(x)AB(x) = [A(x), B(x)]AB(x) = T [A(x), B(x)]

Unin

La forma generalizada de la unin es la T-conorma. Podemos defi-nirla con la siguiente funcin:

: [0, 1] [0, 1] [0, 1]AB(x) = [A(x), B(x)]

Para que una funcin se pueda considerar como una unin difusa,debe satisfacer los siguientes axiomas a, b, c [0, 1]:U1) Elemento Neutro: (a, 0) = aU2) Conmutatividad: (a, b) = (b, a)U3) Monotonicidad: Si a c y b d entonces (a, b) = (c, d)U4) Asociatividad: ((a, b), c) = (a,(b, c))


Algunas T-conormas ampliamente utilizadas son:

Mximo: (a, b) = max(a, b)Producto: (a, b) = (a+ b) (a b)Suma limitada (o de Lukasiewick): (a, b) = min(a+ b, 1)

Interseccin

La forma generalizada de la interseccin se denomina T-norma. Esuna funcin de la forma:

T : [0, 1] [0, 1] [0, 1]AB(x) = T [A(x), B(x)]

Una T-norma satisface los siguientes axiomas a, b, c [0, 1]I1) Elemento unidad: T (a, 1) = a

I2) Conmutatividad: T (a, b) = T (b, a)

I3) Monotonicidad: Si a c y b d entonces T (a, b) = T (c, d)I4) Asociatividad: T (T (a, b), c) = T (a, T (b, c))

Algunas T-normas ampliamente utilizadas son:

Mnimo: T (a, b) = min(a, b)

Producto algebraico: T (a, b) = ab

Diferencia limitada (o de Lukasiewick): T (a, b) = max(0, a+ b 1)

Complemento

El complemento A de un conjunto difuso A, se denota por cA; estdefinido por una funcin del tipo c : [0, 1] [0, 1]. Tiene que satisfacerlos siguientes axiomas:

C1) Condiciones lmite o frontera: c(0) = 1 y c(1) = 0.

C2) Monotonicidad: a, b [0, 1] si a < b entonces c(a) c(b).C3) c es una funcin contnua.

C4) c es involutiva a [0, 1] tenemos c(c(a)) = a.Al igual que suceda con los operadores de unin y de interseccin,tambin para el complemento existen gran variedad de clases. Uno delos ms utilizados, adems del complemento clsico (A(x) = c(a) = 1a), es el -complemento de Sugeno, que viene definido por la siguienteexpresin:

A

(x) =1 A(x)

1 + A(x)con (1,)

Como se puede observar, si = 0, la funcin se comporta como elcomplemento clsico. Adems, para cada valor de , obtenemos unaexpresin particular para el complemento. Otro tipo de complementoborroso muy utilizado es el de Yager, que se define con la siguienteexpresin:

Aw(x) = (1 A(x)w)1/w con w (0,)

Al igual que con el complemento de Sugeno, cambiando el valor dew obtenemos distintos tipos de complemento. Si w = 1 tenemos elcomplemento clsico.

2.1. Conjuntos Difusos [17]

Figura 2.3: Uso de el modificador muy en los conjuntos bajo y alto.

2.1.3. Propiedades

Los conjuntos Crisp y los difusos tienen las mismas propiedades(en realidad los conjuntos crisp pueden verse como un subconjuntode los conjuntos difusos).

Conmutativa: A B = B AAsociativa: A (B C) = (A B) CDistributiva: A (B C) = (A B) (A C)Idempotencia: A A = A y A A = AInvolucin: (A) = ATransitiva: If(A B) (B C)thenA C 1

Leyes de Morgan: (A B) = A B y (A B) = A B

Empleando estas operaciones, propiedades y modificadores se pue-den obtener gran variedad de expresiones. Por ejemplo, siendo A elconjunto alto y B bajo, podemos derivar el conjunto C como no muyalto y no muy bajo como C(x) = [1 a(x)2] [1 B(x)2].

2.1.4. Representacin de conjuntos difusos

Los conjuntos crisp son tiles pero presentan problemas en mu-chas situaciones. Examinando el Universo del discurso de la altura,tendramos la representacin grfica de la Figura 2.3. Para definir unconjunto difuso hay que definir su funcin de pertenencia. Un mto-do habitual es preguntar a un experto sobre el dominio del problemay representarlo mediante diferentes funciones (tpicamente triangula-res y trapezoidales). Tambin se pueden utilizar, como veremos msadelante, funciones curvas o la funcin singleton.

Para representar un conjunto difuso continuo en un ordenador ne-cesitamos expresar esa funcin de pertenencia y mapear los elemen-tos del conjunto con su grado de pertenencia. Aunque puede usarsea priori cualquier tipo de funcin, en la prctica se emplean funcioneslineales con una descripcin de su vector de ajuste, como:

hombre-medio = (0/165, 1/175, 0/185)

1Ejemplo de Transitividad: IF (extremadamente alto muy alto) AND (muy alto alto)THEN (extremadamente alto alto)


Esta representacin se corresponde con el conjunto difuso Mediode la Figura 2.3, donde para la altura 165 se asocia el grado de per-tenencia 0, a la altura 175 el grado de pertenencia 1, y de nuevo a laaltura 185 el grado de pertenencia 0.

2.2. Variables Lingsticas

Como veremos en el captulo 3, para representar el conocimientoen razonamiento aproximado tenemos que utilizar variables lingsti-cas. Una variable lingstica [4] es aquella cuyos valores son palabraso sentencias en un lenguaje natural o artificial. De esta forma, unavariable lingstica sirve para representar cualquier elemento que seademasiado complejo, o del cual no tengamos una definicin concreta;es decir, lo que no podemos describir en trminos numricos.

As, una variable lingstica est caracterizada por una quntupla

(X,T (X), U,G,M)

X es el nombre de la variable.

T (X) es el conjunto de trminos de X; es decir, la coleccin desus valores lingsticos (o etiquetas lingsticas).

U es el universo del discurso (o dominio subyacente). Por ejem-plo, si la hablamos de temperatura Clida o Aproximadamente25o, el dominio subyacente es un dominio numrico (los gradoscentgrados).

G es una gramtica libre de contexto mediante la que se gene-ran los trminos en T (X), como podran ser muy alto, no muybajo, ...

M es una regla semntica que asocia a cada valor lingstico deX su significado M(X) (M(X) denota un subconjunto difuso enU ).

Los smbolos terminales de las gramticas incluyen:

Trminos primarios: bajo, alto, ...

Modificadores: Muy, ms, menos, cerca de, ...

Conectores lgicos: Normalmente NOT, AND y OR.

Normalmente se definen los conjuntos difusos de los trminos pri-marios y, a partir de stos, se calculan los conjuntos difusos de lostrminos compuestos (por ejemplo, con muy y alto construimos eltrmino compuesto muy alto). Una etiqueta lingstica se forma co-mo una sucesin de los smbolos terminales de la gramtica: Muyalto, no muy bajo....

Un uso habitual de las variables lingsticas es en reglas difusas.Ejemplo: IF duracion-examen IS larga THEN probabilidad-aprobar ISsmall. Por ejemplo, la variable lingstica velocidad podras incluirconjuntos difusos como muy lento, lento, medio, rpido, muy-rpido.Naturalmente cada uno de estos conjuntos representan un valor lin-gstico que puede tomar la variable.

2.2. Variables Lingsticas [19]

Figura 2.4: Algunos modificadores y su representacin grfica ymatemtica.

2.2.1. ModificadoresUna variable lingstica puede emplear modificadores para cambiar

la forma de los conjuntos difusos. Estos modificadores pueden aso-ciarse a adverbios como muy, ligeramente, un poco, etc... Estosmodificadores pueden aplicarse a oraciones completas, verbos, adjeti-vos, etc.

La figura 2.3 muestra un ejemplo de uso de modificadores (en estecaso el modificador muy). En el ejemplo de esta figura, Carlos, unelemento del conjunto alto (con un grado de pertenencia de 0.5) estambin miembro del conjunto de los muy altos (pero con un gradode pertenencia de 0.15, lo cual es razonable).

Cmo se implementan estos modificadores? En la prctica, pode-mos distinguir tres tipos de modificadores; de concentracin, de dila-tacin y de intensificacin. En la figura 2.4 se representan algunos delos ms empleados. Por ejemplo, si Pedro tiene un valor de pertenenciade 0.86 al conjunto de los altos, tendr un valor de

A(x) = 0,92 al

conjunto de los ms o menos altos.

Captulo3Razonamiento

Aproximado

4 A principios de los 80, Zadeh introduce el concepto de RazonamientoAproximado y otros componentes que acabaran formando el cuerpo de lalgica difusa. As propone la utilizacin de los conjuntos difusos para elmanejo cuantitativo de conceptos cualitativos. En este captulo veremoslos fundamentos del razonamiento aproximado empleando lgica difusa.

3.1. Razonamiento Aproximado

MEDIANTE el uso de conjuntos difusos es posible dotar de signi-ficado matemtico a proposiciones como este coche es peque-o, Pedro es muy alto o el crecimiento es lento utilizandolos modificadores lingsticos (muy, poco, demasiado, algo, extrema-damente, etc.) para adaptar los calificativos a lo que se quiere decir.As para la representacin y utilizacin del conocimiento impreciso,como hemos visto en la seccin 2.2, aparece el concepto de variablelingstica [4].

Muchas veces, la programacin clsica no es suficiente para queun sistema realice funciones complejas. Cuando un sistema no ha si-do programado explcitamente para realizar una funcin y se le pideque la realice, el sistema tiene que razonar. Por ejemplo, si el sistemaconoce los siguientes hechos: Estirada es una jirafa, Las jirafas sonmamferos y le formulamos la pregunta: Es Estirada un mamfero?,el sistema debe razonar para dar una respuesta. Cuando el nme-ro de hechos y reglas aumenta, el sistema tiene que poder verificargran cantidad de hechos que surgen en las etapas de razonamiento. Acontinuacin estudiaremos el concepto de Regla Difusa empleada enRazonamiento Aproximado.

3.1.1. Reglas Difusas

El razonamiento aproximado se utiliza para representar y razonarcon conocimiento expresado en forma de primitivas atmicas, enun-ciadas en lenguaje natural. Por ejemplo La velocidad tiene un valorpositivo grande.

21

[22] CAPTULO 3. RAZONAMIENTO APROXIMADO

Figura 3.1: Ejemplo de inferencia de seleccin monotnica.

La transformacin de esta expresin en lenguaje natural, en trmi-nos de variables lingsticas se realiza como se indica a continuacin:

1. Se selecciona un smbolo V para representar la variable fsicavelocidad.

2. Se elige un smbolo PG para representar el valor particular posi-tivo grande de la variable fsica velocidad.

3. La expresin en lenguaje natural pasa a ser: V es PG

A este tipo de expresin se le denomina proposicin atmica di-fusa. La interpretacin de la expresin atmica anterior viene dadapor la pertenencia de la variable fsica velocidad V al conjunto difusoPG, es decir PG(), donde denota un valor arbitrario del univer-so del discurso U . Esta interpretacin determina el grado en que laexpresin es satisfecha dado un valor especfico de la variable V .

Usando este concepto de proposicin difusa y conectores lingsti-cos con y, o y no es posible componer proposiciones difusas mscomplejas A es X y B es Y , A es no X, etc... El significado de estasproposiciones difusas compuestas viene dado por la interpretacin delas conectores lingsticos.

Esta interpretacin se hace en base a las operaciones de intersec-cin, unin y complemento que, como se vio anteriormente, se realizamediante T-normas, T-conormas y el operador complemento elegido.Hay que tener en cuenta que, el grado de satisfaccin de una expresinconstituye un conjunto difuso y, por tanto, estos conectores deben in-terpretarse mediante operadores de conjuntos difusos.

Una regla difusa (regla de produccin difusa if-then) es expresadasimblicamente como:

IF THEN

Donde puede ser una proposicin difusa atmi-ca o compuesta. Podemos definir una proposicin sencilla de este tipomediante:

p: IF X es A THEN Y es B

El antecedente y consecuente de una regla puede tener mltiplespartes. Veremos a continuacin cmo se trabaja con estos formatos dereglas.

En los sistemas de reglas clsicos, si el antecedente es cierto, elconsecuente es tambin cierto. En sistemas fuzzy donde el anteceden-te es difuso, todas las reglas se ejecutan parcialmente, y el consecuen-te es cierto en cierto grado (si el antecedente es cierto con cierto gradode pertenencia, el consecuente es cierto tambin el cierto grado).

3.2. Inferencia Difusa [23]

Ver ejemplo de la regla IF altura IS alto THEN peso IS pesado. Elvalor de la salida (grado de pertenencia) puede ser estimado directa-mente empleando un mtodo de inferencia de seleccin monotnica.En la figura se pueden ver cmo varios valores de peso pueden serderivados de diferentes valores de alturas.

3.2. Inferencia Difusa

La inferencia difusa puede definirse como el proceso de obtenerun valor de salida para un valor de entrada empleando la teora deconjuntos difusos. A continuacin veremos dos tipos de inferencia: elmodelo de Mamdani y el de TSK (Takagi, Sugeno y Kang).

3.2.1. Inferencia de MamdaniEs posiblemente el mtodo ms ampliamente utilizado, propuesto

por Ebrahim Mamdani en 1975. El proceso se realiza en cuatro pasos:

1. Fuzificacin de las variables de entrada.

2. Evaluacin de las reglas.

3. Agregacin de las salidas de las reglas.

4. Defuzificacin.

Veremos a continuacin un ejemplo de uso empleando tres re-glas. Estas reglas usan como variables lingsticas x (financiacin-del-proyecto), y (plantilla-del-proyecto) y z (riesgo). Los conjuntos de-finidos sobre el dominio de X son A1, A2, A3 (inadecuado, marginal,adecuado), sobre el dominio de Y B1, B2 (pequea, grande) y sobre eluniverso del discurso de Z son C1, C2yC3 (bajo, normal y alto). Reglas:

R1: IF x is A3 OR y is B1 THEN z is C1

R2: If x is A2 AND y is B2 THEN z is C2

R3: IF x is A1 THEN z is C3

Veamos a continuacin las etapas de inferencia (ver Figura 3.3):

1. Fuzificacin. El primer paso consiste en tomar los valores crispde las entradas (financiacion-del-proyecto y plantilla-del-proyecto)y determinar el grado de pertenencia de estas entradas a los con-juntos difusos asociados.

El valor crisp naturalmente estar limitado en el universo deldiscurso de la variable. En nuestro caso, x e y estarn limitadasal universo del discurso de X e Y respectivamente. En nuestrocaso vamos a suponer que un experto asigna a x un valor del 35 %(financiacion-proyecto) y a y un valor de 60 % (plantilla-proyecto).

Como se puede ver estos valores Crisp se corresponden con losvalores de pertenecia de A1 y A2 (en el caso de x) con 0.5 y 0.2, ycon los valores de B1 y B2 (en el caso de y) con 0.1 y 0.7 respecti-vamente. De este modo cada entrada se fuzzifica sobre todas lasfunciones de pertenencia utilizadas en la reglas difusas.

2. Evaluacin de Reglas Tomamos las entradas anteriores y seaplican a los antecedentes de las reglas difusas. Si una reglatiene mltiples antecedentes, se utiliza el operador AND u ORpara obtener un nico nmero que represente el resultado de la


evaluacin. Este nmero (el valor de verdad) se aplica al conse-cuente.

Para evaluar la disjucin (operador OR) habitualmente se empleala T-Conorma estndar (mximo), definida como hemos visto co-mo: AB(x) = max [A(x), B(x)]. De igual forma, para el AND seusa habitualmente la T-Norma estndar del mnimo.

Finalmente el resultado de la evaluacin del antecedente se alpicaal consecuente, aplicando un recorte o escalado segn el valorde verdad del antecedente. El mtodo ms comunmente utilizadoes el recorte (clipping) que corta el consecuente con el valor deverdad del antecedente. El escalado proporciona un valor mspreciso, preservando la forma original del conjunto difuso. Se ob-tiene multiplicando todos los valores por el valor de verdad delantecedente (ver figura 3.2).

A

z0.0

1.0

0.2

a)

A

z0.0

1.0

0.2

b)

Figura 3.2: Conjuntorecortado (a) y escalado(b).3. Agregacin de las salidas La agregacin es el proceso de unifica-

cin de las salidas de todas las reglas; es decir, se combinan lasfunciones de pertenencia de todos los consecuentes previamenterecortados o escalados, combinando para obtener un nico con-junto difuso por cada variable de salida.

4. Defuzificacin El resultado final habitualmente es necesario ex-presarlo mediante un valor crisp. En esta etapa se toma comoentrada el conjunto difuso anteriormente obtenido para dar unvalor de salida. Existen varios mtodos de defuzificacin, peroprobablemente el ms ampliamente usado es el centroide; quecalcula el punto donde una lnea vertical divide el conjunto endos areas con igual masa.

Centroide =bx=a A(x)xbx=a A(x)

3.2.2. Inferencia TSK

Como hemos visto, el modelo de inferencia de Mamdani require al-gn tipo de mtodo para la defuzzificacin. En general, este mtodo noes muy eficiente desde el punto de vista computacional. Podemos dis-minuir el tiempo de inferencia empleando una funcin matemtica enel consecuente, de forma que el formato general de regla en inferenciaTSK es:

p: IF x es A AND y es B THEN z es f(x, y)

Este tipo de mtodo proporciona mayor eficiencia, pero no presen-tan un marco tan natural para la representacin del conocimientohumano. Un tipo habitual de representacin del consecuente es unsingleton (punta discreta), que toma valor uno en un valor puntual deluniverso del discurso y cero en cualquier otro punto.

Empleando este tipo de aproximacin (ampliamente utilizada), lainferencia TSK y de Mamdani son muy parecidas (ver Figura 3.4), to-mando las reglas el siguiente formato:

p: IF x es A AND y es B THEN z es k

Siendo k un valor constante para el singleton. La salida crisp eneste caso se obtiene mediante una sencilla agregacin (media de pesosWA) de estos singletones.

3.2. Inferencia Difusa [25]

Figure 4.10 The basic structure of Mamdani-style fuzzy inference

FUZZY EXPERT SYSTEMS108

Entrada Entrada

Borrosificacin

Evaluacin de las Reglas

Agregacin de los consecuentes

Deborrosificacin

Salida

Figura 3.3: Estructura bsica de inferencia de Mamdani.


Figura 3.4: Estructura bsica de inferencia de Takagi, Sugeno y Kang.

3.3. Ejercicios [27]

WA =

((ki) ki)

(ki)

En general el mtodo de Mamdani se utiliza ms ampliamente por-que apareci antes, y porque se presta ms a la representacin deconocimiento experto. Nos permite describir el conocimiento exper-to de una forma intuitiva. El principal inconveniente es su alto costecomputacional, por lo que para aplicaciones de control y problemasde optimizacin se emplea ms frecuentemente el mtodo de inferen-cia TSK.

3.3. Ejercicios

3.3.1. Control del Pndulo InvertidoEl problema es mantener equilibrada una barra rgida sobre una

plataforma mvil que puede desplazarse en dos direcciones; izquierday derecha. Queremos disear un controlador difuso que tomar co-mo entradas el ngulo y la velocidad angular y dar como salida lavelocidad de la plataforma.

Figura 3.5: Esquemailustrativo del pnduloinvertido.

El primer paso es definir las etiquetas de la variable lingstica ve-locidad de la plataforma. En este caso definiremos 5 etiquetas asocia-das a sus respectivos conjuntos difusos como NG (Negativa Grande)NP (Nevativa Pequea) Z (Cero) PP (Positiva Pequeo) y PG (PositivaGrande). La Velocidad de la plataforma se define con el siguiente vec-tor de ajuste:

Velocidad NG = (1/ 3, 1/ 2, 0/ 1)Velocidad NP = (0/ 2, 1/ 1, 0/0)

Velocidad Z = (0/ 1, 1/0, 0/1)Velocidad PP = (0/0, 1/1, 0/2)Velocidad PG = (0/1, 1/2, 1/3)

Empleando la misma notacin se definen las funciones de perte-nencia para el ngulo y la velocidad angular, que tienen asociadoslos siguientes vectores de ajuste:

ngulo NG = (1/ 45, 1/ 30, 0/ 15)ngulo NP = (0/ 30, 1/ 15, 0/0)

ngulo Z = (0/ 15, 1/0, 0/15)ngulo PP = (0/0, 1/15, 0/30)

ngulo PG = (0/15, 1/30, 1/45)

Velocidad Angular NG = (1/ 1,5, 1/ 1, 0/ 0,5)Velocidad Angular NP = (0/ 1, 1/ 0,5, 0/0)Velocidad Angular Z = (0/ 0,5, 1/0, 0/0,5)

Velocidad Angular PP = (0/0, 1/0,5, 0/1)Velocidad Angular PG = (0/0,5, 1/1, 1/1,5)

La base de reglas del controlador se puede representar en una tablallamada Fyzzy Associative Memory (FAM) como:

VelAng/Ang NG NP Z PP PGNG NGNP NP ZZ NG NP Z PP PGPP Z PP2

PG PG


Por ejemplo, la regla 2 anterior se interpretara como:Si (ngulo es Zero) y (Velocidad Angular es Positiva Pequea) En-

tonces (Velocidad de Plataforma ser Positiva Pequea).Es decir, aunque el pndulo est en la posicin correcta, se est

moviendo lentamente en sentido positivo, por lo que se hace necesariomover la plataforma lentamente en la misma direccin para compen-sar este movimiento.

Suponiendo que tenemos los siguientes valores de entrada ngu-lo=3.75, Velocidad Angular=-0.3. Qu velocidad se el aplicara a laplataforma empleando inferencia de Mamdani y el centroide como m-todo de defuzzificacin?

3.3.2. Propina al mesoneroEl conocimiento experto de un comensal de un restaurante se mo-

dela mediante un sistema de reglas difusos. El sistema cuenta con dosvariables de entrada Servicio (Calidad del Servicio, que se evala de0 a 10), y Comida (Calidad de la Comida, que se evala igualmente de0 a 10). El porcentaje de propina se modela con la variable Propina(definida entre 5 % y 25 % del precio total).

A la variable de entrada Servicio le asociaremos tres conjuntos di-fusos asociados a las etiquetas lingsticas Pobre, Bueno y Excelente.Estos conjuntos se definirn empleando una funcin Gausiana Sim-ple1, con la siguiente especificacin:

Pobre = m = 0, = 1,5Bueno = m = 5, = 1,5

Excelente = m = 10, = 1,5

La calidad de la comida Comida tendr asociada dos conjuntos di-fusos, con las etiquetas Rancia y Deliciosa. Estos conjuntos se defini-rn mediante funciones trapezoidales, con la siguiente especificacinsegn sus vectores de ajuste:

Rancia = (1/0, 1/1, 0/3)Deliciosa = (0/7, 1/9, 1/10)

De forma anloga, la Propina estar definida sobre tres conjuntosdifusos con las etiquetas Tacaa, Promedio y Generosa. Estos con-juntos se definirn mediante funciones triangulares, con la siguienteespecificacin segn sus vectores de ajuste:

Tacaa = (0/0, 1/5, 0/10)Promedio = (0/5, 1/15, 0/25)

Generosa = (0/20, 1/25, 0/30)

El sistema de reglas que modela el conocimiento experto del co-mensal est basado en tres reglas, con la siguiente especificacin:

R1 : Si servicio es pobre comida es rancia propina es tacaaR2 : Si servicio es bueno propina es promedio

R3 : Si serv. es excel. comida es deliciosa propina es generosaDada una calificacin de Servicio=3 y Comida=8, calcule la propina

para el camarero empleando:

a) Un modelo de Inferencia de Mamdani, empleando el centroidecomo mecanismo de deborrosificacin.

b) Un modelo de Inferencia TSK, empleando singletones definidosen el valor mximo de cada conjunto de salida y la media de lospesos como mecanismo de agregacin de los consecuentes.

1Recordemos que la distribucin gausiana simple se calcula como e(xm)2

22 , siendom la media y la varianza.

Bibliografa

[1] J.P. Aurrand-Lions, L. Fournier, P. Jarri, et al. Application of fuzzycontrol for ISIS vehicule braking. In Proceedings of Fuzzy and Neu-ronal Systems, and Vehicule applications91, 1991.

[2] L.A. Zadeh. Fuzzy set. Information and Control, 8:338353, 1965.

[3] L.A. Zadeh. Outline of a new approach to the analysis of complexsystem. IEEE Transaction on System Man and Cybernetics, 1:2844, 1973.

[4] L.A. Zadeh. The concept of a linguistic variable and its applica-tions to approximate reasoning. part i, ii, iii. Information Science,8-9:199249, 301357, 4380, 1975.

29

Logica Difusa

Documents

Transcript of Logica Difusa