Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”

Profesorado de Informática

Lógica Informática B

1

APUNTE SOBRE CONJUNTOS DIFUSOS __________________________________________________________________________

La lógica difusa surgió a mediados del siglo XX pretendiendo introducir el concepto de vaguedad en

el estudio del razonamiento humano. El razonamiento y pensamiento humano frecuentemente utiliza

información de este tipo, probablemente originada de la inexactitud inherente de ciertos conceptos

no exactos. Fueron diseñados para representar matemáticamente incertidumbre y vaguedad y

proporcionar herramientas formalizadas para trabajar con la imprecisión intrínseca en muchos

problemas.

Se deben estas ideas a Lofti Zadeh, quien en 1965 realizó sus primeros trabajos sobre los conjuntos

difusos.

La función característica o de pertenencia

En los conjuntos que conocemos, también llamados conjuntos nítidos, se puede definir un conjunto

estableciendo su función de pertenencia (también llamada función característica), que responde 1 o

0 (V o F) según un elemento pertenezca o no al conjunto dado.

La función asume la siguiente forma para conjuntos clásicos:

Sea el conjunto A, la función de pertenencia, μA(x) será:

1, si x A

μA(x) = 0, a x A.

Por ejemplo:

U={letras}

A= {a, e, i, o, u}

a A

e A

b A

z A

Sin embargo, la mayoría de los fenómenos que utilizamos cada día son imprecisos, es decir, tienen

implícito un cierto grado de difusidad en la descripción de su naturaleza. Esta imprecisión puede

estar asociada con su forma, posición, momento, color, textura, o incluso en la manera en la que se

describe lo que son. En muchos casos el mismo concepto puede tener diferentes grados de

imprecisión en diferentes contextos o tiempo. Un día cálido en invierno no es exactamente lo mismo

que un día cálido en primavera. La definición exacta de cuando la temperatura va de templada a

caliente es imprecisa -no podemos identificar un punto simple de templado, así que emigramos a un

simple grado, la temperatura es ahora considerada caliente. Este tipo de imprecisión o difusidad

asociado continuamente a los fenómenos es común en todos los campos de estudio: sociología,

física, biología, finanzas, ingeniería, oceanografía, psicología, etc.

Por ejemplo, decimos:

La temperatura es caliente

La inflación actual aumenta rápidamente

Los grandes proyectos generalmente tardan mucho

Nuestros precios están por abajo de los precios de la competencia

Alejandro es alto pero Ana no es bajita

Por ello, cuando hablamos de días cálidos, personas altas, personas bajas, proyectos lentos, precios

altos, etc., es difícil decir si un elemento pertenece o no a un conjunto. Existen grados de

pertenencia, que se encuentran en el intervalo [0, 1].

μA(x) toma valore de ese intervalo. Vale 1 si pertenece realmente, 0 si no, y toma valores

intermedios en el resto de los casos (Ej. 0, 0.1, 0.2, …,0.9, 1.0, etc.)

Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”

Profesorado de Informática

Lógica Informática B

2

La idea de Zadeh es hacer que el rango de valores de pertenencia de un elemento a un conjunto

pueda variar en el intervalo [0,1] en lugar de limitarse a uno de los valores del par {0,1} (o lo que es

lo mismo Falso, Verdadero).

Un ejemplo de un conjunto difuso es el siguiente: sea U el conjunto de todos los valores de edad

humana posibles (por ejemplo entre 0 y 120 años), y A el conjunto de los que llamamos años de la

“juventud”, como un concepto intermedio entre los conceptos de “infancia” y “adultez joven”. Así

podríamos afirmar que la edad de 21 años representa a los años de la “juventud”, 13 años es más

cercano al concepto de “infancia”, y 30 años es más bien “adultez joven”. Así, una posibilidad de

traducir y representar el conjunto A se muestra en la Figura; su función de membresía toma valores

entre 0 y 1 de acuerdo al elemento de A que se evalúe.

Como para cada elemento (edad en este caso), se asigna un grado de pertenencia, podríamos pensar

un conjunto difuso de la siguiente manera:

El conjunto difuso es el conjunto de pares ordenados:

A = {(x, μA(x)) | x U}

En un ejemplo discreto, podemos escribir un conjunto A y un conjunto B como:

A = {0.1/0, 0.5/1, 1/2, 0.1/3, 0.8/4}

B = {0.1/0, 0.5/1, 1/2, 0.1/3, 0.8/4}

(se escribe tras cada elemento separado por una barra, el grado de pertenencia de ese elemento

respecto del conjunto correspondiente)

Algunas definiciones básicas

Sea X un conjunto no vacío de objetos que consideraremos como Referencial o Universo de

discurso.

Definiciones:

Un conjunto difuso A sobre X es un conjunto de pares de valores

A={(x,r), xX, r[0,1]}

Lo escribiremos:

A = {(x, μA(x)) | x U}

Cada elemento xX con su grado de pertenencia a A.

Altura de un Conjunto Difuso: El mayor valor de su función de pertenencia: sup{A(x) xX}.

Conjunto Difuso Normalizado o normal: Aquel para el que existe un elemento que pertenece

al conjunto difuso totalmente, es decir, con grado 1. Dicho de otro modo existe x tal que μA(x)=1

Soporte de un Conjunto Difuso: Elementos de X que pertenecen a A con grado mayor a 0:

Soporte(A) = {xX | μA (x) > 0}.

α-Corte o α-nivel: Valores de X con grado de pertenencia minimo igual a α: A α = {xX | α <

μA (x) }.

Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”

Profesorado de Informática

Lógica Informática B

3

Operaciones entre conjuntos

Con conjuntos las tres operaciones básicas son complemento, intersección, y unión que se definen

de la siguiente manera:

Algunas de las propiedades de los conjuntos nítidos son

La mayoría de las nociones básicas de la teoría clásica de conjuntos, como los conceptos de igualdad

o inclusión, se pueden extender a los conjuntos difusos. Asimismo, la elección de los operadores

“min” y “max” para representar la unión e intersección de conjuntos difusos está de acuerdo con la

idea intuitiva de dichas operaciones. De esta forma, dados dos conjuntos difusos A y B definidos

sobre el mismo universo de discurso U, las operaciones de unión, intersección y complemento

pueden definirse, a partir de sus funciones de pertenencia, como:

Unión:

La unión entre los conjuntos difusos A y B es un conjunto difuso cuya función de pertenencia para

un elemento concreto del universo de discurso es el mayor valor de los que asignan las dos

funciones de pertenencia a ese elemento a los conjuntos Ay B.

Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”

Profesorado de Informática

Lógica Informática B

4

Intersección

La intersección entre A y B es un conjunto difuso cuya función de pertenencia para un elemento

concreto del universo de discurso es el menor valor de los que asignan las dos funciones de

pertenencia a ese elemento a los conjuntos Ay B.

Complemento

El complemento de un conjunto difuso A es otro conjunto difuso cuya función de pertenencia viene

dada por:

Ejemplo:

Sean los siguientes conjuntos difusos definidos en X={1,2,3,4,5,6,7,8]

A={0.1/1, 0.2/2, 0.5/3, 1/4, 0.4/5, 0.2/6}

B={0.1/3, 0.2/4, 0.5/5, 1/6, 0.4/7, 0.2,8}

Calculemos:

AUB={0.1/1, 0.2/2, 0.5/3, 1/4, 0.5/5, 1/6, 0.4/7, 0.2,8}

AB={1.1/3, 0.2/4, 0.4/5, 0.2/6}

A ={0.9/1, 0.8/2, 0.5/3, 0.5/5, 0.6/7, 0.8/8, 1/9}

Las etiquetas lingüísticas y operadores

El centro de las técnicas de modelado difuso es la idea de variable lingüística. Desde su raíz, una

variable lingüística es el nombre de un conjunto difuso. Si en referencia de un proyecto, tenemos un

conjunto difuso llamado ''largo'' éste es una simple variable lingüística y puede ser empleada como

una regla-base en un sistema basado en la longitud de un proyecto en particular. Una variable

lingüística siempre representa un espacio difuso.

Algo similar ocurra en relación a ”alto” cuando nos referimos a una persona.

La idea básica sugerida por Zadeh es que una etiqueta lingüística tal como ''muy'', ''más o menos'',

''bastante'', etc. puede considerarse como un operador que actúa sobre un conjunto difuso asociado al

significado de su operando. Por ejemplo en el caso de un término compuesto ''muy alto'', el operador

''muy'' actúa en el conjunto difuso asociado al significado del operando ''alto''. Una representación

aproximada para una etiqueta lingüística se puede lograr elevando al cuadrado los grados de

pertenencia de cada uno de los elementos del conjunto.

En el caso de la etiqueta “bastante”, deben obtenerse los grados de pertenencia de cada elemento a

través de la extracción de la raiz cuadrada de los grados de pertenencia de cada uno de los elementos

del conjunto.

En un ejemplo concreto:

A={0.1/1, 0.2/2, 0.5/3, 1/4, 0.4/5, 0.2/6}

Aplicar la etiqueta lingüistica “muy “ a este conjunto sería:

A2={0.01/1, 0.04/2, 0.25/3, 1/4, 0.16/5, 0.04/6}

Aplicar la etiqueta lingüistica “muy “ a este conjunto sería:

A ={0.31/1, 0.45/2, 0.71/3, 1/4, 0.63/5, 0.45/6}