Lógica Formal Roberto Moriyón. Introducción El objetivo de la Lógica Formal o Lógica...

Lógica Formal

Roberto Moriyón

Introducción

• El objetivo de la Lógica Formal o Lógica Matemática es proporcionar un sistema formal único en el que la producción de palabras a partir de axiomas dé lugar a deducciones válidas en contextos arbitrarios.

• Hay varios sistemas lógicos formales que son capaces de formalizar cualquier razonamiento válido.

• Un sistema lógico formal se puede ver como un sistema formal deductivo universal, en el mismo sentido que las máquinas de Turing universales.

Esbozo histórico

• En el siglo IV aC, Aristóteles clasificó los distintos tipos de razonamiento.

• En el siglo XVII, Arnold y Locke destacaron la importancia de estudiar las ideas asociadas a cada afirmación lógica (su interpretación).

• También en el siglo XVII, Descartes y Leibnitz destacaron los aspectos algebraicos de la manipulación formal de las fórmulas lógicas.

Esbozo histórico, II

• En el siglo XIX, Frege introdujo la utilización de variables y cuantificadores para representar fórmulas lógicas; Peano dio la primera axiomatización de la aritmética, y Peirce introdujo la lógica de segundo orden.

• A comienzos del siglo XX, Hilbert propuso un programa para demostrar la consistencia de las Matemáticas en base a una axiomatización de ellas. Posteriormente, Gödel demostró que esto era imposible.

Esbozo histórico, III

• A lo largo del siglo XX se han desarrollado particularmente lógicas especiales (modal, temporal, etc) y lógicas relacionadas con la teoría de la computación (Cálculo con tipos, lenguajes de programación lógicos, etc)

Lógica proposicional

• Sistema formal deductivo que genera fórmulas proposicionales basadas en afirmaciones atómicas que pueden ser verdaderas o falsas.

• Alfabeto:– Atomos: P, Q, R, P’, Q’, R’, P’’, …– Operaciones lógicas: ^, v, , ~– Separadores: (, ) [A veces es útil utilizar separadores

especiales y obligatorios, < y >, para desambiguar la gramática]

• Ejemplos de fórmulas proposicionales: P v ~P,~Q (Q P)

Operadores lógicos

X Y X^Y XvY XY

T T T T T

T F F T F

F T F T T

F F F F T

Operadores lógicos:Significado de XY

• En principio, el significado de XY es “si X es cierto, entonces Y también es cierto”.

• Por lo tanto su tabla de verdad será como sigue:

X Y XY

T T T

T F T

F T ?

F F ?

Operadores lógicos:Significado de XY, II

• Ejemplos con cuantificador universal:– Para todos los números x, si x es impar, entonces

x+1 es par

x,(impar(x) par(x+1))– Para todos los números x, si x es impar, entonces

x+x es par

x,(impar(x) par(x+x))– Para todos los números x, si x es impar, entonces

x+1 es impar

x,(impar(x) impar(x+x))

Operadores lógicos:Significado de XY, III

X i(x) p(x+1) p(x+x) i(x+x) i(x)p(x+1) i(x)p(x+x) i(x)i(x+x)

0 F F T F ? ? ?

1 T T T F T T F

2 F F T F ? ? ?

3 T T T F T T F

4 F F T F ? ? ?

5 T T T F T T F

Operadores lógicos:Significado de XY, IV

• Para que los ejemplos anteriores tengan contestaciones razonables hay que interpretar que la implicación XY es cierta si “Si X es cierto, entonces Y también. Si X no es cierto, da lo mismo que se verifique Y o no”.

• (X ^ Y) v ~X• Esta definición es consistente en general

con la definición de implicaciones en la Lógica de Predicados.

Lógica proposicional: Interpretaciones

• Una interpretación I de una fórmula F es una asignación de un valor lógico PI (True o False) a cada átomo P de F. La interpretación asigna un valor lógico a la fórmula utilizando las tablas de los distintos operadores.

• Una fórmula es cierta en una interpretación si le corresponde el valor True mediante ella.

• La tabla asociada a una fórmula tiene una interpretación en cada fila.

Interpretacionesen el mundo real

• Normalmente las fórmulas lógicas se interpretan a un primer nivel haciendo corresponder a cada símbolo proposicio-nal una afirmación (por ejemplo, llueve o los eliomartos rusitan). La interpretación se completa mediante una imagen del universo en la que cada una de las afirmaciones asociadas a los símbolos proposicionales es cierta o falsa.

Lógica proposicional:Interpretaciones, II

P Q ~Q QP ~Q(QP)

T T F T T

T F T T T

F T F F T

F F T T T

~Q(QP)

Lógica proposicional:Interpretaciones, III

• Dada una asignación de valores booleanos a átomos, la función que a cada fórmula le hace corresponder su interpretación se puede definir de forma recursiva utilizando las reglas– IntI[F^G] IntI[F]^IntI[G]

– IntI[FvG] IntI[F]vIntI[G]

– IntI[FG] IntI[F]IntI[G]

– IntI[~F] ~IntI[F](morfismo entre fórmulas y valores booleanos)

Lógica proposicional:Interpretaciones, IV

• Ejemplo:

Si PI True y QIFalse,

IntI[P^~QQ] IntI[P^~Q]QI

(PI^~QI)QI True

Fórmulas satisfactibles y tautologías

• Una fórmula es satisfactible si es cierta en alguna interpretación.– Ejemplos: QP, Q (Q P)

• Una fórmula es una tautología si es cierta en todas las interpretaciones.– Ejemplos: Qv~Q, ~Q (Q P)

• Nota: En lo sucesivo, al igual que se suele hacer con las expresiones aritméticas, pondremos paréntesis cuando ello aclare o desambigüe la lectura de las fórmulas.

Fórmulas satisfactibles y tautologías en el mundo real

• Cualquier fórmula lógica satisfactible, en cualquier universo de interpretación asociado, tiene una interpretación en la que es cierta. Pero puede que no sea la interpretación natural en ese universo.

• Cualquier tautología lógica, en cualquier universo de interpretación asociado, es cierta en todas sus interpretaciones.

Interpretaciones:Representación intuitiva

• Es la función característica de un semianillo que contiene a todas las tautologías y contiene uno de los radios que lo limitan.

• No contiene a ninguna fórmula insatisfactible.

M

Tautologías e insatisfactibilidad• Una fórmula es insatisfactible si no es satisfac-

tible, es decir si no es cierta en ninguna interpre-tación.– Ejemplos: Q^~Q (contradicción), ~(~Q (Q P))

• En general, la negación de una tautología es una fórmula insatisfactible y viceversa.

Tau

tolo

gías

Insatisfactibes

Satisfactibles

Consecuencias defamilias de fórmulas

• Diremos que una fórmula F es consecuencia de un conjunto de fórmulas A (axiomas), y lo escribiremos AF, si toda interpretación que hace ciertas todas las fórmulas de A también hace cierta F.

• Ejemplo 1: si F es una tautología, entonces es consecuencia de cualquier conjunto de axiomas

• Ejemplo 2: La proposición ~FG es consecuencia del axioma F.

Consecuencias de familias de fórmulas, II

• Los problemas típicos de razonamiento consisten en hallar las consecuencias de unos axiomas dados, o en demostrar que una fórmula concreta lo es.

Consecuencias:Representación intuitiva

• Es la intersección de todos los semianillos que contienen a A asociados a interpretaciones.

A

Consecuencias:Representación intuitiva, II

• Otro ejemplo:

Consecuencias:Representación intuitiva, III

• Un ejemplo más: Las consecuencias incluyen alguna fórmula insatisfactible

Consecuencias:Representación intuitiva, IV

• Si hay alguna fórmula insatisfactible entre las consecuencias de un conjunto de axiomas, entonces todas las fórmulas son consecuencia de ellos.

• Demostración: Todas las fórmulas son consecuencia de cualquier fórmula insatisfactible, pues no hay ninguna interpretación en la cual ésta sea cierta.

Consecuencias: Caso particular

• Las fórmulas que son ciertas en una interpretación concreta forman un conjunto de axiomas cuyas consecuencias son ellas mismas.

• Estos conjuntos de fórmulas son conjuntos satisfactibles maximales.

Criterio para reconocer consecuencias

• Para ver si una fórmula F es consecuencia de un conjunto finito A de axiomas se pueden emplear tres procedimientos:– Formar una tabla con los valores lógicos de los

axiomas y de F y examinar sus filas.

– Demostrar que A1^A2^…^ANF es una tautología.

– Demostrar que toda interpretación que hace ciertos los axiomas también hace cierta F.

Los emplearemos para ver que ((~PvQ)R) es consecuencia de {P, QR}.

P Q R QR (~PVQ)R

T T T T T

T T F F F

T F T T T

T F F T T

F T T T T

F T F F F

F F T T T

F F F T F

Consecuencias defamilias de fórmulas, III

Consecuencias defamilias de fórmulas, IV

• {F1, F2} F (F1 ^ F2) F tautología

(P ^ (QR)) ((~PvQ)R) ~P v (Q^~R) v ((P ^ ~Q) v R) ~P v (Q^~R) v ((P v R) ^ (~Q v R)) (~P v (Q^~R) v P v R) ^

(~P v (Q^~R) v (~Q v R)) es tautología,

luego {P, QR} ((~PvQ)R)

Consecuencias defamilias de fórmulas, V

• Suponemos que en la interpretación I, PI y QIRI son ciertas

• Es cierto que entonces (~PIvQI)RI?

– Primer caso: PI=True, QI=False. Entonces,

((~PIvQI)RI)=True, pues ~PIvQI=False.

– Segundo caso: PI=True, QI=True, RI=True. Entonces, ((~PIvQI)RI)=True, ya que RI=True.

Consecuencias defamilias de fórmulas, VI

El conjunto de axiomas aceptados puede ser infinito. Entonces los dos primeros procedimien-tos no sirven.

Ejemplos:• A=(P)*Q es un conjunto infinito recursivo de

fórmulas. AQ^(PQ).• El patrón PP define otro conjunto infinito

recursivo A’ de fórmulas. Todas ellas son tautologías. A’F si F es cualquier tautología.

Consecuencias defamilias de fórmulas, VII

• Una fórmula F es una tautología si y sólo si F.

• Una fórmula F es insatisfactible si y sólo si ~F.

Consecuencias de familias de fórmulas: Ejercicio obligatorio

[CONSPROC] Demostrar por cada uno de los procedimientos dados lo siguiente:

• F (Yv~X) Y es consecuencia de A={~Y, X}

• G (~Y^X) Y no es consecuencia de A={~Y, X}

Ejercicios opcionales

• [PROGVER] Escribir un programa que comprueba la veracidad de fórmulas con respecto a una interpretación.

• [PROGSAT] Escribir un programa que determina si una fórmula es satisfactible y si es una tautología.

• [PROGCONS] Escribir un programa que determina si una fórmula proposicional es consecuencia de otras.

Ejercicio obligatorio

• [CAJ] Entre tres cajas numeradas del 1 al 3 dos están vacías y la otra no. Además, una de las afirmaciones “La primera caja está vacía”, “La segunda caja está vacía” y “La segunda caja está llena” es cierta y las otras dos no. Demostrar cuál de las tres cajas está llena y demostrar que las otras dos cajas no lo están.


• [AB] Demostrar que no se pueden colorear tres objetos A, B y C en blanco y negro de manera que A y B no tengan el mismo color, B y C tampoco y A y C tampoco

• [TT] Demostrar que el siguiente razonamien-to es correcto: Si la temperatura y la presión no cambian, no llueve. La temperatura no cambia. Como consecuencia de lo anterior, si llueve entonces la presión cambia.

Ejercicio opcional

• [FOTO] Deducir que la foto es de Juan como consecuencia de los siguientes axiomas:– La foto es redonda o cuadrada– La foto es en color o en blanco y negro– Si la foto es cuadrada, entonces es en blanco y negro– Si la foto es redonda, entonces es digital y en color– Si la foto es digital o en blanco y negro, entonces es

un retrato– Si la foto es un retrato entonces es de Juan


• [UNIC] Suponemos los siguientes axiomas acerca del unicornio :– Si es mítico, entonces es inmortal– Si no es mítico, es un mamífero mortal– Si es inmortal o mamífero, entonces tiene

cuernos– Si tiene cuernos es mágico

• Como consecuencia de todo ellos es mítico? Es mágico? Tiene cuernos?


• [GR1] Decir quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que:– Alceo dice “los únicos que decimos la verdad

aquí somos Cátulo y yo”– Safo dice “Cátulo miente”– Cátulo dice “Safo dice la verdad, o Alceo

miente”


• [GR2] Decir quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que:– Anaximandro dice “Heráclito miente”– Parménides dice “Anaximandro y Heráclito no

mienten”– Heráclito dice “Parménides no miente”

Razonamiento

• El razonamiento se utiliza para obtener nuevos hechos ciertos a partir de otros que lo son o al menos se supone que lo son. Por lo tanto razonar consiste en encontrar las consecuencias de un conjunto de fórmulas.

Razonamiento, II

• Se puede razonar considerando todas las fórmulas y todas las interpretaciones y calculando los valores booleanos corres-pondientes para ver qué fórmulas son consecuencia de los axiomas, pero este algoritmo es inadecuado, especialmente si se incrementa la capacidad expresiva del lenguaje lógico y se permiten razonamientos sobre objetos (Lógica de Predicados) o si se utiliza un conjunto infinito de axiomas.

Razonamiento, III

• Es preferible dar un algoritmo que propor-cione directamente las fórmulas que son consecuencia de unos axiomas dados.

• Se hará mediante un sistema formal (un cálculo lógico) formado por reglas de inferencia o de deducción.

• En este sistema, una fórmula P se deduce de un conjunto A de axiomas si y sólo si es consecuencia de ellos (es decir, AP sii AP).

Deducción

• Una deducción es una sucesión de fórmulas, cada una de las cuales se obtiene a partir de las anteriores mediante una regla formal de deducción.

• En una regla de deducción XY, X e Y son fórmulas lógicas que verifican que X Y. Eso hace que al generar cualquier fórmula

X1X2…XN

automáticamente se tenga que X1 XN.

Deducción, II

• Si las fórmulas iniciales (hipótesis o axiomas) de una deducción son ciertas en una interpretación I, entonces también lo son todas las fórmulas deducidas (consecuencias).

• El sistema formal de deducción que utilizaremos será completo en el sentido de que producirá todas las fórmulas que son consecuencia de un conjunto dado de axiomas.

Ejemplo de deducción

• Axiomas:

- Si llueve está nublado.

- Si está nublado hace frío.

- Llueve.

• Demostrar que hace frío.

Ejemplo de deducción, II

• Los axiomas anteriores se pueden representar mediante fórmulas como sigue:– L representa “llueve”– N representa “está nublado”– F representa “hace frío”– Axiomas: A = { LN, NF, L }

Ejemplo de deducción, III

• Deducción:– De L y LN se deduce N– De N y NF se deduce F

• Observaciones:– La deducción anterior aplica una única regla

formal (modus ponens):

, .– La deducción anterior es correcta indepen-

dientemente de la interpretación de L, N y F.

Ejemplo de deducción, IV

• Observaciones:– El modus ponens, , permite que

las implicaciones se utilicen como reglas que se pueden aprender al razonar.

– Las variables con letras griegas son fórmulas

Agrupamiento de fórmulas deducidas

• Agrupamiento conjuntivo:, ^

• Disociación conjuntiva: ^ ^

• Conmutatividad conjuntiva: ^ ^ (se podría haber evitado dejando las anteriores)

Ejemplo de deducción, V

• Axiomas:

- Si llueve está nublado.


• Demostrar que si llueve hace frío.

Ejemplo de deducción, VI• Deducción:

– Suponemos por un momento que L es cierto.• Entonces, según hemos visto, se deduce F.

– De lo anterior y de los axiomas se deduce que LF.

• La deducción anterior aplica una regla formal nueva (deducción de implicación):

, ()• Esta regla permite construir reglas nuevas,

de modo análogo a lo ya visto al estudiar los sistemas formales en general.

Ejemplo de deducción, VII

• Axiomas:

- Si llueve está nublado o hay arco iris.


- Si hay arco iris está bonito.

• Demostrar que si llueve, o bien hace frío o está bonito.

• Símbolos nuevos de predicado: A (hay arco iris), B (está bonito).

Ejemplo de deducción, VIII

• Deducción:– Suponemos por un momento que L es cierto.

• Como L(N v A), por Modus Ponens se deduce NvA.• Suponemos por un momento que ~F^~B es cierto.

– Entonces ~F y ~B son ciertos.– Además, como NF, ~F~N. Análogamente, ~B~A.– De ~F y ~F~N se deduce ~N. De ~B y ~B~A, resulta ~A.– De lo anterior se deduce que ~N^~A es cierto.

Ejemplo de deducción, IX

• Por la regla de deducción de implicación, ~F^~B~N^~A

• De lo anterior se deduce que NvAFvB.• Por el Modus Ponens, FvB es cierto.

– Por la regla de deducción de implicación, LFvB.

Ejemplo de deducción, X

• Se han utilizado cinco reglas nuevas: ~~– A~^~B A~(v)B [A, B

cualesquiera]– A~~B AB

Equivalencia

• Las implicaciones son reglas que se aplican a fórmulas completas, pero no a partes de ellas: XAY, AB XBY no es una regla.Por ejemplo, de ~(A^C) y AB no se deduce ~(B^C), aunque de A y AB se deduce B.Caso particular: Aes de día, Ces de noche, Bse trabaja.

• Sin embargo, si P y Q son equivalentes, se pueden intercambiar dentro de cualquier fórmula.

• Ejemplo: No solamente ~~A A, sino que X~~AY XAY.

• Caso particular: el de antes, con Bhay luz.

Lógica proposicional:Reglas de inferencia

• Agrupamiento conjuntivo:, ^

• Disociación conjuntiva: ^ ^

• Conmutatividad disyuntiva (equivalencia):AvB AvB

• Doble negación (equivalencia):A~~B AB AB A~~B [si bien form]

• Modus ponens (emulación universal):,

Lógica proposicional:Reglas de inferencia, II

• Equivalencias de De Morgan:A~^~B A~(v)BA~(v)B A~^~B

• Equivalencia de implicaciones a disyunciones:A~vB ABAB A~vB

• Deducción de implicaciones a partir de inferencias:A, A(recuérdese que en todo sistema formal se pueden incorporar reglas para la relación ).Esta regla permite la construcción dinámica de reglas de deducción. Ejemplo: Teoremas.

Lógica proposicional:Reglas de inferencia, III

• El sistema se puede completar con más reglas para hacer más simple la generación de deducciones

• Por ejemplo, v • Para ello hay que demostrar el patrón de

teorema v

Lógica proposicional:Reglas de inferencia, IV

• En general, si F y G son dos fórmulas y FG, entonces al añadir la regla FG a las reglas de nuestro sistema deductivo obtenemos otro sistema equivalente al inicial.

• En general, cada deducción de un patrón de teorema puede dar a una regla.

Lógica proposicional:Reglas de inferencia, V

• Otro ejemplo:

~~(se ha utilizado en los ejemplos previos de deducciones)

• Veremos más adelante que es consecuencia de las reglas anteriores

Axiomas

• El sistema formal anterior no tiene axiomas

• La regla de deducción de implicación a partir de inferencia nos da tautologías que se pueden ver como axiomas universales: , ^ ^ , ^ ^ , ~v ~v()

• Se pueden construir a partir de deducciones cualesquiera

Ejemplos simples de deducción

• ~(P^Q) ~(~~P^Q) ~(~~P^~~Q) ~~(~Pv~Q) ~Pv~Q

• La forma habitual de escribirla es:~(P^Q)~(~~P^Q) [Doble negación 2]~(~~P^~~Q) [Doble negación 2]~~(~Pv~Q) [De Morgan 1]~Pv~Q [Doble negación 1]

Ejemplos simples de deducción, II

• Si ~(P^Q) es cierto, también lo es ~Pv~Q• Observación: P y Q se pueden sustituir

por fórmulas cualesquiera.• La regla ~(^) ~ v~ se puede incluir

como regla de deducción para completar el sistema utilizado.

Ejemplos simples de deducción, III~Pv~Q~~(~Pv~Q) [Doble negación 2]~(~~P^~~Q) [De Morgan 2]~(P^~~Q) [Doble negación 1]~(P^Q) [Doble negación 1]

• ~Pv~Q ~(P^Q)• ~Pv~Q~(P^Q) es una tautología• Observación: P y Q se pueden sustituir por

fórmulas cualesquiera.• La regla ~v~ ~(^) se puede incluir como

regla de deducción para completar el sistema utilizado.

Ejemplos simples de deducción, III

PQ

~PvQ [Equiv. Impl. Disy. 2]

Qv~P [Conmut. Disy.]

~~Qv~P [Doble negación 2]

~Q~P [Equiv. Impl. Disy. 1]

• P y Q se pueden sustituir por fórmulas cualesquiera.

Ejemplos simples de deducción, IV• P P v Q

P/***** Por reducción al absurdo: *****//***** ~(P v Q) ~P ^ ~Q ~P *****//***** Contradicción! *****/~(P v Q)~P [Deducc. Impl. Inferencia]PP v Q [Ejemplo anterior]P v Q [Modus ponens]

• En lugar de comentario se ponen corchetes• P y Q se pueden sustituir …• La regla v se puede incluir …

Deducción:Representación intuitiva, II

• Contiene a todas las tautologías

• Forman un conjunto radial (si contiene un punto, contienen todo su radio) y conexo (si contiene dos radios, contiene todos los intermedios)

• Si contiene dos radios opuestos, contiene todas las fórmulas (consecuencia de que F^~F G)

• Si contiene una fórmula insatisfactible, contiene todas las fórmulas (consecuencia de lo anterior)

Ejemplo de demostración

• (p(qr))((pq)(pr))• Estrategia: demostrar implicación

mediante deducción[ p(qr) p(qr)

[ pq qr[ p r]

pq pr]q (pq)(pr)]

(p(qr))((pq)(pr))

• P y Q se pueden sustituir …

Ejemplo de demostración, II

• (pq)((qr)(pr))• Demostrar implicación mediante deducción

[ pq q[ qr qr

pq r][ p pr]

pq (qr)(pr)] (pq)((qr)(pr))


Ejemplo de demostración, III

• (pq)v(rp)[ ~(pq)

~(~p v q)~~p ^ ~qp^~qp …pv~r …rp]

~(pq)(rp) (pq)v(rp)


Ejemplo de demostración, IV

• ((PQ)^(~PQ))Q

[ (PQ)^(~PQ) [ ~Q // red. abs.

PQ P // (sim)

~PQ Q] // (sim) !!!

~Q~P ~QQ

~QP Q] // Ver prox ej.

((PQ)^(~PQ))Q• P y Q se pueden sustituir …

Ejemplo de demostración, V

• P v P PP v P~~(P v P)~(~P ^~P)[ ~P // Reducción al absurdo

~P^~P] // Contradicción~P~P^~P~(~P^~P)~~P~~PP

• P se puede sustituir …• La regla v se puede incluir …

Ejemplo de demostración, VI

• P^~PQP^~PP~P[ ~Q // Reducción al absurdo

~P] // Contradicción~Q~PPQQ

• P y Q se pueden sustituir …• La regla ^~ se puede añadir …

EJERCICIOS OBLIGATORIOS1. [LL] Damos por válidos los siguientes hechos:

– Si hace calor y está húmedo, entonces está lloviendo– Si está húmedo, entonces hace calor– Está húmedo

Deducir a partir de lo anterior que está lloviendo2. Demostrar la validez de lo siguiente:• [PR1] P v (P ^ Q) P• [PR2] ~(PQ) (P^~Q)• [PR3]((X^Y)Z)(X(YZ))• [PR4]((PQ)^(QR))(PR)• [PR5] (P v Q) ^ (~Q v R) (P v R)

Ejercicios Opcionales

• [PROGD1] Escribir un programa que hace deducciones lógicas a partir de un conjunto de axiomas.

• [PROGD2] Escribir un programa que permite al usuario construir paso a paso deducciones lógicas a partir de un conjunto de axiomas.

Ejercicio obligatorio

• [OBJSD] Suponiendo que tres objetos A, B y C están coloreados en blanco y negro de manera que A y B no tengan el mismo color, B y C tampoco y A y C tampoco, deducir de ello una contradicción

Ejercicios obligatorios

• [TD] Demostrar mediante una deducción que

((P (Q v R)) ^ ~(Q v R)) ￢ P

es una tautología

• [CD] Deducir una contradicción a partir de

((P v Q) ~R) ^ (~R v (Q v P))

Ejercicio opcional

• [LLD] Deducir que si llueve entonces la presión cambia a partir de los axiomas siguientes:– Si la temperatura y la presión no cambian, no

llueve– La temperatura no cambia

Ejercicio opcional

• [FOTOD] Deducir que la foto es de Juan a partir de los siguientes axiomas:– La foto es redonda o cuadrada– La foto es en color o en blanco y negro– Si la foto es cuadrada, entonces es en blanco y negro– Si la foto es redonda, entonces es digital y en color– Si la foto es digital o en blanco y negro, entonces es

un retrato– Si la foto es un retrato entonces es de Juan

Ejercicio opcional

• [UNICD] Suponemos los siguientes axiomas acerca del unicornio :– Si es mítico, entonces es inmortal– Si no es mítico, es un mamífero mortal– Si es inmortal o mamífero, entonces tiene

cuernos– Si tiene cuernos es mágico

• Se deduce de todo ello que es mítico? Que es mágico? Que tiene cuernos?

Ejercicio opcional

• [GRD1] Demostrar mediante una deducción quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que:– Alceo dice “los únicos que decimos la verdad

aquí somos Cátulo y yo”– Safo dice “Cátulo miente”– Cátulo dice “Safo dice la verdad, o Alceo

miente”

Ejercicio opcional

• [GRD2] Demostrar mediante una deducción quiénes dicen la verdad y quiénes dicen la mentira sabiendo que:– Anaximandro dice “Heráclito miente”– Parménides dice “Anaximandro y Heráclito no

mienten”– Heráclito dice “Parménides no miente”

Observaciones, I

• En general, en la Lógica Proposicional, en toda tautología se puede sustituir cualquier variable proposicional por una fórmula arbitraria, siempre y cuando la sustitución se haga en todas partes, y el resultado de la sustitución es otra tautología.

Observaciones, II

• En lo que queda de curso, constantemente haremos razonamientos informales acerca de la forma en que se hacen deducciones formales. Parte de estos razonamientos informales se podrán formalizar mediante deducciones, pero siempre habrá dos niveles de deducción presentes, uno de los cuales se refiere al otro.

Teorema de coherencia de la lógica proposicional

• Teorema de coherencia: Si una fórmula F se deduce a partir de un conjunto A de axiomas, entonces es consecuencia de A.

• Demostración:

Es una consecuencia obvia del hecho de que todas las reglas, que tienen la forma AF, verifican que AF.

Recordatorio: Consecuencias:Representación intuitiva

Teorema de coherencia:Representación intuitiva

Teorema de completitud de la Lógica Proposicional

• Teorema de completitud: Si una fórmula F es consecuencia de un conjunto A de axiomas, entonces se deduce de A.

• La demostración se dará más adelante. Se demostrarán como pasos intermedios dos casos particulares.

Recordatorio: Consecuencias:Caso especial

• Las consecuencias incluyen fórmulas insatisfactibles

Calculo proposicional: Consistencia

• Definición: Un conjunto de proposiciones es consistente si de él no se deduce ninguna proposición contradictoria de la forma F^~F.

• Por ejemplo, {PQ, P^~Q} es inconsistente.• A es inconsistente si y sólo si todas las propo-

siciones lógicas se deducen a partir de A.Demostración: Suponemos A F^~F. Según el ejemplo VI de demostración que hemos visto, dada cualquier proposición G, F^~FG. Por lo tanto, AG.

Consistencia:Representación intuitiva

• Caso en que las formulas deducidas no incluyen contradicciones

Inconsistencia:Representación intuitiva

• Caso en que las formulas deducidas incluyen contradicciones

Caso particular obvio del Teorema de Completitud

• Si un conjunto de axiomas es inconsistente, entonces todas sus consecuencias se deducen de él

• Demostración:

Todas las fórmulas se deducen de él

Teorema De Completitud:Segundo caso a estudiar

• Si un conjunto de axiomas es consistente maximal, entonces todas sus consecuencias se deducen de él.

• Demostración (pendiente): Es un conjunto satisfactible maximal, por lo que todas sus consecuencias pertenecen a él.

Teorema De Completitud:Segundo caso a estudiar, II

• Todo conjunto de fórmulas consistente maximal es el conjunto de fórmulas ciertas en una interpretación

• Demostración: La interpretación tiene que ser I(F) FA

Tenemos que ver que– I(~F) ~I(F)– I(F^G) I(F)^I(G)

Teorema De Completitud:Segundo caso a estudiar, III

• I(~F)=~I(F) FA ~FA– Como A es consistente, FA ~FA

– FA A~F (si no, A no sería maximal) A{~F} consistente

~FA.• I(F^G)=I(F)^J(G) F^GA FA ^ GA

– F^GA FA

(si no, A no sería maximal, pues F^GF)– FA, GA F^GA

(si no, A no sería maximal, pues F, GF^G)

Teorema De Completitud:Caso general

• Si un conjunto de axiomas es consistente, entonces todas sus consecuencias se deducen de él.

• Demostración: Si F no se deduce de A, A{~F} es consistente (pendiente de ver), por lo que A{~F} está contenido en un conjunto consistente maximal (pendiente de ver) y entonces hay una interpretación en la que todas las fórmulas de A son ciertas y F es falsa

Teorema De Completitud:Final de la demostración, I

• Si la fórmula F no se deduce de un conjunto A de axiomas, entonces A{~F} es consistente

• Demostración: Si A{~F} fuera inconsistente, entonces

A{~F} Gv~G F

luego tendríamos que A ~FF F

Teorema De Completitud:Final de la demostración

• Si A es consistente, entonces está contenido en un conjunto satisfactible maximal de proposiciones.Demostración: Si {Fj | j0} es una numeración de todas las proposiciones, se van añadiendo a A consecutivamente Fj o ~Fj si con ello sigue siendo consistente (con uno de ellos lo es por la consistencia del conjunto previo y por la consideración anterior). El conjunto resultante es consistente maximal.

Consecuencia:Teorema de satisfactibilidad

• Teorema: Todo conjunto consistente de fórmulas A es satisfactible

• Demostración: Si A es un conjunto consistente maximal ya lo hemos demostrado. Si no lo es, está contenido en otro conjunto M que sí es consistente maximal. Entonces la interpretación que satisface M también satisface A.

Relación entre los Teoremas de completitud y satisfactibilidad

• Enunciados equivalentes del Teorema de satisfactibilidad:– Si A es insatisfactible, entonces es

inconsistente– Si A tiene como consecuencia alguna

contradicción, ésta se deduce a partir de A

Hipótesis necesarias en elteorema de Completitud

• Las propiedades del sistema formal de deducción utilizadas en la demostración del Teorema de Completitud son las siguientes:– F^~F G– F, G F^G; F^G F; F^G G– ((A, F) G) (A (FG))– (~FF) F– F v G ~(~F^~G)– F F v G; G F v G– F, FG G

• Cualquier sistema formal deductivo que cumpla estas condiciones puede sustituir al que hemos utilizado.

Lógica proposicional:Cálculo frente a satisfactibilidad

• En la práctica, la determinación de teoremas en base a un cálculo lógico como el descrito es un problema de búsqueda en un árbol, por lo que puede ser más ineficiente que en base al cálculo directo de todas las interpretaciones posibles y la interpretación correspondiente del supuesto teorema.

• En la lógica de predicados no se pueden utilizar tablas de verdad y habrá que recurrir a un cálculo lógico del tipo del anterior.

Lógica Formal Roberto Moriyón. Introducción El objetivo de la Lógica Formal o Lógica...

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