Lgica Matemtica

Nombre, ApellidoNombre Universidad, Nombre Facultad o Carrera

Proposiciones:Una proposicin es cualquier expresin que puede ser verdadera o falsa pero no las dos al mismo tiempo.Ejemplo: El ao empieza con el mes de Enero. 1 + 1 = 2 Marte est lleno de marcianos. 5 * 9 = 59

Valor de verdad:Es aquella cualidad de veracidad que tiene una proposicin simple o compuesta, y esta puede ser verdadera o falsa.

Propiedades simples o Atmicas:p, q, r, s, ..Propiedades compuestas o moleculares(Nexo)Operadores lgicos

Operadores lgicos:Son conectores o nexos que enlazan 2 o ms proposiciones simples formando una nueva proposicin.

Negacin:Es aquel operador que cambia el valor de verdad de la proposicin original. Si p es una proposicin, negacin de p, () es la negacin de la proposicin, lo que significa que es su opuesto lgico.Los smbolos que estn dados por:()

Ejemplo:p: Quito es la capital de Ecuador: Quito no es la capital de Ecuador.

q:1 + 3 = 5: 1 + 3 5

Tabla de verdadp

VF

FV

Nota: Para construir la tabla de verdad es:# de combinaciones posibles = 2nSiendo (n) el nmero de proposiciones.

ConjuncinEs una proposicin compuesta que se obtiene relacionando dos proposiciones simples mediante el conectivo lgico (y), simblicamente la conjuncin de dos proposiciones (p, q) se denota as:(p^q)

Esta proposicin ser verdadera nicamente en el caso de que ambas proposiciones sean verdaderas.pqp^q

VVV

VFF

FVF

FFF

Disyuncin (disyuncin inclusiva)Es una proposicin compuesta que se obtiene relacionando 2 proposiciones simples mediante el conectivo lgico (o) y su forma matemtica (v), simblicamente se representa (p v q)

Esta proposicin es falsa si ambas proposiciones son falsas.pqp^q

VVV

VFV

FVV

FFF

Disyuncin (disyuncin exclusiva)Dadas 2 proposiciones cualesquiera (p^q) llamadas disyuncin exclusiva (p v q) pero no ambas, la denotaremos (pvq) se lee ( p q).pqpvq

VVF

VFV

FVV

FFF

Condicional (implicacin)Es proposicin compuesta que se obtiene relacionando dos proposiciones simples mediante el conectivo lgico si p entonces q se denota por pq. p qAntecedente Consecuente o tesis o conclusin

Regla:Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso la proposicin compuesta es falsa.pqpq

VVV

VFF

FVV

FFV

BicondicionalEs una proposicin compuesta tomada por el conectivo lgico si y solo si y lo denotaremos por (p q)

Si ambas proposiciones tienen el mismo valor lgico el bicondicional es verdadero.

Nota: p q = (pvq)

pqr(p^q) r

VVVFFVF

VVFFFVV

VFVFFVF

VFFFFVV

FVVVVFF

FVFVVVV

FFVVFVF

FFFVFVV

qpr (p^q) r

VVVFFVF

VVFFFVV

VFVVVFF

VFFVVVV

FVVFFVF

FVFFFVV

FFVVFVF

FFFVFVV

rpq (p^q) r

VVVFFVF

VVFFFVF

VFVVVFF

VFFVFVF

FVVFFVV

FVFFFVV

FFVVVVV

FFFVFVV

rqp (p^q) r

VVVFFVF

VVFVVFF

VFVFFVF

VFFVFVF

FVVFFVV

FVFVVVV

FFVFFVV

FFFVFVV

[t (p^q)] ^ (p^q) t

pqt[t (p^q)] ^ (p^q) t

VVVFVFVVVV

VVFVFFVVVV

VFVFVFFFFF

VFFVFFFFFV

FVVFVVFFFF

FVFVVVFFFV

FFVFVVFFFF

FFFVVVFFFV

Tautologia: Cuando una proposicin compuesta es verdadera para todos los valores de verdad.

Contradiccin: Cuando una proposicin compuesta es falsa para todos los valores de verdad.

Contingencia: Cuando la proposicin compuesta tiene al menos un verdadero y un falso.

pqt[t (p^q)] ^ (p^q) t (tvt)

VVFVFFVV

VVVVFFVF

VFFVFFVV

VFVVFFVF

FVFVFFVV

FVVVFFVF

FFFVFFVV

FFVVFFVF

Si p (qvp) es falso determine los valores de las siguientes proposiciones.

p (qvp)

a. pq = Fb. q p = Vc. (p v q) p = Fd. (p)p = Ve. [(qp)q] v [r^(s^t)] = V

(p^q)[(rp)(q v p)]

pqr(p^q)[(rp)(q v p)]

VVVVFFFVVFFFV

VVFVFFFFFVFFV

VFVVFFVFVVFVV

VFFVFFVVFFFVV

FVVVVFFVVFVFF

FVFVVFFVVFVFF

FFVFVVVVVVFVV

FFFFVVVVVVFVV

(tvs)[(st)^(qvs)]

qst(tvs)[(st)^(qvs)]

VVVFVVFVVVF

VVFVFFFVVVF

VFVFFFVVVVV

VFFVVFVFFVV

FVVFVFFVFFF

FVFVVFFVFFF

FFVFFFVVVFV

FFFVVFVFFFV

Equivalencia e implicacin lgicaEquivalenciaSean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lgicamente a B denotado por: , si y solo si , es una tautologa.

Cuando se requieren sustituir una estructura por otra que sea equivalente, alternativamente el smbolo se lo reemplaza por .

Ejemplos:La forma proposicional: p qqp se puede traducir al lenguaje comn como cada vez que se tiene p, se tiene q, y es lgicamente equivalente a: cuando no se tiene q entonces no se tiene p.

pqp qqp

VVVVFVF

VFFVVFF

FVVVFVV

FFVVVVV

pq(pvq)p^

VVFVVFFF

VFFVVFFV

FVFVVVFF

FFVFVVVV

Implicacin lgicaSean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lgicamente a B denotado por A B, si y solo si AB es una tautologa.

Ejemplos:La forma proposicional pq (qp), se puede traducir al lenguaje comn como si se tiene p, de cualquier manera q seguir teniendo p.

pqpq (qp)

VVVV

VFVV

FVVF

FFVV

pqp^(pq)q)

VVVVV

VFFFV

FVFVV

FFFVV

Leyes de la Lgica ProposicionalConjuncin (^)LeyDisyuncin (v)

p^q q^pConmutativap v q q v p

p^(q^r)(p^q)^rAsociativap v (q v r) (p v q) v r

p`p pIdempoten-ciap v p p

p`v pIdentidadp v p

p^F p Absorcinp v V v

Ley: Negacin V F F V

Ley: Doble negacin(p) p

Ley: Distributivap v (q^r) (p v q)^(p v r)p^(q v r) (p^q) v (p^r)

De Morgan (p v q) p ^ (p ^q) p v q