LóGica MatemáTica

LÓGICA MATEMÁTICALÓGICA MATEMÁTICA

►Estudia las frases, Estudia las frases, afirmaciones y el afirmaciones y el comportamiento de ambas.comportamiento de ambas.

►En el estudio de conjuntos En el estudio de conjuntos intervienen frases y intervienen frases y expresiones.expresiones.

ProposiciónProposición

►Expresión verdadera o falsa pero no Expresión verdadera o falsa pero no ambasambas

Ejemplos:Ejemplos:►3 + 8 es menor que 103 + 8 es menor que 10►Amado Nervo fue un gran arquitectoAmado Nervo fue un gran arquitecto►El petróleo es un recurso renovableEl petróleo es un recurso renovable

No son proposiciones:No son proposiciones:

►Es más interesante Oceanía que Es más interesante Oceanía que AméricaAmérica

►Es más fácil el estudio de la música Es más fácil el estudio de la música que de las matemáticas.que de las matemáticas.

►La cosecha del año entrante se helaráLa cosecha del año entrante se helará

DenotaciónDenotación

►Proposiciones: Letras minúsculasProposiciones: Letras minúsculas►Proposiciones falsas: F (valor de Proposiciones falsas: F (valor de

verdad falso)verdad falso)►Proposiciones verdaderas: V (valor de Proposiciones verdaderas: V (valor de

verdad verdadero)verdad verdadero)

Clasifica las proposicionesClasifica las proposiciones► 3 + 8 es menor que 10 (_F__)3 + 8 es menor que 10 (_F__)

► Amado Nervo fue un gran arquitecto(__F_)Amado Nervo fue un gran arquitecto(__F_)► ► El petróleo es un recurso renovable(__F_)El petróleo es un recurso renovable(__F_)

► Es más interesante Oceanía que América(_X_)Es más interesante Oceanía que América(_X_)

► Es más fácil el estudio de la música que de las Es más fácil el estudio de la música que de las matemáticas. (__X_)matemáticas. (__X_)

► La cosecha del año entrante se helará(__X_)La cosecha del año entrante se helará(__X_)

ClasificaciónClasificaciónProposición simple Proposición simple

Proposición compuesta Proposición compuesta

Proposición Disyuntiva Proposición Disyuntiva

Proposición ConjuntivaProposición Conjuntiva

Proposiciones compuestasProposiciones compuestas

►Formadas por varias proposiciones y Formadas por varias proposiciones y usa operadores o conectores:usa operadores o conectores:

►Y (Y (^) conjunción^) conjunción►O (v) disyunciónO (v) disyunción►No (¬, ´)No (¬, ´)►Entonces ( ) Condicionales Entonces ( ) Condicionales ►Si sólo si ( ) BicondicionalesSi sólo si ( ) Bicondicionales

ConjunciónConjunción Y (Y (^) ^)

► Se utiliza para conectar dos proposiciones Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Se le conoce obtener un resultado verdadero. Se le conoce como la multiplicación lógica.como la multiplicación lógica.

► Ejemplo: “El coche enciende cuando tiene Ejemplo: “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”batería”

Sean: Sean: P = El coche enciendeP = El coche enciendeq = Tiene gasolina el tanqueq = Tiene gasolina el tanquer = Tiene corriente la bateríar = Tiene corriente la batería

Tabla de verdadTabla de verdad(1=VERDADERO, 0=FALSO)(1=VERDADERO, 0=FALSO)

qq rr P = q P = q ^ r^ r

11 11 11

11 00 00

00 11 00

00 00 00

►De tal manera que la representación del De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es:enunciado anterior usando simbología lógica es:

P = q P = q ^ r^ r

Disyunción “O” , “u” (v) Disyunción “O” , “u” (v)

►Se obtiene un resultado verdadero cuando Se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. alguna de las proposiciones es verdadera. Se conoce como la suma lógica.Se conoce como la suma lógica.

►Ejemplo: “Una persona puede entrar al Ejemplo: “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un cine si compra su boleto u obtiene un pase”pase”

P = Entra al cineP = Entra al cine

q = Compra su boletoq = Compra su boleto

r = Obtiene un paser = Obtiene un pase


qq rr P = q P = q v rv r

11 11 11

11 00 11

00 11 11

00 00 00► De tal manera que la representación del enunciado anterior De tal manera que la representación del enunciado anterior

usando simbología lógica es:usando simbología lógica es:P = q P = q v rv r

► La única manera en que no puede ingresar al cine (p=0), es La única manera en que no puede ingresar al cine (p=0), es que no compre su boleto (q=0) y que no obtenga un pase que no compre su boleto (q=0) y que no obtenga un pase (r=0).(r=0).

NegaciónNegaciónNo (¬, ´)No (¬, ´)

►Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador no se obtendrá su complemento o negación (falso).

►Ejemplo:La negación de está lloviendo en este

momento (p=1), es no está lloviendo en este momento (p’=0)


pp P´P´

11 00

00 11

Ejemplo

► Sean las proposiciones:p: Hoy es domingo.q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.r: Aprobaré el curso.

El enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso”.

Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

► p ^ q v´ r

Entonces ( ) Condicionales Entonces ( ) Condicionales

►Es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

P q Se lee “Si p entonces q”

Ejemplo.

El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”.

Una declaración como esta se conoce como condicional. Sean:► p: Salió electo Presidente de la República.► q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el

próximo año.

El enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

► p q


pp qq p q p q

11 11 11

11 00 00

00 11 11

00 00 11

Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior.

► Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p - q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña.

► Cuando p=1 y q=0 significa que p -- q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios.

► Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p-- q =1.

BicondicionalBicondicional

►Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de

►la siguiente manera:►p q Se lee “p si y solo si q”►Esto significa que p es verdadera si y solo

si q es también verdadera. O bien p es falsa

►si y solo si q también lo es.

EjemploEjemplo

►El enunciado siguiente es una proposición bicondicional

►“Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”

►Donde:►p: Es buen estudiante.►q: Tiene promedio de diez.


qq rr p q p q

11 11 11

11 00 00

00 11 00

00 00 11

► La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas

EjercicioEjercicio

►Sea el siguiente enunciado:

“Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”

Donde:

►p: Pago la luz.►q: Me cortarán la corriente eléctrica.►r: Me quedaré sin dinero.►s: Pediré prestado.►t: Pagar la deuda.►w: soy desorganizado.

Tablas de verdadTablas de verdad

► Representación de las hipótesis generalizadas Representación de las hipótesis generalizadas mediante proposiciones compuestas.mediante proposiciones compuestas.

► Sirve para determinar el valor de verdad de Sirve para determinar el valor de verdad de cada componente de una proposición que cada componente de una proposición que contiene conectivos.contiene conectivos.

► Establecen una correspondencia mediante la Establecen una correspondencia mediante la deducción lógico matemática. deducción lógico matemática.

► Constituye un método de decisión para Constituye un método de decisión para establecer si una proposición es o no un establecer si una proposición es o no un teorema.teorema.

► Construcción:Construcción:

► 1 = VERDADERO1 = VERDADERO

► 0 = FALSO0 = FALSO

Tabla de verdadTabla de verdad

Tabla de verdadTabla de verdad

►El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula:

No de líneas = 2n Donde: n = número de variables distintas.

NEGACIÓNNEGACIÓN

►Dada una proposición Dada una proposición pp, , se define la se define la negaciónnegación de de pp como la como la proposición proposición p'p' (~, ¬) (~, ¬) que es verdadera que es verdadera cuando cuando pp es falsa y que es falsa y que es falsa cuando es falsa cuando pp es es verdadera. verdadera.

► Se lee "no Se lee "no pp". ".

ConjunciónConjunción

► Es aquella Es aquella proposición que es proposición que es verdadera cuando p verdadera cuando p y q son verdaderas, y q son verdaderas, y falsa en cualquier y falsa en cualquier otro caso. otro caso.

► Se escribe p P q, y se Se escribe p P q, y se lee "p y q". lee "p y q".

DisyunciónDisyunción

► Es aquella Es aquella proposición que es proposición que es verdadera cuando verdadera cuando al menos una de las al menos una de las dos p o q es dos p o q es verdadera, falsa en verdadera, falsa en caso contrario. caso contrario.

► Se escribe p QQ q, y se Se escribe p QQ q, y se lee "p ó q". lee "p ó q".

Disyunción exclusivaDisyunción exclusiva

► Es aquella proposición Es aquella proposición que es verdadera que es verdadera cuando una y sólo una cuando una y sólo una de las dos p o q es de las dos p o q es verdadera, y falsa en verdadera, y falsa en cualquier otro caso. cualquier otro caso.

► Se escribe p q, y se lee Se escribe p q, y se lee "p o q pero no ambas". "p o q pero no ambas". Se usa muy poco. Se usa muy poco.

CondicionalCondicional

► EEs aquella proposición s aquella proposición que es falsa que es falsa únicamente cuando la únicamente cuando la condición suficientecondición suficiente p es verdadera y la p es verdadera y la condición necesariacondición necesaria q es falsa. q es falsa.

► Se escribe p => q, y se Se escribe p => q, y se lee "si p entonces q". lee "si p entonces q".

BicondicionalBicondicional

► Es aquella Es aquella proposición que es proposición que es verdadera cuando p verdadera cuando p y q tienen el mismo y q tienen el mismo valor de verdad, y valor de verdad, y falsa en caso falsa en caso contrario. contrario.

► Se escribe p <=>q, Se escribe p <=>q, y se lee "si y sólo si p y se lee "si y sólo si p entonces q". entonces q".

TautologíaTautología

►Se dice que una proposición es una Se dice que una proposición es una tautología si su valor de verdad es tautología si su valor de verdad es siempre siempre 11 independientemente de los independientemente de los valores valores de las proposiciones que lo componen; de las proposiciones que lo componen;

►por ejemplo: por ejemplo:

ContradicciónContradicción

►Una proposición se dice que es una Una proposición se dice que es una contradiccióncontradicción si su valor de verdad si su valor de verdad es siempre es siempre 00 independientemente de independientemente de los valores de las proposiciones que lo los valores de las proposiciones que lo componen.componen.

►Por ejemplo:Por ejemplo:

ParadojaParadoja

►Una Una paradojaparadoja es una proposición a la es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas de verdad; suelen estar relacionadas con con incorrecciones en el lenguaje lógico. incorrecciones en el lenguaje lógico.

►Por ejemplo: Por ejemplo:

p = "la proposición p es falsa". p = "la proposición p es falsa".

EquivalentesEquivalentes

►Dos proposiciones p y q se dicen Dos proposiciones p y q se dicen equivalentesequivalentes si tienen la misma tabla si tienen la misma tabla de verdad en función de las de verdad en función de las proposiciones elementales que lo proposiciones elementales que lo componen; esta definición equivale a componen; esta definición equivale a decir que la proposición es una decir que la proposición es una tautología. tautología.

►Por ejemplo, las proposiciones: son Por ejemplo, las proposiciones: son equivalentes. equivalentes.

Reducción al absurdoReducción al absurdo

►Esta ley se llama "ley del Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos por razonamientos por reducción al reducción al absurdoabsurdo. .

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