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  1 ALUMNO: JOSÉ MANUEL URBINA PÉREZ CUATRIMESTRE: TURNO: SABATINO 21 DE ABRIL DE 2012

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ALUMNO:

JOSÉ MANUEL URBINA PÉREZ

CUATRIMESTRE: 5º TURNO: SABATINO

21 DE ABRIL DE 2012

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ÍNDICE

Pág.

1.  Simbolización De Preposiciones…………………………………………………...4 

1.1 Proposiciones………..………………………...………………………………....8 1.2 Término De Enlaces Y Símbolos………….……………...……………………..8 1.3 Agrupamientos Y Paréntesis………...…………………………………………..8 1.4 Eliminación De Algunos Paréntesis...…………………………………………...8 

2.  Interacción Lógica…………………………........................................................102.1 Reglas de Inferencia Y Demostración…………………………………………10 2.2 Deducción Proposicional...……………………………………………………..10 2.3 Otras Reglas de Inferencia (Ley De Adición, conmutativas)……………..….12 2.4 Preposición Bicondicionales…………………….………………………….…13 

3.  Verdad Y Validez………………... ………………………………………………14 3.1Valores De Verdad Y Términos De Enlace (Negación Y Conjunción,Disminución)……………………………………………………………………….14 3.2 Diagramas De Valores De Verdad…………………………………………….14 3.3 Conclusiones No Validas ………………..…………………………………....15 3.4 Demostración Condicional...…….……………………………….…………….15 3.5 Consistencia………..…………………………………………………………..15 3.6 Tablas De Verdad Y Tautología……………………………….……………...16 

4.  Representación Simbólica Del Lenguaje Cotidiano……………………………19 4.1 Funciones Básico Del Lenguaje……….……………………………………...19 4.2 Predicados…………..………………………………………………………….214.3 Falacias…………………………………………………….…………………..224.4 Definición……………………………………………………….……………..23 

Bibliografía………………………………………………………………………………. 26

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INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA Es la que determina si un razonamiento es válido o no. Algunos precursores de la lógicapudieron verificar que esta ciencia casi expresada en su totalidad en palabras no hacíaposible una fácil aplicación sobre temas matemáticos cuyo procedimiento y desarrollo sequería comprobar, por lo que se introdujo símbolos que representan las definiciones yreglas dadas por la lógica, creándose por consiguiente la lógica simbólica, llamada lógicamatemática

DEFINICIÓNLa lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumentodado, es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo y deductivo. El razonamientoinductivo es aquel que permite llegar a conclusiones generales a partir de observacionesparticulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nos permite llegar a conclusionesparticulares a partir de observaciones generales.

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudiomatemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas.La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y lalógica filosófica.

  La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en elque codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números,demostraciones y computación.

  La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoríade la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación enlógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentosde las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos lasexpresiones: lógica simbólica( o logística), lógica matemática, lógica teorética ylógica formal.1

  La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de lalógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadasmatemáticamente.

La lógica matemática usa lenguajes formales definidos artificialmente para formularenunciados acerca del mundo al que se refieran en un momento dado nuestrosrazonamientos, es por ello que en la actualidad también se la conoce como la lógica formal

o matemática.

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1.  SIMBOLIZACIÓN DE PREPOSICIONES

1.1 ProposicionesAquellas expresiones lingüísticas que tienen una función informativa. De ellas tiene sentidodecir si son verdaderas o falsas, pero no ambas a la vez.Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento referido alverbo. La proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática. Acontinuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explicael porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican pormedio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.

Ejemplos:p: México se encuentra en Europa.q: 15-6 = 9r: 2x -3 > 7s: Los precios de los teléfonos celulares bajarán a fin de año.t: Hola ¿cómo estás?

w: ¡Cómete esa fruta!Los enunciados p y q pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto, sonproposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor defalso o verdadero depende del valor asignado a la variable x en determinado momento. Laproposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsao verdadera se tendría que esperar a que terminara el año. Sin embargo, los enunciados t yw no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es unsaludo y el otro es una orden.

Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le da un nombre. Se distinguen dostipos de proposiciones: simples y compuestas. Una proposición se denomina simple cuando

en ella no interviene ninguna conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si... entonces...,si y sólo si). Si se juntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace, seforma una proposición compuesta.

1.2 Término De Enlaces

Los términos de enlace, "y", "o", "si...entonces", "si y sólo si"; se usan para ligar dosproposiciones, en cambio el término de enlace "no" se agrega a una sola proposición.Ejemplo:

Hoy es jueves.Hay clases de matemáticas

Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se pueden construirproposiciones compuestas tales como:

Hoy es jueves y hay clases de matemáticas.Hoy es jueves o hay clases de matemáticas.Si hoy es jueves, entonces hay clases de matemáticas.Hoy no es jueves.

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La forma de las proposiciones compuestas depende del término de enlace utilizado, y nodel contenido de la proposición o proposiciones simples. Es decir, si en una proposicióncompuesta se sustituyen las proposiciones simples por otras proposiciones simplescualesquiera, la forma de la proposición compuesta se conserva. Ejemplo:

Hoy es jueves y hay clase de matemáticas.

Esta sería la forma de la proposición. En los cuadros pueden escribirse las proposicionesdadas u otras proposiciones. Para representar las proposiciones se utilizan letras latinasmayúsculas tales como P, Q, R, etc. Por ejemplo, sea:

P: Hoy es jueves.Q: Hay clase de Matemáticas.

Luego la proposición:Hoy es jueves y hay clase de matemáticas

Se simboliza así: P y Q. En el lenguaje corriente se utiliza también la palabra "pero" o una"," en vez del término de enlace "y".

En el siguiente ejemplo se usa el término de enlace "o". Es tarde o está muy oscuro.Otro giro de "o" es: O es tarde o está muy oscuro.En este último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma de laproposición es:

Cuando se usa el término de enlace: si,... entonces... se obtiene la siguiente forma:

  Símbolos  Para la "y" se utiliza el símbolo .  Para la "o" se utiliza el símbolo .  Para el "no" se utiliza el símbolo ¬.  Para el "si,... entonces..." se utiliza el símbolo  Para el "si y sólo si" se utiliza el símbolo

Cuando una proposición compuesta utiliza el término de enlace "y" es una conjunción. Si elenlace se hace mediante la conectiva "o" es una disyunción. Si se usa el término "no" es una

negación. Cuando la conectiva es "si,.... entonces...‖ es una proposición condicional, y siutiliza "si y sólo si" se tiene unbicondicional. En proposiciones que tienen más de untérmino de enlace es preciso indicar la manera de agruparse, pues distintas agrupacionespueden tener distintos significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se presentande acuerdo a la posición de ciertas palabras o mediante la puntuación. En lógica laagrupación se indica por medio de paréntesis. Ejemplo: 

―O los soldados encontraron cerrado el paso, o si temieron un ataque enemigo, serefugiaron en las montañas‖. Este texto se simboliza de la siguiente forma:

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P: Los soldados encontraron cerrado el paso.Q: Los soldados temieron un ataque enemigo. R: Los soldados se refugiaron en las montañas.

La proposición compuesta es: 

La cual tiene un sentido distinto de la proposiciónCuando no hay lugar a ambigüedades, pueden omitirse los paréntesis y se adopta unaconvención con respecto a la dominancia relativa de los diversos conectivos. Laconvención es:

Y dominan a y .

  Así: significa

Significa .  Con esta convención no está claro lo que significa por ejemplo:

Ó .  Aquí es necesario usar paréntesis para aclarar, en el primer caso, si se trata de

Ó .  Y en el segundo caso, diferenciar entre

Y .

1.3 Agrupamientos Y Paréntesis 

Un lenguaje de primer orden es una colección de distintos símbolos clasificados comosigue:

1. El símbolo de igualdad, las conectivas, el cuantificador universal y el paréntesis.2. Un conjunto contable de símbolos de variable.

3. Un conjunto de símbolos de constante.4. Un conjunto de símbolos de función.5. Un conjunto de símbolos de relación.

Así, para especificar un orden, generalmente sólo hace falta especificar la colección desímbolos constantes, símbolos de función y símbolos relacionales, dado que el primerconjunto de símbolos es estándar. Los paréntesis tienen como único propósito de agruparsímbolos y no forman parte de la estructura de las funciones y relaciones.Los símbolos carecen de significado por sí solos. Sin embargo, a este lenguaje podemosdotarlo de una semántica apropiada.Los paréntesis a utilizarse son circulares, rectángulos y los corchetes. Cada uno señala la

extensión de la función y elimina la ambigüedad. Su uso lo indica el mensaje delenunciado y el sentido común.

Regla De Formulación De La Formula O Sentencia

Los símbolos del lenguaje no se pueden escribir de cualquier manera. Una formula es unasecuencia ordenada de símbolos CONVENCIONALES. Una formula bien formulada es la

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negación precede a una formula, cualquier constante, sigue una variable; haciendo buen usode los paréntesis El uso correcto de los paréntesis nos permite realizar el cálculo Proposicional correcto.  Ejemplo:

No es cierto que, Alex no estaba enfermo y Mely no la reemplazo en el trabajo.SENTENCIA: ~ (~ p ∧~ q)  La negación afecta a la conjunción de las dos

 proposiciones.Es incorrecto sentenciar ~ p ∧ ~ q 

Es frecuente encontrar proposiciones que tienen más de un término de enlace pero, siempre,uno de los términos de enlace es el mayor, por esto se le denominará dominante porque esel que actúa sobre toda la proposición.

 Ejemplo: (pÚ q) Ù r es una conjunción

Los paréntesis son símbolos de puntuación de la lógica. Muestran como está agrupada unaproposición y, por lo tanto, señalan cuál es el término de enlace dominante. Adoptaremos

algunas reglas acerca de la potencia de los términos de enlace (según SUPPES- HILL)REGLA 1

El signo Û es más potente que los otros términos de enlace(p Ù q) Û (r Ú s) puede escribirse p Ùq Û r Ú s

REGLA 2El signo Þ es más potente que Ù y Ú.(p Ù q) Þ (rÚs) puede escribirse pÙq Þ rÚs.

REGLA 3El signo de negación (~) es más débil que cualquiera de los otros términos deenlace.~ pÙq (conjunción) no es lo mismo que ~ (pÙq) (negación)

REGLA 4Los signos Ù y Ú son igualmente fuertes.Cuando se presentan ambos en una proposición, se tienen que poner siempre losparéntesis para indicar cuál es el término de enlace dominante. Ejemplo:

p Ú q Ù r no es claro -- (p Ú q) Ù r conjunción p Ú -- (q Ù r) disyunción

1.4 Eliminación De Paréntesis   Pueden eliminarse los paréntesis externos.

F ^ G es una abreviatura de (F ^ G)  Precedencia de asociación de conectivas: ¬ ,  ̂, _!$.

F ^ G! ¬F _ G es una abreviatura de((F ^ G)! (¬F _ G)).

  Cuando una conectiva se usa repetidamente, se asocia por la derecha.F _ G _ H abrevia (F _ (G _ H ))F ^ G ^ H! ¬F _ G abrevia ((F ^ (G ^ H ))! (¬F _ G))

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2.  INTERACCIÓN LÓGICA

2.1 Reglas De Inferencia

La inferencia es un procediendo para obtener conclusiones, hay tres tipos de inferencia: Por

inducción, por deducción y por abducción.Reglas de inferencia o reglas de transformación son aquellos esquemas formales que nospermiten derivar unas fórmulas bien formadas (conclusiones) a partir de otras (premisas).Por ejemplo, la Regla de Eliminación del Condicional:

A → B

AB

Nos permite derivar la fórmula ―p v q‖ de las fórmulas ―p → (p v q)‖ y ―p‖. Las reglas de inferencia no deben confundirse con las leyes lógicas o tautologías, puestoque éstas no pertenecen al metalenguaje del cálculo.Primero presentamos los tipos de inferencia, la inferencia válida en computación y

matemáticas y al final una serie de reglas que se utilizan para la inferencia deductiva.La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaracionesestablecidas.Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos oexpresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión.Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamientouniversalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposicionesque intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esosargumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionardos o más tautologías o hipótesis en una demostración.Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.

De los cuatro tipos de inferencia señalados anteriormente, en matemáticas y computaciónsolamente se acepta el deductivo para demostraciones formales. Por esta razón sedenominan Reglas de Inferencia Deductiva.

Reglas de Inferencia Deductiva• MPP (Modus ponendo ponens)

A → B

AB

• MTT (Modus tollendo tollens)A → B

¬B¬A• SD (Silogismo Disyuntivo)

A ∨ B¬A¬B

• SH (Silogismo hipotético)A → B

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B → C

A → C • LS (Ley de simplificación)

A ∧ BA

• LA (Ley de adición)AA ∨ B

CONTRAPOSITIVAA → B

¬B → ¬A 1.  Inducción es de lo particular a lo general, esto es de muchas observaciones

concluir una regla general.2.  Deducción es de lo general a lo particular, esto es de una regla general se

concluye un caso particular.3.  Abducción de particular a particular o de general a general.

  DemostraciónPara comprobar que una inferencia es válida se debe demostrar. Una demostración es unconjunto de pasos donde el último paso es la conclusión, cualquiera de los siguientes pasoses válido:

o  Premisa: en cualquier paso se puede usar una premisa, esto es, lo quesuponemos válidos.

o  Equivalencias: cualquier paso puede ser un equivalente de un paso anterior.o  Regla de Inferencia; en cualquier paso se puede escribir la conclusión de una

regla de inferencia si sus premisas son pasos anteriores.

o  Propiedades previas; cualquier teorema o propiedad conocida puede ser usadoen un paso, en particular cualquier inferencia válida puede ser utilizada.

Ejemplo 1. Comprobar que r se infiere de las premisas:p, ¬p ∨ q, ¬r &rarr: ¬q

Una forma de representar esto es:p, ¬p ∨ q, ¬r &rarr: ¬ |= r

  Demostración Utilizando únicamente MPP1. p Premisa2. ¬p ∨ q Premisa3. ¬r → ¬ q Premisa

4. p → q Equivalencia (2)5. q MPP(1,4)6. q → r  Equivalencia (3)

7. r MPP(5,6)

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Los primeros tres pasos de la demostración son las premisas, los pasos 4 y 6 sonequivalencias y los pasos 5 y 7 son la aplicación de la regla MPP con las premisas que seencuentran en el paréntesis.Una demostración como la anterior se llama prueba directa. Para poder hacer una

 

comprobación como la anterior es conveniente tener algunas identidades y reglas deinferencia válidas.La demostración anterior la podemos hacer sin utilizar equivalencias utilizando otras leyesde inferencia además de MPP.

Ejemplo 2:Comprobar p, ¬p ∨ q, ¬r &rarr: ¬ |= r

Demostración 2

Generalmente si se utilizan más reglas de inferencia la demostración es más corta.Ejemplo 3:

t → s, ¬q → ¬s, t |= q Demostración 1

Demostración 2

Como se puede ver la regla de inferencia Modus TollendoTollens (MTT), no es necesaria si usamos la equivalenciaen el paso 5, sin embargo, muchas personas prefierenusarla porque es un paso menos

1. p Premisa

2. ¬p ∨ q Premisa

3. ¬r → ¬ q Premisa

4. q SD(1,2)

5. r MTT(3,4)

1. t → s Premisa

2. ¬q → ¬s Premisa

3. t Premisa

4. s MPP(1,3)

5. q MTT(2,4)

1. t → s Premisa

2. ¬q → ¬s Premisa

3. t Premisa

4. s MPP(1,3)

5. s → q Equivalencia (2)

6. q MTT(4,5)

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2.3 Deducción Proposicional 

Argumentos deductivos y argumentos inductivos, aunque este tópico de esta separación deargumentos no es del todo acertado, en los argumentos deductivos se va de lo general a loparticular, y en los enunciados inductivos es al contrario, de lo particular a lo general. Haydos tipos de deducción, directa e indirecta. Las directas son las cuales en las que laspremisas llevan la conclusión de un modo directo y positivo. La indirecta se da cuando losintentos de obtener una conclusión directa no dan resultado, entonces se dan como unrodeo, así:

1º) Suponer de antemano que la conclusión que se desea probar es falsa.2º) Obtener una contradicción a partir de lo que hemos supuesto anteriormente.3º) No aceptar o rechazar lo que hemos supuesto, al ver el resultado y comoconsecuencia de esto último, afirmar ya la conclusión deseada.

Formulación de argumentos. Deductor. Reglas de Inferencia 

El modo tradicional para exponer los argumentos consiste en ver primero las premisas y

luego la conclusión a la que se desea llegar, ligada a ellas por  partículas como: ―luego‖,―por tanto‖, ―por consiguiente‖, etc. Por ejemplo: 

  Si suben los salarios, entonces suben los precios;  Si suben los precios, entonces baja el poder adquisitivo de la moneda.  Es así que suben los salarios.  Luego baja el poder adquisitivo de la moneda.

Esto, de una primera forma, se podría representar así:p qq r

 

p Luego r

Pero los símbolos lógicos representan una palabra o frase, algunos de ellos son:P, q, r, s, t,… = son letras que representan las frases o palabras de las que están

compuestas las premisas y la conclusión.= éste símbolo significa ―si…..entonces‖ 

= éste símbolo significa ―y‖ V = éste símbolo significa ―o‖ 

= éste símbolo significa ―si sólo si‖ = éste símbolo significa ―luego..‖ 

Estos son los símbolos nos encontraremos en complicadas deducciones en las que, a partirde unas premisas dadas, y de una conclusión también dada, habrá que determinar paso a

paso la conclusión.La lógica deductiva estudia y formula de una manera explícita y rigurosa las reglas de lasoperaciones deductivas. Estas reglas se llaman, reglas de inferencia.Las premisas que nos dan son cosas que nos suponemos que son verdad, pero justificar suveracidad es algo que no entra dentro de la lógica formal. Pero hay otro tipo de supuestos,que son provisionales, que sirven provisionalmente de apoyo durante la deducción, peroque están hasta el final de la deducción.

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Una deducción que parte de supuestos iniciales (no subsidiarios), es una deducciónhipotética, y una deducción axiomática es la que tiene premisas, que se apoya en supuestosprivilegiados, los axiomas. Una deducción axiomática es una demostración.

2.4 Otras Reglas de Inferencia

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2.5 Preposición Bicondicionales

Las proposiciones Bicondicionales se caracterizan porque establecen dos condicionales,pero de sentido inverso. La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a laproposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q su tabla de verdad está dada por:

p q  p ↔ q 

V V V

V F F

F V F

F F V

El bicondicional puede definirse como la conjunción de un condicional y su recíproco. Deeste modo la tabla de valores de verdad de pÙq, puede obtenerse mediante la tabla de(pÞq) Ù (qÞp).

Ejemplo:―Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua‖ 

q

q: Sicilia está rodeada de agua

3.  VERDAD Y VALIDEZ

3.1Valores De Verdad Y Términos De Enlace (Negación Y Conjunción,Disminución)

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos como: no,o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido

que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducciónlógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de

decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0(cero) a una proposición falsa.

  El Negación valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición

negada.

 

Simbología: “p ↔ q‖ p: Sicilia es una isla 

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Es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no

es verdad, o que no es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se le

antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo es ―‖ y se llama

negador.

Ejemplo: ―Todo número elevado al cuadrado es positivo‖---- p  Negación: ―No todo número elevado al cuadrado es positivo‖-- ~p 

 Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al operador de mayor jerarquíaen dicha proposición.

  Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes. La

disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p

ó q, notación ―p v q‖, y tiene la siguiente tabla: 

  Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la

conjunción es cierta. La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria

que tiene por resultado p y q, se representa por p^q.

La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones

simultáneamente.

Ejemplo:

La función es creciente y está definida para los números positivos.

Simbolizamos como p ^ q, donde:p: la función es creciente

q: la función esta definida para los números positivos

P ~PV FF V

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3.2 Diagramas De Valores De Verdad

Valores de verdad (B): 1: verdadero y 0: falso.Funciones de verdad:

   H ¬: {0 , 1}! {0 , 1} t.q. H ¬ (i) = (1 , si i = 0; 0 , si i = 1.    H ̂ : {0 , 1}2! {0 , 1} t.q. H ̂ (i, j) = (1 , si i = j = 1; 0 , en otro caso.   H _: {0 , 1}2! {0 , 1} t.q. H _ (i, j) = (0 , si i = j = 0; 1 , en otro caso.   H ! : {0 , 1}2! {0 , 1} t.q. H ! (i, j) = (0 , si i = 1 , j = 0; 1 , en otro caso.   H $: {0 , 1}2! {0 , 1} t.q. H $(i, j) = (1 , si i = j; 0 , en otro caso.

3.3 Conclusiones No Validas

En lógica, la validez es una propiedad que tienen los argumentos cuando las premisasimplican la conclusión. Si la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas, se diceque el argumento es deductivamente válido. Algunos consideran estas dos nocionesidénticas y usan ambos términos indistintamente. Otros, sin embargo, consideran que puedehaber argumentos válidos que no sean deductivamente válidos, como las inducciones. Encualquier caso, de las inducciones a veces se dice que son buenas o malas, en vez de válidaso inválidas.

Ejemplos:1. Si está soleado, entonces es de día. 1. Si es lunes, entonces es martes.2. Está soleado. 2. Es lunes. 3. Por lo tanto, es de día. 3. Por lo tanto, es martes.

1. Todos los planetas giran alrededor del Sol.2. Marte es un planeta.3. Por lo tanto, Marte gira alrededor del Sol.

Nótese que para que un argumento sea deductivamente válido, no es necesario que laspremisas o la conclusión sean verdaderas. Sólo se requiere que la conclusión sea unaconsecuencia lógica de las premisas. La lógica formal establece únicamente una relacióncondicional entre las premisas y la conclusión. Esto es: que si las premisas son verdaderas,entonces la conclusión también lo es (esta es la caracterización semántica de la noción de

Conector  Valor deverdad 

Condición 

«  V  Si ambos tienen igual valor de verdad.

D  V  Si tienen valores diferentes de verdad.

®  F  Si el antecedente es verdadero y el consecuente esfalso

Ú  F  Si ambos son falsos

Ù  V  Si ambos son verdaderos

~ V  Si la proposición es falsa.

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consecuencia lógica); o alternativamente: que la conclusión sea deducible de las premisasconforme a las reglas de un sistema lógico (esta es la caracterización sintáctica de la nociónde consecuencia lógica). Si un argumento, además de ser válido, tiene premisas verdaderas,entonces se dice que es sólido.No debe confundirse la validez — una propiedad de los argumentos — , con la validez lógica

 — una propiedad de las fórmulas. Se dice que una fórmula tiene validez lógica, o que eslógicamente válida, cuando es verdadera bajo todas las interpretaciones posibles dellenguaje al que pertenece. Por lo demás, el término validez lógica está cayendo en desusofrente al término verdad lógica para designar a estas fórmulas.En los sistemas en los que vale el teorema de la deducción, todos los argumentos válidospueden transformarse en fórmulas lógicamente válidas de la forma, donde las P son laspremisas del argumento y C su conclusión. En los sistemas donde vale el converso delteorema, todas las fórmulas lógicamente válidas con la forma pueden transformarse enargumentos válidos con las P como premisas y C como conclusión. Esto muestra que existeuna estrecha relación entre la validez de los argumentos y la validez lógica de las fórmulas.

Demostración de la validez de un argumentoUn argumento concreto es válido cuando tiene la forma de un esquema de argumentoválido. Por ejemplo, considérese los siguientes dos argumentos:

1. O es de día o es de noche. 1. O es varón o es mujer.2. No es de día. 2. No es varón.3. Por lo tanto, es de noche. 3. Por lo tanto, es mujer.

Estos argumentos son válidos porque ambos tienen la forma de un silogismo disyuntivo, elcual es un esquema de argumento válido:

1. O p o q.2. No p.

3. Por lo tanto, q.Para determinar la validez de un argumento concreto, entonces, alcanza con determinar lavalidez su esquema de argumento, y esto se puede lograr por medios semánticos o pormedios sintácticos.

3.4 Demostración Condicional

Su valor de verdad es falso solamente si de una verdad se llega a una falsedad, en los demáscasos será verdadero.

p  q  p q 

V V VV F F

F V V

F F V

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Si una fórmula tiene la forma A → B y es una tautología, en donde A y B pueden serproposiciones compuestas, entonces decimos que B se desprende lógicamente de A y serepresenta por A |= B.También podemos considerar tautologías de la forma (p1 p2 ^… ^ pn) → qEntonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera desus componentes. En este caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1, p2,…, pn.Se escribe.

p1, p2,…, pn |= qO también

p1p2...pn

 

qSignifica que si se sabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,…, y pn también es verdadera,

entonces estamos seguros que q es verdadera. Prácticamente todos los teoremasmatemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo. Donde p1, p2,… sonllamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. Demostrar el teorema, esdemostrar que la implicación es una tautología. Note que no estamos tratando de demostrarque q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdadera si todas las p1, p2 ,… son verdaderas. Una demostración directa comienza con las hipótesis, seguidas de lastautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.

Una demostración de este tipo muestra que la verdad de la conclusión Q, se siguelógicamente de la verdad de la hipótesis P. La demostración empieza asumiendo que P esverdad para después, utilizando cualquier información disponible, así como teoremasprobados con anterioridad, probar que Q es verdad.

 Ejemplo:

Demostrar que el cuadrado de un número entero par también es par.

DemostraciónEl teorema a demostrar escrito en forma de condicional, sería ―Para cualquier entero

n, si n es par, entonces n2 es par‖ que se corresponde con el esquema

Donde:p(n): n es par.Y el universo del discurso son todos los números enteros.Pues bien, sea n un número entero cualquiera.

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3.5 ConsistenciaEn lógica matemática, un sistema formal es consistente si no contiene una contradicción, o,en forma más precisa, no existe una proposición φ tal que se puede demostrar o deducir 

simultáneamente la proposición φ y su contraria ¬φ o no-φ. La consistencia es la necesidad

de que todas las premisas tengan que ser necesariamente y a la vez, como producto, todasverdaderas, para que el argumento, si es consistente, pueda ser válido o no válido.Referido al discurso la consistencia tiene que ver con que las implicaciones lógicas delmismo no sean auto contradictorias. Una demostración de consistencia (o prueba de

consistencia) es una demostración formal de que un sistema formal es consistente. Eldesarrollo inicial de la teoría de la demostración matemática fue motivado por el deseo deproveer demostraciones de consistencia finita para todas las matemáticas.A pesar de que es posible demostrar la consistencia mediante teoría de modelos, por logeneral se realiza de una manera puramente sintáctica, sin la necesidad de proveer unareferencia a algún modelo de la lógica. La eliminación de corte (o en forma equivalente lanormalización del cálculo subyacente si es que existe uno) implica la consistencia delcálculo: dado que obviamente no existe prueba de falsedad que sea libre de corte, no existepor lo tanto contradicción en general.

Los principales resultados relacionados con la consistencia y completitud fueron

demostrados por Kurt Gödel:

  El teorema de completitud de Gödel indica que toda teoría de primer orden consistentees completa con respecto al conjunto consistente máximo de las fórmulas que segeneran por medio del algoritmo de búsqueda de demostración.

  Los teoremas de la incompletitud de Gödel indican que las teorías capaces de expresarsu propia relación de demostrabilidad y de desarrollar un argumento diagonal son

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capaces de demostrar su propia consistencia solo si son inconsistentes. Estas teorías, sison consistentes, son denominadas teorías esencialmente incompletas.

Mediante la aplicación de estas ideas, se pueden encontrar cuatro tipos distintos de teoríasde primer orden:

1.  Teorías inconsistentes, que no poseen modelos;2.  Teorías que no pueden analizar su propia relación de demostración, tales como la

axiomatización de Tarski de la geometría del punto y la línea, y la aritmética dePresburg. Dado que estas teorías son descriptas en forma satisfactoria por elmodelo que se obtiene mediante el teorema de completitud, entonces estos sistemasson completos;

3.  Teorías capaces de analizar su propia consistencia, y que incluyen la negación de laproposición que asevera su propia consistencia. Este tipo de teorías son completascon respecto al modelo que se obtiene a partir del teorema de completitud, perocontienen como teorema la implicancia de una contradicción, en contradicción al

hecho de que son consistentes;4.  Teorías esencialmente incompletas.

En forma adicional, se ha descubierto recientemente que existe un quinto tipo de teoría,las teorías auto verificable, que son lo suficientemente robustas como para analizar supropia relación de demostración, pero son demasiado débiles como para realizar unadiagonalización de Gödel, y que por lo tanto pueden demostrar en forma consistente supropia consistencia. Sin embargo, una teoría que demuestra su propia consistencia nopermite obtener ninguna información interesante, dado que las teorías inconsistentestambién demuestran su propia consistencia.

3.6 Tablas De Verdad

Tabla de verdad permite concluir sobre el razonamiento lógico queda origen a la misma quedicho razonamiento es válido.Si P y Q son proposiciones atómicas unidas con conectivas lógicas de la siguiente manera:¬p v q.¿Cuántas filas tiene la tabla?

 –   1 proposición 2 valores (V o F) –   2 proposiciones 4 valores de verdad

 –   3 proposiciones 8 valores de verdad –   n proposiciones 2n valores de verdad.

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  Tautología 

Tautología es una expresión lógica que es verdadera para todos los posibles valores deverdad de sus componentes atómicos.En lógica se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre elvalor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada unade las proposiciones que la integran, o de un modo más sencillo: la supuesta explicación dealgo mediante una perogrullada, la ―explicación‖ o definición de algo mediante una ligera

variación de palabras que tienen en conjunto el mismo significado ya conocido de losupuestamente explicado (Ej.: ―Existe el calor porque lo provoca el calórico‖). 

  Tautología: en todos los casos la forma del argumento ofrece unresultado verdadero, por lo que el argumento es válido.

  Selección de tautologías1. F! F (ley de identidad).2. F _ ¬F (ley del tercio excluido).3. ¬ (F ^ ¬F ) (principio de no contradicción).4. (¬F! F )! F (ley de Clavius).5. ¬F! (F! G) (ley de Duns Scoto).6. ((F! G)! F )! F (ley de Peirce).7. (F! G) ^ F ! G (modus ponens).8. (F! G) ^ ¬G! ¬F (modus tollens).

4.  REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA DEL LENGUAJE COTIDIANO

4.1 Funciones Básico Del Lenguaje

1. Función representativa o referencial2. Función expresiva o emotiva3. Función apelativa o conativa4. Función poética5. Función fática o de contacto6. Función metalingüística

La finalidad básica del lenguaje es COMUNICAR. Existen diferentes funciones en lacomunicación y se relacionan con los elementos de la comunicación que son: emisor,

receptor, referente o contexto, canal, mensaje y código.1. Función representativa o referencialComunica hechos, datos, noticias. La atención en el contexto o entorno físico,psicológico y cultural en donde se desarrolla la comunicación.Ejemplos:

Obras didácticas y científicas, crónicas o reportes periodísticos y mucha denuestra conversación diaria.

El objetivo de estos mensajes es transmitir información. Su rasgo es la objetividad.

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2. Función expresiva o emotivaExpresa emociones, pensamientos u opiniones personales del EMISOR. Se usa en laconversación cotidiana, abundan las exclamaciones. ¡!!!! Y las expresiones de dolor,alegría e ira.

Aparece en los mensajes en los que el emisor deja traslucir su estado de ánimo (enfado,alegría, sorpresa...)El mensaje pone el énfasis en los sentimientos y la actitud del emisor.

3. Función apelativa o conativaBusca influir en el comportamiento del receptor o interlocutor, el interés se centraen el receptor.

Ejemplos las órdenes, un discurso, mensajes publicitarios.

Se produce cuando el emisor exige al receptor una respuesta activa o intenta influir en su

conducta. Es la función que está presente cuando realizamos acciones como llamar aalguien, formular preguntas, pedir, ordenar, prohibir, aconsejar.

4. Función poéticaDestaca la forma de expresión. El interés del emisor se centra en elMENSAJE. Ejemplos, textos literarios, poesías, en las expresioneshabituales

4.2 Predicados

Es una función sobre el conjunto de los términos y en particular las variables usadas

en lógica de primer orden. La lógica de predicados es un lenguaje formal en el que las

sentencias bien formadas son producidas por las reglas enunciadas a continuación.

Un vocabulario es una tupla: queconsta de:

  símbolos relacionales , cada uno de ellos con un número entero asociado,el cual se conoce como la aridad de

  símbolos funcionales , cada uno de aridad  símbolos constantes 

Una fórmula de primer orden en el vocabulario , es una fórmula de primer orden dondelos únicos predicados, funciones y constantes empleados son los especificados por .

Una -estructura sobre el lenguaje , es una tupla consistente en un conjunto no vacío, el universo del discurso, junto a:

1.  Para cada símbolo constante de un elemento .

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2.  Para cada símbolo de function -aria de , una function -aria

.3.  Para cada símbolo de relación -aria de , una relación -aria sobre , esto es,

un subconjunto .

A menudo, usaremos la palabra modelo para denotar esta estructura.

4.3 Falacias

Llamaremos de esta forma a un razonamiento que no es valido.Falacia es un razonamiento no válido o incorrecto pero con apariencia de razonamientocorrecto. Es un razonamiento engañoso o erróneo (falaz), pero que pretende ser convincenteo persuasivo.Todas las falacias son razonamiento que vulnera alguna regla lógica. Así, por ejemplo, seargumenta de una manera falaz cuando en vez de presentar razones adecuadas en contra de

la posición que defiende una persona, se la ataca y desacredita: se va contra la persona sinrebatir lo que dice o afirma. Las falacias lógicas se suelen clasificar en formales y noformales.

  Falacias No FormalesLas falacias no formales son razonamientos en los cuales lo que aportan laspremisas no es adecuado para justificar la conclusión a la que se quierellegar. Se quiere convencer no aportando buenas razones sino apelando aelementos no pertinentes o, incluso, irracionales. Cuando las premisas soninformaciones acertadas, lo son, en todo caso, por una conclusión diferente ala que se pretende.

Es una falacia ya que es imposible que cuando las premisas sean toda verdaderas laconclusión sea falsa se conoce como implicación tautológica de la conclusión. La siguientetabla de verdad permite concluir sobre el razonamiento lógico queda origen a la misma quedicho razonamiento es válido:

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Justificación de la respuesta: Es falso ya que no existe un razonamiento lógico que cuandosus premisas unidas con el conector lógico y sean verdadero as su conclusión sea falsa y asu vez sea verdadera.

4.4 Definición

Una definición puede ser una declaración de las propiedades de cierta cosa o bien unadeclaración de equivalencia entre un término y el significado de ese término. El término ysu significado no son mutuamente exclusivos ni equivalentes, al contrario, soncomplementarios.

Pueden distinguirse diferentes tipos y técnicas de definición, incluyendo:  Definición lexicológica o de diccionario: el significado del término en lenguaje

común, lo más sencillo posible para llegar a la máxima audiencia. Una definiciónlexical es básicamente descriptiva, (informando del uso del término entre los hablantesde un idioma) y no prescriptiva, (que trata de señalar qué es lo «correcto» sinconsiderar el uso real que se hace del término). Las definiciones lexicológicas tienden aser inclusivas, tratando de captar todo a lo que se aplica el término, por lo que amenudo resultas demasiado vagas para muchos propósitos.

  Definición intencional: es una definición que únicamente proporciona todas laspropiedades que requiere un objeto para caer dentro del campo de la palabra definida.

  Definición extensiva o extensional: da el significado de un término listando todos los

objetos que pertenecen a la clase indicada por el término.Ejemplo:

Una definición extensiva de la palabra «océano» sería una lista de todos los

océanos de la Tierra.  Definición ostensiva: Define un término señalando ejemplos de lo que es definido. Se

emplea cuando resulta difícil encontrar palabras descriptivas o cuando se hace paraniños. Los niños aprenden gran parte de su lenguaje de una forma ostensiva. Las

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definiciones ostensivas tienden a ser imprecisas, y no muy útiles cuando uno no conocela naturaleza general del término definido.

Ejemplo:

Una definición ostensiva de «rojo» sería mencionar o señalar manzanas,

señales de tráfico rojas, rosas rojas.  Definición estipulativa: es un tipo de definición en la que un término a nuevo o bien ya

prexistente se le da un nuevo significado para los propósitos de un argumento o unadiscusión en un contexto dado. Es cuando decimos: «para este caso concretoestipulemos que...». Muchos defensores de opiniones controvertidaso beligerantes utilizan definiciones estipulativa para vincular connotacionesemocionales o de otro tipo al significado que desearían que la definición tuviese.

Ejemplo:

«Supongamos que entendemos por amor el deseo de morir por alguien», o

«para los propósitos de este argumento definiremos como ―estudiante‖ a

toda persona por debajo de 18 años matriculada en un colegio local».  Definición operacional: las definiciones operacionales son particularmente útiles

en mecánica cuántica, física estadística o relatividad. Se hace una definiciónoperacional de una cantidad refiriendo el proceso específico por el que se obtiene sumedición. En psicología, se puede necesitar una definición operacional para definir elconcepto «inteligente», el de «debilidad mental» o el de «idiocia», siendo necesariorecurrir a las cifras del cociente intelectual. 

Ejemplo:

En física se emplea en las definiciones relacionadas con temperatura, masa o

tiempo y otras magnitudes.  Definición teorética: una definición teorética da el significado de una palabra en los

términos de las teorías de una determinada disciplina. Este tipo de definición asume elconocimiento y la aceptación de la teoría de la que depende. Las definiciones teoréticasson comunes en contextos científicos, donde las teorías tienden a estar másprecisamente definidas y los resultados son más ampliamente aceptados comocorrectos. Definir los colores por medio de las longitudes de onda que reflejan losobjetos, presume la teoría ondulatoria de la luz. En estos casos la definición esimprobable que sea contradicha por otra definición basada en otra teoría. Sin embargo,en áreas como la filosofía o las ciencias sociales las definiciones teoréticas de unconcepto se contradicen frecuentemente.

Ejemplo:El concepto de «dialecto» es diferente, dependiendo si se define desde una

base antropológica o filológica. La definición de «Idioma Valenciano» es

diferente si se asume la teoría de la unidad de la lengua catalana o si se

asume la teoría de la independencia de la lengua valenciana.  Definición persuasiva: es una definición que trata de ser un argumento a favor de una

posición determinada (en oposición de una definición lexicológica, que trata de ser

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neutral para ser utilizada por todas las personas posibles). Como tal, cuando unadefinición se reconoce como persuasiva deja de aceptarse como legítima, yfrecuentemente es considerada como falaz.

Ejemplo:

Ambrose Bierce incluyó enormes cantidades de definiciones persuasivas ensu Diccionario del diablo, como «Espalda: Parte del cuerpo de un amigo que

uno tiene el privilegio de contemplar en la adversidad».  Definición por género y diferencia (ya mencionada anteriormente): es un tipo de

definición intencional en la que se define primero el género a que pertenece el objeto oidea a definir y después se mencionan las diferencias de la especie, (no necesariamentezoológica) definida con respecto a otras especies del mismo género. Aunque parecelimitarse a la taxonomía en realidad se hace en muchas definiciones de la vida diaria.

Ejemplo:

«coupé o cupé: automóvil de dos volúmenes, uno delantero para el motor y

uno trasero para el pasaje y el equipaje». Primero se especifica que perteneceal género automóvil y después se mencionan las características particulares

de los cupés.  Definición circular: la que asume una comprensión anterior del término que es

definido.

Ejemplo:

Podemos definir el «roble» como un árbol que crece a partir de una bellota, y

después definimos la «bellota» como la nuez producida por un árbol del

roble.

  Definición precisadora: Las definiciones precisadoras se utilizan en contextos donde lavaguedad de una definición lexicológica sería un problema. Muchasdefiniciones legales son definiciones precisadoras, así como las políticas de lascompañías. Se diferencia de la definición estipulativa en que la definición precisadorano puede contradecir la definición lexical, y la definición estipulativa sí puede hacerlo.

Ejemplo:

Una definición lexical de «estudiante» podría ser «persona que estudia». Pero un

museo que aplica descuentos a los estudiantes necesitaría unos criterios mucho más

precisos y restrictivos en esta definición siendo algo parecido a «Persona de edad

inferior a 18 años matriculada en un colegio público o privado».  Definición negativa (en contraposición a la definición positiva): la que establece loque no es una determinada cosa.

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BIBLIOGRAFIA

  UCA Lección de lógica3.pdf   CENTRO EDUCATIVO DE NIVEL TERCIARIO N° 2 INTRODUCCIÓN A LA

LOGICA SIMBOLICA  www.wikipedia.com/logica%matematica  J.A. Díez Iniciación a la Lógica, (Ariel, 2002) Cap. 2 (El lenguaje de la lógica

proposicional) y 3 (Semántica formal. Consecuencia lógica).  C. Badesa, I. Jané y R. Jansana Elementos de lógica formal.(Ariel, 2000)