EL MÉTODO DE LAS DERIVACIONES O DEDUCCIÓN NATURAL

ConceptoLa Deducción Natural o Derivación, es un método de demostración de validez de una argumentación. Este método es un procedimiento sintáctico, porque consiste en transformar las fórmulas que componen las premisas, mediante la aplicación de reglas o leyes lógicas, hasta llegar a la conclusión.

El método de las derivaciones es un método decisorio, que consiste en pasar de un conjunto de fórmulas (premisas), en una secuencia finita de pasos donde cada paso está justificado por una regla lógica del sistema en el que se trabaja, hasta obtener la fórmula que aparecen la conclusión del problema.

ProcesoNo hay una secuencia especial a seguir ni tomar algunas reglas rígidas, depende en todo caso del conjunto de premisas y tratar de buscar elementos comunes entre estas y justificar con las reglas de equivalencia o tautologías. Cada acción debe registrarse indicando los números que se trabajan así como la resultante.

El desarrollo de la deducción formal, se realiza a través de dos filas:

1. FILA DE PREMISASEn esta columna, se registra entre paréntesis los números de las premisas originales, que intervienen en la deducción de cada línea así como la conclusión luego de la última premisa seguida del símbolo: // que significa en conclusión, en consecuencia, luego, etc.

2. FILA DE SECUENCIAS O PASOSEn esta fila, se anotan numéricamente y secuencialmente las fórmulas que se obtienen cuando se aplican las reglas de equivalencias y/o tautologías notables, es en esta columna donde se deriva hasta hallar la conclusión en la última fila.

Nota: Deben de operarse con todas las premisas. Para la aplicación de las reglas lógicas se puede utilizar una o más premisas y las veces que sean necesarias siempre y cuando se usen las reglas adecuadamente.

FILA

DE

PREMISAS

P1) p

P2) p q

P3) ~ r ~ q

P4) s v ~ r // s

FILA

DE

DERIVACIONES

5) MP (2-1) q

6) MT (3-5) ~ ~ r

7) DN (6) r

8) SD (4-7) s

FORMULA VALIDA

1

Tipos de Derivación

a) Derivación Directa. o ( Prueba Directa)Consiste en demostrar la validez de la argumentación a través de pasos que conduzcan a la conclusión, partiendo de las premisas originales.

DEMOSTRACIÓN

P1 ~ s ~ r

P2 ~ ( p s )

P3 p ( ~ q r) //q

4 D.C. (2) ~ (~ p s)

5 D.M. (4) p ~ s

6 SIMP. (5) ~ s

7 M.P. (1-6) ~ r

8 SIMP. (5) p

9 M.P. (3-8) ~ q r

10 M.T. (7-9) ~ ~ q

11 D.N. (10) q

b) La prueba Condicional.

Llamada también demostración condicional, se emplea solo cuando la conclusión de la argumentación es una condicional o implicación. El procedimiento es exactamente similar a la prueba directa con la diferencia de agregar una premisa adicional que es el primer elemento de la condicional (conclusión) y buscar en la fila de derivaciones el otro elemento. En el último paso se debe unir a través de la Prueba Condicional (PC) la premisa adicional y el valor encontrado y de esa manera se ha encontrado la similitud con la conclusión del problema por lo que sería una fórmula válida.

DEMOSTRACIÓN

1. Se introduce el antecedente de la conclusión como premisa adicional. (P.A.).2. Se efectúan las deducciones, hasta conseguir el consecuente de la conclusión.3. Se une la premisa adicional y la expresión conseguida en el último paso,

condicionalmente (P.C.). Ejemplo:

P1 r tP2 p q

P3 s p

P4 s r //~ q t

5 PA ~ q

6 M.T. (2-5) ~ p

7 S.D (3-6) s

8 M.P. (4-7) r

9 M.P. (1-8) t

10 P.C. (5-9) ~ q t

2

c) La Prueba Indirecta o Reducción al Absurdo.

En este método se combinan la Prueba Condicional y la regla de Reducción al Absurdo. Básicamente, consiste en negar la conclusión y realizar las deducciones hasta llegar a la contracción.

PROCESO DE PRUEBA POR REDUCCIÓN AL ABSURDO

1. Se niega la conclusión y se introduce como premisa adicional (P.A).2. Se realiza la derivación hasta conseguir una contradicción.3. Se une la premisa adicional con la contradicción hallada condicionalmente (P.C.)4. Se establece la conclusión, sobre la base del paso o anterior, por R.A.

Ejemplo: P1 ~ q

P2 ~ p q

P3 r ~ p //~ r

P4 P.A r

P5 M.P. (3-4) ~ p

P6 M.T. (2-1) p

P7 CONJ (6-5) p ~ p

P8 P.C. (4-7) r ( p ~ p )

P9 R.A. (8) ~ r

Actividades

A) Encontrar las conclusiones derivadas, de acuerdo a las reglas aplicadas.a) b)P1 p p P1 q r P2 ( r s ) p P2 q s //p P3 s // 3 Simp. (2)

4 N.C. (1) 4 MP (1-3)

5 Simp. (4) 5 Simp. (2)

6 M.T. (2-5) 6 Conj. (4-5)

7 S.D. (6-3) 7 Adic. (6)

8 D.Cond. (7)

9 Transp. (8)

c) d)P1 ( p q ) q P1 rP2 ( r s ) q P2 t (q s )

P3 ( p q ) t // P3 p ( r q ) //

B) Resolver los siguientes ejercicios aplicando las reglas propuestas siguientes:

a) P1) ~ p ~ q b) P1) p sP2) ~ p P2) ~ sP3) ~ r q // r P3) ~ p s // s 4 ) MP (1-2) 4) MT (1-2)5 ) MT (3-4) 5) MP (3-4)6 ) DN (5) .

3

c) P1) p ( q v ~ r ) d) P1) p ( ~ q r )P2) p ~ q // ~ r P2) ~ ( p s )3) Simp (2) P3) ~ s ~ r // q 4) MP (1-3) 4) Df.Cond (2)5) Simp (2) 5) DM (4)6) SD (4-5) 6) Simp (5)

7) MP (1-6)8) Trans (3)9) SHP (7-8)10) Simp (5)11) MT (9-10)12) DN (11)

C) Aplique la prueba directa y la reducción al absurdo a cada uno de los ejercicios:a) b)P1 s v t P1 p ( s p )

P2 t P2 r pP3 p ~ s // p P3 s r // p

c) d) P1 ~ ( p q ) P1 ~ ( q ~ p )

P2 ~ p v (q v r) //r vs P2 q ~ r

P3 ~ p q //qr

4