1

UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA

LGICA PROPOSICIONAL

ASIGNATURA:

MATEMTICA DISCRETA

CARRERA:

INGENIERA EN SISTEMAS DE INFORMACIN

Dpto. I.S.I.

Prof.: Aguilar, Nancy; Del Valle, Graciela

Ao 2013

2

LGICA PROPOSICIONAL

Las reglas de la lgica le dan un significado preciso a los enunciados matemticos o

sentencias matemticas. Estas reglas se usan para distinguir entre argumentos vlidos y no

vlidos. Adems de su importancia en el razonamiento matemtico, la lgica tiene

numerosas aplicaciones en ciencias de la computacin. Ejemplos: diseo de circuitos de

ordenadores, construccin de programas informticos, verificacin de que un programa est

bien construido, etc.

PROPOSICIONES

Una proposicin es una oracin declarativa que es correcta o falsa, pero no ambas cosas a

la vez.

Ejemplos:

a) Resistencia es la capital del Chaco

b) Ober es la capital de Misiones

c) 1+1= 2

d) 3+3= 5

Ejemplos:

-Buenas noches

-Qu hora es?

Estas dos ltimas oraciones no son proposiciones porque no son declarativas.

x + 2 = 7

x + y = 8

Estas ecuaciones no son proposiciones porque no son ni verdaderas ni falsas, ya que no se

les otorg valor a las variables.

Para denotar proposiciones, por convenio utilizamos letras minsculas: p, q, r, s, etc.

El rea de la lgica que trata proposiciones se llama clculo proposicional o lgica

proposicional. Fue desarrollada sistemticamente por primera vez por el filsofo griego

Aristteles, hace ms de 2300 aos.

3

MTODOS PARA PRODUCIR PROPOSICIONES NUEVAS A PARTIR DE LAS

YA EXISTENTES

Definicin: Sea p una proposicin. El enunciado No se cumple p es otra proposicin,

llamada negacin de p. Se denota -p.

Tabla:

p -p

V F

F V

La tabla de verdad muestra las relaciones entre los valores de verdad de las proposiciones.

Ej.: Hoy es martes, su negacin, No se cumple que hoy es martes

CONECTIVOS U OPERADORES LGICOS

Se usan para formar nuevas proposiciones a partir de dos o ms ya creadas.

Conjuncin

Definicin: Sean p y q proposiciones. La proposicin p q, es la proposicin que es

verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. La

proposicin p se llama conjuncin de p y q.

Tabla:

p q p V V V

V F F

F V F

F F F

Otra forma: V se representa con 1, F se representa con 0

p q p 0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

4

Ejemplo: p: hoy es lunes q: hoy llueve

hoy es lunes y llueve

Disyuncin inclusiva

Definicin: Sean p q proposiciones. La proposicin p es la proposicin que es

falsa cuando tanto p como q son falsas y verdadera en cualquier otro caso. La

proposicin p q se llama disyuncin de p y q. Este tipo de disyuncin es inclusiva.

Tabla:

p q p V V V

V F V

F V V

F F F

Otra forma:

p q p 0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Ejemplo: p: hace calor q: traspiramos

hace calor y traspiramos

Disyuncin exclusiva

Definicin: Sean p y q proposiciones. El conectivo lgico o exclusivo de p y q,

denotado p q, es la proposicin que es verdadera cuando exactamente una de las

proposiciones p o q es verdadera y falsa en cualquier otro caso.

Tabla:

p q p V V F

V F V

F V V

F F F

5

Otra forma de expresar:

p q p 0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Ejemplo: p: veranearemos en el mar q: veranearemos en las sierras

veranearemos en el mar o en las sierras

Implicaciones

Definicin: Sean p y q proposiciones. La implicacin pq es la proposicin que es

falsa cuando p es verdadera y q es falsa y verdadera en cualquier otro caso. En esta

implicacin p se llama hiptesis (o antecedente o premisa) y q se llama tesis o

conclusin (o consecuencia). La implicacin a veces se denomina declaracin

condicional.

Tabla:

p q pq

V V V

V F F

F V V

F F V

Otra forma:

p q pq

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Existen muchas formas de expresar pq:

Si p, entonces q p implica q Si p,q

p soli si q p es suficiente para q Una condicin suficiente para q es p

q si p q cuando p q siempre que p

Una condicin necesaria para p es q q es necesario para p q se deduce de p

6

Ejemplo: Si hoy es viernes, entonces 2 + 3 = 5

Recproca, contrarrecproca e inversa

Hay implicaciones relacionadas con pq que pueden formarse a partir de ella.

Tabla:

p q -p -q pq qp -p-q -q-p

V V F F V V V V

V F F V F V V F

F V V F V F F V

F F V V V V V V

Las implicaciones contrarrecprocas son equivalentes porque tienen la misma tabla de

verdad.

Ejemplo:

p: llueve q: el equipo local gana

pq : si llueve, entonces el equipo local gana

Bicondicional

Definicin: Sean p y q proposiciones. La bicondicional o doble implicacin, pq, es

la proposicin que es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y

falsa en los otros casos.

7

Tabla:

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F V

La doble implicacin es verdadera, cuando las implicaciones pq y qp son

verdaderas. Debido a esto la terminologa p si, y solo si,q.

Otras formas:

p es necesario y suficiente para q p sii q si p, entonces q, y recprocamente

Ejemplo:

P: puedes tomar el vuelo q: compras un billete

puedes tomar el vuelo si, y solo si, compras el billete

Tautologa, Contradiccin y Contingencia

Definicin: Un enunciado compuesto es una Tautologa, cuando es siempre verdadero,

cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que lo componen.

Definicin: Un enunciado compuesto es una Contradicin, cuando es siempre falso,

cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que lo componen.

Definicin: Un enunciado compuesto es una Contingencia, cuando a veces es

verdadero, a veces falso.

Ejemplo de una tautologa y una contradiccin:

p -p p p^-p V F V F

F V V F

Ejemplo: -( p ) y -p^-q

p q -p -q p -( p -p^-q -( p V V F F V F F V

V F F V V F F V

F V V F V F F V

F F V V F V V V

8

Ejemplo: hacer la tabla

- p y pq

Tabla de equivalencias lgicas. Leyes lgicas

Equivalencia Nombre

p^Vp pv Fp

L. de Identidad

pvVV p^FF

L. de Dominacin

pvpp p^pp

L. Idempotentes

-(-p) p L. de la doble negacin

Pvq qvp p^q q^p

L. Conmutativas

(pvq)vr pv(qvr) (p^q)^r p^(q^r)

L. Asociativas

pv(q^r) (pvq)^(pvr) p^(qvr) (p^q)v(p^r)

L. Distributivas

-(p^q ) -pv-q -(pvq) -p^-q

L. de De Morgan

pv(p^q) p p^(pvq) p

L. de Absorcin

pv-p V p^-p F

L. de negacin o inversas

Equivalencias lgicas relacionadas con implicaciones

pq -pvq

pq -q-p

pvq -pq

p^q -(p-q)

-(pq) p^-q

(pq)^(pr) p(q^r)

9

(pr)^(qr) (pvq)r

(pq)v(pr) p(qvr)

(pr)v(qr) (p^q)r

pq (pq)^(qp)

pq -p-q

pq (p^q)v(-p^-q)

-(pq) p-q

REDES DE CONMUTACIN (CIRCUITOS LGICOS)

Una red de conmutacin est formada por cables e interruptores que conectan terminales

T1 y T2. Cuando un interruptor est abierto, entonces no pasa corriente por l. Lo indicamos

con 0; mientras que 1 indica que el interruptor est cerrado y por consiguiente pasa la

corriente por l.

pT1 T2

La corriente pasa de T1 a T2 si p o q estn cerrados. Los interruptores estn en

paralelo. Lo indicamos p v q.

T1 T2q

La red necesita que los dos interruptores estn cerrados para que la corriente circule de T1 a

T2. Los interruptores estn en serie y se representan con la proposicin p ^ q.

10

pT1

qT2

Una red de conmutacin puede ser simplificada.

Los interruptores de una red no tienen por que actuar independientemente unos de otros.

Estos se acoplan de manera que p est abierto (cerrado), si y solo si, -p est cerrado

(abierto) simultneamente.

Ejemplo:

T1 T2-q-p

q

(p^q) v [(-p^-q) v q]

Vamos a simplificar esta proposicin compuesta:

(p^q) v [(-p^-q) v q] (p^q) v [(-p v q) ^ (-q v q)] (p^q) v [(-p v q) ^ To] (p ^ q) v (-p v

q) [(p ^ q) v q] v p q v p

Red simplificada:

T1 T2-p

Puede hacer la tabla para comprobar que los resultados son equivalentes.

Ejemplo:

{(p ^ t) v [r ^ (t v q)]}^ -t ^ ( -r v t)

11

T1

p t

T2r

t

-q

-t-r

t

Vamos a simplificar:

{(p ^ t) v [r ^ (t v q)]}^ -t ^ ( -r v t) {(p ^ t ^ -t) v [r ^ (t v q) ^ -t]}

{(p ^ Fo) v [r ^ ( t v q) ^ -t]} ^ (-r v t) {Fo v [r ^[(t ^ -t) v (-q ^ -t)]} ^(-r v t)

r ^[Fo v (-q ^ -t) ^ (-r v t) [r ^ (-q ^ -t)] ^ (-r v t) (r ^ -q ^ -t) ^ (-r v t)

(r ^ -q ^ -t ^ -r) v (r ^ -q ^ -t ^ t) r ^ -r ^ -q ^ -t) v (r ^ -q ^ Fo)

(Fo ^ -q ^ -t) v (r ^ -q ^ Fo) Fo ^ Fo Fo

T1 T2

El interruptor est abierto. Cuando T1 recibe un estmulo elctrico, ste nunca llega a T2

{t ^ [(r ^ s) v (r^ s ^ -t)]} v -t

T1 T2

tr s -t

-t

Vamos a simplificar:

{t ^ [(r ^s) v (r ^ s ^ -t)]} v t [t ^ ( r ^ s)] v t ( t v t) ^ (r v t)

To ^ (r v t) ^ (s v t) (r v t) ^ (s v t) (r ^ s) v -t

12

Al simplificar me quedan solo 3 interruptores, 4 menos que La red original.

EXPRESIONES RELACIONALES Y CUANTIFICADORES

En matemtica y en ciencias de la computacin, aparecen expresiones relacionales del tipo

x 4; y2 9; x ; x < 0 mientras que y > 0. No son proposiciones ya que no se

puede establecer un valor de verdad. Pero se convierten en proposiciones lgicas, que

tienen valores de verdad 0 y 1 cuando se reemplaza a las variables x, y por valores

constantes.

Por ejemplo x es un nmero mayor que 5, no es una proposicin, pero la sustitucin de

la variable x por un valor bien especificado perteneciente a un dominio establecido, la

transforma en una proposicin y su valor de verdad depende de la sustitucin hecha.

Una Funcin Proposicional es una oracin del tipo P(x); x D, donde P(x) es una

expresin relacional en x o la representacin de una propiedad relativa al objeto

indeterminado x, mientras que x D es la indicacin de la pertenencia de x al

dominio D.

Ejemplo: La funcin proposicional x es un nmero par, x N

Donde x es un nmero par es una propiedad relativa al objeto y x N es la variable

en N y N es su dominio de definicin.

Ejemplo: P(x): 7 es un nmero par es una proposicin y su valor de verdad es falso.

T1 T2

r s

-t

13

EL UNIVERSO O DOMINIO DE LAS VARIABLES EN LAS FUNCIONES

PROPOSICIONALES

Al trabajar con Funciones Proposicionales, es importante fijar el universo o dominio al

que pertenece la variable x, dado que el valor de verdad de las proposiciones que puedan

obtenerse a partir de ellas puede depender de este universo.

Ejemplo: Consideramos la expresin relacional Q(z): z es solucin de la ecuacin x2 +x-

1=0.

En la funcin proposicional z es solucin de la ecuacin x2 +x-1=0, z Z, resulta

Q(a): a es solucin de la ecuacin x2 +x-1=0, es una propiedad siempre falsa. Por ejemplo:

son proposiciones falsas: Q(-5); Q(0); Q(3).

Pero si el dominio es el conjunto R en la funcin proposicional z es solucin de la

ecuacin x2 +x-1=0, z R, la sustitucin z por 0 es Q (0): 0 es solucin de la

ecuacin x2 +x-1=0, es una proposicin falsa; pero si

resulta (

),

una proposicin verdadera.

La verdad o falsedad de una proposicin, obtenida al reemplazar un valor de la variable x

en D, en una Funcin Proposicional, depende del dominio D de la Funcin

Proposicional.

Cmo se obtienen Proposiciones a partir de Funciones Proposicionales?

FORMA 1:

Por sustitucin: La variable se reemplaza por una constante perteneciente a un dominio o

universo dado.

Estas nuevas expresiones relacionales tambin se convierten en proposiciones.

Ejemplo: Sea la funcin proposicional en 2 variables:

S(x, y):Los nmeros x-3; y+2; x-y; 2x-y son nmeros positivos, x, y Z. Cuando se

sustituye una de las letras x por una constante de nuestro conjunto dominio o universo, se

sustituyen todas las apariciones que hace esta letra x en la expresin. Si x=3; S(3, y)

resulta:

S (3, y): Los nmeros 0; y + 2; 3 y; 6 y; son nmeros positivos, y z.

Si x = 3 e y = 5 entonces: S (3, 5): Los nmeros 0; 7; -2; 1 son nmeros positivos, siendo

S(3, 5) una proposicin falsa.

14

Definicin: Si P(x) y Q(x) son expresiones relacionales, tambin lo son: -P(x); Q(x) ^

P(x); Q(x) v P(x).

Ejemplo: La negacin de R(x): x es un nmero que es un cubo perfecto, x N, es la

expresin R(x): x es un nmero que no es un cubo perfecto, x N; o bien, no es cierto

que el nmero x sea un cubo perfecto, x N.

Ejemplo: La Funcin Proposicional U(x): x es un nmero mayor que 5 y x es un cubo

perfecto, x N, resulta de la conjuncin de las funciones proposicionales:

P(x): x es un nmero mayor que 5, x N

R(x): x es un nmero que es un cubo perfecto, x N

Entonces, se pueden construir expresiones relacionales de manera que:

- Resulte una proposicin verdadera para alguno o todos los valores de sus variables.

- Resulte una proposicin falsa para alguno o todos los valores de sus variables.

FORMA 2: Otra forma de obtener proposiciones a partir de expresiones relacionales o

funciones proposicionales es introduciendo el uso de smbolos, denominados

cuantificadores.

Escuchamos oraciones del tipo:

- Todos los ingresantes a la Universidad deben completar una ficha de inscripcin.

- Todas las materias tienen cursado anual.

- Algunas materias tienen cursado cuatrimestral.

- Existen alumnos que disfrutan estudiando.

Las frases: Para algn x; Para algunos x, y; Para todo x; Para todos x, y,

cuantifican a las Funciones Proposicionales e indican la frecuencia con la cual un sujeto

o varios cumplen una propiedad.

x, que se lee Para algn x se verifica; Existe un x tal

que; Para al menos un x se verifica. La propiedad Para algn x se cumple T(x) se

expresa como: x/ T(x).

Cuantificador Universal: x: que se lee Para todo x se verifica; Para cada x se

verifica; Para cualquier x se verifica. La propiedad Para todo x se verifica R(x) se

expresa como: x: R(x).

La expresin x, y/ S(x, y) se interpreta como: para algunos x,y se cumple S(x,y) y la

expresin x, y: S(x, y) se interpreta: Par todos x, y se verifica S(x, y).

15

Las expresiones relacionales cuantificadas (existencial o universalmente) son

Proposiciones, es decir expresiones que tienen valores de verdad, 0 o 1.

Consideramos a D:

x / P(x) es verdadera se existe al menos un a tal que P(a) es verdadera.

x / P(x) es falsa cuando P(a) es falsa para cualquier a del dominio.

x: P(x) es verdadera cuando P(a) es verdadera para cualquier a del

dominio.

x: P(x) es falsa cuando P(a) es falsa para al menos un a del dominio.

Ejemplo: Sean las expresiones relacionales: P(x); Q(x) y R(x), donde en todos los

casos x Z.

P(x): x es mayor o igual que 2

Q(x) : | |

R(x): x2

-5x+6=0

x / P(x) es verdadera ya que si x se reemplaza por 3, P (3) / 3 2, es una

proposicin verdadera. x: P(x) es falsa porque existe una sustitucin para x, por

ejemplo x = 0 donde, P(0): 0 2 es una proposicin falsa.

x / [ ] es una proposicin verdadera, existe x = 2 que convierte a P(2) / 2 2 y

Q(2) / | | = 2 es la conjuncin de proposiciones verdaderas.

x / R(x) es verdadera.

NEGACIN DE EXPRESIONES RELACIONALES CUANTIFICADAS

Como las expresiones relacionales cuantificadas son proposiciones, se pueden negar y as

obtener nuevas proposiciones.

-[ ] (Se lee: todo x, no se verifica la exp. relac. F(x))

-[ ]

Ejemplo 1: es V

-[ ]

es F

16

Ejemplo 2: La proposicin Existen ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros

cuyas soluciones no son enteras es verdadera, ya que la ecuacin 2x 3 = 0 tiene solucin

x = 3/2.

Su negacin Todas las ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros tienen

soluciones enteras es una proposicin falsa.

Ejemplo 3: siendo F(x): x es un entero mltiplo de tres es falsa. Su negacin es

verdadera: [ ].

Ejemplo 4: La negacin de [ ] es [ ] que es

lgicamente equivalente a [ ] (Falta hacer el desarrollo)

Ejemplo 5: La negacin de [ ] es [ ] y es [

].

EXPRESIONES QUE CONTIENEN MS DE UN CUANTIFICADOR

Ejemplo: (Ley conmutativa)

Pero tambin puede expresarse:

Definicin: Si P(x, y) es una expresin relacional en dos variables x, y con el mismo o con

distintos universos, entonces la proposicin es lgicamente equivalente a la

proposicin . Podemos expresar

.

Simplificando la notacin: .

Podemos expresar adems

Definicin: Si Q(x, y) es una expresin relacional en dos variables x, y con el mismo o

con distintos universos, entonces la propiedad es lgicamente equivalente a

la proposicin y se puede escribir:

y simplificando:

17

PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES DISTINTOS

La proposicin hace referencia a que para cada x seleccionado existe un y

tal que P(x, y). Cada valor seleccionado para la variable x produce una eleccin diferente

de la variable y.

La proposicin es existe un valor x para todos los y que verifica

P(x, y).

Ejemplo 1: Cuando expresamos para cada nmero entero x existe un entero y tal que

x + y = 0; hacemos referencia a que para cada nmero entero x existe un valor y que es

y = -x, tal que x + (-x) = (-x) + x = 0.

Considerando la expresin x + y = y + x = 0, que se lee existe un entero x tal que

para todos los enteros y, x + y = y + x = 0, es falsa, porque elegido un entero x, por

ejemplo x = 2, el nico valor de la variable y que satisface la igualdad es -2.

Del ejemplo vemos que, en general, la proposicin , no es lgicamente

equivalente a la proposicin .

Ejemplo 2: La proposicin , se refiere a que existe un nico valor de x para

todos los valores de y tales que P(x, y). La usamos en existe un elemento 0 tal que

para todo x es 0 + x = x + 0 = x (neutro de la suma en Z)

Ejemplo 3: H(x): x es impar y sea A = Z ;

Significa existe por lo menos un x que es impar, o lo mismo algunos nmeros

enteros son impares. Esto es verdadero.

-[ ]

Significa todos los x no son impares o todos los nmeros enteros son pares. Esto es

falso.

Ejemplo 4: Hay alumnos que estudian y trabajan

Este enunciado sugiere un cuantificador existencial y dos funciones proposicionales.

P(x): x estudia ; Q(x): x trabaja

[ ]

Negamos - [ ] [ ] P(x) v Q(x)

Significa cualquiera sea el alumno no estudia o no trabaja

18

Ejemplo 5: . Negar.

ALCANCE DE UN CUANTIFICADOR

Para determinar el alcance de un cuantificador aplicamos la siguiente regla:

Si un cuantificador no va seguido por un signo de puntuacin (parntesis, corchete o

llave), su alcance llega hasta la (s) variable (s) correspondiente (s) a la primera

funcin a su derecha.

Si un cuantificador va seguido de un signo de puntuacin izquierdo, su alcance

llegar hasta el signo de puntuacin derecho, o sea que su alcance se extender a

toda la expresin encerrada dentro de los parntesis, corchetes o llaves.

Variables ligadas: se llaman as a las variables que caen bajo el alcance de un

cuantificador.

Variables libres: se llaman as a las variables que o bien no tienen un cuantificador

correspondiente o bien no caen bajo el alcance de un cuantificador.

Ejemplos:

, el alcance del cuantificador llega hasta la x de la funcin F(x).

[ ] , el alcance del cuantificador llega hasta la x de F(x) y de Q(x),

pero no a la de R(x).

MTODOS DE DEMOSTRACIN

Frecuentemente nos preguntamos:

Cundo es correcto un argumento matemtico?

Qu mtodos se pueden utilizar para construir argumentos matemticos?

Para responder estas cuestiones vamos a definir algunos trminos:

Un Teorema es una sentencia que se puede verificar que es verdadera.

Para demostrar que un teorema es verdadero, debemos llevar a cabo una serie de sentencias

que constituyen un argumento llamado Demostracin.

Las sentencias que se utilizan en una demostracin pueden incluir axiomas o

postulados.

Los axiomas o postulados son enunciados o proposiciones que se aceptan sin demostracin.

19

Las Reglas de inferencia, son los medios usados para deducir conclusiones a partir de

otras afirmaciones, enlazan los pasos de una demostracin.

Falacias, son razonamientos incorrectos.

Lema es un teorema sencillo utilizado en la demostracin de otros teoremas.

Demostraciones complicadas son a veces ms fciles de entender haciendo uso de lemas,

los cuales se demuestran por separado.

Un Corolario es una proposicin que se puede establecer directamente a partir de un

Teorema que ya ha sido demostrado.

Una Conjetura es una sentencia cuyo valor de verdad es desconocido. Cuando se

encuentra una demostracin para una conjetura, sta se convierte en teorema.

Se usan para demostrar teoremas matemticos, y adems por sus muchas aplicaciones en

ciencias de la computacin.

Reglas de Inferencia

Mediante reglas de inferencia vamos a justificar los pasos de una demostracin. Luego de

una serie de hiptesis (o premisas) se llega de forma lgica a una conclusin.

Ejemplo: La siguiente proposicin [ ] es una tautologa que es la base de la

regla de inferencia llamada Modus Ponens.

Se indica:

p o p

Regla de Inferencia Tautologa Nombre

p Adicin

Simplificacin

[ ] Conjuncin o Ley de combinacin

[ ] Modus Ponens

20

[ ] Modus Tollens

[ ] Silogismo Hipottico

[ ]

[ ]

Silogismo Disyuntivo

[ ] Ley de Resolucin

Supongamos que son verdaderas las premisas:

Ej.1: Si llueve hoy iremos al cine. Est lloviendo hoy, la conclusin ser iremos al cine.

p q p q

1) Tambin podemos indicar:

2)

1) y 2) Modus Ponens 2)

Ej.2: Si n es mayor que 3, entonces n2 es mayor que 9, n es mayor que 3.

p q p

1) y 2) Modus Ponens

Ej.3: Si llueve hoy, entonces hoy no haremos un asado. Si no hacemos un asado hoy,

p -q -q

haremos un asado maana.

r

21

1)

2)

Silog. Hipottico

Si llueve hoy entonces haremos un asado maana.

Ej.4: Estamos a ms de 400 C hoy o la polucin es peligrosa. Estamos a menos de 40

0 C

hoy.

p q -p

1)

2)

1) y 2) Silog. Disyuntivo

Ej.5: Si hoy es feriado, se cerrar la facultad. La facultad no est cerrada hoy. Por lo tanto,

p q

hoy no es feriado.

-p

1)

2)

1) y 2) Modus Tollens

ARGUMENTOS VLIDOS

Se dice que un argumento deductivo es correcto si siempre que todas las hiptesis o

premisas son verdaderas, la conclusin tambin lo es. Mostrar que q se deduce

lgicamente de las hiptesis p1, p2,..,pn es lo mismo que mostrar que la implicacin

) es verdadera.

Cuando todas las proposiciones utilizadas en un argumento correcto son verdaderas, se

llega a una conclusin correcta.

No obstante un argumento correcto puede conducir a una conclusin incorrecta, si se

utilizan una o ms proposiciones falsas en el argumento.

Ej.1: Si

( )2 (

)2

22

por Modus Ponens esto es F porque se parti de una premisa F,

si bien es un argumento correcto.

Ej.2: Mostrar que las siguientes hiptesis conducen a la conclusin: estaremos en casa al

atardecer.

(Cuando hay muchas hiptesis o premisas, se necesitan varias reglas de inferencia para

demostrar que un argumento es correcto).

Esta tarde no hay sol y hace ms fro que ayer. Iremos a nadar solo si hay sol. Si no

-p q r p

vamos a nadar, daremos un paseo en canoa. Si damos un paseo en canoa, estaremos en

-r s s t

casa al atardecer.

3) -r

4)

5) p Simplificacin en 1)

6) r en 5) y 2) Modus Tollens

7) s en 6) y 3) Modus Ponens

8) t en 7) y 4) Modus Ponens

Ej.3: Si me mandas un mensaje por correo electrnico, entonces acabar de escribir el

p q

programa. Si no me mandas un mensaje por correo electrnico, me ir a la cama

- p r

23

temprano. Si me voy a la cama temprano, me levantar descansado.

r s

1)

2) p

3) r

4) q Contrarresproco en 1)

5) q 4) y 2) Silog. Hipottico

6) -q 5) y 6) Silog. Hipottico

Conclusin: Si no acabo de escribir el programa, me levantar descansado.

Ej.4: Estoy soando o estoy alucinado. No estoy soando. Si estoy alucinado, veo elefantes

P q -p q r

corriendo por la ruta.

1)

2) p

3) q

4) q 1) y 2) Silog. Disyuntivo

5) r 4) y 3) Modus Ponens

Ej.5: Si juego al futbol, entonces estoy dolorido al da siguiente. Uso la baera de

p q r

hidromasajes si estoy dolorido. No us la baera de hidromasajes.

q -r

1)

2) q

3) r

4) p 1) y 2) Silog. Hipottico

5) p 4) y 3) Modus Tollens

24

MTODOS PARA DEMOSTRAR TEOREMAS

Demostraciones directas: La implicacin se puede demostrar viendo que si p es

verdadera, entonces q debe ser verdadera tambin. Esto indica que la combinacin p

verdadero y q falso no ocurre nunca. Una demostracin de este tipo se llama

demostracin directa. Para realizar este tipo de demostracin, se supone que p es

verdadera y se utilizan reglas de inferencia y teoremas ya demostrados, para demostrar

que q debe ser tambin verdadera.

Definicin: El entero n es par si existe un entero k/ n = 2k y es impar si existe un entero k/

n =2k + 1.

Teorema: n es un entero impar, entonces n2 es un entero impar

Hip.) n es un entero impar

Tesis) n2 es un entero impar

Dem.) Suponemos que la hip. es V, entonces

n = 2k + 1, donde k es un entero

n2 = (2k + 1)

2 = 4k

2 + 4k + 1 = 2(2k

2 + 2k) + 1

n2 es un nmero impar(es una unidad mayor que el doble de un entero)

Demostraciones indirectas: La implicacin es equivalente a su contrarrecproca,

, la implicacin se puede demostrar viendo que su contrarrecproca es

verdadera. Un argumento de este tipo se llama demostracin indirecta.

Teorema: Si 3n + 2 es impar, entonces n es impar

Suponemos que la conclusin de esta implicacin es falsa, es decir n es par, entonces

n = 2k, para algn k.

3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1), por lo que 3n + 2 es par (por ser mltiplo de 2).

Como la negacin de la conclusin implica que la hiptesis es falsa, la implicacin

original es verdadera.

Demostracin trivial: Supongamos que la conclusin q de una implicacin es

verdadera. Entonces es verdadera, puesto que la sentencia tiene la forma o

, lo cual es cierto.

Por lo tanto, si se puede ver que q es verdadera, entonces se puede dar una definicin

llamada demostracin trivial.

Demostraciones vacuas: Supongamos que la hiptesis p de una implicacin es

falsa. Entonces es verdadera, porque la sentencia tiene la forma de o ,

y por tanto es verdadera. En consecuencia, si se puede demostrar que p es falsa,

entonces se puede dar una demostracin llamada demostracin vacua, de la implicacin

.

25