Captulo 1: Lgica Proposicional

1 lgebra y Geometra Analtica

10 lgebra y Geometra Analtica

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Lgica Proposicional

ProposicinUna proposicin es todo enunciado al que se le puede asignar uno y slo uno de los valores de verdad, que son:

VERDADERO (V) o FALSO (F)

Por lo general, las proposiciones se representan con las letras minsculas del alfabeto, desde la letra p en adelante, es decir, p, q, r, s, t, ... etc.

Ejemplo

a) La expresin 15 + 5 = 21 es una proposicin que se puede indicar brevemente de la formap: 15 + 5 = 21

cuyo valor de verdad es falso, lo que se indica medianteV(p) = F

b) Sea la proposicin

q: Santa Fe es una provincia argentina

V(q) = V

c) Sea la proposicin

r: el nmero 15 es divisible por 3

V(r) = VFunciones Proposiciones Si en la proposicin "cinco es mayor que tres" (en smbolos es 5 > 3) reemplazamos al nmero 5 por la letra x, se obtiene la expresin "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al nmero 5, sino a un nmero real cualquiera, entonces el enunciado x > 3 se denomina funcin proposicional y se anota p(x) o p(x). Una funcin proposicional en una variable o indeterminada x es un enunciado en el que aparece x como sujeto y que se convierte en una proposicin cuando se le asigna un valor especfico a la variable.

Ejemplo

Sea la funcin proposicional p(x): 2x-5 = 3. Si se remplaza x por 4 y x por 2, se obtienen, respectivamente, los siguientes valores de verdad: p(4) = V yp(2) = F

Ejemplos

p(x): 2x + 5 > 11. Si x = 4, p(4) = 13 ( 13 > 11 (Verdadero)

q(y): 3y + 7 = 11. Si y = 5, q(5) = 22 ( 22 = 16 (Falso)

r(x): 2x + 1 = 5. Si x = 2, r(2) = 5 ( 5 = 5 (Verdadero) ObservacinLas proposiciones pueden ser simples o compuestas, estas ltimas constan de dos o ms enunciados simples. EjemploSea la siguiente proposicin rr: Pitgoras era griego y era gemetra.

p

y

q

Se observan dos proposiciones simples. La primera, p, nos afirma que Pitgoras era griego y la segunda, q, que Pitgoras era gemetra.

Operaciones Lgicas

A partir de proposiciones simples es posible generar otras, las compuestas. Es decir, se puede operar con proposiciones utilizando para ello ciertos smbolos llamados conectivos lgicos.Operacin SmboloSignificado

Negacin

Conjuncin o producto lgico

Disyuncin o suma lgica

Implicacin

Doble implicacin

Diferencia simtrica o Disyuncin excluyente~

((((no .. o no es cierto que

. y .

o (en sentido incluyente)

implica , o si entonces

si y slo si

o (en sentido excluyente)

NegacinDada una proposicin p, se denomina negacin de p a otra proposicin denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Esta ley que define a la negacin lgica o simplemente negacin, se presenta generalmente, en forma resumida utilizando una tabla de doble entrada denominada tabla de verdad. La tabla de verdad de la negacin es:

p~p

V

FF

V

Ejemplo

Sea la proposicin p: 3 > 1, su negacin es ~ p: 3 1.

Se observa que V(p) = V y V(~ p) = F

NOTA: se trata de una operacin unitaria, pues se define para una proposicin.

Conjuncin o Producto LgicoDadas dos proposiciones p y q, se denomina conjuncin de estas proposiciones a la proposicin compuesta p ( q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

pqp ( q

V

V

F

FV

F

V

FV

F

F

F

La tabla que define esta operacin, establece que la conjuncin es verdadera slo si lo son las dos proposiciones componentes (en todo otro caso, es falsa). Es una operacin binaria.Ejemplosa) Sean las proposicionesp: 5 es un nmero imparq: 6 es un nmero par

Entonces la conjuncin entre p y q es

p ( q: 5 es un nmero impar y 6 es un nmero par

Se obtienen los siguientes valores de verdad:V(p ( q) = V

V(~p ( q) = F

b) Sean las proposicionesr: todos los nmero pares son divisibles por 2

~ r: existe un nmero par que no es divisible por 2

Qu valor de verdad tiene la proposicin compuesta r ~ r?Cualquiera sea la proposicin p qu valor de verdad tiene p ~ p?Disyuncin o Suma lgicaDadas dos proposiciones p y q, la disyuncin de las proposiciones p y q es la proposicin p ( q (se lee p o q) cuya tabla de valores de verdad es:

pqp ( q

V

V

F

FV

F

V

FV

V

V

F

La disyuncin o es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la disyuncin se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para evitar toda posibilidad de ambigedades, en matemtica se utiliza la disyuncin definida por la tabla precedente, que muestra que la disyuncin slo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas, o bien, se utiliza la disyuncin excluyente para interpretar otra situacin.

EjemploSean las proposiciones

p: 5 es un nmero impar y q: 6 es un nmero par

La proposicin compuesta que indica la disyuncin entre p y q es

p ( q: 5 es un nmero impar o 6 es un nmero par

El valor de verdad del enunciado compuesto anterior es

V(p ( q) = V

El valor de verdad del enunciado compuesto ~ p ( ~ q es V(~p ( ~q) = F

Implicacin o Condicional

Implicacin de las proposiciones p y q es la proposicin p ( q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:

pqp ( q

V

V

F

FV

F

V

FV

F

V

V

La proposicin p se llama antecedente, y la proposicin q se llama consecuente de la implicacin o condicional. La tabla nos muestra que la implicacin slo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Sean las proposiciones

p: Jos es mendocino y q: Jos es argentino La proposicin compuesta p implica q es

p ( q: Si Jos es mendocino, Jos es Argentino

V(p ( q)= V

V(p ( ~q)= F

V(q ( p)= F

Expresiones sinnimas

p ( q

Si p entonces q

Si p, q

Todo p verifica q

p implica q

p slo si q

q si p

q cuando p

Si adems V( p ( q ) =V, se dice quep es condicin suficiente para q y q es condicin necesaria para p

Ejemplo a) Sean las funciones proposicionalesr (x): x > 2

s (x): x2 > 4

El enunciado si x > 2 entonces x2 > 4, es una proposicin verdadera, por lo cual r es condicin suficiente para s, y s es condicin necesaria para r.El enunciado si x2 > 4 entonces x > 2, es una proposicin falsa, por lo cual s no es condicin suficiente para r, y r es condicin necesaria para s.

b) Sea la funcin proposicional 2x + 5 13, Es x 0 una condicin necesaria, suficiente, o necesaria y suficiente para que la proposicin sea verdadera?

c) La siguiente implicacin es verdadera:

"Si el tringulo T es equiltero, entonces T es issceles"

En este caso, se tienen las proposiciones

p: T es tringulo equiltero

y

q: T es tringulo issceles

La proposicin p es condicin suficiente para q, es decir, que un tringulo sea equiltero es suficiente para asegurar que es issceles. Por otra parte, T es equiltero slo si es issceles; es decir que un tringulo sea issceles es necesario para que sea equiltero.

Implicaciones asociadasDada la implicacin p ( q, que llamaremos directa, existen varias implicaciones asociadas, una de ellas es la implicacin contrarrecproca ~q ( ~p. Haciendo la tabla de verdadpqp ( q~p~q~q ( ~p

V

V

F

FV

F

V

FV

F

V

VF

F

V

V

F

V

F

VV

F

V

V

se observa que los valores de verdad de las implicaciones p ( q y ~q ( ~p son iguales. Se dice que las implicaciones contrarrecprocas son equivalentes, es decir, tienen el mismo valor de verdad.

Cmo son los valores de verdad de la implicacin p ( q y de la denominada implicacin recproca q ( p?

Doble Implicacin o Bicondicional

Doble implicacin de las proposiciones p y q es la proposicin p ( q (se lee "p si y slo si q") cuya tabla de valores de verdad es

pqp ( q

V

V

F

FV

F

V

FV

F

F

V

La doble implicacin o bicondicional slo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

La doble implicacin puede definirse como la conjuncin de una implicacin y su recproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p ( q puede obtenerse mediante la tabla de (p ( q) ( (q ( p), como vemos:

pqp ( qq ( p(p ( q) ( (q ( p)

V

V

F

FV

F

V

FV

F

V

VV

V

F

VV

F

F

V

EjemploSea el enunciado

a = b si y slo si a = b

donde a y b son nmeros reales cualesquiera.

Se observa que el enunciado est compuesto por las proposiciones:

p: a = b y q: a = b

Como V(p ( q) =V y V(q ( p) = F, entonces V(p ( q) = FOBSERVACINLa doble implicacin p ( q, es una operacin equivalente a la conjuncin de las implicaciones (p ( q) ( (q ( p) Si V(p ( q) = V, entonces V(p ( q) = V y V(q ( p) = V. Se tiene, observando el valor de verdad de la primera implicacin, que p es condicin suficiente para q y, teniendo en cuenta la segunda implicacin, ocurre que p es condicin necesaria para q.

Es decir, si V(p ( q) = V, entonces p es condicin necesaria y suficiente para q y, anlogamente, q es tambin condicin necesaria y suficiente para p.

Proposiciones lgicamente equivalentesDos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idnticas. De ser as se denota: p ( q

EjemploSea la proposicin compuesta p ( q, recordamos su tabla de verdad

pqp ( q

V

V

F

FV

F

V

FV

F

V

V

Ahora bien, si analizamos la proposicin compuesta ~p ( q, su tabla de verdad esp~p q~p ( q

V

V

F

FF

F

V

VV

F

V

FV

F

V

V

Se observa que las tablas de valores de verdad de ambas proposiciones son iguales. Se dice que ambas proposiciones son lgicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos:

(p ( q) ( (~p ( q)

Clasificacin de proposiciones: Tautologa, contradiccin y contingencia

Al conjunto de proposiciones, conectivos lgicos y smbolos de agrupacin lo denominamos frmula lgica. Por ejemplo,~ { (p ( q) ( (s ( t) }

Si al evaluar una frmula lgica, resulta que todos los valores de verdad son siempre verdaderos para cualquier combinacin de los valores de verdad de las proposiciones componentes, se dice que dicha frmula es una Tautologa o Ley lgica.

EjemploAnalizando la proposicin p ( ~p mediante la tabla de verdad, se tiene:

p~pp ( ~p

V

FF

VV

V

Se observa que para cualquier combinacin de las proposiciones p y su negacin ~p, la proposicin p ( ~p es siempre verdadera. Luego, la proposicin compuesta p ( ~p es una tautologa.EjemploSea la frmula lgica { ( p ( q ) ( p } ( q

La tabla de valores de verdad es:pqp ( q{ ( p ( q ) ( p }(q

V

V

F

FV

F

V

FV

F

V

VV

F

F

FV

V

V

VV

F

V

F

Se observa que, independientemente de la combinacin de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la frmula lgica es siempre verdadero. Esta frmula es una tautologa.

Si al estudiar una frmula lgica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha frmula es siempre falso, se dice que dicha frmula es una Contradiccin.

Ejemplo

Analicemos la frmula lgica p ( ~p

p~pp ( ~p

V

FF

VF

F

La frmula es siempre falsa, es una Contradiccin.

NOTA: Si una proposicin no es una tautologa ni una contradiccin (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una Contingencia.

Cuantificacin de las Funciones Proposicionales

Cuantificadores

A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificacin. Asociados a la indeterminada x, introducimos los smbolos (x y (x, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial, respectivamente. Las expresiones

para todo x, se verifica p(x) se denota en smbolos por ( x : p(x)

existe x, tal que se verifica p(x) se denota en smbolos por ( x : p(x)corresponden a una funcin proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo.

Una funcin proposicional cuantificada universalmente es V si y slo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a ella. Para asegurar la verdad de una proposicin cuantificada existencialmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la funcin proposicional.Ejemplosa) Todo nmero natural es entero.

b) Existen nmeros enteros que son naturales.c) Todo nmero entero es racional

d) Existen nmeros irracionales que son naturalesNegacin de funciones proposicionales cuantificadas

Un problema de inters, no slo en Matemtica, sino en las restantes ciencias, es la negacin de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, la negacin de

"Todos los enteros son impares" (( x : p(x))es

"Existen enteros que no son impares" (( x / ~p(x))Luego, para negar una funcin proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial y se niega la funcin proposicional. Cmo se niega una funcin proposicional cuantificada existencialmente?Demostracin Matemtica

Todo teorema matemtico se puede formular como una implicacinp (

q

Hiptesis Tesis

Premisa Conclusin

Esta implicacin puede ser V o F.

En el caso de ser falsa, basta con un contraejemplo para refutarla. En el caso de ser verdadera, hay que realizar una demostracin.Refutacin

V(p ( q) = F, slo sucede en el caso de que V(p) =V y V(q) = F, por lo que V(p (~ q) = V, razn por la cual, para dar un contraejemplo, se debe verificar queV(p (~ q) = VEjemploSea el enunciado si x (natural) es un nmero impar, entonces es mltiplo de 3.Como la implicacin es falsa, para refutarla, hay que buscar un nmero que sea impar pero que no sea mltiplo de 3, por ejemplo 7.

Demostracin

Para realizar una demostracin, se usan los llamados mtodos directos o indirectos.

Mtodo directo: a partir de la verdad de p se debe concluir en la verdad de q.Ejemplo

Sea el enunciado si n es un nmero par entonces n.m es par para todo nmero entero m.

Demostracin

Si n es un nmero par, n se puede escribir de la forma 2.k, siendo k un nmero entero, es decir

n = 2.k, luego m.n=m.(2.k)

= 2.(m.k)

= 2. t

Luego m.n es par ya que puede escribirse como 2.t, siendo t un nmero entero.Mtodos indirectos: I) Se utiliza la implicacin contrarrecproca, es decir, demostrar la verdad de p ( q es equivalente a mostrar la verdad de ~q ( ~p.

Ejemplo

Sea la implicacin directa siendo n entero, si n2 es par entonces n es parLa implicacin contrarrecproca es siendo n entero, si n es impar entonces n2 es imparDemostrando la verdad del enunciado contrarrecproco se demuestra la verdad de la implicacin directa.Demostracin

Si n es impar, puede escribirse de la forma n = 2k+1, siendo k un nmero entero, luegon2=(2k + 1)2

= 4 k2 + 4k + 12 = 2 (2 k2 + 2k) + 1, que es un nmero impar, luego, si n2 es par entonces n es par.II) Por contradiccin, como V(p ( q) = V, y se sabe por hiptesis que V(p) =V y se debe concluir que V(q) =V, entonces V(p (~ q) = F o una contradiccin.

Ejemplo

Probar que el opuesto de un nmero real es nicoObservamos que al valor V de p, la negacin le hace corresponder el valor F, y viceversa.

Mtodo Directo

p ( q

Verdadera

Falsa

Contraejemplo

Demostracin

Mtodos Indirectos

Contrarrecproco

Contradiccin

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