MATEMATICA I Matemtica bsicaESFAP - A

LOGICA PROPOSICIONALINTRODUCCIN

La lgica estudia los procesos validos del razonamiento humano. Es una disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es vlido, tiene aplicacin en todos los campos del saber; como en la filosofa, para determinar si un razonamiento es vlido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin embargo la lgica permite saber el significado correcto. Los matemticos usan la lgica, para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computacin, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseo de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lgicas con los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunicaciones (telefona mvil, internet,...)Existen dos tipos de razonamiento: Inductivo y Deductivo.Razonamiento Inductivo es el razonamiento por el cual una persona en base a sus experiencias especificas, decide aceptar como valida un principio general.Razonamiento Deductivo es, en cambio, el medio segn el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habr de determinar el curso de su accin.Lo que veremos es la lgica proposicional, a travs del uso y manejo de una simbologa adecuada.

ELEMENTOS DE LA LGICA SIMBLICA

I. ENUNCIADO: Es cualquier frase u oracin que expresa una idea.

PROPOSICIN (enunciado cerrado).- Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan con las letras minsculas del abecedario: p; q; r; s.

Ejemplos: Tpac Amaru muri decapitado.*9 < 10 *45 = 3 2 x2+y2 4 El perro es un pez

Expresiones no Proposicionales.- Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos.

Ejemplos: Cmo te llamas? Prohibido pasar Borra la pizarra Qu hora es? Viva el Per! Por favor mtame con pasin

OBSERVACIN: Toda proposicin es un enunciado, pero no todo enunciado es una proposicin.II. ENUNCIADO ABIERTO: Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores de verdad.

Ejemplo: Si en la proposicin: "cinco es mayor que tres" (en smbolos: 5 > 3) reemplazamos al nmero 5 por la letra x, se obtiene la expresin "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al nmero 5, sino a un nmero cualquiera, entonces al enunciado x > 3 se le denomina enunciado abierto.

Ejemplo: Si :

Se cumple que: Es verdadero Es falso

El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, tambin, se le conoce como funcin proposicional.

III. VARIABLE: Es una cantidad susceptible de variar en un determinado campo o recorrido a las variables representamos por las letras minsculas x, y ,z, t, u, v, y son denominados variables indeterminados.Ejemplo:Se tiene un numero real , si x, entonces x puede ser un nmero mayor o igual que 5 y su campo o recorrido es x5

PROPOSICIONES LOGICASEs todo enunciado abierto que puede ser calificado como verdadero o falso, sin ambigedad. Las proposiciones lgicas estn representadas por letras minsculas: p, q, r, t, etc. A la veracidad o falsedad de una proposicin se le llama valor de verdad.

Ejemplos: p: Huaraz es la capital de Ancash .Verdadero ( V ) q: 120+400=20 .. Falso ( F )

VALOR DE VERDAD.- Son dos valores posibles: Verdadero o Falso, y pueden esquematizarse en una tabla en la forma:p

VF

CLASES DE PROPOSICIONES:

1.Proposicin Simple o Atmica.- Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o trminos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden aparecer trminos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.Ejemplo: *Cincuenta es mltiplo de diez.* 8 es par* Carlos es muy bello* El hombre es bueno

2.Proposicin Compuesta o molecular: Formada por dos o ms proposiciones simples unidas por conectivos lgicos o por el adverbio de negacin. Ejemplo: *29 es un nmero primo y 5 es impar.* Samuel es artista plstico o msico* Hoy llueve y ayer hizo sol* Juan no es deportista Ejemplos Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:1. Vincent Van Gogh es un pintor. (Simple) 2. Sen 30 no es un nmero mayor que 1.(Compuesta) 3. El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple) 4. El 14 es factor del 42 y el 7 tambin es factor del 42. (Compuesta) 5. El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple) 6. El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta) 7. Si x es nmero primo, entonces x impar. (Compuesta) 8. Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. (Compuesta) 9. No todos los nmeros primos son impares. (Compuesta) Algunas aclaraciones a) No obstante que los ejemplos 3) y 4) gramaticalmente significan lo mismo, operativamente se consideran distintos. Similarmente 5) y 6). b) A veces proposiciones como la 8), aparecen escritas de la forma: 2x - 3 > 16, si x > 10.

CONECTIVOS LGICOS.- Son smbolos que enlazan dos o ms proposiciones simples para formar una proposicin compuesta. Los conectores lgicos que usaremos son:

OBS: La negacin es un conector mondico ("no", "no es cierto que..."), afecta solamente a una proposicin.Ejemplo: p; [(p*q) > r]; yo no estudi

OPERACIONES LGICAS Y TABLAS DE VERDAD

La validez de una proposicin compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen y se determina mediante una tabla de verdad.

1. Conjuncin: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lgico "y". (Pero, tambin, sin embargo, adems, tal como, no obstante, aunque, a la vez,)

Diagrama de Gant

Simblicamente se representa: & o Ejemplo:Juan est aqu y Erika ha salido

Para llegar a una solucin:Se divide la proposicin molecular y se simboliza cada Proposicin.As: A= Juan est aqu2. B= Erika ha salido3. Se identifica el conector lgico y se sustituye por su smbolo: A & B A ^ B.

Tabla de Verdad

Ejemplo:Si p: 14+5>15 y q: 8 es nmero par. Calcular el valor de verdad de p qSolucinpqpq

VVV

2. Disyuncin (dbil o inclusiva): Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lgico "o".

Diagrama de GantSimblicamente se representa:

Ejemplo:Jessica est con Lemus o est con Argelia

Se divide la proposicin molecular y se simboliza cada proposicin.As: A= Jessica est con Lemus B= Jessica est con ArgeliaSe identifica el conector lgico y se sustituye por su smbolo:A B

Tabla de Verdad

Ejemplo:Calcular el valor de verdad de p q. Si p: 5 >15 ; q: 8 es menor que 1. Solucinpqpq

FFF

3. Disyuncin Exclusiva o fuerte: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lgico "o ..........., o .............".

Se presenta cuando slo uno de sus miembros puede ser aceptado, el otro invalidado.Simblicamente se presenta: Tabla de Verdad

Ejemplo:Sea p: k es par y q: k es impar. Calcular el valor de verdad de p q. SolucinSi k es par, si puede ser impar (si p es V ; q es F)Si k es impar, no puede ser par (si p es F ; q es V)pqpq

VFV

FVV

Ejemplo: Nac en Huaraz o nac en Lima

4.Condicional o Implicativa: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lgico: "Si............, entonces..............Directas: sientonces., si.por lo tanto, conclusin, luego. pq Indirectas: Despus de las palabras cuando, si, , va el antecedente. (Cuando, si, cada vez que, ya que, debido a que, puesto que, a menos que no, porque, dado que, siempre que) qp.

Diagrama de Gant

Simblicamente se representa: Ejemplo:Cinthya est enfadada entonces Argelia llego tarde.

Se divide la proposicin molecular y se simboliza cada ProposicinA= Cinthya est enfadadaB= Argelia lleg tardeSe identifica el conector lgico y se sustituye por su smbolo: A B

Tabla de Verdad

La proposicin p es llamado antecedente y la proposicin q es llamado consecuente.

Ejemplo:Sea p: Alan Garca es presidente del Per ; q: 9 < 1. Hallar el valor de verdad de pqSolucinp: Alan Garca es presidente del Per ( V )q: 9 < 1 ... ( F )pqpq

VFF

5.Bicondicional o doble implicancia: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lgico: ".............. si y slo si .............." (si solamente si, cuando y slo cuando, entonces y slo entonces)

Tabla de Verdad

Ejemplo:Abigail es feliz si solo si Alejandro est con ella

Se divide la proposicin molecular y se simboliza cada ProposicinA= Abigail es felizB= Alejandro est con ellaSe identifica el conector lgico y se sustituye por su smbolo: A B

6.Negacin: Afecta a una sola proposicin. Es un operador mondico que cambia el valor de verdad de una proposicin. Libre: Cuando afecta a proposiciones compuestas. (Es falso que, no es cierto que, es imposible que)Ejemplo: No es cierto que juegues y bailes: (p q)

Binegacin: Negacin conjunta, es decir conjuncin de negaciones y se identifica con el trmino ni.Ejemplo: Ni atiende, ni estudia: p q

Diagrama de Gant

Ejemplo:Leonardo no gan la competencia.

Debido a que una proposicin debe ser siempre afirmativa, "no" dentro de la oracin es incorrecto. Para hacer que una proposicin sea negativa se realiza lo siguiente:1. Se escribe la proposicin de manera afirmativa.2. Se antepone el smbolo: ; ; no.

Ejemplo:Paris no est en Francia.a). Se escribe la proposicin de manera afirmativa: Paris est en Francia.b). Se simboliza la proposicin: G= Pars est en Francia.c). Se niega la proposicin: G.Por lo que se concluye: G= Pars no est en Francia.

Tabla de Verdad

Ejemplo: 2 es primo; su negacin es: 2 no es nmero primo.

OBSERVACIN: La cantidad de filas en una tabla es:

Donde n es la cantidad de proposiciones simples.

IMPORTANTE:

*Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos se dice que el esquema molecular es TAUTOLGICO.

*Se dir que el esquema molecular es CONTRADICCIN si los valores del operador principal son todos falsos.

*Si los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y una falsedad se dice que es CONTINGENCIA O CONSISTENTE.

EJERCICIOS PROPUESTOS

01.De los siguientes enunciados:*Qu rico durazno. *7 + 15 > 50 *Qu alternativa es correcta?

a)Una es proposicin. b)Dos son enunciados abiertos. c)Dos son expresiones no proposicionales. d)Dos son proposiciones. e)Todas son proposiciones.

02.Cuntas de las siguientes expresiones son proposiciones? *Dios mo .... se muri!*El calor es la energa en trnsito. *Baila a menos que ests triste. *Siempre que estudio, me siento feliz. *El delfn es un cetceo, ya que es un mamfero marino. a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

03.Dadas las siguientes expresiones: *El tomo no se ve, pero existe. *Los tigres no son paquidermos, tampoco las nutrias. *Toma una decisin rpida. *Hay 900 nmeros naturales que se representan con tres cifras. *La Matemtica es ciencia fctica. *Es imposible que el ao no tenga 12 meses. Cuntas no son proposiciones simples? a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

04.Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) VVFVb) VFVVc) VVVVd) VVVFe) FVVV

05.Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I.Si: 3 + 1 = 7, entonces: 4 + 4 = 8 II.No es verdad que: 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.III.Madrid est en Espaa o Londres est en Francia. a) VFVb) VVVc) VFFd) FVFe) FFF

06.Si : ; es falsa, determinar los valores de verdad de "p", "q" y "r". a) VVFb) VFFc) VVVd) VFVe) FFF

07.Si la proposicin: es falsa, deducir el valor de verdad de: a) Vb) Fc) V o F. d) No se puede determinar. e) Es V si p es F.

09.Si la proposicin compuesta:

Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas: a) p ; rb) p ; qc) r ; t d) q ; te) p ; r ; t

10.Si la proposicin: Es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientes frmulas: I.II.III.a) VVFb) VFVc) VVVd) VFFe) FVV 11.Indicar el valor de verdad de: I.II.III.a) VVVb) VFVc) VVFd) FVFe) FVV

12.Indicar el valor de verdad de: I.II.III. IV.a) VFVFb) VVVFc) FVFVd) VFFVe) FVVV

13. Sean p, q y r las proposiciones siguientes:p: "est lloviendo"q: "el sol esta brillando"r: "hay nubes en el cielo"Traducir las siguientes oraciones a notacin simblica utilizando las letras asignadas y los conectivos lgicos:1Est lloviendo y el Sol brillando

2Si est lloviendo, entonces hay nubes en el cielo

3Si no est lloviendo, entonces el Sol no est brillando y hay nubes en el cielo

4El Sol est brillando si, y slo si, no est lloviendo

5Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol est brillando

6O est lloviendo o el sol est brillando

14. Sean p, q y r del ejercicio 13. Traducir las siguientes proposiciones simblicas a oraciones en espaol:

15. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:a) si : 2+45 entonces 1+1=2 3>5b) Si 5>2 entonces 4+2=6 y 3+14c) No es verdad que: si -22 o 1>2d) Si 5+2 8 entonces no es verdad que: 4+610 5+3=8d) Si 6+15]xN/x+35 EJEMPLOS APLICATIVOS

x protege el circuito de luces SolucinPara cada x, x protege el circuito de luces.En este caso utiliza x para afirmar que cada elemento del universo tiene una cierta propiedad.Wx x protege el circuito de lucesPor tanto: (x) Wx Esta operacin no tiene lmites en el nmero de veces que pueden aplicarse especificaciones a la misma proposicin universal.

Solamente todas las personas de la ciudad de Huaraz dicen que existen los Ichic kollcosSolucinDel enunciado anterior vamos a sacar dos predicados:P(x): x es de la ciudad de Huaraz.D(x): x dice que existen los Ichic kollcos.Esto se puede traducir: x: P(x) D(x)*Para toda persona, si es de la ciudad de Huaraz, entonces dice que existen los Ichic kollcos.Para todo x, si no P(x) no D(x)*Para toda persona, si no es de Huaraz, entonces no dice que existen los Ichic kollcos.

"todas las hormigas son insectos"Solucin Para toda x, si x es hormiga entonces x es insecto que se puede simbolizar de la manera siguiente: (x)(Hx Ix) Donde Hx simboliza la expresin: " x es hormiga", e Ix simboliza la expresin "x es insecto". "hay animales carnvoros"Solucin Se observa que se puede escribir como: "existe al menos un x, tal que x es animal y x es carnvoro" que se puede simbolizar como: ( x)(Ax Cx).

Expresar todos los gatos tienen cola en clculo de predicados. Solucin: Hallar primero el mbito del cuantificador universal, que es Si x es un gato, entonces x tiene cola y se define como Gx x es un gato Cx x tiene cola (x) Gx Cx

Leer las siguientes proposiciones cuantificadas. Luego, explicar el significado de cada una y dar su valor de verdad.a. Todas las plantas son medicinalesSignifica que no hay plantas que no sean medicinales. Esta expresin es una proposicin en la cual se utiliza el cuantificador universal y su valor de verdad es falso.b. Algunos nmeros son pares.Significa que hay otros nmeros que no son pares. Esta es una proposicin en la cual se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.c. Slo en la tierra hay vida.Significa que no existe otro planeta en el cual haya vida. Esta expresin es una proposicin en la cual se usa el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.d. Uno de los mamferos es la vaca.Significa que hay otros mamferos. Esta es una proposicin con cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.e. Unos peces viven en el agua.Significa que hay otros peces que no viven en el agua. En esta proposicin se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es falso.f. Ningn estudiante tiene ms de 18 aos.Significa que todos los estudiantes tienen menos de 18 aos. Esta es una proposicin en la cual se utiliza el cuantificador universal y su valor de verdad es falso.

Negar las siguientes proposiciones cuantificadas:Luego, simbolizar la proposicin y la negacin.a. Todos los nmeros naturales son imparesNegacin: Existe por lo menos un nmeros natural que no es impar.b. Existe un nmero par que no es mltiplo de 4.Negacin: Todos los nmeros pares son mltiplos de 4

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Simbolizar, utilizando el cuantificador existencial las siguientes expresiones. Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones. Todo cetceo es un pez. Toda hormiga es un insecto. 2) Simbolizar, utilizando el cuantificador universal, las siguientes expresiones. Existe al menos una montaa. Hay cisnes negros. Existen animales carnvoros. Hay nmeros perfectos.3) Simbolizar los siguientes enunciados: Todo es perecedero. Hay marcianos. Alguien no es perfecto. No hay cosas slidas. Si todo es rojo, hay algo rojo. Nada se mueve. No todo es perecedero. Nada es perecedero. Algunos nmeros negativos no son enteros. Algunos gobiernos no respetan la libertad.4) Determinar los circuitos lgicos que representan a los siguientes esquemas moleculares:a) (p)(pq)b) p (q p)c) [{rq)p}r]qd) [(pq)p][(pq)p]e) (pq)[(pq)(pq)]

5) Representar mediante funciones booleanas los siguientes argumentos:a)

b)

c)

6) Determinar la menor expresin que representa al circuito dado:

7) simplificar los siguientes circuitos lgicos:

8) Dado el circuito lgico, hallar el circuito lgico ms simple posible.

9) Simbolizar los siguientes enunciados: 1) Hay cisnes negros. 2) Existen animales carnvoros.3) Hay nmeros perfectos.4) Existen ciudades de clima fro.5) Todos los nevados son peruanos.6) Hay cetceos que son peces.

10) Simbolizar, utilizando el cuantificador existencial las siguientes expresiones. Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones. Todo cetceo es un pez. Toda hormiga es un insecto.11) Simbolizar, utilizando el cuantificador universal, las siguientes expresiones. *Existe al menos una montaa.*Hay cisnes negros.*Existen animales carnvoros.*Hay nmeros perfectos.

12) Verificar que la negacin de:a) x: y: z: (x+y)=z es x:y: z: (x+y z)b) y: x: (xy2) es y: x: (xy>2)c) x: [p(x) q (y)] es x: [p(x)q(y)]d) x: y: [p(x)yx] es x: y: [p(x)y>x]

13) Negar y hallar el equivalente de la siguiente proposicin: Es de da y toda la gente se ha levantado.

TEORIA DE CONJUNTOS

Tiene un concepto primitivo, se acepta sin definicin. Pero por su importancia en todas las ramas de la matemtica aceptamos la siguiente definicin: Es toda agrupacin, coleccin o reunin de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha agrupacin. Los objetos que pertenecen a un conjunto se llaman elementos.Notacin: Se representan con letras maysculas: A, B, C,; y a los elementos con letras minsculas: a, b, c,RELACION DE PERTENENCIA ()Es un smbolo que relaciona a los elementos de un conjunto con el mismo conjunto. Notacin: x A se lee: x pertenece al conjunto A La negacin de: x A es x A y se lee: x no pertenece al conjunto ASi la proposicin x A es VERDADERA, entonces la proposicin x A es FALSA o viceversa.OBSERVACIONES Sea M el conjunto formado por las letras: a; b; c; d; e. del mismo modo podemos escribir: aM; bM; cM; dM; eM; fM.Representacin: Sea M el conjunto formado por las menciones artsticas: pintura, msica, escultura, cermica. Del mismo modo podemos escribir: pinturaM; msicaM; esculturaM; cermicaM; DerechoM; ContabilidadM.Representacin: : Ejemplo: sean los conjuntos: ; DIAGRAMA DE VENN EULER (John Venn, matemtico y filsofo britnico)Para facilitar la resolucin de problemas se usa los diagramas de VENN, estos pueden ser curvas, cerradas, etc.

DETERMINACION DE CONJUNTOSUn conjunto est bien determinado, cuando se conoce con exactitud qu elementos pertenecen o no al conjunto.Un conjunto puede determinarse de dos formas: por extensin y por comprensin.POR EXTENSIN: Un conjunto se designa por extensin, cuando es posible indicar explcitamente sus elementos de dicho conjunto, sealndolo uno a continuacin del otro.Ejemplo: se lee: M es el conjunto formado por los nmeros consecutivos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.POR COMPRENSION: Un conjunto se designa por comprensin, cuando los elementos del conjunto pueden expresarse mediante una propiedad caracterstica nica y comn a ellos.Ejemplo: se lee: N es el conjunto de las x pertenecientes a los nmeros enteros, tales que, los x sean mayores que 0 y menores que 12.CONJUNTOS NUMRICOSEn matemtica los conjuntos numricos caractersticos que se estudian son: .a) CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES ()Los nmeros naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los nmeros naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la particin de las unidades, y solamente expresan valores positivos.N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... ... ..., n,..}Nota: algunos autores consideran los nmeros naturales a partir del 1 y no del cero.b) CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS ()En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que estn antes o por debajo del valor que consideramos punto de partida o valor cero. Ha sido necesario ampliar el conjunto de los nmeros incluyendo tambin los negativos, para ello aadimos al nmero natural un signo + o - .De esta manera han surgido los nmeros enteros, que expresan valores que van de uno en uno, pero permiten expresar valores positivos y tambin valores negativos.Z={... ... ... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ... ... ...}c) CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES ()Es un nmero de la forma a/b en donde b es diferente de 0 y se encuentran ubicados dentro de los nmeros reales.

d) CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES ()Son aquellos que se escriben mediante una expresin decimal con infinitas cifras y no peridicas. Dicho conjunto lo denotamos por "I"

e) CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES (Por nmero real llamaremos a un nmero que puede ser racional o irracional, por consiguiente, el conjunto de los nmeros reales es la unin del conjunto de nmeros racionales y el conjunto de nmeros irracionales. El conjunto de los nmeros reales es el conjunto de todos los nmeros que corresponden a los puntos de la recta:

f) CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS (

A toda expresin de la forma a + bi donde a y b son nmeros reales e i es la unidad imaginaria () recibe el nombre de Nmero Complejo. x>0Se designan a los nmeros complejos con la letra ; as: = a + bi (a)Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de esta forma: Re(C) = aY a la segunda parte de la componente "b" se llamar PARTE IMAGINARIA. Im(C) = bCuando un nmero complejo se dice imaginario puro?Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi es un Nmero Imaginario Puro. Es decir, es un Nmero Imaginario Puro, Cuando su parte real vale 0.Ejemplo: x2 + 16 = 0x2 = - 16x= x= 4ix1= 4i; x2= - 4i

CONJUNTO FINITOEs el conjunto que est formado por un nmero limitado de elementos.Ejemplos: ; ; etc.CONJUNTO INFINITOEs el conjunto que est formado por un nmero infinito de elementos.Ejemplos:; ; etc.RELACIONES ENTRE CONJUNTOSa) INCLUSION DE CONJUNTOS (SUBCONJUNTOS).- Se dice que el conjunto A es un subconjunto B, o que A esta contenido en B o que A es parte de B, si todos los elementos de A pertenece al conjunto B. La relacin se da de Conjunto a Conjunto.Notacin: Se lee: A esta incluido en BA esta contenido en BA es parte de BDefinicin Simblica: Ejemplo: Sean los conjuntos: A={2,4,6,8}; B={2,4,6,8,10,12}; M={a,b,c,d,e}; N={b,c,d,m,n}, podemos afirmar que:i) , porque todos los elementos de A est en B.ii) , porque algunos elementos de M no estn en N.REPRESENTACION GRAFICA: b) SUBCONJUNTO PROPIO.- Diremos que A es subconjunto propio de B, si ABNotacin: se lee: A es subconjunto propio de B A es una parte propia de BEjemplo: Sea el conjunto R={1,2,3} es un subconjunto de P={1,2,3,4,5,6}, puesto que RP adems 4P, 5P, 6P tal que 4R, 5R, 6RPROPIEDADESa) AA .(Propiedad reflexiva)b) Si AB BD AD......(Propiedad Transitiva)c) Si: AB BA A=B ... (Propiedad Antisimetrica)d) A... ( conjunto A, donde es el conjunto vacio)c) IGUALDAD DE CONJUNTOS.- Dos conjuntos A y B se dice que son iguales si y solo si AB y BA.Definicin simblica: A=B [ AB BA]PROPIEDADESa) A=A, A ..(Propiedad reflexiva)b) A=B y B=C A = C .. (Propiedad transitiva)c) A=B B=A (Propiedad de simetra)d) CONJUNTO POTENCIA DE UN CONJUNTO.- Dado un conjunto A, definimos el conjunto potencia de un conjunto formado por todos los subconjuntos de A.Notacin: o por se lee: el conjunto potencia de A el conjunto de partes de A.Definicin simblica: se lee: el conjunto potencia de A, es igual conjunto de los elementos x, tales que, los x son subconjuntos de A.Adems, si el nmero de elementos de A es k, k, entonces el nmero de elementos de 2A es 2k.Ejemplo: Hallar el conjunto potencia de: M = {1,2}.SolucinSabemos que: n(M)=2 y n(2M)=22=4Luego se tiene: M={{1},{2}, {1,2},}, cuatro subconjuntos.Ejemplo: Hallar el conjunto potencia de: N={a, {1,b},c}.SolucinSe tiene: n(N)=3 y n(2N)= 23=8Luego los subconjuntos son: N={{a},{{1,b}},{c},{a,{1,b}},{a,c},{{1,b},c},,N}Ejemplo: Hallar el conjunto potencia de: P={1,{n,m},a,{b}}.

CONJUNTOS ESPECIALES1. CONJUNTO VACIO.- Es el conjunto que no tiene elementos y se representa simblicamente por: (phi), se define por: ={x/x x} se lee: para cualquier numero x tal que, x es diferente de x, no se satisface para algn elemento. Ejemplo: Sea C={x/ 8