Mg. MAXIMO TEJERO ALEGRE

LÓGICA

CUANTIFICADORES

ORIENTACIONES

Para tener una visión mas amplia sobre Lógica formal Cuantificadores: universal y existencial es necesario que realicen lo siguiente:* Leer el texto de lectura obligatoria.* Leer la Ayuda de la semana 6* Desarrollar la autoevaluación de la semana 6.* Participar en el Foro de la semana 6* Hacer comentario en el blog del curso

CUANTIFICADORES

Función Proposicional

Es aquel enunciado que contiene una variable y que tiene la propiedad de convertirse en verdadero o falso para cierto valor de la variable. Las funciones proposicionales se pueden representar por: p(x), q(x), r(x), etc., donde “x” sería la variable.

CUANTIFICADORESEjemplo:

p(x): “x” es un número par

Si en p(x) a “x” le damos diferentes valores tendremos:

para: x = 4 → p(4): 4 es un número par (verdadero)

para: x = 9 → p(9): 9 es un número par (falso)

Como puede verse, dependiendo del valor de la variable podemos obtener resultados diferentes.

CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Cuantificador universal

Si a una función proposicional, le anteponemos la expresión “para todo x”, estaremos indicando el sentido universal de dicha función proposicional, obteniéndose ahora una proposición lógica.•Notación: x: p(x)∀•Se lee: “para todo “x”, se verifica p(x)”.

CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Ejemplo:

∀ x : 2x + 3 > 0∈•Tenemos una proposición lógica, cuyo valor es falso, por que no todos los valores de “x” cumplirán la proposición, por ejemplo:

para x = – 4, no se cumple.

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Cuantificador existencial•Si a una función proposicional, le anteponemos la expresión “existe un “x” tal que”, estaremos indicando el sentido existencial (que exista) de dicha función.•Notación: x/ p(x)∃•Se lee: “existe un “x”, tal que, se verifique p(x)” o “al menos un “x”, verifica p(x)”.

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

• Ejemplo:

• ∃ x / x2 ≤ 0∈• Si: x = 1; 2; 3; –1/2, etc. la proposición sería

falsa pero podemos darnos cuenta que si:

x = 0, se cumple la desigualdad, ya hemos encontrado por lo menos un “x”, que verifique p(x), por lo tanto es una proposición lógica, cuyo valor es verdadero.

NEGACION DE CUANTIFICADORESNegación de proposiciones con cuantificadores•~ x: p(x) = x /~p(x)∀ ∃•~ x / p(x) = x; ~p(x)∃ ∀•Ejemplos:

•Negar las siguientes proposiciones:

• p(x): x R / 2x + 5 > 10, entonces: ∃ ∈~p(x): x R ; 2x + 5 ≤ 10∀ ∈

• q(x): x ; “x” es un número primo, entonces: ∀ ∈~q(x): x / “x” no es un número primo.∃ ∈

EJERCICIOS

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones son funciones proposicionales?

• p(x): x > 4 • r(x): x2 + 1

2. Dada la función proposicional:

p(x): 2x + 5 > 0,

hallar el valor de verdad de:

• p(1) • p(–3)

EJERCICIOS3. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4}, hallar el valor de verdad de cada proposición.

• ∀ x A: x + 1 > 3∈• ∃ x A/ x – 4 > 0∈

4. Expresar en forma simbólica:

• Para todo “x” natural; x3 es mayor que 8

• Existe un “x” entero tal que x2 sea igual a 4

5. ¿Cómo se lee?:

• ∀ x / x > 3 ∈ • x / x < 0∃ ∈

EJERCICIOS6. ¿Cuál de las siguientes expresiones son funciones

proposicionales?

•A. p(x): x2 + x > 0

•B. q(x): “x” es un número par

•C. r(x): 2x – 7

7. Dada la función proposicional, p(x): x2 – x < 0,

•hallar los valores de verdad para:

x = 1; x = – 2; x = 1/2

EJERCICIOS

8. Dado el conjunto: A = {2; 3; 4; 5; 6}, hallar el

valor de verdad de cada proposición.

• ∀ x A / x2 < 40∈• ∃ x A / x + 4 es primo∈• ∀ x A / x2 > x∈

9. Dado el conjunto: A = {– 2; – 1; 0; 1; 2}, hallar el valor de verdad de cada proposición.

• ∀ x A / x2 > 0∈• ∀ x A / x2 + x ≥ 0∈• ∃ x A / x(x – 1) = 6∈

EJERCICIOS

9. Hallar el valor de verdad de “p”, “q” y “r”.

• p: x / 0x = 0∀ ∈• q: y / y2 = – y∃ ∈• r: x / x2 > 0∀ ∈

10 . La negación de la expresión:•Para todo número real “x” existe un número

real “y” tal que: x.y ≥ 0

GRACIAS