Logica Simbolica y Demostraciones

Introduccion al Calculo

Diego Alejandro Mejıa Guzman

El estudio de las formas de pensamiento y los metodos de razonamiento se remonta desde el siglo V a.C.en las civilizaciones de China, India y Grecia. Fue en tiempode Aristoteles donde esta ciencia del lenguajey la argumentacion tomo el nombre deLogica1, la cual se estudio desde lafilosofıa. No fue sino hasta elsiglo XIX que la logica comenzo a formar parte de las matem´aticas: bajo el nombre delogica sımbolica omatematica, se lograron modelar los metodos argumentativos a partir de un lenguaje basico y un (pequeno)conjunto de principios que, mediante calculos “matematicos” sencillos, permiten generar las leyes univer-sales del razonamiento.

Si bien es cierto que la logica tiene distintos enfoques, las matematicas estan fundamentadas sobre laLogica Clasicay es donde centraremos el estudio de este capıtulo. Otro tipo de logicas, como lamodal,difusay probabilıstica, entre otras, aunque presentan formas alternativas e interesantes de estudiar los meto-dos de razonamiento, no haran partes de este curso, puesto que sobre estos no se fundamenta la matematicaformal.

La logica simbolica, en principio, se caracteriza por estructurar el razonamiento desde lasintaxis, es de-cir, desde el lenguaje y los principios logicos, de forma independiente al significado de las afirmaciones in-volucradas. Dar a entender lo anterior sera el proposito de este capıtulo, el cual no desarrollaremos con la rig-urosidad total con que se estudia, pero sı con la suficiente para dar al razonamiento un esquema matematicoclaro y para dar un primer indicio de la estructuracion formal de las matematicas.

Dividimos este capıtulo en cinco secciones: en la primera seccion estudiamos elCalculo Proposicional,donde introducimos la notacion basica de la logica simb´ologica, para luego materializar la forma de efectuardeduccionesen la segunda seccion. En la tercera seccion extendemos ellenguaje de la logica y proponemos,de forma intuitiva, elCalculo de Predicados. Las tres secciones anteriores permiten introducir losmetodosde demostracion en matematicas, los cuales estudiamos en la cuarta seccion. Por ultimo, introducimos lanotacion de laTeorıa de Conjuntos.

1. El Calculo Proposicional

El Calculo Proposicionales la primera forma en la logica clasica sobre la cual se analizan el argumentologico mediante metodos matematicos sencillos. Lo primero que hay que entender para su estudio es ellenguajesobre el que se presenta, el cual consta de pocos, pero poderosos ingredientes. A continuacionintroducimos paso a paso cada sımbolo de este lenguaje, junto con su respectiva interpretacion.

1. Letras (Predicativas). Usamos las letras del alfabeto para respresentar afirmaciones a las cuales se les

1Proviene del griegologos, que significa “palabra, pensamiento, argumento”.

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puede dar unvalor de verdad. Por ejemplo,

P : 1 + 1 = 2.Q : Esta lloviendo.R : Las vacas vuelan.

En este caso,P es una afirmacion verdadera,Q es verdadera o falsa segun el contexto yR es falsa (almenos en este planeta). Es importante que una afirmacion representada por una letra predicativa puedatomar un valor de verdad, por lo cual denotamos porV el valor verdad, y por F el valor falso. Porejemplo, frases como “π” “tres relojes” “duermete” o “hazme un favor” nose pueden representar poruna letra predicativa, puesto que no toman valores de verdado falso. Por lo tanto, no se consideran comoafirmaciones del calculo proposicional.

Los siguientes signos los llamaremossımbolos logicos, los cuales son operadores que se aplican a afir-maciones para modificar su valor de verdad. Cada sımbolo logico tiene su propio significado y sutabla deverdad, la cual se define en relacion a su significado.

2. Negacion ¬. Si P es una letra predicativa,¬P denota lanegacion deP y se lee como “noP ” o “ne-gacion deP ”. Retomando los ejemplos en 1.,¬P representa “1 + 1 6= 2”, ¬Q es “No esta lloviendo” y¬R significa “las vacas no vuelan”. Intuitivamente,¬P toma el valor de verdad contrario al que tomaP ,es decir,¬P toma el valorF si P esV, y ¬P toma el valorV si P esF. Por lo tanto, dada una letraParbitraria,la tabla de verdad de la negacion esta dada por

P ¬P

V FF V

Cuadro 1: Tabla de verdad de la negacion.

3. Disyuncion ∨ . Dadas dos letrasP y Q, denotamos porP ∨ Q la disyuncion entreP y Q, la cual se leeP o Q. Esta representa que se cumple al menos unade las opciones entreP y Q. Por ejemplo, si

P : 1 + 1 = 2Q : Esta lloviendo.R : 1 ∈ ∅ (∅ representa el conjunto vacıo)S : El ser humano es un mamıfero.

entoncesP ∨ R significa “1 + 1 = 2 o 1 ∈ ∅”, la cual es una afirmacion verdadera, pues al menos1 + 1 = 2 es verdad;Q ∨ S significa “esta lloviendo o el ser humano es un mamıfero”, lo cual es verdad,ya que “el ser humano es un mamıfero” es verdad, sin importarque valor de verdad tomeQ. En casoen que no estuviese lloviendo en este momento,Q ∨ R es una afirmacion falsa, pues ninguna de las dosopcionesQ ni R son verdaderas. De una forma mas esquematica, para dos afirmaciones arbitrariasP yQ, presentamos latabla de verdad de la disyuncion como2

2En la logica clasica la disyuncion se tomainclusiva, es decir, que es verdadera incluso cuandoP y Q son verdaderas. Unadisyuncion exclusiva es verdad cuando solo una de las dos opciones es verdadera. No hay necesidad de introducir un sımbolo paraeste tipo de disyuncion, pues mas adelante se puede ver queesta representada por¬(P ⇔ Q).

2

P Q P ∨ Q

V V VV F VF V VF F F

Cuadro 2: Tabla de verdad de la disyuncion.

4. Conjuncion ∧ . Dadas dos letrasP y Q, denotamos porP ∧ Q la conjuncion entreP yQ, la cual se leePy Q. Esta representa que se cumplen ambas afirmacionesP y Q. Si consideramos el ejemplo de 3.,P ∧ Rsignifica “1 + 1 = 2 y 1 ∈ ∅”, lo cual es falso ya que1 ∈ ∅ es falso y, por lo tanto, ambas afirmacionesno son ciertas a la vez.P ∧ Q representa “1 + 1 = 2 y esta lloviendo”, lo cual sera verdadero solo encaso de queQ sea verdadera, yP ∧ S representa “1 + 1 = 2 y el ser humano es un mamıfero”, lo cual esverdadero. Lo anterior se expresa de una forma mas sencillacon la tabla de verdad correspondiente a laconjuncion, paraP y Q letras arbitrarias.

P Q P ∧ Q

V V VV F FF V FF F F

Cuadro 3: Tabla de verdad de la conjuncion.

5. Implicaci on ⇒ . Este es el sımbolo mas importante del Calculo Proposicional, pues expresa la relacionde causa y efecto entre dos afirmaciones.P ⇒ Q se lee de varias formas, como “P implica Q”, “ P escausa deQ”, “de P se sigueQ”, “si P entoncesQ”, “ P es condicion suficiente paraQ”, “ P solo siQ”, “ Q es efecto deP ”, “ Q es condicion necesaria paraP ”, entre otras. Dada una implicacionP ⇒ Q,llamamosP el antecedente de la implicacion, y aQ el consecuente de la implicacion. El valor de verdaddeP ⇒ Q se define bajo la clausula “causas verdaderas conyevan consecuencias verdaderas”, por lo cualsu tabla de verdad se define como

P Q P ⇒ Q

V V VV F FF V VF F V

Cuadro 4: Tabla de verdad de la implicacion.

Bajo la clausula es evidente el valor en la primera y segundafila, pues la consecuencia de una afirmacionverdadera no puede ser falsa, sino verdadera. El valor deP ⇒ Q en la ultima fila esV debido a la leydel contrarrecıproco: “nunca se pueden cumplir las causas de una afirmacion falsa”; en la tercera fila elvalor se presenta mas como una convencion respecto a que “causas falsas pueden tener consecuencias

3

verdaderas”. Por ejemplo,P : 4 divide a 3Q : 3 es parR : Socrates es hombreS : Socrates es mortal

La afirmacionR ⇒ S dice que “si Socrates es hombre, entonces es mortal”, lo cual es verdadero ya quetodos los hombres son mortales. Sin embargo,R ⇒ Q es falsa, pues significa “si Socrates es hombre,entonces 3 es par” indicando que una afirmacion verdadera (Socrates es hombre) tiene una consecuenciafalsa (3 es par). Por otra parte,Q ⇒ S es verdadera ya que, aunque tiene una causa falsa, la consecuenciaes verdadera. Por ultimo,P ⇒ Q es verdad, aunque ambas afirmacionesP y Q sean falsas. Esto se debea que “todo numero divisible por cuatro es par”y si se suponeque 3 es divisible por cuatro (sin importarque sea falso) su consecuencia sera, ineludiblemente, que3 es par.

6. Equivalencia ⇔ . Dadas dos afirmacionesP y Q, P ⇔ Q se leeP equivale aQ. Intuitivamente,P ⇔ Qdenota que las afirmacionesP y Q tienen el mismo significadoo, en terminos de tablas de verdad, quetienen el mismo valor de verdad. Bajo esta clausula, la tabla de verdad de la equivalencia se presentacomo sigue

P Q P ⇔ Q

V V VV F FF V FF F V

Cuadro 5: Tabla de verdad de la equivalencia.

es decir,P ⇔ Q es verdad solo cuandoP y Q tienen el mismo valor de verdad (es decir, el mismosignificado).P ⇔ Q tambien se lee “P si y solo siQ”, “ P es condicion necesaria y suficiente paraQ”,entre otras formas. Por ejemplo,

P : 6 es parQ : 6 es divisible por 4R : n es imparS : n deja residuo 1 al dividirse por 2

de dondeP ⇔ Q es falsa, puesP es cierta yQ es falsa, dando lugar a que ambas no tienen el mismosignificado. Por otra parte,R ⇔ S es verdadera, pues para los numeros enteros significa lo mismo serimpar a dejar residuo 1 al dividirse por 2. Dependiendo del valor den, ambas afirmacionesR y S tendranel mismo valor de verdadV o F, lo cual las hara equivalentes.

Observacion 1.1. El uso de⇔ tiene connotaciones muy parecidas al sımbolo igual (=), por eso hay quetener precaucion al usar ambos sımbolos. El sımbolo= se utiliza para indicar quedos objetos son el mismo,mientras que⇔ se usa para denotar quedos afirmaciones tienen el mismo significado. Por ejemplo, escorrecto escribirx2 − y = 1 en el sentido que la igualdad esta dada para dos numeros (objetos) que sonx2 − y y 1, pero no es correcto escribirx2 − y ⇔ 1, dado que no se estan relacionando afirmaciones a lascuales se les puede dar un valor de verdad. Del mismo modo, si

P : τ es un triangulo equilatero (es decir, tiene los tres ladosiguales)Q : τ es un triangulo cuyos tres angulos son iguales

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es lıcito afirmarP ⇔ Q, pero noP = Q. AunqueP y Q significan lo mismo y pueden sustituirse en unaafirmacion mas extensa, no se puede decir que son iguales yaque no representan cosas.

Combinando los elementos del lenguaje del Calculo Proposicional, podemos construir afirmaciones mascomplejas a las cuales tambien se les puede asociar una tabla de verdad.

Ejemplo 1.2. Establecer la tabla de verdad de(¬P ∨ Q) ∧ P . El procedimiento para hallar la tabla deverdad de una afirmacion con varios conectivos logicos consta de hallar los valores de verdad de las afir-maciones pequenas, y utilizar estas para hallar el valor de verdad de las afirmaciones grandes. En este caso,hallamos los valores de verdad de¬P , luego de¬P ∨ Q y finalmente de la afirmacion completa, en cadapaso ayudandonos de los valores hallados en los pasos anteriores. La siguiente tabla muestra el orden en elcual ejecutamos esta labor.

P Q ¬P ¬P ∨ Q (¬P ∨ Q) ∧ P

V V F V VV F F F FF V V V FF F V V F

Si quitamos los pasos intermedios para hallar los valores de(¬P ∨ Q) ∧ P , obtenemos la siguiente tabla:

P Q (¬P ∨ Q) ∧ P

V V VV F FF V FF F F

Con esta tabla, podemos hallar la tabla de verdad de la afirmacion ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ⇔ (P ∧ Q), ası

P Q (¬P ∨ Q) ∧ P P ∧ Q ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ⇔ (P ∧ Q)

V V V V VV F F F VF V F F VF F F F V

Notese que los valores de verdad de estas afirmaciones no dependen del significado deP ni deQ, sino desus valores de verdad, de modo que podemos conocer si la afirmacion es cierta o falsa respecto a cada “inter-pretacion” que se tome paraP y Q. Por ejemplo, siP es “Socrates es hombre” yQ es “Socrates es mortal”,entonces(¬P ∨ Q) ∧ P ) representa “o Socrates no es hombre o es mortal, y Socrateses hombre”. Analizarel significado de esta afirmacion nos permite concluir que esverdadera, sin embargo, matematicamente solonecesitamos verificar queP y Q son ciertas para concluir que la afirmacion compuesta es verdadera. Alanalizar((¬P ∨ Q) ∧ P ) ⇔ (P ∧ Q) nos damos cuenta que es verdadera independientemente de losvaloresde verdad que tomenP y Q, por lo cual se puede deducir que(¬P ∨ Q) ∧ P ) significa lo mismo queP ∧ Q.Por lo tanto, es lo mismo decir “o Socrates no es hombre o es mortal, y Socrates es hombre” a decir “Socrates

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es hombre y es mortal”.

Por otra parte, siP es “n es par” yQ es “n es impar”, entonces(¬P ∨ Q) ∧ P ) denota “on es impar o esimpar, yn es par” pero, como esto significa lo mismo queP ∧ Q, es decir, “n es par e impar”, directamentese infiere que es falsa, sin necesidad de analizar la afirmaci´on larga.

Definicion 1.3(Tautologıa, Contradiccion). Unatautologıa es una afirmacion cuya tabla de verdad siempretoma el valorV. Unacontradiccion es una afirmacion cuya tabla de verdad siempre toma el valorF.

Ejemplo 1.4. ((¬P ∨ Q) ∧ P ) ⇔ (P ∧ Q) es una tautologıa (ver ejemplo anterior),P ∨ ¬P , P ⇒ P yP ⇔ P tambien son tautologıas.P ∧ ¬P ,P ⇔¬P y (P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q) son contradicciones. Pero(¬P ∨ Q) ∧ P )no es tautologıa ni contradiccion (ver ejemplo anterior). Ver las tablas de verdad a continuacion.

P ¬P P ∨ ¬P P ⇒ P P ⇔ P P ∧ ¬P P ⇔¬P

V F V V V F FF V V V V F F

P Q ¬Q P ⇒ Q P ∧ ¬Q (P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q)

V V F V F FV F V F V FF V F V F FF F V V F F

Las tautologıas son las afirmaciones mas importantes en lalogica simbolica ya que, como son verdaderasindependientemente del valor de verdad de sus letras, se consideran comoleyes del razonamientoy, por lotanto, son afirmaciones que describen la naturaleza de los s´ımbolos logicos y sus propiedades. Las con-tradicciones tienen una importancia equivalente porquetoda contradiccion equivale a la negacion de unatautologıa.

A continuacion enunciamos las tautologıas mas importantes de la logica clasica. La palabraProposicionla usaremos, durante esta seccion y la seccion 2, para enunciar tautologıas y propiedades generales del calculoproposicional. A cada proposicion le corresponde unajustificacion que verifica su validez.

Proposicion 1.5. Las siguientes afirmaciones son tautologıas.

(a) P ⇒ P . (b) P ⇔ P . (c) P ∨ ¬P (Tercer excluıdo).

Justificacion. Se verifica con las tablas de verdad del ejemplo anterior.

Proposicion 1.6(Principales Equivalencias Logicas). Las siguientes afirmaciones son tautologıas.

(a) ¬¬P ⇔ P (Doble negacion).

(b) (P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P ) (Conmutatividad de la disyuncion).

(c) (P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P ) (Conmutatividad de la conjuncion).

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(d) ((P ∨ Q) ∨ R) ⇔ (P ∨ (Q ∨ R)) (Asociatividad de la disyuncion).

(e) ((P ∧ Q) ∧ R) ⇔ (P ∧ (Q ∧ R)) (Asociatividad de la conjuncion).

(f) (P ∨ (Q ∧ R)) ⇔ ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)) (Ley distributiva).

(g) (P ∧ (Q ∨ R)) ⇔ ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)) (Ley distributiva).

(h) ¬(P ∨ Q) ⇔ (¬P ∧ ¬Q) (ley D’Morgan).

(i) ¬(P ∧ Q) ⇔ (¬P ∨ ¬Q) (ley D’Morgan).

(j) ¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q) (Negacion de la implicacion)

(k) (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) (Contrarrecıproco).

(l) (P ⇔ Q) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )) (Principio de doble implicacion).

(m) (P ⇔ Q) ⇔ (Q ⇔ P ) (Conmutatividad de la equivalencia).

(n) (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q).

(n) (P ∧ Q) ⇔ ¬(¬P ∨ ¬Q).

(o) (P ∨ P ) ⇔ P .

(p) (P ∧ P ) ⇔ P .

Justificacion. Es facil comprobar que todas estas afirmaciones son tautologıas observando que la tabla deverdad de cada una toma siempre el valorV.

Observacion 1.7. En adelante, decimos quedos afirmaciones son equivalentescuando la equivalencia entreambas sea una tautologıa. Segun el resultado anterior,P ∧ Q equivale aQ ∧ P , y¬¬P equivale aP . Por otraparte, como∨ y ∧ son opedores asociativos, no habra confusion al escribir(P ∨ Q ∨ R) ni (P ∧ Q ∧ R)sin indicar cual sımbolo logico aplica primero.

Observacion 1.8. De (n) y (n) se tiene que⇒ y ∧ se pueden escribir en terminos de¬ y ∨ . Tambien, de(l), ⇔ se puede escribir en terminos de⇒ y ∧ y, por lo tanto, en terminos de¬ y ∨ . Esto indica quelossımbolos¬ y ∨ bastan para construir el calculo proposicional.

Las tautologıas citadas en la Proposicion anterior son leyes importantes que permiten comprobar queciertas afirmaciones son tautologıassin necesidad de construir su tabla de verdad, sino mediante un razon-amiento paso-a-paso, el cual se fundamenta en el siguiente principio.

Proposicion 1.9((Principio de Sustitucion.). La sustitucion de una afirmacion por otra equivalente dentrode otra afirmacion genera formulas equivalentes.

Este principio se fundamenta en quedos afirmaciones equivalentes tienen el mismo significadoy fun-ciona de forma analoga al principio de sustitucion de la igualdad: sia = b entoncesa se puede sustituir porb en una ecuacion, generando objetos iguales. Como notacion, a 6= b es lo mismo que¬(a = b).

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Ejemplo 1.10. Veamos que(P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q) es una contradiccion, sin necesidad de construir su tablade verdad. De la Proposicion 1.6(j) tenemos que¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q) es una tautologıa (la negacion dela implicacion), por lo cual, por el Principio de Sustitucion, podemos sustituir(P ∧ ¬Q) por¬(P ⇒ Q) enla primera afirmacion, lo cual genera que

(P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q) ⇔ (P ⇒ Q) ∧ ¬(P ⇒ Q)

es una tautologıa. Es claro que la afirmacion de la derecha de ⇔ es una contradiccion, por lo cual tambienlo es su equivalente, la afirmacion de la izquierda.

Ejemplo 1.11. Veamos (n) de la Proposicion 1.6 sin utilizar tablas de verdad. Por (h) (ley D’Morgan)tenemos que¬(¬P ∨ ¬Q) equivale a¬¬P ∧ ¬¬Q y luego, por (a) (doble negacion) y el principio desustitucion, la ultima formula equivale aP ∧ Q. Por lo tanto,¬(¬P ∨ ¬Q) equivale aP ∧ Q, es decir,(P ∧ Q) ⇔ ¬(¬P ∨ ¬Q) es una tautologıa.

Las siguientes tautologıas se consideran comoreglas de inferencia, pues ilustran los pasos basicos paraseguir un razonamiento logico.

Proposicion 1.12(Reglas de inferencia.). Las siguientes afirmaciones son tautologıas.

(a) ((P ⇒ Q) ∧ P ) ⇒ Q (Modus Ponens).

(b) ((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P .

(c) (P ∧ Q) ⇒ P (Simplificacion).

(d) (P ∧ Q) ⇒ Q (Simplificacion).

(e) P ⇒ (P ∨ Q) (Adicion).

(f) Q ⇒ (P ∨ Q) (Adicion).

(g) ((P ∨ Q) ∧ ¬P ) ⇒ Q (Eliminacion de la falsa en una disyuncion).

(h) ((P ∨ Q) ∧ ¬Q) ⇒ P (Eliminacion de la falsa en una disyuncion).

(i) (P ⇔ Q) ⇒ (P ⇒ Q) (Descomposicion de la equivalencia).

(j) (P ⇔ Q) ⇒ (Q ⇒ P ) (Descomposicion de la equivalencia).

(k) ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )) ⇒ (P ⇔ Q) (Composicion de la equivalencia)).

(l) ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R) (Transitividad de la implicacion).

(m) ((P ∨ Q) ∧ (P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ R (Disyuncion de casos).

Justificacion. Cada afirmacion se puede comprobar mediante tablas de verdad, aunque no es necesario entodos los casos. Por ejemplo, para verificar (i), por (c) tenemos que(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ) ⇒ (P ⇒ Q) estautologıa y, como(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ) equivale aP ⇔ Q (1.6(l), principio de doble implicacion), en-tonces, al sustituir, se obtiene que(P ⇔ Q) ⇒ (P ⇒ Q) es una tautologıa. De forma analoga se puedeverificar (j) usando (d).

Observacion 1.13. En adelante, decimos queuna afirmacion P implica otra afirmacion Q si al formarP ⇒ Q resulta una tautologıa. Por ejemplo, segun el resultado anterior,(P ⇒ Q) ∧ P implica aQ, y P ⇔ Qimplica aQ ⇒ P .

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Concluımos esta seccion con una discusion sobre la implicacion. CuandP ⇒ Q es verdad, podemosdecir queP es condicion suficiente paraQ, esto debido a quebastaqueP sea verdadero para queQ seaverdadero. Por otra parte, tambien decimos queQ es condicion necesaria paraP ya quese necesitaqueQsea verdadero para queP sea verdadero. Para explicar esto ultimo, supongase que buscamos sabersi P esverdadero y para esto observamos aQ. Si Q es falso, comoP ⇒ Q es verdad entoncesP es falso. SiQes verdadero,P ⇒ Q no permite afirmar nada sobreP pero al menos deja abierta la posibilidad de que seaverdadera. Por lo tanto, se necesita queQ sea verdad para queP sea verdad.

Ejemplo 1.14. SeaP la afirmacion “n es divisible por 6”y seaQ “n es divisible por 3”. Es claro queP ⇒ Qes verdad, ası que podemos afirmar que “es suficiente quen sea divisible por6 para que sea divisible por3”,o tambien que “se necesita quen sea divisible por 3 para que sea divisible por6”.

Por ultimo, en relacion conP ⇒ Q, llamamos aQ ⇒ P el recıproco deP ⇒ Q y ¬Q ⇒¬P se llamael contrarrecıproco deP ⇒ Q. Es claro queP ⇒ Q equivale a su contrarrecıproco, pero no tiene ningunarelacion con su recıproco. Del ejemplo anterior, el recıproco deP ⇒ Q es “sin es divisible por 3 entonceses divisible por 6”, lo cual no siempre es cierto, por ejemplo, conn = 9. Por otra parte, el contrarrecıprocodeP ⇒ Q es “sin no es divisible por 3 entonces no es divisible por 6”, lo cual tiene sentido en relacion conP ⇒ Q, siendo su equivalente.

En el caso en queP ⇒ Q y su recıproco sean verdaderos, se obtendraP ⇔ Q por 1.12(k).

2. Deducciones Logicas

El fundamento del razonamiento, en especial en matematicas, es la forma de efectuar argumentos validosmedianterelaciones de causa y efecto. Segun la teorıa de la seccion anterior, esta relacion esta establecidamediante la implicacion y, en la Proposicion 1.12, listamos las reglas de causa y efecto basicas sobre la cualse puede fundamentar un razonamiento.

En la Proposicion 1.12 todas las reglas de inferencia tienen la forma(H1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hn) ⇒ C, esdecir, un antecedente formado por conjunciones de varias f´ormulas y un consecuente. En estas implicacion,H1, . . . ,Hn representanhipotesisque permiten concluir aC. Una forma esquematica en que podemos es-cribir queH1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hn implica aC es

H1

H2

···Hn

Hipotesis

C Conclusion.

Por ejemplo, las primeras tres reglas de inferencia en 1.12 se representan, esquematicamente, por

(a) P ⇒ Q (b) P ⇒ Q (c) P ∧ Q

P ¬Q P

Q ¬P

Como ejercicio importante antes de continuar la lectura, sugerimos escribir como esquemas las demasreglas de inferencia de la Proposicion 1.12.

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Otra regla de inferencia es lasimultaneidad, la cual es la tautologıa(P ∧ Q) ⇒ (P ∧ Q). Como esquema,se representa por

PQ

P ∧ Q Simultaneidad

Estos esquemas son importantes para proponer una forma de escritura con la cual se pueden verificarimplicaciones sin utilizar tablas de verdad. Lo anterior sereduce en el siguiente resultado.

Proposicion 2.1(Metodo de la Deduccion). Si se tomanH1,H2, . . . ,Hn como hipotesis y, mediante reglasde inferencia y equivalencias se concluyeC, entoncesH1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hn implica aC, es decir,

H1

H2

···Hn

Hipotesis

C Conclusion.

En un primer curso basado en este texto, no se espera que el lector entienda directamente el enunciadoanterior, sino que basta con que comprenda practicamente su aplicacion mediante los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.2. Veamos que((P ⇔ Q) ∧ (Q ⇔ R)) ⇒ (P ⇔ R) es una tautologıa.Esto, escrito como esque-ma, es

P ⇔ QQ ⇔ R

P ⇔ R

De modo que basta verificar que, al tomarP ⇔ Q y Q ⇔ R como hipotesis, se concluyeP ⇔ R. El pro-cedimiento se sigue de la siguiente forma

1. P ⇔ Q Hipotesis2. Q ⇔ R Hipotesis3. P ⇒ Q 1, descomposicion de⇔4. Q ⇒ P 1, desc. de⇔5. Q ⇒ R 2, desc. de⇔6. R ⇒ Q 2, desc. de⇔7. P ⇒ R 3,5, transitividad de⇒8. R ⇒ P 4,6, transitividad de⇒9. P ⇔ R 7,8, composicion de⇔ .

Ası, mediante las hipotesisP ⇔ Q y Q ⇔ R se concluye, por medio de reglas de inferencia, queP ⇔ R, locual permite concluir que(P ⇔ Q) ∧ (Q ⇔ R)) implica aP ⇔ R.

Ejemplo 2.3. Consideremos la siguiente deduccion:“Si la maquina es baratao consume mucha energıa,entonces no es productiva. Si la maquina es roja entonces es productiva. Pero la maquina es barata. Porlo tanto, la maquina no es roja.”Este tipo de razonamientos se puede escribir mediante logica simbolica.Primero, asignamos letras a las frases que componen el razonamiento, a saber,

B : La maquina es barata.E : La maquina consume mucha energıa.P : La maquina es productiva.R : La maquina es roja.

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Luego, la deduccion se puede escribir, en forma esquematica, ası

(B ∨ E) ⇒ ¬P Si la maquina es baratao consume mucha energıa, entonces no es productiva.R ⇒ P Si la maquina es roja entonces es productiva.B La maquina es barata.¬R La maquina no es roja.

Notese que las primeras tres frases se toman como hipotesis, mientras que la ultima corresponde a la con-clusion. El sentido comun indica claramente que, bajo dichas hipotesis, la maquina no es roja, pues al serbarata no es productiva y, si fuera roja, entonces serıa productiva. Sin embargo, independientemente del sig-nificado de las frases, podemos llegar a la misma conclusionutilizando logica simbolica y un razonamientomediante reglas de inferencia (como se hizo en el ejemplo anterior), lo cual se ilustra a continuacion:

1. (B ∨ E) ⇒ ¬P Hipotesis2. R ⇒ P Hipotesis3. B Hipotesis4. B ∨ E 3, adicion5. ¬P 1,4, modus ponens6. ¬P ⇒ ¬R 2, contrarrecıproco7. ¬R 5,6, modus ponens.

Precisamente el objetivo de la logica simbolica es precisamente lo que se logro en el ejemplo anterior:convertir los razonamientos en sımbolos y reglas matematicas, independiente del significado de las afirma-ciones involucradas. Esta forma de proceder logra tambienconvertir el llamadosentido comun en “reglaslogico-matematicas”.

Ejemplo 2.4. Justifiquemos la siguiente deduccion:

S ⇒ (P ∨ Q)S¬PQ

Mediante reglas de inferencia, la justificacion se procedecomo sigue:

1. S ⇒ (P ∨ Q) Hipotesis2. S Hipotesis3. ¬P Hipotesis4. P ∨ Q 1,2, modus ponens5. Q 3,4, eliminacion de falsa en∨ .

Ejemplo 2.5.P ∨ (Q ∧ P )S ∨ TS ⇒¬(P ∨ Q)

P ∧ T

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La deduccion anterior se justifica como sigue:

1. P ∨ (Q ∧ P ) Hipotesis2. S ∨ T Hipotesis3. S ⇒¬(P ∨ Q) Hipotesis4. (P ∨ Q) ∧ (P ∨ P ) 1, distributiva5. P ∨ Q 4, simplificacion6. ¬¬(P ∨ Q) ⇒ ¬S 3, contrarrecıproco7. (P ∨ Q) ⇒¬S 6, doble negacion8. ¬S 5,7, modus ponenes9. T 2,8, eliminacion de la falsa en∨

10. P ∨ P 4, simplificacion11. P 10, equivalencia(P ∨ P ) ⇔ P12. P ∧ T 9,11, simultaneidad.

En resumidas cuentas, para efectuar una deduccion logicacomo en los ejemplos anteriores, tenemos encuenta las siguientes instrucciones:

1. Enunciar las hipotesis,

2. justificar, mediante reglas de inferencia, una nueva afirmacion en base a las anteriores de la lista y

3. mediante la instruccion 2, llegar finalmente a la conclusion.

Ejemplo 2.6.¬(P ∨ ¬R)Q ∨ PR ⇒ S(Q ∧ S) ⇒ (T ∧ S)

T

La justificacion de la anterior deduccion es:

1. ¬(P ∨ ¬R) Hipotesis2. Q ∨ P Hipotesis3. R ⇒ S Hipotesis4. (Q ∧ S) ⇒ (T ∧ S) Hipotesis5. ¬P ∧ ¬¬R 1, Ley D’Morgan6. ¬P 5, simplificacion7. ¬¬R 5, simplificacion8. R 7, doble negacion9. Q 2,6, eliminacion de la falsa en∨

10. S 3,8, modus ponens11. Q ∧ S 9,10, simultaneidad12. T ∧ S 4,11, modus ponens13. T 12, simplificacion.

Aunque todos los razonamientos de los ejemplos anteriores pueden efectuarse mediante tablas de verdad,optamos a dejar de lado esta forma de razonamiento por dos razones. La primera es que, a partir de la proximaseccion, extenderemos el lenguaje de la logica con el fin dedescribir el lenguaje de las matematicas, demodo que en este punto las tablas de verdad dejan de funcionarcomo forma de razonamiento, aunque si

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se preservan las tecnicas de razonamiento planteadas en esta seccion. La segunda razon es que, cuando lasafirmaciones contienen muchas letras, la tabla de verdad contiene demasiadas filas, lo cual se vuelve tediosode analizar a comparacion del metodo por deducciones. Porejemplo, si una afirmacion tiene 3 letras, su tablade verdad tiene 8 filas, con 4 letras resulta una tabal de 16 filas, con 5 letras una tabla de 64 filas y, con 6letras, una tabla de 128 filas.

3. Cuantificadores

En las secciones anteriores introducimos una simbologıa mediante la cual se pueden materializar lasleyes de razonamiento. Sin embargo, no basta para describirtodo el lenguaje complejo de la matematica,aunque si da unas bases de razonamientos como vimos. El objetivo en esta seccion es, entonces, introduciruna nueva simbologıa que permite describir de forma precisa afirmaciones en matematicas.

Una primera variacion en el lenguaje trabajado en las secciones anteriores es que, en la mayorıa de loscasos, estas afirmaciones dependen de una variable. Por ejemplo, la afirmacion “x2 ≤ 3 depende de unavariablex (que, en este caso, varıa entre los numeros reales), de modo que no es del todo apropiado asignar3

P : x2 ≤ 3. Una razon para esto es que no se le podrıa asignar un valor de verdad aP , pues este depende dex. De este modo, al tomar una letra para representar una afirmacion, debemos enunciar tambien las variablesde las que dependen. La forma correcta de asignar es, entonces,

P (x) : x2 ≤ 3

ya que se considera que la afirmacion depende dex. Esta notacion permite tambien determinar la formulaque resulta al dar un valor ax. Por ejemplo,P (3) representa32 ≤ 3, es decir, dar el valor3 a la variablex.TambienP (−1) representa(−1)2 ≤ 3 y P (y + 1) es(y + 1)2 ≤ 3. Aquı es claro queP (3) es falsa,P (−1)es verdadera yP (y + 1) depende del valor dey.

Consideremos los siguientes ejemplos de notacion de afirmaciones dependiente de variables:

P (n) : n es divisible por 3.Q(n) : n es divisible por 6.R(x) : la personax vive en Medellın.S(x) : la personax conoce el pueblito paisa.

Podemos utilizar estas afirmaciones y los sımbolos logicos para formar nuevas afirmaciones. Por ejemplo,Q(n) ⇒ P (n) representa “sin es divisible por 6 entonces es divisible por 3”, lo cual es verdadero inde-pendientemente del valor den. P (n) ∧ ¬Q(n) representa “n es divisible por 3 pero no por 6”, de dondeP (9) ∧ ¬Q(9) es verdadero yP (18) ∧ ¬Q(18) es falsa.R(x) ⇔ S(x), lo cual significa “la personax viveen Medellın si y solo si conoce el pueblito paisa”, lo cual noes cierto para todos los casos dex.

Ademas de modificar la notacion para las afirmaciones, introducimos tambien dos nuevos sımbolos logi-cos.

Definicion 3.1(Cuantificadores). Introducimos los siguientes sımbolos logicos

∀ el cuantificador universal.∃ el cuantificador existencial.

3En la seccion anterior nos permitimos este tipo de asignacion con el fin de ilustrar los metodos del Calculo Proposicional.

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Dada una afirmacionP (x) que depende de la variablex, utilizamos los cuantificadores para abreviar lassiguientes afirmaciones

∀xP (x) todos los objetos cumplenP (x).∃xP (x) existe un objeto que cumpleP (x).

Otra forma de leer∃xP (x) esalgun objeto cumpleP (x).

Ejemplo 3.2. Segun el ejemplo previo a la definicion,∀n(Q(n) ⇒ P (n)) significa, teniendo en cuenta an como numero entero, que “todos numero entero divisible por 6 es divisible por 3”, lo cual es verdad enmatematicas.∃n(P (n) ∧ ¬Q(n)) significa “existe un entero divisible por 3 y no divisible por6”, lo cualtambien es verdad.∀x(R(x) ⇔ S(x)) significa, teniendo en cuenta la variablex como seres humanos, que“toda persona vive en Medellın si y solo si conoce el pueblito paisa”, lo cual es falso ya que hay personasque viven en Medellın y no conocen el pueblito paisa (algunos recien nacidos, por ejemplo) y hay turistasque conocen el pueblito paisa y no viven en Medellın.

Observacion 3.3. Cuando una formula tiene un cuantificador, la variable que aplica ese cuantificador pierdesignificado material ya que se convierte solo en una referencia para el cuantificador. Notese del ejemploanterior que∀x(R(x) ⇔ S(x)) se lee “toda persona vive en Medellın si y solo si conoce el pueblito paisa”,no necesariamente se escribio como “toda personax vive en Medellın si y solo si conoce el pueblito paisa”,pues elx es reduntande ya que se refiere a personas. Ademas, si cambiamos la variablez y escribimos∀z(R(z) ⇔ S(z)), esto se lee “toda persona vive en Medellın si y solo si conoce el pueblito paisa”, es decir,significa exactamente lo mismo que∀x(R(x) ⇔ S(x)), por lo cual la variablex o z no tienen importanciaen el significado material de la afirmacion, sino que sirve como referencia para indicar “todas las personas”.

Ejemplo 3.4. La afirmacion∀x(x2 ≥ 0) representa, al variarx en los numeros reales, que “el cuadrado de

cualquier numero real es mayor o igual que 0”, lo cual es verdadero en matematicas. Es claro quex2 ≥ 0 nosignifica lo mismo quey2 ≥ 0, pues se refieren directamente a variables distintas. Pero∀x(x

2 ≥ 0) significalo mismo que∀y(y

2 ≥ 0).

En los ejemplos anteriores, al introducir un cuantificador,nos hemos referido a variables entre numerosenteros, entre humanos o entre numeros reales, pero en la f´ormula esto no queda especificado. Es buenointroducir una notacion en la cual se tenga el cuenta el conjunto donde varıa la variable de un cuantificador.

Definicion 3.5 (Cuantificadores acotados). Dado un conjuntoU y una afirmacionP (x), introducimos lasiguiente notacion

∀x∈UP (x) todos los objetos deU cumplenP (x).∃x∈UP (x) existe un objeto enU que cumpleP (x).

∀x∈U y ∃x∈U se llamancuantificadores acotados.

Ejemplo 3.6. Denotemos porZ al conjunto de los numeros enteros, porU al conjunto de los humanos yR elconjunto de los numeros reales. De los ejemplos anteriores, es mas adecuado escribir∀n∈Z(Q(n) ⇒ P (n))(todo numero enterodivisible por 6 es divisible por 3),∃n∈Z(P (n) ∧ ¬Q(n)) (existe un numero enterodi-visible por 3 pero que no es divisible por 6),∀x∈U(R(x) ⇔ S(x)) (toda personavive en Medellın si y solosi conoce el pueblito paisa) y∀x∈R(x2 ≥ 0) (todo numero realal cuadrado es mayor o igual que 0).

Definicion 3.7(Existencia unica). Dada una afirmacionP (x) y un conjuntoU , denotamos por

∃!xP (x) existe ununico objeto que cumpleP (x).∃!x∈UP (x) existe ununico objeto enU que cumpleP (x).

∃! se denomina elcuantificador de existenciaunicay ∃!x∈U es elcuantificador acotado de existenciaunica.

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Ejemplo 3.8. Denotemos porP (x, y) a “y es la madre dex” y seaU el conjunto de los humanos. Luego,la afirmacion∀x∈U∃!y∈UP (x, y) significa “todo ser humano tiene una unica madre”. Otro ejemplo es laafirmacion “existe un unico numero real tal que al sumarse con cualquier otro real es igual a este ultimo”, locual se representa por∃!z∈R∀x∈R(x + z = x). Aquel unico numero real es el que se conoce por 0.

En esta nueva notacion tambien se puede determinar cuando una afirmacion es verdadera, pero en estoscasos no las llamamos tautologıa puesto que en matematicas no se razona en base a las tablas de verdad. Eneste caso la nocion de verdad tiene otro significado que, incluso, esta ligado a una teorıa.

Definicion 3.9(Calculo de Predicados). El Calculo de Predicadoses la extension del Calculo Propocisionalal lenguaje con variables y cuantificadores. LlamamosTeoremaa una afirmacion que es verdadera (ya sea enel Calculo de Predicados y en las matematicas).

Directamente, todas las tautologıas son teoremas del Calculo de Predicados. De los ejemplos anteriores,“todo numero entero divisible por 6 es divisible por 3”, “existe un numero entero divisible por 3 que no esdivisible por 6”, “todo numero real elevado al cuadrado es mayor o igual que 0”y∃!z∈R∀x∈R(x + z = x)son teoremas de las matematicas.

Para los teoremas del Calculo de Predicados que expondremos en esta seccion no daremos sus justifica-ciones rigurosas, ya que esto corresponde a un curso de Logica Matematica. Sin embargo, explicaremos lasrazones intuitivas de por que tales afirmaciones son verdaderas.

Respecto a las secciones anteriores variamos el significadodeProposicion: con esta palabra enunciamosteoremas y propiedades generales del calculo de predicados. Inclusive, se suele usar para enunciar teoremasde las matematicas. Daremos este uso deproposicion a lo largo de todo el texto.

Proposicion 3.10. Los siguientes son teoremas del Calculo de Predicados.

(a) (∀x∈UP (x)) ⇔ ∀x(x ∈ U ⇒ P (x)).

(b) (∃x∈UP (x)) ⇔ ∃x(x ∈ U ∧ P (x)).

(c) (∃!xP (x)) ⇔(

(∃xP (x)) ∧ ∀x∀y((P (x) ∧ P (y)) ⇒ x = y))

.

(d) (∃!x∈UP (x)) ⇔(

(∃x∈UP (x)) ∧ ∀x∈U∀y∈U ((P (x) ∧ P (y)) ⇒ x = y))

.

(e) (∃!x∈UP (x)) ⇔ ∃!x(x ∈ U ∧ P (x)).

Justificacion (no formal). (a) ∀x(x ∈ U ⇒ P (x)) significa quepara cualquier objeto, sieste esta enUentonces cumpleP (x), lo cual puede reescribirse comocualquier objeto deU cumpleP (x), es decir,∀x∈UP (x). De esta forma vemos que∀x∈UP (x) y ∀x(x ∈ U ⇒ P (x)) significan lo mismo, es decir,son equivalentes.

(b) ∃x(x ∈ U ∧ P (x)) significa queexiste un objeto que esta enU y que cumpleP (x), lo cual podemosreescribir comoexiste un objeto enU que cumpleP (x), es decir,∃x∈UP (x). De este modo tenemos queambas afirmaciones significan lo mismo y, por lo tanto, son equivalentes.

(c) Vamos a dividir la formula de la derecha de la equivalencia en dos componentes:

Existencia ∃xP (x).

Unicidad ∀x∀y((P (x) ∧ P (y)) ⇒ x = y).

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Existenciaindica que existe un objeto que cumpleP (x). La unicidaddice que si dos objetos cumplenla propiedad entonces son iguales, o, lo que es lo mismo, queno hay mas de un objeto que cumple laP (x), o dicho de otra forma,existe a lo sumo un objeto que cumpleP (x). Por lo tanto, si formamos laconjuncion entreexistenciay unicidadestamos indicando, con la existencia, que existe un objeto y, masla unicidad, que no hay mas de uno, es decir, que existe un unico objeto que cumpleP (x).

(d) Se razona analogamente al inciso anterior, dividiendola afirmacion de la derecha en existencia y unici-dad.

(e) Se razona analogamente a (b).

Observacion 3.11. El resultado anterior dice que los cuantificadores acotadosy de existencia unica sepueden definir a partir de∀ y ∃.

Proposicion 3.12(Negacion de cuantificadores). Los siguientes son teoremas del Calculo de Predicados.

(a) (¬∀xP (x)) ⇔ ∃x(¬P (x)) (negacion del cuantificador univeral).

(b) (¬∃xP (x)) ⇔ ∀x(¬P (x)) (negacion del cuantificador existencial).

(c) (¬∀x∈UP (x)) ⇔ ∃x∈U(¬P (x)) (negacion del cuantificador univeral acotado).

(d) (¬∃x∈UP (x)) ⇔ ∀x∈U(¬P (x)) (negacion del cuantificador existencial acotado).

Justificacion (no formal). (a) ¬∀xP (x) significa queno todos los objetos cumplenP (x). Esto, dicho deotra forma, significa quehay un objeto que no cumpleP (x) lo cual es, exactamente,∃x(¬P (x)). Por lotanto, ambas expresiones tienen el mismo significado, es decir, son equivalentes.

(b) ¬∃xP (x) significa queno existe un objeto que cumpleP (x), dicho de otra forma,ningun objeto cumpleP (x). Esto da a entender quetodos los objetos no cumplenP (x), es decir∀x(¬P (x)). Por lo tanto,ambas afirmaciones tienen el mismo significado.

(c) Se razona analogamente a (a). Sin embargo, podemos dar una justificacion formal de este hecho (x /∈ Urepresenta¬(x ∈ U):

¬∀x∈UP (x) ⇔ ¬∀x(x ∈ U ⇒ P (x)) 3.10(a)⇔ ∃x¬(x ∈ U ⇒ P (x)) negacion de∀⇔ ∃x(x ∈ U ∧ ¬P (x)) negacion de⇒⇔ ∃x∈U(¬P (x)) 3.10(b)

(d) Se razona analogamente a (b). Sin embargo, de una forma muy similar al inciso anterior, podemosproporcionar una justificacion formal:

¬∃x∈UP (x) ⇔ ¬∃x(x ∈ U ∧ P (x)) 3.10(b)⇔ ∀x¬(x ∈ U ∧ P (x)) negacion de∃⇔ ∀x(x /∈ U ∨ ¬P (x)) ley D’Morgan⇔ ∀x(x ∈ U ⇒ ¬P (x)) 1.6(n)⇔ ∀x∈U(¬P (x)) 3.10(a)

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Observacion 3.13. Notese que∃xP (x) equivale a¬∀x¬P (x). En efecto,∀x¬P (x) equivale a¬∃xP (x) y,por lo tanto,¬∀x¬P (x) equivale a¬¬∃xP (x), lo cual equivale a∃xP (x). Lo anterior indica que el∃ sepuede definir en terminos de∀. Por lo tanto, segun las observaciones 1.8 y 3.11todo el Calculo de Predicadosse puede construir solo con los sımbolos¬, ∨ y ∀.

Ejemplo 3.14. Denotemos porP (x, y) la afirmacion “a la personax le gusta la frutay”. Expresemos lassiguientes afirmaciones:

∀x∀yP (x, y) A todas las personas les gusta todas las frutas.∀y∀xP (x, y) Todas las frutas les gustan a todas las personas.∃x∀yP (x, y) Hay una persona que le gustan todas las frutas.∀y∃xP (x, y) Cualquier fruta le gusta al menos a una persona.∃y∀xP (x, y) Hay una fruta que le gusta a todas las personas.∀x∃yP (x, y) A cualquier persona le gusta al menos una fruta.∃x∃yP (x, y) Hay una persona a la que le gusta alguna fruta.∃y∃xP (x, y) Hay una fruta que le gusta a alguna persona.

Podemos notar que las dos primeras afirmaciones significan lomismo, al igual que las dos ultimas. Esto esun indicio de queel orden de los cuantificadores del mismo tipo no importa en una afirmacion. Sin embargo,la tercera afirmacion no significa lo mismo que la cuarta, y laquinta no significa lo mismo que la sexta,lo cual es evidencia de que el orden si importa para cuantificadores de distinto tipo. El siguiente resultadoilustra estos hechos.

Proposicion 3.15. Los siguientes son teoremas del Calculo Proposicional.

(a) (∀x∀yP (x, y)) ⇔ ∀y∀xP (x, y) (conmutatividad de cuantificadores del mismo tipo).

(b) (∃x∃yP (x, y)) ⇔ ∃y∃xP (x, y) (conmutatividad de cuantificadores del mismo tipo).

(c) (∃x∀yP (x, y)) ⇒ ∀y∃xP (x, y).

Este resultado es valido tambien para cuantificadores acotados.

En matematicas es usual demostrar afirmaciones que tienen la forma∀xP (x) y ∀x∈UP (x). En la proximaseccion veremos el modo de proceder con sus demostraciones. Por otra parte, cuando son falsas, es massencillo de verificar: para ver que∀xP (x) es falsa hay que encontrar un objeto que cumpla¬P (x) y, paraver que∀x∈UP (x) es falsa, hay que encontrar un objeto enU que cumpla¬P (x). Dicho objeto es el queusualmente se llamacontraejemplode la afirmacion.

Ejemplo 3.16. Veamos que∀x∈R(x2 > 1) es falsa. Esto es claro porque(0,5)2 < 1. Ası,0,5 es un contrae-jemplo de∀x∈R(x2 > 1).

Ejemplo 3.17. SeaP (n) “n es par” yQ(n) “n es divisible por 4”. Veamos que∀n∈Z(P (n) ⇒ Q(n)) esfalsa. Para esto, basta hallar un contraejemplo, el cual puede ser 2, 6, 10, 14, entre otros. En particular,P (2) ∧ ¬Q(2) es cierto, o lo que es lo mismo,¬(P (2) ⇒ Q(2)) (negacion de la implicacion).

Al encontrar un objeto enU que cumpla¬P (x) se esta probando que∃x∈U¬P (x) es verdadera, lo cualequivale a¬∀x∈UP (x). Por esta razon, basta hallar un contraejemplo para verificar que∀x∈UP (x) es falsa.

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4. Metodos de Demostracion

Todos los elementos de la Logica Simbolica definidos en lassecciones anteriores son los fundamentos delos razonamientos sobre los cuales se puede comprobar cuando una afirmacion en matematicas es un Teore-ma, es decir, es verdadera. Una afirmacion se comprueba verdadera en matematicas por medio de la nocionde demostracion o, lo que es lo mismo,prueba. Aunque en la Logica Simbolica hay una forma rigurosade definir esta nocion, en este texto solo nos centramos en su significado intuitivo. Unademostracion deun afirmacion es un razonamiento finito donde cada paso estajustificado por los pasos anteriores, reglas deinferencia y/o teoremas ya demostrados. En la seccion 2 vimos muchos ejemplos de demostraciones, puesconsisten en razonamientos que se justifican por reglas de inferencia.

El objetivo principal de esta seccion sera mostrar los diferentes metodos para generar demostracionesde afirmaciones en matematicas. Antes de proceder, fijaremos la notacion y expondremos algunos teoremasmatematicos iniciales (los cuales no demostraremos para tener un punto de partida).

Denotemos porN el conjunto de los numeros naturales, es decir,N = {1, 2, 3, 4, . . .}4. Z denota elcon-junto de los numeros enteros, es decir,Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Q es elconjunto de los numerosracionales(de la formaa

bcona, b ∈ Z y b 6= 0), R es elconjunto de los numeros realesy Q∗ el conjunto

de los numeros irracionales(es decir, los reales que no son racionales). Conocemos queR = Q∪Q∗ (unionde conjuntos) yQ ∩ Q∗ = ∅ (no hay numeros reales que sean racionales e irracionales ala vez), lo cualintroducimos sin demostracion. Tambien sabemos que estos conjuntos tienen unas operaciones definidas quecumplen ciertas propiedades, lo cual utilizaremos sin recurrir a sus demostraciones.

Recordemos alguna notacion sobre la division de numerosenteros.Esta consiste en cuatro componentes:dividendo, divisor, cocientey residuo. Por ejemplo,

dividendo 1073 5 divisorresiduo 3 214 cociente

Cuadro 6: Ejemplo del esquema de la division de dos enteros

El residuo es lo que le falta al producto del conciente con el divisor para llegar al dividendo. En estecaso, a5 · 214 (lo cual es 1070) le faltan 3 para llegar a 1073.Esto se expresa como1073 = 5 · 214 + 3. Deforma general, sia y b son enteros conb 6= 0, al efectuar la division entrea con b resulta un cociente quellamaremosq y un residuo que llamaremosr. De este forma, se tiene el esquema

dividendo a b divisorresiduo r q cociente

Cuadro 7: Esquema de la division de dos enteros

Es decir, ab · q la faltar para llegar aa, es decira = bq + r. Esta expresion es lo que se conoce comoel algoritmo de la division y se le exige ar que sea no negativo y menor que|b|. Aquı |b| denota elvalorabsoluto deb, el cual se define como el numero no negativo que representa ab (por ejemplo,| − 2| = 2,|5| = 5 y |0| = 0).

4En algunos textos, definenN = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}.

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Teorema 4.1(Algoritmo de la division.). Dadosa y b enteros conb 6= 0, existenunicos enterosq y r tal quea = bq + r y 0 ≤ r < |b|. Como formula del lenguaje de la logica, esto se enuncia por

∀a∈Z∀b∈Z

(

b 6= 0 ⇒ ∃!q∈Z∃!r∈Z(a = bq + r ∧ 0 ≤ r < |b|))

.

Observacion 4.2. Lo anterior ilustra que el cociente y el residuo (entre 0 y el divisor) son unicos al efectuaruna division por un divisor diferente de 0. El caso de un divisor igual a cero no se considera porque unadivision por cero notiene sentido. Un algoritmo de la division conb = 0 se escribirıa comoa = 0q + rcon0 ≤ r < 0. Esta desigualdad es inconsistente, lo cual indica quela division por 0 no admite residuos(nisiquiera residuo igual a cero).

Es de conocer que un numero divide a otro cuando, al efectuarla division entre ellos, no dejan residuo,es decir, el residuo es 0. De esta forma, podemos dar la siguiente definicion. Al dividira por b, conb 6= 0resulta, por el algoritmo de la division, que existenq, r ∈ Z (unicos) tal quea = bq + r. Si b divide aaentonces el residuor = 0, por lo cuala = bq. Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 4.3(Divisibilidad). Seana, b ∈ Z. Decimos queb divide aa sii5 ∃k∈Z(a = bk). Tambien se leea es divisible porb, a es multiplo deb o b es divisor dea y, como notacion, se abreviab | a. Escribimosb ∤ a(b no divide aa) para representar¬(b | a).

Por ejemplo,5 ∤ 1073, pues al dividir 1073 entre 5 deja residuo3, mientras que7 | 343, pues al dividir343 entre7 deja residuo 0 y cociente 49, es decir,343 = 7 · 49, por lo cual∃k∈Z(343 = 7k) (dichok es 49).

Observacion 4.4. En la definicion de divisibilidad no enunciamos la restriccion de queb debe ser diferentede cero. La razon de esto es que la definicion presenta cierta consistencia aun cuandob = 0. Ası, 0 | a si ysolo sia = 0 · k para algunk ∈ Z. De esto es claro que el unico caso en que0 | a esa = 0, por lo cualpuede decirse que 0 divide a 0. Sin embargo, esta posicion serechaza en matematicas por la siguiente razon:cuando un numerob 6= 0 divide a un numeroa, es decir,a = bk, el cocientek que resulta de la division esunico, peroen el caso “0 divide a0” el cociente no esunico, pues0 = 0k es valido para cualquier enterok.Ası, no puede indicarse un resultado de dividir 0 entre 0. Enadelante, nunca vamos a considerar una divisionpor 0.

Es de conocer que un numero es par cuando es divisible por2, es decir, que deja residuo 0 al dividirsepor2. De este modo, un enteron es par si y solo si2 | n, es decir,n = 2k para algun enterok. Por otra parte,un enteron es impar si y solo so2 ∤ n (2 no divide an), lo cual significa que no deja residuo 0 al dividirsepor 2. Al efectuar la division den entre 2, resulta un cocientek y un residuor y se cumplen = 2k + r.Segun el algoritmo de la division0 ≤ r < 2, por lo cualr solo puede ser0 o 1. Sir es cero tenemos que elnumero es par y, sir = 1, se sigue que el numero es impar. Lo anterior motiva la siguiente definicion.

Definicion 4.5(Par,Impar). Un enteron es parsii ∃k∈Z(n = 2k). n es imparsii ∃k∈Z(n = 2k + 1).

Del algoritmo de la division se obtiene la siguiente consecuencia.

Corolario 4.6. Un numero entero es par o impar, pero no es ambos a la vez.

Por ejemplo,11, −1 y 1 son impares, pues11 = 2 · 5 + 1, −1 = 2 · (−1) + 1 y 1 = 2 · 0 + 1, mientrasque 150, 0 y−6 son pares, pues150 = 2 · 75, 0 = 2 · 0 y −6 = 2 · (−3).

Antes de pasar a explicar los metodos de demostracion, explicamos que queremos decir conTeorema,Corolario y Lema. Estas palabras solo denotanteoremas de las matematicas, solo que cada una representa

5la expresionsii abrevia “si y solo si”.

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una categorıa deteorema. Lemarepresenta un teorema sencillo de probar que precede a otro teorema masimportante,Teoremase utiliza para enuncias resultados importantes yCorolario representa un teorema quees consecuencia directa de un resultado que lo precede. En ocasiones tambien se utiliza la palabraProposi-cionpara denotar teoremas en matematicas, aunque la seguiremos usando tambien para denotar propiedadesdel calculo de predicados.

Los principales metodos de demostracion en matematicasson elmetodo directo, contrarrecıproco, re-duccion al absurdo, disyuncion de casos, doble implicacione induccion matematica, los cuales estudiaremosen esta seccion.

4.1. Metodos directo

El metodo esta basado en la Proposicion 2.1 y en los siguientes principios del calculo de predicados.

Proposicion 4.7(Metodo directo). Para demostrarP ⇒ Q basta tomar aP como hipotesis y, mediante unrazonamiento logico, concluirQ.

Proposicion 4.8(Principio de Generalizacion). SiP (x) es un teorema, entonces∀xP (x) es un teorema.

Como consecuencia directa de estas Proposiciones, se siguen

Proposicion 4.9 (Metodo directo - Variacion 1). Para demostrar∀x(P (x) ⇒ Q(x)) basta tomar aP (x)como hipotesis y concluirQ(x).

Justificacion. Al tomar P (x) como hipotesis y concluirQ(x), por elmetodo directoP (x) ⇒ Q(x) es unteorema. Luego, por elprincipio de generalizacion, ∀x(P (x) ⇒ Q(x)) es un teorema.

Proposicion 4.10(Metodo directo - Variacion 2). Para demostrar∀x∈UQ(x) basta tomar ax ∈ U comohipotesis y concluirQ(x).

Justificacion. Como∀x∈UQ(x) equivale a∀x(x ∈ U ⇒ Q(x)), este ultimo se demuestra al tomarx ∈ Uen vez deP (x) en la primera variacion del metodo directo.

Las anteriores afirmaciones tienen un fuerte contenido tecnico que no es necesario tener en cuenta cuan-do se procede a aplicar el metodo directo de demostracion.

Como primer ejemplo, vamos a utilizar el metodo directo para probar quetodos los enteros dividen alcero6. Al escribir esta afirmacion en lenguaje matematico, resulta ∀n∈Z(n | 0). La segunda variacion delmetodo directo da la pauta para probar esta afirmacion, a saber, tomar an ∈ Z como hipotesis y concluirn | 0.

Teorema 4.11.Todo numero entero divide a 0 (∀n∈Z(n | 0)).

Demostracion. Tomemosn ∈ Z como hipotesis y veamos quen | 0 es cierto. En efecto,n | 0, pordefinicion de divisibilidad, equivale a∃k∈Z(0 = nk). Esto ultimo es verdad, pues7 0 = n0 y, al tomark = 0,tenemos que existe unk entero tal que0 = nk. Por lo tanto,n | 0.

6Aunque insistimos en no considerar al cero como divisor de unnumero, esta propiedad se cumple aun al tomar a 0 como divisor,pues0 = 0k para cualquierk ∈ Z.

7Esto muestra que el cociente de dividir 0 por un numero diferente de cero es 0.

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Ahora vamos a demostrar que el producto de dos numeros enteros impares tiene que ser impar. Enlenguaje matematico, esto se expresa como∀a∈Z∀b∈Z((a impar∧ b impar) ⇒ ab impar)8. Segun la primeravariacion del metodo directo, esto se prueba altomar a y b impares, como hipotesis, y concluir queab esimpar.

Teorema 4.12.El producto de dos enteros impares es impar.

Demostracion. Supongamos quea y b son dos enteros impares y probemos queab es impar. Segun ladefinicion de impar,a = 2k + 1 para algunk ∈ Z y b = 2t + 1 para algunt ∈ Z9. Luego,

ab = (2k + 1)(2t + 1) = 4kt + 2k + 2t + 1 = 2(2kt + k + t) + 1.

Si llamamosp = 2kt + k + t obtenemos queab = 2p + 1 conp un entero. Por lo tanto,ab es impar (pordefinicion de impar).

Como consecuencia directa, se tiene el siguiente resultado.

Corolario 4.13. El cuadrado de un entero impar es impar.

Demostracion. Si a es impar, del Teorema anterior se tiene queaa es impar, es decira2 es impar.

Como ultimo ejemplo, vamos a probar que la suma de un entero impar con un par resulta ser impar. Enlenguaje matematico, esto se enuncia como∀m∈Z∀n∈Z((m impar∧ n par) ⇒ m + n impar). Al recurrir denuevo a la primera variacion del metodo directo, nos damoscuenta que su demostracion consta de suponercomo hipotesism impar yn par, para concluirm + n impar.

Teorema 4.14.La suma de un entero impar con uno par es un entero impar.

Demostracion. Supongamos quem es un entero impar yn uno par. Veamos quem + n es impar. Por ladefinicion de par e impar,m = 2k + 1 para algunk ∈ Z y n = 2t para algunt ∈ Z. Luego,

m + n = 2k + 1 + 2t = 2(k + t) + 1.

Si llamamosp = k + t entoncesm + n = 2p + 1 conp ∈ Z. Por lo tanto,m + n es impar (por definicionde impar).

Es claro que los teoremas probados son hechos intuitivamente claros sobre numeros enteros, por lo cualpuede sorprender el porque de ofrecer una tecnica para justificar su verdad. El hecho principial, especıfi-camente para estos teoremas, es que se trata de justificar un enunciado que cumplen infinita cantidad denumeros. Por ejemplo, para el ultimo teorema, sabemos quehay infinitos numeros pares e infinitos impares.Por lo tanto, una demostracion para el Teorema 4.14 no puedeser ası: “por ejemplo,5+4 = 9,−9+8 = −1,9 + 0 = 9, etc, entonces la experiencia nos indica que la suma de un impar con un par es impar”. Esto no esvalido por el “etcetera”, pues si de esa forma se quiere ver que en todos los casos se cumple la afirmacion,habrıa que sumar todos los imparescon todos los paresy llegar a que todas esas sumas resultan un impar.El problema radica en que hay que hacer infinitas sumas, lo cual es humanamente imposible. La experienciano es evidencia suficiente para probar un teorema, realmentehay que dar una justificacion fuerte y concisacomo las que hemos expuesto. Por eso es que nuestra demostracion toma unm impar, unn par, y procede averificar que su suma es impar, pues aquım y n son representantes variables de enteros, es decir, representanacualquiera, lo cual verifica, en un solo caso, todas las infinitas posibilidades.

8No expresamosimpar en sımbolos matematicos con el fin de ofrecer una expresion mas legible al lector y no obscurecer susignificado.

9tomamost en vez dek en el caso deb porque nada asegura que el mismo numero funcione paraa y b.

21

4.2. Metodo del contrarrecıproco

La ley del contrarrecıproco dice queP ⇒ Q equivale a¬Q ⇒¬P . Por lo tanto, para probar una afirma-cion de la formaP ⇒ Q basta demostrar su contrarrecıproco,¬Q ⇒ ¬P , lo cual puede hacerse por metododirecto.

Teorema 4.15.Sia ∈ Z y a2 es par, entoncesa es par.

Demostracion. Seaa ∈ Z. Del Corolario 4.13 se tienea impar⇒ a2 impar. Luego, por contrarrecıproco,(¬(a2 impar)) ⇒¬(a impar), es decira2 par⇒ a par, lo cual prueba el resultado.

Teorema 4.16.Dadosa, b ∈ Z, si ab es par, entoncesa es paro b es par.

Demostracion. Seana, b ∈ Z. Del Teorema 4.12 tenemos que(a impar∧ b impar) ⇒ ab impar.Esto equiv-ale a su contrarrecıproco, que es(¬(ab impar)) ⇒ ¬(a impar∧ b impar). Por ley D’Morgan, esto es

ab par⇒ (a par∨ b par)

que es lo que se querıa probar.

Teorema 4.17.Seaa ∈ Z. Sia2 es impar, entoncesa es impar.

Demostracion. Procedamos en esta prueba por contrarrecıproco y veamos que a par⇒ a2 par (esto loprobamos por metodo directo). En efecto, sia es par, por definiciona = 2k para algunk ∈ Z. Luego,

a2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).

Si llamamosp = 2k2, obtenemosa2 = 2p conp ∈ Z, lo cual garantiza quea2 es par.

4.3. Metodo de reduccion al absurdo

El metodo de reduccion al absurdo representa una forma de razonar del sentido comun. Supongamos quequeremos argumentar que una afirmacionQ es cierta. Una forma de hacerlo es suponiendo que es falsa yllegar a unabsurdo, es decir, a una contradiccion en el argumento. De esta forma, no hay modo queQ seafalsa y tiene que ser cierta. Un pequeno ejemplo es el siguiente: supongamos quex ∈ R tal quex ≥ 2 yveamos quex 6= 1 es cierta. Un argumento logico es que, si suponemos quex 6= 1 es falsa, es decir,x = 1,entonces resulta1 ≥ 2, lo cual es una contradiccion (o absurdo) en el argumento. Por lo tanto,x 6= 1 esverdad.

Antes de proceder a dar ejemplos sobre la aplicacion del metodo de reduccion al absurdo, introduzcamosalgunas nociones.

Definicion 4.18 (Maximo comun divisor). Dados dos enterosa y b, el maximo comun divisor dea y b,denotado por mcd(a, b), es elmaximo entero no negativo que divide aa y b. En lenguaje matematico,

d = mcd(a, b) ⇔(

d ≥ 0 ∧ d | a ∧ d | b ∧ ∀c∈Z((c | a ∧ c | b) ⇒ c ≤ d))

.

Definicion 4.19(Primos relativos). Dos enterosa y b sonprimos relativossii mcd(a, b) = 1, es decir, elunico entero positivo en comun que los divide es el 1.

Por ejemplo mcd(16, 88) = 8, mcd(2, 11) = 1 y mcd(−7, 343) = 7. Aquı podemos observar que 2 y 11son primos relativos. Como ejemplo, probado con metodo directo, tenemos lo siguiente.

Lema 4.20. Dos numeros pares noson primos relativos.

22

Demostracion. Supongamos quea y b son numeros pares. Luego,2 | a y 2 | b. Por lo tanto, como 2 divide aa y b y mcd(a, b) es el maximo que divide a ambos, entonces mcd(a, b) ≥ 2. Por lo tanto, mcd(a, b) 6= 1.

Como consecuencia de la notacion, presentamos el siguiente teorema sobre numeros racionales (el cualno demostramos).

Teorema 4.21(Simplificacion de numeros racionales). Dado un numero racionalq existenunicos enterosay b primos relativos, conb > 0, tal queq = a

b. En lenguaje matematico esto se expresa por

∀q∈Q∃!a∈Z∃!b∈Z(q =a

b∧ b > 0 ∧ mcd(a, b) = 1).

Es cierto que hay infinitas formas de expresar un numero racional. Por ejemplo, siq = 159 , este tambien

es igual a106 , 40

24 , −500−300 , etc. Pero entre esas infinitas formas existen solo dosque no se pueden simplificar, a

saber,53 y −5−3 . Entre estas, solo una tiene denominador positivo,5

3 , el fraccionario al cual se refiere el teoremaanterior (notese que 5 y 3 son primos relativos). Con este ejemplo ilustramos que el anterior teorema dicequeun fraccionario se puede simplificar de maneraunica con el denominador positivo. Tambien se sabeque, en un fraccionario simplificado, el numerador y denominador son primos relativos.

El hecho anterior lo utilizamos para probar el siguiente resultado mediante el metodo de reduccion alabsurdo.

Teorema 4.22.√

2 es irracional.

Demostracion. Supongamos, por lo contrario, que√

2 es racional. Por el Teorema 4.21 existen unicosenterosa y b primos relativos, conb > 0, tal que

√2 = a

b. Al elevar al cuadrado, obtenemos2 = a2

b2, de

dondea2 = 2b2. De lo anterior se sigue quea2 es un numero par y, por el Teorema 4.15,a es par. Luego,por definicion,a = 2k para algunk ∈ Z y, comoa2 = 2b2, al sustituira obtenemos(2k)2 = 2b2, es decir,4k2 = 2b2 y, al dividir por 2 en la igualdad, obtenemos2k2 = b2. Lo anterior permite concluir queb2 es par,por lo queb es par segun el Teorema 4.15. Ası, comoa y b son pares, del Lema 4.20 se sigue quea y b noson primos relativos, cuando si lo son. Este absurdo es el que permite concluir que

√2 es irracional.

Los metodos de demostracion se pueden combinar para elaborar una sola prueba. Por ejemplo, paraprobarP ⇒ Q podemos proceder por metodo directo y tomar aP como hipotesis. Luego, para concluirQ,podemos proceder por reduccion al absurdo y suponer¬Q para llegar a una contradiccion. Como ejemplode este esquema tenemos el siguiente resultado.

Teorema 4.23.El producto de un irracional con un racional distinto de ceroresulta en un irracional.

Demostracion. Mediante metodo directo, supongamosx ∈ Q∗ y y ∈ Q con y 6= 0 y veamos quexy esirracional. Pero esto ultimo lo probamos por reduccion alabsurdo: supongamos quexy es un racional. Comoy es un racional distinto de cero, es claro que1

yes un racional. Tambien, como el producto de dos racionales

es racional, entoncesxy(

1y

)

es racional, es decir,x es un racional, lo cual contradice la hipotesis de que

x ∈ Q∗.

4.4. Metodo de disyuncion de casos

Las demostraciones por disyuncion de casos casi siempre sepresentan acompananas de los demas meto-dos de demostracion. El esquema que representa este metodo es la regla de inferencia en la Propocision

23

1.12(m), a saber,P ∨ QP ⇒ RQ ⇒ R

R

En la hipotesis tenemosP ∨ Q, es decir, uno de los dos casosP o Q son ciertos. Pero tanto el primer casocomo el segundo implican aR, por lo cual, independiente del caso,R es cierta y es la conclusion de lainferencia.

En el siguiente ejemplo vamos a utilizar la disyuncion de casos para probar que, dados dos enterosay b, si alguno de los dos es par, entoncesab es par. Denotemos primero porP : “a es par”,Q: “b es par”yR: “ab es par”. Ası que suponemosP ∨ Q como hipotesis para concluirR. P ∨ Q representa que tenemosdos casos posibles. Si probamos que el primer caso implica aR (P ⇒ R) y que el segundo caso tambien loimplica (Q ⇒ R), esto significa queR es cierta independiente de los casos (lo cual se justifica porla reglade inferencia citada anteriormente).

Teorema 4.24.Seana, b ∈ Z. Sia es paro b es par, entoncesab es par.

Demostracion. Supongamos quea es par ob es par. Analicemos cada caso por separado.

a es par. Por definicion,a = 2k para algunk ∈ Z. Luego,ab = 2kb lo cual indica queab es multiplo de 2,es decir, par (aquı se proboa par⇒ ab par).

b es par. Por definicion,b = 2t para algunt ∈ Z. Luego,ab = 2ta lo cual indica queab es multiplo de 2,es decir, par (aquı se probob par⇒ ab par).

Por disyuncion de casos, podemos conluir queab es par.

Corolario 4.25. Sin ∈ Z entoncesn(n + 1) es par.

Demostracion. Supongamosn ∈ Z. Por el Corolario 4.6 tenemos quen es par o impar. Veamos que cadacaso permite concluir quen(n + 1) es par.

n par. Del Teorema 4.24 se sigue quen(n + 1) es par.

n impar. Por definicion,n = 2k + 1 para algunk ∈ Z. Luego,n + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1),es decir,n + 1 es multiplo de dos, o sea, par. Por lo tanto, del Teorema 4.24 concluımos quen(n + 1)es par.

Por disyuncion de casos, concluımos quen(n + 1) es par.

4.5. Pruebas de doble implicacion

En este segmento no introducimos un metodo de demostracion sino una pauta para probar afirmacionesde la formaP ⇔ Q. Sabemos que esta equivale a(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ) por lo cual, para probar la equiva-lencia, basta demostrar las dos implicacionesP ⇒ Q y Q ⇒ P . Cada implicacion puede probarse con losmetodos de demostracion introducidos anteriormente.

Teorema 4.26.Seana, b, c ∈ Z tal quec 6= 0. Entoncesb | a si y solo sibc | ac.

Demostracion. Se nos pide demostrar(b | a) ⇔ (bc | ac). Procedamos a probar cada implicacion pormetodo directo (recuerde quec 6= 0).

24

“ ⇒ ” Supongamosb | a. Por definicion,a = bk para algunk ∈ Z. Luego, al multiplicar en la igualdad porc, ac = (bc)k, es decir,∃k∈Z(ac = (bc)k). Por lo tanto,bc divide aac.

“ ⇐” Supongamosbc | ac, es decir,ac = (bc)t para algun enterot. La igualdad la podemos expresar comoac = btc y, comoc 6= 0, al cancelarlo de la igualdad se siguea = bt, es decir,a es multiplo deb.

Teorema 4.27.Seana, b ∈ Z. ab es impar si y solo sia es impar yb es impar.

Demostracion. “ ⇒ ” Es el contrarrecıproco del Teorema 4.24.

“ ⇐” Del Teorema 4.12.

La siguiente es una de las nociones mas importantes de la aritmetica.

Definicion 4.28(Numero primo). Sean un entero mayor que 1. Decimo quen es primosi sus unicos divi-sores son 1 yn. De lo contrario,n es compuesto.

Por ejemplo, 2,3,5,11,41 son primos, 4,6,48 son compuestosy 1 no es primo ni compuesto, pues ladefinicion se restringe a los enteros mayores que 1. Una forma de clasificar los numeros compuestos la da elsiguiente resultado.

Teorema 4.29.Sean un entero mayor que 1. Entoncesn es compuesto si y solo sin = ab para algunosenterosa y b mayores que 1.

Demostracion. “ ⇒ ” Supongamos quen es compuesto, es decir, que no es primo. Luego, existe un enteroa > 0 que divide an y que no es 1 nin. Comoa | n se sigue que existeb ∈ Z tal quen = ab. Comon y a son positivos, es claro queb debe ser positivo y, comoa 6= 1 entoncesa > 1. Falta probar queb > 1. Por reduccion al absurdo, supongamos queb ≯ 1, es decir,b = 1. Comon = ab se sigue quen = a, lo cual contradice quea no esn.

“ ⇐” Supongamos que existen enterosa y b mayores que 1 tal quen = ab. Primero veamos quea 6= n porreduccion al absurdo. En efecto, sia = n entoncesn = nb y, comon es mayor que 1, se sigue que1 = b, lo cual es absurdo (puesb > 1). Por lo tanto,a 6= n.Por otra parte, comon = ab, se tiene quea | n y a no es 1 (porque es mayor) nin. Por lo tanto,ntiene un divisor diferente de 1 yn, es decir, es compuesto.

4.6. Induccion Matematica

La induccion matematica es una tecnica poderosa para probar propiedades sobre los numeros naturales.

Proposicion 4.30(Principio de Induccion Matematica). SeaQ(n) una afirmacion. Si se tiene

(i) (Paso base)Q(1) (1 cumple la afirmacion),

(ii) (Paso inductivo)Q(n) ⇒ Q(n + 1) para cualquiern ∈ N (si n cumple la afirmacion, entoncesn + 1tambien la cumple)

se concluye que∀n∈NQ(n), es decir, queQ(n) es cierta para todos los naturales.

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Justificacion (no formal). Supongamos que se cumple (i) y (ii). Veamos que, dadon ∈ N, Q(n) es cierta.Como (ii) muestra una implicacion que se cumple para todos los numeros naturales, las siguientes implica-ciones son ciertas

Q(1) ⇒ Q(2), Q(2) ⇒ Q(3), Q(3) ⇒ Q(4), . . . , Q(n − 2) ⇒ Q(n − 1), Q(n − 1) ⇒ Q(n)

luego, por la transitividad de⇒ , se sigueQ(1) ⇒ Q(n). Por (i) y modus ponens,Q(n) es cierta.

El siguiente resultado contiene una prueba por induccion matematica.

Lema 4.31. 2n > n para todon ∈ N

Demostracion. Procedamos por induccion matematica conQ(n) : “n < 2n”. Debemos probar

Paso base.Q(1) es claro porque1 < 2 y 21 = 2.

Paso inductivo. SupongamosQ(n), es decir,n < 2n (la llamamoshipotesis inductiva), y veamosQ(n+1),es decir,n + 1 < 2n+1. En efecto,

2n+1 = 2n · 2 > n · 2 = n + n ≥ n + 1.

El primer “mayor que” se justifica por la hipotesis inductiva. Ası, obtenemosn + 1 < 2n+1.

De esta forma, hemos visto que (i) y (ii) del principio de induccion se cumple paraQ(n). Por lo tanto,concluımos queQ(n), es decir,n < 2n, es cierto para todon ∈ N.

A primera vista, es tedioso realizar la suma de los numeros del 1 al 100. Sin embargo, hay una formarapida e ingeniosa de efectuarla. Primero, sumemos los numeros entre los primeros y los ultimos, ası

1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 , . . . , 49 + 52, 50 + 51.

Aquı hay un total de 50 sumas. Pero cada una de ellas da 101. Por lo tanto, la suma de los numeros del 1al 100 es50 · 101 = 100·101

2 . Este resultado permite pensar en una conjetura para hallaruna formula queexprese la suma de los numeros desde 1 hastan para cualquiern un numero natural.

Teorema 4.32.Dadon ∈ N,

1 + 2 + · · · + n =n(n + 1)

2.

Demostracion. Como es una propiedad sobre numeros naturales, procedemossu demostracion por induc-cion matematica. Sea

Q(n) : 1 + 2 + · · · + n =n(n + 1)

2.

Paso base.Q(1) es1 = 1(1+1)2 (la suma de 1 hasta 1), lo cual es cierto.

Paso inductivo. SupongamosQ(n) (hipotesis inductiva) y probemosQ(n + 1). Q(n + 1) expresa el resul-tado de sumar los numeros desde 1 hastan + 1. Segun la hipotesis inductiva, ya sabemos el valor alsumar hastan, por lo cual solo falta sumarn + 1.

1 + · · · + (n + 1) = (1 + · · · + n) + (n + 1)

= n(n+1)2 + (n + 1) hipotesis inductiva

= (n + 1)(

n2 + 1

)

factor comunn + 1= (n + 1)

(

n+22

)

= (n+1)((n+1)+1)2

lo cual permite concluirQ(n + 1).

Por lo tanto, por induccion matematica,Q(n) es cierta para todon ∈ N.

26

5. Teorıa de Conjuntos Intuitiva

La Teorıa de Conjuntos es el fundamento de las matematicas, pues aquı se describen todas las leyes quefundamentan el comportamiento de los objetos matematicos, ademas de que permite construir los conjuntosnumericosN, Z, Q y R, definir sus operaciones y probar todas sus propiedades. Todas las demostracionesque se presentan en esta teorıa estan fundamentadas en el calculo de predicados y en 9 axiomas (afirmacionesque son el punto de partida de la teorıa), elementos simplesdesde donde se construye toda la matematica deuna forma muy rigurosa.

En cursos de Logica Matematica y Teorıa de Conjuntos se estudian toda la estructura que construye lasmatematicas de una forma muy rigurosa. Sin embargo, en estetexto solo vamos a estudiar los principiosbasicos de la Teorıa de Conjuntos de una forma muy intuitiva, similar a como procedimos en la seccion 3.Aunque en ocasiones desarrollamos pruebas formales, no haremos una exigencia total en este proceder.

El sımbolo principal de la teorıa de conjuntos es el∈, el cual se leepertenece. Este se presenta como unarelacion binaria, en dondex ∈ y se lee “x pertenece ay”. Intuitivamente, un conjunto se ve como una colec-cion de objetos, por lo cualx ∈ y significa, intuitivamente, quex es uno de los elementos de la coleccion deobjetos llamaday. En ocasiones,x ∈ y se lee comox es elemento dey. Como notacion,x /∈ y es lo mismoque¬(x ∈ y).

A continuacion, mencionamos los dos primeros axiomas de lateorıa de conjuntos.

Axioma de Extensionalidad. Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.En el lenguaje matematico, esto se expresa por

∀A∀B

[(

∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B))

⇒ A = B]

.

La expresion∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B) significa queA y B tienen los mismos elementos.

Axioma de Comprension. Dado un conjuntoA y una afirmacionP (x) se puede construir el conjunto cuyoselementos son los objetos enA que cumplenP (x)

Estos dos axiomas sugieren las dos formas en que se pueden definir conjunto.

Notacion por extension. Consiste en definir un conjunto mediante la lista de sus elementos, colocandolosentre llaves10. Por ejemplo,A = {1, 2, 3}, B = {a, b} para definir los conjuntosA y B, respectiva-mente. Es claro que1 ∈ A, 4 /∈ A, a ∈ B, c /∈ B, 1 /∈ B.

Notacion por Compresion. Dado un conjuntoA y una afirmacionP (x), el conjunto al que se se hacereferencia en el axioma de Comprension se denota por{x ∈ A / P (x)} y representa elconjunto cuyoselementos son los objetos deA que cumplenP (x). Por ejemplo,{n ∈ Z / ∃k∈Z(n = 2k)} representael conjunto formado por los numeros pares,{x ∈ R / −1 < x < 3} representa el conjunto de losnumeros reales entre−1 y 3 (el cual se denota por(−1, 3)).

Ejemplo 5.1. El axioma de Extensionalidad justifica que las siguientes parejas de conjuntos son iguales,pues son conjuntos que tienen los mismos elementos, a saber,{1, 2, 3} = {3, 1, 2}, {a, b, b} = {a, b},{1, 2, 3, 4, 5} = {n ∈ Z / 1 ≤ n ≤ 5} y {n ∈ N / n primo y par} = {2}. Aquı vemos que un conjuntofinito siempre puede expresarse por extension y comprensi´on. Otro ejemplo es{n ∈ Z / n par} 6= {2, 4, 6},

10Para definir este tipo de conjuntos finitos con llaves, se necesitan otros axiomas de la teorıa de conjuntos, a saber, elaxioma deParesy el axioma de Union.

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pues8 es elemento del primer conjunto y no del segundo, dando lugara que ambos notienen los mismoselementos.

En teorıa de conjuntos se puede demostrar queexiste ununico conjunto que no tiene elementos, es decir,∃!y∀x(x /∈ y). Por ejemplo,{x ∈ A / x 6= x} es un conjunto que no tiene elementos.

Definicion 5.2(Conjunto vacıo). Denotamos por∅ al unico conjunto que no tiene elementos.

Es claro que los conjuntos{n ∈ Z / n 6= n}, {x ∈ R / x = x + 1} y {x ∈ R / 0 = 1} son iguales a∅,pues ninguno de ellos posee elementos.

Una notacion muy comun en teorıa de conjuntos es la representacion dediagramas de Venn. Esta es utilpara conocer intuiivamente el comportamiento de los conjuntos, pero no se usa para efectuar demostracionesformales. El diagrama de Venn de un conjunto consiste en dibujar un cırculo que representa el conjuntoy, por dentro, los elementos de este senalados con puntos.Por ejemplo, el diagrama de Venn del conjuntoA = {1, 2, 3} es

b

b b

1

2 3

A

Definicion 5.3(Contencion.). DefinimosA ⊆ B comoA esta contenido enB. Esto significa quetodos loselementos deA estan enB, es decir,∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B). A ⊆ B tambien se leeA es subconjunto deB,B contiene aA o B es superconjunto deA. Como notacion,A * B representa¬(A ⊆ B). El siguientediagrama de Venn representaA ⊆ B.

B

A

De la contencion se tiene la siguiente regla de inferencia:

A ⊆ Bx ∈ Ax ∈ B.

Notese queA * B ⇔¬(A ⊆ B)

⇔¬∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)⇔ ∃x¬(x ∈ A ⇒ x ∈ B) negacion de∀⇔ ∃x(x ∈ A ∧ x /∈ B) negacion de⇒ .

Por lo tanto,A * B ⇔ ∃x(x ∈ A ∧ x /∈ B), es decir,A no esta contenido enB si y solo si existe unelemento enA que no pertenece aB.

28

Ejemplo 5.4. {0, 1} * {1, 2}, pues0 esta en el primer conjunto, pero no en el segundo.N ⊆ Z, pues todoslos naturales son enteros.{n ∈ Z / 4 | n} ⊆ {n ∈ Z / 2 | n}, ya que todos los multiplos de 4 son pares,pero{n ∈ Z / 2 | n} * {n ∈ Z / 4 | n}, pues numeros como6, 10,−14 estan en el primer conjunto perono en el segundo.

Proposicion 5.5. Para probarA ⊆ B, basta tomarx ∈ A como hipotesis y concluirx ∈ B

Justificacion. Si se tomax ∈ A como hipotesis y se concluyex ∈ B, por metodo directose tienex ∈A ⇒ x ∈ B. Comox se toma arbitrario, significa que esta afirmacion se cumple para todox, lo cual significaqueA ⊆ B.

La proposicion anterior indica la tecnica mas comun para demostrar (formalmente) que un conjuntoesta contenido en otro.

Teorema 5.6.DadosA,B,C conjuntos,

(a) ∅ ⊆ A (el vacıo es subconjunto de cualquier conjunto).

(b) A ⊆ A (un conjunto esta contenido en sı mismo).

(c) (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C (la contencion de conjuntos es transitiva).

CB

A

(d) (A ⊆ B ⇒ B ⊆ A) ⇒ A = B (antisimetrıa de la contencion).

Demostracion. Estas afirmaciones se pueden ilustrar mediante diagramas deVenn. Sin embargo, vamos adar sus justificaciones formales.

(a) Como el vacıo no tiene elementos,x /∈ ∅ es teorema. Luego, por adicion,x /∈ ∅ ∨ x ∈ A es teorema,lo cual equivale ax ∈ ∅ ⇒ x ∈ A. Por el principio de generalizacion,∀x(x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A) es teorema,es decir,∅ ⊆ A.

(b) Es claro quex ∈ A ⇒ x ∈ A es un teorema (por la tautologıaP ⇒ P ). Luego, por el principio degeneralizacion,∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ A) es teorema, lo cual esA ⊆ A.

(c) SupongamosA ⊆ B y B ⊆ C y probemos, por el metodo de la Proposicion 5.5, queA ⊆ C. Paraesto, supongamosx ∈ A y veamosx ∈ C. ComoA ⊆ B y x ∈ A entoncesx ∈ B y, comoB ⊆ C,concluımos quex ∈ C.

(d) Si A ⊆ B y B ⊆ A entoncesx ∈ A ⇒ x ∈ B y x ∈ B ⇒ x ∈ A para todox. Por lo tanto,x ∈A ⇔ x ∈ B para todox, es decir,A y B tienen los mismos elementos. Por el axioma de Extensionalidad,concluımos queA = B.

El inciso (d) sugiere una estrategia para probar la igualdadde dos conjuntos, la cual se conoce pordoblecontencion:

29

Proposicion 5.7(Doble Contencion). Basta probar queA ⊆ B y B ⊆ A para garantizar queA = B.

Ejemplo 5.8. SeaA = {a ∈ Z / a par} y B ={

a ∈ Z / a2 par}

. Dadoa ∈ Z se sabe quea par⇒ a2 par,por lo cuala ∈ A ⇒ a ∈ B para todoa, es decir,A ⊆ B. Por otra parte,a2 par⇒ a par para todo enteroa,por lo cuala ∈ B ⇒ a ∈ A, es decir,B ⊆ A. Por lo tanto, comoA ⊆ B y B ⊆ A, concluımos queA = B.

Definicion 5.9(Contencion estricta.). DefinimosA ( B comoA ⊆ B ∧ A 6= B. A ( B significa queA esun subconjunto deB que es diferente aB, lo cual se lee comoA esta estrictamente contenido enB o A essubconjunto propio deB.

Ejemplo 5.10. {n ∈ Z / 4 | n} ( {n ∈ Z / 2 | n}, pues el primer conjunto se contiene en el otro y no soniguales, ya que no comparten los mismos elementos. Es evidente {1, 2} ( {1, 2, 3}. A ( A es falso, puesson conjuntos iguales.{a, b} ( {b, c} es falso, pues ni siquiera se cumple la contencion.

Definicion 5.11(Operaciones entre conjuntos). Dados dos conjuntosA y B definimos los siguientes con-juntos.11

A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} Union deA conB.A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B} Interseccion deA conB.A − B = {x / x ∈ A ∧ x /∈ B} Complemento deB respecto aA.

En cada diagrama de Venn, cada conjunto esta representado por el area sombreada.

A ∩ B

BA

A ∪ B

BA

A − B

BA

Al observar estos diagramas de Venn,A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B, A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B y A − B ⊆ A(lo cual se puede demostrar formalmente). Segun la definicion de estas operaciones, se siguen las siguientesequivalencias:

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ Bx ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ Bx ∈ A − B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B.

Tambien podemos ver que significan afirmaciones comox /∈ A ∪ B segun las equivalencias anteriores. Porejemplo,

x /∈ A ∪ B ⇔¬(x ∈ A ∪ B) notacion⇔¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) definicion de union⇔ (x /∈ A ∧ x /∈ B) ley D’Morgan.

Se puede garantizar quex /∈ A ∪ B ⇔ x /∈ A ∧ x /∈ Bx /∈ A ∩ B ⇔ x /∈ A ∨ x /∈ Bx /∈ A − B ⇔ x /∈ A ∨ x ∈ B.

CuandoA∩B = ∅ decimos queA y B son disjuntos, pues esto significa que no tienen elementos en comun.

11La interseccion y el complemento se pueden definir gracias al axioma de Comprension. Sin embargo, para definir la unionsenecesita otro axioma que se conoce como elaxioma de Union.

30

A B

A ∩ B = ∅

De los diagramas de Venn se infiere queA∩ (B −A) = ∅, puesA y B −A no tienen elementos en comun.

Ejemplo 5.12. SeanP = {n ∈ Z / n par} y I = {n ∈ Z / n impar}. Tenemos queP ∪ I = Z, P ∩ I = ∅,Z − P = I y Z − I = P . Aquı P y I son disjuntos, pues no existen enteros que sean pares e impares a lavez.

Lema 5.13. SiA ⊆ B entoncesA ∪ B = B y A ∩ B = B.

B

A

B

A

A ∪ B = B A ∩ B = A

Demostracion. Aunque los diagramas de Venn proporcionan una evidencia intuitiva de estas igualdades,tambien se pueden demostrar de manera formal. Procedamos,por ejemplo, conA ∪ B = B por doblecontencion.B ⊆ A ∪ B se sigue porquex ∈ B ⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) (adicion) lo cual es, por definicion deunion,x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B que se cumple para todox. Falta probar entonces queA ∪ B ⊆ B. En efecto,si x ∈ A ∪ B, por definicion de unionx ∈ A o x ∈ B. Procedemos por disyuncion de casos:

x ∈ A. ComoA ⊆ B se siguex ∈ B.

x ∈ B. En este caso es claro quex ∈ B.

Concluımos quex ∈ B.

Teorema 5.14.(a) A ∪ A = A, A ∩ A = A.

(b) A − A = ∅, A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A − ∅ = A, ∅ − A = A.

(c) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A (Leyes conmutativas).

(d) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Leyes asociativas).

(e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Leyes distributivas).

(f) C − (A ∩ B) = (C − A) ∪ (C − B), C − (A ∪ B) = (C − A) ∩ (C − B) (Leyes D’Morgan).

(g) A − B = A − (A ∩ B).

Demostracion (no del todo formal). De manera no formal, estas igualdades se pueden justificar mediantediagramas de Venn. Ilustramos como funciona este tipo de argumento en cada caso, ademas que, en algunos,haremos la demostracion formal.

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(a) ComoA ⊆ A, del Lema 5.13 se sigue queA ∪ A = A y A ∩ A = A.

(b) Como∅ ⊆ A entoncesA ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅ por el Lema 5.13. Por otra parte,x /∈ A ∨ x ∈ A escierta (por tercer excluıdo), lo cual esx /∈ A − A (ver Definicion 5.11). Como esto se cumple para todox, significa queA − A no tiene elementos, lo cual dice queA − A = ∅.Como∅ − A ⊆ ∅ (ver Definicion 5.11) y∅ ⊆ ∅ − A (el vacıo esta contenido en cualquier conjunto,ver Teorema 5.6), por doble contencion se sigue la igualdad.Finalmente, veamos queA − ∅ = A por doble contencion. Es claro queA − ∅ ⊆ A, ası que falta verA ⊆ A− ∅. En efecto, six ∈ A, comox /∈ ∅ es verdad, entoncesx ∈ A ∧ x /∈ ∅, es decir,x ∈ A− ∅(por definicion de resta).

(c) Mediante un diagrama de Venn es facil verificar dichas igualdades, pero veamos la conmutatividad deA ∩ B de manera formal.

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B Def. de∩⇔ x ∈ B ∧ x ∈ A Conmutatividad de∧⇔ x ∈ B ∩ A Def. de∩.

Por lo tanto,x ∈ A∩B ⇔ x ∈ B∩A para todox, de donde, por axioma de Extensionalidad, concluımosqueA ∩ B = B ∩ A.

(d) Los siguientes diagramas de Venn ilustran dichas igualdades.

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

BA

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A B

De manera formal:

x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ∪ C def. de∪⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) def. de∪⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C asociatividad de∨⇔ x ∈ A ∪ B ∨ x ∈ C def. de∪⇔ x ∈ (A ∪ B) ∪ C def. de∪.

Por lo tanto,x ∈ A∪(B∪C) ⇔ x ∈ (A∪B)∪C para todox, de donde se concluye queA∪(B∪C) =(A ∪ B) ∪ C por el Axioma de Extensionalidad.

(e) El area sombreada de los diagramas de Venn a la derecha evidencia queA∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

B ∪ C

A B

C

A

A B

C

A ∩ (B ∪ C)

BA

C

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A ∩ C

A B

C

A ∩ B

A B

C

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

BA

C

El area sombreada de los diagramas de Venn a la derecha evidencia queA∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

B ∩ C

A B

C

A

A B

C

A ∪ (B ∩ C)

BA

C

A ∪ C

A B

C

A ∪ B

A B

C

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

BA

C

Veamos la primera situacion de manera formal:

x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∪ C def. de∩⇔ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) def. de∪⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) distributividad⇔ x ∈ A ∩ B ∨ x ∈ A ∩ C def. de∩⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) def. de∪.

Como dicha equivalencia se cumple para todox, por el axioma de Extensionalidad se sigueA∩(B∪C) =(A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

(f) El area sombreada de los diagramas de Venn a la derecha evidencia queC−(A∩B) = (C−A)∪(C−B).

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A ∩ B

A B

C

C

A B

C

C − (A ∩ B)

BA

C

C − B

A B

C

C − A

A B

C

(C − A) ∪ (C − B)

BA

C

El area sombreada de los diagramas de Venn a la derecha evidencia queC−(A∪B) = (C−A)∩(C−B).

A ∪ B

A B

C

C

A B

C

C − (A ∪ B)

BA

C

C − B

A B

C

C − A

A B

C

(C − A) ∩ (C − B)

BA

C

Veamos la primera situacion de manera formal:

x ∈ C − (A ∩ B) ⇔ x ∈ C ∧ x /∈ A ∩ B def. de−⇔ x ∈ C ∧ ¬(x ∈ A ∩ B) notacion⇔ x ∈ C ∧ ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B) def. de∩⇔ x ∈ C ∧ (x /∈ A ∨ x /∈ B) ley D’Morgan⇔ (x ∈ C ∧ x /∈ A) ∨ (x ∈ C ∧ x /∈ B) distributividad⇔ x ∈ C − A ∨ x ∈ C − B def. de−⇔ x ∈ (C − A) ∪ (C − B) def. de∪.

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De la equivalencia y el axioma de Extensionalidad se sigue laigualdad.

(g) Los siguientes diagramas de Venn ilustran la situacionde la afirmacion.

A ∩ B

BA

A

BA

A − (A ∩ B) = A − B

BA

Tambien damos el siguiente argumento formal:

A − (A ∩ B) = (A − A) ∪ (A − B) por (f)= ∅ ∪ (A − B) por (b)= (A − B) ∪ ∅ por (c)= A − B por (b).

Ejemplo 5.15. Los resultados anteriores se pueden utilizar parademostrarafirmaciones sobre conjuntos.Por ejemplo,

A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) ley distributiva= A ∪ (A ∩ B) ya queA ∩ A = A,

lo cual garantiza queA ∩ (A ∪B) = A ∪ (A ∩B). Por otra parte, sabemos queA ∩B ⊆ A por lo cual, delLema 5.13,A ∪ (A ∩ B) = A. Ası, podemos concluir queA ∩ (A ∪ B) = A ∪ (A ∩ B) = A.

Cuando los conjuntos en los que se trabajan estan contenidos en un espacio especıfico (comoR o Z), esmuy comun adoptar la siguiente notacion.

Definicion 5.16(Complemento relativo). Supongamos que se esta trabajando en un conjuntoU . Si A ⊆ U ,denotamosA′ = U −A, el cual llamamos elcomplemento deA (respecto aU ). En el siguiente diagrama deVenn, el area sombreada representaA′.

AA′

U

Ejemplo 5.17. LlamemosP = {n ∈ Z / n par}I = {n ∈ Z / n impar}C = {n ∈ N / n compuesto}

Respecto aZ, P ′ = I, I ′ = P y C ′ = {n ∈ Z / n ≤ 1} ∪ {n ∈ N / n primo}. Por otra parte, respecto aNse tiene queC ′ = {1} ∪ {n ∈ N / n primo}. Notese queC ′ nodenota el mismo conjunto, sino que dependedel conjunto base respecto al cual se le tome el complemento.Respecto aR, si A = {x ∈ R / 0 < x < 1}, entoncesA′ = {x ∈ R / x ≥ 1} ∪ {x ∈ R / x ≤ 0}.

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Teorema 5.18. SeanA y B subconjuntos deU . Tomando los complementos respecto aU se tienen lassiguientes propiedades.

(a) A ∪ B, A ∩ B, A − B y A′ son subconjuntos deU .

(b) ∅′ = U , U ′ = ∅.

(c) (A′)′ = A.

(d) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′.

(e) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′.

Demostracion (no del todo formal). En algunos casos justificaremos enunciados con diagramas deVenn,en otros, formalmente.

(a) El siguiente diagrama de Venn ilustra claramente la situacion.

A B

U

De manera formal, comoA ∩ B y A − B son subconjuntos deA entonces, comoA ⊆ U , se sigue portransitividad de⊆ queA ∩ B y A − B son subconjuntos deU . Por otra parte,A′ = U − A ⊆ U .

(b) ∅′ = U − ∅ = U y U ′ = U − U = ∅ por el Teorema 5.14.

(c) Un diagrama de Venn hace obvio este resultado, pero veamos una prueba formal.

(A′)′ = U − A′ def. de′

= U − (U − A) def. de′

= (U − U) ∪ (U ∩ A) igualdadC − (A − B) = (C − A) ∪ (C ∩ B) (ver taller)= ∅ ∪ (U ∩ A) Teorema 5.14= U ∩ A Teorema 5.14= A puesA ⊆ U y Lema 5.13.

(d) De manera formal:(A ∪ B)′ = U − (A ∪ B) def. de′

= (U − A) ∩ (U − B) D’Morgan= A′ ∩ B′ def. de′

(e) De manera formal:(A ∩ B)′ = U − (A ∩ B) def. de′

= (U − A) ∪ (U − B) D’Morgan= A′ ∪ B′ def. de′

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Observacion 5.19. En teorıa de conjuntos no hay distincion entre conjuntos yelementos, es decir,todos losobjetos son conjuntos. Incluso cada numero real es un conjunto, pues son objetos de la teorıa. Por ello nohay nada de raro decir queun conjunto pertence a otro conjunto, por ejemplo∅ ∈ {∅} y {∅} ∈ {{∅}}.La palabraelementosolo se utiliza de forma relativa para indicar que un conjunto pertenece a (o es elementode) otro conjunto.

Definicion 5.20 (Conjunto de Partes). Dado un conjuntoA definimosP(A) = {X / X ⊆ A}, el cualllamamospartes12 de A. Este es el conjunto formado por todos los subconjuntos deA. Esta definiciongenera la siguiente equivalencia

X ∈ P(A) ⇔ X ⊆ A.

Ejemplo 5.21. ∅ es el unico conjunto que no tiene elementos, por lo cual solo tiene un subconjunto, a saber,el mismo∅. Por lo tanto,P(∅) = {∅}.{a} solo tiene dos tipos de subconjuntos, de cero elementos que solo es∅ y de un elemento que solo es{a}.Por lo tanto,P({a}) = {∅, {a}}.{a, b} tiene tres tipos de subconjuntos, de cero elementos que soloes∅, de un elemento que son{a} y {b},y de dos elementos que solo es{a, b}. Por lo tanto,P({a, b} = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.{a, b, c} tiene cuatro tipos de subconjuntos, de cero elementos que solo es∅, de un elemento que son{a},{b} y {c}, de dos elementos que son{a, b}, {a, c} y {b, c}, y de tres elementos que solo es{a, b, c}. Por lotanto,P({a, b, c} = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}.{b, c}, {a, b, c}}.En estos ejemplos podemos determinar una relacion entre unconjunto y sus partes: si el conjunto tiene0 elementos, sus partes tiene 1; si el conjunto tiene 1 elemento, sus partes tiene 2; si el conjunto tiene 2elementos, sus partes tiene 4 y, si el conjunto tiene 3 elementos, sus partes tiene 8. Esto permite conjeturarque si un conjunto tienen elementos, sus partes tiene2n, hecho el cual puede probarse en la teorıa deconjuntos.

12Para definir este conjunto se necesita un axioma llamadoaxioma de Partes.

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