Logica Simbolica o Matematica

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LOGICA SIMBOLICA O MATEMATICA La lógica simbólica o matemática, no es una lógica distinta de la lógica clásica o aristotélica, sino que más bien, se trata de dos momentos en el desarrollo de una lógica, dos momentos históricos. La lógica en su presentación clásica, como silogística, obedecía a la obra de Aristóteles (filósofo y científico griego, 384-322 a.C), pero Kant (filósofo alemán, 1724-1804), en el siglo XVIII, afirmaba que, desde ese inicio, la lógica no había dado un paso adelante ni atrás. En realidad, esta afirmación kantiana no se alejaba de la realidad. Excepto por algún intento solitario de G. Leibniz (filósofo alemán, 1646-1716), pretendiendo crear una especie de lenguaje universal, al modo de las matemáticas, con el que según su autor, todos los problemas podían ser resueltos de un modo mecánico como cálculo, la lógica no había realizado grandes progresos desde Aristóteles. Sin embargo, a fines del s. XIX y comienzos del XX, la lógica experimeta un vertiginoso avance, difícil de preveer desde la perspectiva de la lógica clásica. Este avance obedece, en buena medida, a los aportes de Boole (lógico y matemático británico, 1815-1864), De Frege (matemático y filósofo alemán, 1848-1925), entre otros. Estos aportes consisten, a grandes rasgos, en llevar a cabo una completa formalización del lenguaje. Como consecuencia de ello, se puede considerar la lógica desde una perspectiva matemática, lo cual confiere otro rigor y precisión. Con estos nuevos elementos, la nueva lógica mostrará otro alcance y profundidad, pudiéndose realizar en ella, no solo todas las operaciones que se podían realizar en la lógica clásica, sino que además, es posible solucionar problemas que ésta no solucionaba y también analizar nuevos tópicos.

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DEFINICION DE LOGICA SIMBOLICA, APLICACION DE LA LOGICA SIMBOLICA O MATEMATICA ...............................................

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LOGICA SIMBOLICA O MATEMATICALa lgica simblica o matemtica, no es una lgica distinta de la lgica clsica o aristotlica, sino que ms bien, se trata de dos momentos en el desarrollo de una lgica, dos momentos histricos. La lgica en su presentacin clsica, como silogstica, obedeca a la obra de Aristteles (filsofo y cientfico griego, 384-322 a.C), pero Kant (filsofo alemn, 1724-1804), en el siglo XVIII, afirmaba que, desde ese inicio, la lgica no haba dado un paso adelante ni atrs. En realidad, esta afirmacin kantiana no se alejaba de la realidad. Excepto por algn intento solitario de G. Leibniz (filsofo alemn, 1646-1716), pretendiendo crear una especie de lenguaje universal, al modo de las matemticas, con el que segn su autor, todos los problemas podan ser resueltos de un modo mecnico como clculo, la lgica no haba realizado grandes progresos desde Aristteles.

Sin embargo, a fines del s. XIX y comienzos del XX, la lgica experimeta un vertiginoso avance, difcil de preveer desde la perspectiva de la lgica clsica. Este avance obedece, en buena medida, a los aportes de Boole (lgico y matemtico britnico, 1815-1864), De Frege (matemtico y filsofo alemn, 1848-1925), entre otros.

Estos aportes consisten, a grandes rasgos, en llevar a cabo una completa formalizacin del lenguaje. Como consecuencia de ello, se puede considerar la lgica desde una perspectiva matemtica, lo cual confiere otro rigor y precisin. Con estos nuevos elementos, la nueva lgica mostrar otro alcance y profundidad, pudindose realizar en ella, no solo todas las operaciones que se podan realizar en la lgica clsica, sino que adems, es posible solucionar problemas que sta no solucionaba y tambin analizar nuevos tpicos.

Caractersticas de la lgica simblica o matemtica:

La lgica simblica, se distingue por el uso de instrumentos ms refinados que la lgica clsica, antes que por el objeto de sus estudios. Algunas de sus caractersticas distintivas son:

* La lgica simblica se construye de un modo totalmente formalizado, o sea que utiliza los smbolos como si fueran signos materiales, sin tener en cuenta su significacin. Si bien la lgica clsica posea cierto grado de formalizacin, presentaba expresiones del lenguaje natural que hacan ambiguas algunas de sus consideraciones. El tratamiento tcnico que es posible darle a las argumentaciones obedece a la formalizacin.

* Las expresiones se transforman mediante la aplicacin de reglas de operacin exactas y explcitas. Esto permite operar en la lgica como un clculo.

* La utilizacin de una simbologa para el proceso de la formalizacin se lleva a cabo de manera consecuente y completa. Esta caracterstica se conoce como simbolizacin.

* Las caractersticas anteriores permiten presentar muchos captulos de la lgica simblica como sistemas axiomticos.

La lgica proposicional:

La lgica proposicional, tambin llamada "lgica de enunciados" o "lgica de conectivas interproposicionales", es la parte de la lgica que estudia el modo de construccin de enunciados a partir de otros enunciados. No le interesar, el modo en que se construyen enunciados a partir de elementos que no sean ellos mismos enunciados.

En este dominio lgico, nos ocuparemos de las proposiciones considerndolas como un "todo", o sea, sin descomponerlas en sus partes, en este sentido prescindiremos de la estructura interna de las proposiciones y consideraremos proposiciones a lo que entendamos por enunciados, o sea, las afirmaciones susceptibles de ser declaradas verdaderas o falsas. En este sentido son proposiciones o enunciados, expresiones tales como "la miel es dulce", "llueve", "2 x 3 = 6".

Gramtica lgica:

Para expresar las proposiciones, en este nivel lgico utilizaremos las letras minsculas del alfabeto latino: "p", "q", "r", "s", etc.

Proposiciones atmicas y moleculares:

Atmicas: Son aquellas que no estn afectadas por ninguna conectiva.

Ej: "llueve", representada por la letra "p".

Moleculares: Son aquellas que aparecen afectadas por conectivas lgicas, pudindose obtener de ms de un modo: por ej, "no llueve", que expresa la negacin del enunciado o cuando relacionamos ms de un enunciado mediante conectivas o constantes lgicas, por ej, "llueve y hace fro".

Conectivas o constantes lgicas:

Estas expresiones, junto alas que expresan variables, nos permiten la construccin de enunciados complejos. Estas expresiones tienen un comportamiento constante, son partculas sintcticas o lgicas.

Esta es la lista de las que utilizaremos:

Todas estas conectivas (con excepcin de la primera), son binarias, esto es, permiten unir entre s, dos proposiciones. Con respecto al "no" ella afecta siempre a una proposicin, es una conectiva mondica.

Sobre el uso de parntesis:

Al igual que en las matemticas, los parntesis tienen la funcin de unir o separar expresiones. Por lo tanto, de aparecer una negacin precediendo un parntesis, sta afecta al resultado de todo e mismo y ya no slo a las variables que aparece inmediatamente a se derecha. Por ej: -(p.q); la negacin no afecta slo a p, sino a toda la expresin.

Tablas de verdad:

Funciones veritativas:

Una proposicin molecular puede descomponerse pues, en proposiciones atmicas y conectivas proposicionales.

Sabemos que toda proposicin posee, por definicin, un valor veritativo: es verdadera (V) o falsa (F). Depender el valor veritativo de una proposicin molecular del valor de verdad de las atmicas que la componen?.

Tomemos el caso de la proposicin molecular ms simple posible, la negacin de una atmica, por ejemplo:

No llueve (-p)Estaba ebrio y colrico (p.q)Estaba ebrio o colrico (p v q)

En el caso 1, es claro que el valor de verdad de "-p" depende del de "p", pues si "p" es verdadera (es decir, si llueve), "-p" es falsa (es falso que no llueve) y si "p" es falsa (esto es, si no llueve), "-p" es verdadera (es verdadero que no llueve).

En el caso 2, la proposicin resultar falsa en todos los casos, excepto en uno: cuando ambas atmicas son verdaderas.

En el caso 3, ser verdadera en todos los casos excepto en aquel en que ambas atmicas fueran falsas.

A continuacin se muestran cules son los resultados que las diferentes conectivas arrojan para las mismas combinaciones de valores de verdad, en las que denominamos tablas de verdad.

El caso de negacin es ms sencillo:

p

-p

V

F

F

V

Simbolizacin de proposiciones y tablas de verdad:

Cmo simbolizar proposiciones moleculares, que combinan ms de una conectiva?:

Ejemplifiquemos:

1."No fue al cine, pero concurri al teatro", incluye una negacin y una conjuncin; la conjuncin afecta a la primera proposicin solamente, en este caso. Esta proposicin se simboliza "-p.q".

2. Pero la proposicin "No es cierto que fui al cine y al teatro", se advierte que la negacin afecta a la conjuncin en su conjunto; esta proposicin se simboliza "-(p.q)".

Los parntesis y llaves indican el alcance de la conectiva, de modo similar como en matemtica determinan el alcance de una operacin. Y se debe aclarar tambin que cuando una proposicin atmica se repite, debe repetirse la variable proposicional que la simboliza.

Tambin se debe tener presente que estamos trabajando con una lgica bivalente, lo cual significa que los valores de verdad que se le asignen a cada variable proposicional, tendrn como base el nmero dos, elevado a la cantidad de variables proposcionales que se tengan, y eso determinar la cantidad de hileras de valores de verdad y falsedad que se deben colocar.

Ejemplos:

p.q, aqu, son dos variables proposicionales, por lo tanto es 22 = 4, y la tabla quedar de la siguiente manera:

p

q

p.q

V

F

V

F

V

V

F

F

V

F

F

F

Tautologa, contingencia y contradiccin:

El resultado que nos puede ofrecer una tabla de verdad, puede asumir tres combinaciones de valores diferentes: 1) que nos d siempre verdadero; 2) que nos d siempre falso; 3) que en algunos casos d verdadero y en otros falso. Estos tres resultados dan lugar a tres tipos de expresiones diferentes que llamaremos, por su orden, tautologa, contradiccin y contingencia.

Validez y verdad:

La verdad de las expresiones moleculares dependa de los valores de verdad de los enunciados atmicos componentes. De este modo cuando sealamos qu valores deben tomar los enunciados componentes para que el compuesto sea verdadero estamos dando las condiciones de verdad del compuesto. Todos los compuestos que consideramos eran tales que .resultaban verdaderos para algunas asignaciones de valor a sus enunciados componentes y falsos para otras. Sin embargo hay enunciados compuestos que resultan verdaderos para cualquier asignacin de valores de verdad a sus componentes. Cuando un enunciado resulta falso para cualquier valor de verdad de sus componentes decimos que es inconsistente. A su vez cuando resulta verdadero para toda asignacin de valores a sus componentes decimos que es vlido.

Tablas de equivalencia (TE):

hemos presentado un procedimiento que dada una expresin cualquiera nos permita determinar su validez y a partir de sta las relaciones de implicacin y equivalencia. Sin embargo, no cabe duda de que dicho procedimiento resultara bastante tedioso, e incluso engorroso, cuando tratramos con enunciados que contuvieran cuatro o ms enunciados atmicos distintos como componentes. Considrese que si el enunciado contiene cinco enunciados componentes distintos tendramos que considerar 25=32 combinaciones de valores de verdad, lo cual dara una tabla con 32 lneas; y si contuviese seis enunciados atmicos distintos tendramos 26=64 lneas, y es evidente que una tabla con 32 o 64 lneas es algo cuya

construccin resulta muy poco edificante.

Por ejemplo, si tenemos la siguiente conjuncin p . q y sabemos que q tiene el valor V es obvio que el valor de la conjuncin ser el mismo que el de la expresin p ya que si p es V los dos componentes de p . q tendran el valor V y por lo tanto p . q tomara el valor V; por otra parte se p es F, entonces p . q tomara el valor F an cuando q sea V. A su vez, si sabemos que q es F, entonces cualquiera sea el valor de p, p . q tomar el valor F ya que una conjuncin uno de cuyos componentes es F toma el valor F. Podemos hacer el mismo razonamiento con cada una de las conectivas fundamentales. Como resultado de ese anlisis obtendremos la siguiente tabla:

En esta tabla en la columna de la izquierda anotamos el enunciado compuesto por un enunciado atmico y un valor de verdad (en realidad debe entenderse que no es un valor de verdad lo que figura como componente, sino un enunciado que posee un valor de verdad) y en la columna derecha la expresin a la cual la misma es equivalente.

Anlisis veritativo funcional:

Ahora que hemos construido la tabla (TE) estamos en condiciones de dar un procedimiento que nos permitir decidir la validez de enunciados cualesquiera y que resulte ms simple, en el caso de enunciados con muchos enunciados componentes distintos Supongamos que nos interesa determinar si el siguiente enunciado es vlido:

En este caso trazaremos debajo del enunciado en cuestin dos columnas y escribiremos en la columna de la izquierda el resultado de sustituir en ese enunciado la letra p por V y en la columna derecha el resultado de sustituir p por F.

Como podemos ver cada una de las columnas cierra en V y por lo tanto la expresin resulta ser vlida. Si las columnas hubieran cerrado algunas en V y otras en F la expresin habra resultado consistente y si el cierre de todas las columnas hubiese sido en F resultara inconsistente.

Una interpretacin alternativa:

Hasta ahora hemos venido interpretando las letras p, q, r, etc., como estando en lugar de enunciados atmicos, y las distintas conectivas como corresopondiendo a expresiones del tipo p, o, no, etc. Sin embargo, sta no es la nica interpretacin posible del denominado clculo proposicional. Ya que el propio Boole[1] haba sealado la importancia del desarrollo de un lgebra abstracta que admitiera varias interpretaciones distintas y el clculo desarrollado en su obra, presentado en principio como un lgebra de clases, admite tambin una interpretacin como lgica de proposiciones y como un lgebra de los nmeros 1 y 0[2]. Sin embargo aqu presentaremos otra interpretacin que se debe a Claude E. Shannon[3], la cual consiste en considerar las distintas expresiones del clculo proposicional como circuitos que componen redes elctricas.

A los efectos es importante sealar que un circuito elctrico tiene precisamente un carcter bivalente, ya que admite dos estados distintos encendido y apagado. De modo que as como las frmulas lgicas admiten dos valores de verdad, verdadero o falso, los circuitos elctricos tambin admiten dos estados distintos. Pero estas no son las nicas analogas entre las frmulas lgicas y las redes elctricas. Del mismo modo que las frmulas moleculares estn compuestas por enunciados atmicos y su valor de verdad depende del valor de verdad de estos ltimos; los circuitos estn compuestos por contactos cuya situacin de encendidos o apagados determina el pasaje o no de la corriente por la red. Y finalmente al igual quelas frmulas compuestas pueden ser reescritas en base a los signos conectivos v, . y - ; los circuitos elctricos se reducen a la disposicin en serie o en paralelo.

Ahora bien, dado que como hemos visto, los enunciados atmicos tienen dos valores posibles y los contactos dos estados, podemos ahora interpretar las letras p, q, r, etc., que representaban en nuestra primera interpretar las letras p, q, r, etc., que representaban en nuestra primera interpretacin enunciados atmicos, como contactos, de acuerdo con esto p , q, r, estarn en lugar de contactos que representaremos por figuras como las que siguen:

]:

p q lmpara

Encendido Encendido Encendido

Encendido Apagado Apagado

Apagado Encendido Apagado

Apagado Apagado Apagado

Si comparamos esta tabla con la de la conjuncin e interpretamos V como encendido y F como apagado veremos que describen exactamente la misma situacin.

Consideremos ahora el caso de la disposicin en paralelo de los contactos p y q.

Lmpara

En este caso parece claro que si uno de los dos contactos est en posicin de encendido la lmpara est encendida y que la disposicin en paralelo permite el flujo de la corriente de la batera a la lmpara an en el caso de que uno de los contactos se encuentre apagado. Luego de la situacin ser:

p q lmpara

Encendido Encendido Encendido

Encendido Apagado Encendido

Apagado Encendido Encendido

Apagado Apagado Apagado

Si comparamos ahora este cuadro con la tabla de la disyuncin y veremos que describen exactamente la misma situacin.

Si comparamos ahora este cuadro con la tabla de la disyuncin y veremos que describen exactamente la misma situacin.

Leyes del clculo proposicional:

Veamos ahora algunas leyes del clculo proposicional. En algunas de estas usaremos los smbolos 1 y 0 en lugar de V y F. El signo 1 puede entenderse segn la interpretacin que deseamos como V o como Encendido y el smbolo 0 como F o como Apagado. En adelante y en virtud de la simplicidad usaremos siempre los smbolos 1 y 0.

1) p . 1 = p Estas cuatro primeras leyes no son ms que cuatro de las

equivalencias establecidas en la tabla de equivalencias

2) p . 0 = 0 (TE) planteada ms arriba. Slo difieren de stas en que

usamos el smbolo 1 en lugar de V y 0 en lugar F

3) p v 1 = 1

4) p v 0 = p

5) p . p = 0 Principio de contraccin

6) p v p = 1 Principio del tercero excludo

7) - -p = p Idempotencia de la negacin

8) ( p . q ) = (q . p ) Propiedad conmutativa de la conjuncin

9) ( p v q ) = ( q v p ) Propiedad conmutativa de la disyuncin

10) p . ( q . r ) = ( p . q ) . r Propiedad asociativa de la conjuncin

11) p v ( q v r ) = ( p v q ) v r Propiedad asociativa de la disyuncin

12) p . ( q v r ) = ( p . q ) v ( p . r ) Propiedad distributiva de la conjuncin respecto a

la disyuncin

13) p v ( q . r ) = ( p v q ) . ( p v r ) Propiedad distributiva de la disyuncin respecto de la conjuncin

14) p . p = p Idempotencia de la conjucin

15) p v p = p Idempotencia de la disyuncin

16) p . ( p v p ) = p Ley de Absorcin

17) p v ( p . q ) = p Ley de Absorcin

18) ( p . q ) = ( - p v q) Ley de Demorgan

19) ( p v q ) = ( - p . q ) Ley de Demorgan

20) [ ( p . q ) v ( p . q )] = p

Circuitos correspondientes a frmulas:

Tracemos ahora el circuito correspondiente a la frmula:

[ ( p . q ) v ( p v q ) ] . [ q v ( p . q ) ]

Es posible construir un circuito ms simple que ste y que sea equivalente en el sentido de que se enciende exactamente en las mismas situaciones y se apague tambin en las mismas situaciones? A los efectos de responder a esta pregunta podemos tomar la frmula original y tratar de simplificarla usando las leyes 1 a 19. si podemos transformar dicha frmula en una ms simple podremos tambin simplificar el circuito en consideracin; y precisamente la frmula simplificada de ese circuito ser la frmula obtenida a partir de la original.

As, por ejemplo:

Frmula original: [ ( p . q ) v ( p v q ) ] . [ q v ( p . q ) ]

Por ley 17 y 8 [ ( p . q ) .v ( p v q ) ] . q

Por ley 12 [ ( p . q ) . q ] v [ ( p v q ) . q ]

Por ley 10 [ p . ( q . q ) ] v [ ( p v q ) . q ]

Por ley 14 { ( p . q ) v [ ( p v q ) . q ] }

Por ley 16 ( p . q ) v q

Por ley 17 q

De acuerdo con eso, el circuito original es equivalente al circuito:

Esto quiere decir que cuando q est encendido el circuito original est encendido y cuando q est apagado, el circuito original est apagado. En virtud de esto, en lugar de construir el complejo circuito original, podemos construir el ltimo circuito que siendo mucho ms simple cumple con las mismas funciones.

Bibliografa utilizada:

Caorsi, C. Introduccin a la lgica y sus aplicaciones.Copi, I. Introduccin a la lgica.Nudler. Temas de lgica.Nudler. Elementos de lgica simblica.

[1] George Boole. Anlisis matemtico de la lgica. Ed. Ctedra, Madrid, 1979.

[2] Cf. Carosi, Carlos, E. George Boole y los orgenes de la lgica simblica Revista sintaxis, Mdeo, 1976, p.19-27.

[3] Shannon, Claude, E. A symbolic analysis of relay and switching circuits, Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol.57 (1938).

[4] Es importante notar que en la medida en que cualquier enunciado (y cualquier conectiva) puede escribirse usando slo los signos concectivos -, . y v, podemos constituir el circuito correspondiente a cualquier expresin en base a los tres circuitos presentados. Para ello ser suficiente llevar la expresin del caso a su FND y luego traducirla a un circuito compuesto solo por los tres circuitos que hemos presentado.