Lógica temporal y flujos de tiempo
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Logica temporal y flujos del tiempo
Joan Casas Roma
22 de mayo de 2015
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 1 / 27
Presentacion
Joan Casas Roma ([email protected])
Ingenierıa tecnica en Informatica de Gestion (UVic)
Master en Logica y Filosofıa de la Ciencia (USAL)
Estudiante de Doctorado (UOC):
Knowledge Representation and ReasoningLıneas de investigacion:
Logica formal y filosoficaLogica epistemicaLogica intensionalLogica hıbrida
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 2 / 27
Plan de ruta
¿Por que una logica temporal?
Un poco de historia
Manual de supervivencia logico
Logica temporal basica
SintaxisSemantica
Flujos del tiempo y logica temporal
Extensiones de la logica temporal
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 3 / 27
¿Por que una logica temporal?
Logica proposicional:
Verdades atemporales:
“El cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectangulo es igual a lasuma del cuadrado de sus catetos.”“Si el agua llega a 100o C, entonces hierve.”“James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.”
Logica temporal:
El valor de verdad de una proposicion varıa con el tiempo:
“Hoy es viernes.”
Razonamientos que involucran pasado, presente y futuro:
“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica, aprobare el examen de hoy yalgun dıa llegare a ser un fısico importante.”
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¿Por que una logica temporal?
Logica proposicional:
Verdades atemporales:
“El cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectangulo es igual a lasuma del cuadrado de sus catetos.”“Si el agua llega a 100o C, entonces hierve.”“James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.”
Logica temporal:
El valor de verdad de una proposicion varıa con el tiempo:
“Hoy es viernes.”
Razonamientos que involucran pasado, presente y futuro:
“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica, aprobare el examen de hoy yalgun dıa llegare a ser un fısico importante.”
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¿Por que una logica temporal?
Logica proposicional:
Verdades atemporales:
“El cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectangulo es igual a lasuma del cuadrado de sus catetos.”“Si el agua llega a 100o C, entonces hierve.”“James Moriarty es el archienemigo de Sherlock Holmes.”
Logica temporal:
El valor de verdad de una proposicion varıa con el tiempo:
“Hoy es viernes.”
Razonamientos que involucran pasado, presente y futuro:
“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica, aprobare el examen de hoy yalgun dıa llegare a ser un fısico importante.”
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¿Por que una logica temporal? (Ejemplo)
“Hace unos dıas fuı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semanaque viene ire tambien.”
Logica proposicional: un atomo para cada proposicion
p ∧ q ∧ r
Logica temporal: un solo atomo en distintos instantes
Pp ∧ p ∧ Fp
Mayor poder expresivo: el tiempo se hace explıcito
“Los lımites de mi lenguage son los lımites de mi mundo.”
(Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.6).)
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¿Por que una logica temporal? (Ejemplo)
“Hace unos dıas fuı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semanaque viene ire tambien.”
Logica proposicional: un atomo para cada proposicion
p ∧ q ∧ r
Logica temporal: un solo atomo en distintos instantes
Pp ∧ p ∧ Fp
Mayor poder expresivo: el tiempo se hace explıcito
“Los lımites de mi lenguage son los lımites de mi mundo.”
(Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.6).)
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¿Por que una logica temporal? (Ejemplo)
“Hace unos dıas fuı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semanaque viene ire tambien.”
Logica proposicional: un atomo para cada proposicion
p ∧ q ∧ r
Logica temporal: un solo atomo en distintos instantes
Pp ∧ p ∧ Fp
Mayor poder expresivo: el tiempo se hace explıcito
“Los lımites de mi lenguage son los lımites de mi mundo.”
(Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.6).)
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¿Por que una logica temporal? (Ejemplo)
“Hace unos dıas fuı a ver una peli, hoy vuelvo a verla, y la semanaque viene ire tambien.”
Logica proposicional: un atomo para cada proposicion
p ∧ q ∧ r
Logica temporal: un solo atomo en distintos instantes
Pp ∧ p ∧ Fp
Mayor poder expresivo: el tiempo se hace explıcito
“Los lımites de mi lenguage son los lımites de mi mundo.”
(Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.6).)
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Logica y tiempo: un poco de historia
Aristoteles: “manana habra una batalla naval, o no la habra”
¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que manana habra unabatalla naval?
La duracion del presente
Ahora, hoy, esta semana, este ano...
Incipit y desinit: el principio y el fin
Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser...
La edad media: tiempo, logica y teologıa
Libre albedrıo y providencia divina
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 6 / 27
Logica y tiempo: un poco de historia
Aristoteles: “manana habra una batalla naval, o no la habra”
¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que manana habra unabatalla naval?
La duracion del presente
Ahora, hoy, esta semana, este ano...
Incipit y desinit: el principio y el fin
Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser...
La edad media: tiempo, logica y teologıa
Libre albedrıo y providencia divina
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Logica y tiempo: un poco de historia
Aristoteles: “manana habra una batalla naval, o no la habra”
¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que manana habra unabatalla naval?
La duracion del presente
Ahora, hoy, esta semana, este ano...
Incipit y desinit: el principio y el fin
Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser...
La edad media: tiempo, logica y teologıa
Libre albedrıo y providencia divina
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Logica y tiempo: un poco de historia
Aristoteles: “manana habra una batalla naval, o no la habra”
¿Puede decirse hoy que es cierto (o falso) que manana habra unabatalla naval?
La duracion del presente
Ahora, hoy, esta semana, este ano...
Incipit y desinit: el principio y el fin
Empezar a ser, empezar a dejar de ser, dejar de empezar a ser...
La edad media: tiempo, logica y teologıa
Libre albedrıo y providencia divina
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Manual de supervivencia logica
Repasando conceptos basicos:
Sintaxis: el lenguaje formal
Semantica: la representacion de la realidad
Valuacion: ¿que es cierto y que no lo es?
p,¬q,r ∧ s, ...
Realidad
(modelo)Prop.→ {0, 1}(falso, cierto)
La logica es una representacion de una parte de la realidad
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Manual de supervivencia logica
Repasando conceptos basicos:
Sintaxis: el lenguaje formal
Semantica: la representacion de la realidad
Valuacion: ¿que es cierto y que no lo es?
p,¬q,r ∧ s, ...
Realidad
(modelo)Prop.→ {0, 1}(falso, cierto)
La logica es una representacion de una parte de la realidad
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Manual de supervivencia logica
Repasando conceptos basicos:
Sintaxis: el lenguaje formal
Semantica: la representacion de la realidad
Valuacion: ¿que es cierto y que no lo es?
p,¬q,r ∧ s, ...
Realidad
(modelo)Prop.→ {0, 1}(falso, cierto)
La logica es una representacion de una parte de la realidad
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Manual de supervivencia logica
Repasando conceptos basicos:
Sintaxis: el lenguaje formal
Semantica: la representacion de la realidad
Valuacion: ¿que es cierto y que no lo es?
p,¬q,r ∧ s, ...
Realidad
(modelo)Prop.→ {0, 1}(falso, cierto)
La logica es una representacion de una parte de la realidad
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Logica temporal basica: sintaxis
Operadores de la logica proposicional: ¬,∧,∨,→,↔
Operadores propios de la logica temporal:
Fα: en algun momento futuro se dara el caso que α;Pα: en algun momento pasado se dio el caso que α;Gα: en todo momento futuro se dara el caso que α;Hα: en todo momento pasado se dio el caso que α.
Los operadores temporales son interdefinibles:
Gα ≡ ¬F¬αHα ≡ ¬P¬α
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Logica temporal basica: sintaxis
Operadores de la logica proposicional: ¬,∧,∨,→,↔Operadores propios de la logica temporal:
Fα: en algun momento futuro se dara el caso que α;Pα: en algun momento pasado se dio el caso que α;Gα: en todo momento futuro se dara el caso que α;Hα: en todo momento pasado se dio el caso que α.
Los operadores temporales son interdefinibles:
Gα ≡ ¬F¬αHα ≡ ¬P¬α
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Logica temporal basica: sintaxis
Operadores de la logica proposicional: ¬,∧,∨,→,↔Operadores propios de la logica temporal:
Fα: en algun momento futuro se dara el caso que α;Pα: en algun momento pasado se dio el caso que α;Gα: en todo momento futuro se dara el caso que α;Hα: en todo momento pasado se dio el caso que α.
Los operadores temporales son interdefinibles:
Gα ≡ ¬F¬αHα ≡ ¬P¬α
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Logica temporal basica: sintaxis
Dos formas de utilizar los operadores temporales:
Metrica (unidad de tiempo y ‘distancia’ temporal):
(Unidad: dıa); “Manana vendre”: F (1)v(Unidad: dıa); “Hace una semana que hice el examen”: P(7)e
No metrica (no especificamos la ‘distancia’ temporal):
“Vendre esta semana”: Fv“Hice el examen hace unos dıas”: Pe
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Logica temporal basica: sintaxis
Dos formas de utilizar los operadores temporales:Metrica (unidad de tiempo y ‘distancia’ temporal):
(Unidad: dıa); “Manana vendre”: F (1)v(Unidad: dıa); “Hace una semana que hice el examen”: P(7)e
No metrica (no especificamos la ‘distancia’ temporal):
“Vendre esta semana”: Fv“Hice el examen hace unos dıas”: Pe
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Logica temporal basica: sintaxis
Dos formas de utilizar los operadores temporales:Metrica (unidad de tiempo y ‘distancia’ temporal):
(Unidad: dıa); “Manana vendre”: F (1)v(Unidad: dıa); “Hace una semana que hice el examen”: P(7)e
No metrica (no especificamos la ‘distancia’ temporal):
“Vendre esta semana”: Fv“Hice el examen hace unos dıas”: Pe
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Algunos ejemplos sencillos
“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”
Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb
“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”
P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)
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Algunos ejemplos sencillos
“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”
Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb
“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”
P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)
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Algunos ejemplos sencillos
“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”
Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb
“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”
P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)
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Algunos ejemplos sencillos
“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”
Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb
“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”
P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)
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Algunos ejemplos sencillos
“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”
Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb
“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”
P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)
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Algunos ejemplos sencillos
“Si ya leı el libro sobre fısica cuantica (c), aprobare el examen de hoy(a) y algun dıa llegare a ser un fısico importante (i).”
Pc → (a ∧ Fi)
“Siempre has sido un torpe (t) y siempre lo seras; nunca llegaras a serbaiların (b).”
Ht ∧ Gt ∧ ¬Fb
“Ayer supe que manana tengo un examen de logica temporal (l) y nose nada del tema (n)... Si no me pongo a estudiar (e) ahora mismo,manana suspendere (s) y mi fracaso se recordara (r) por los siglos delos siglos.”
P(1)F (2)l ∧ n ∧ (¬e → F (1)s ∧ Gr)
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Logica temporal basica: semantica
La semantica nos permite representar un ‘mundo’ o ‘situacion’ ydeterminar cuando una formula es verdadera.
El elemento central de la semantica es un modelo, que en logicatemporal permite representar:
Distintos instantes de tiempoQue instantes de tiempo estan conectados entre ellosQue formulas son verdaderas en cada instante
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 11 / 27
Logica temporal basica: semantica
La semantica nos permite representar un ‘mundo’ o ‘situacion’ ydeterminar cuando una formula es verdadera.
El elemento central de la semantica es un modelo, que en logicatemporal permite representar:
Distintos instantes de tiempoQue instantes de tiempo estan conectados entre ellosQue formulas son verdaderas en cada instante
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Logica temporal basica: semantica
Estructura
Una estructura se define como un par E = (T , <).
T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)< es una relacion binaria llamada relacion de precedencia
Si un par de instantes de tiempo (s, t) pertenece a <, entoncesdiremos que “s es anterior a t”
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 12 / 27
Logica temporal basica: semantica
Estructura
Una estructura se define como un par E = (T , <).
T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)
< es una relacion binaria llamada relacion de precedencia
Si un par de instantes de tiempo (s, t) pertenece a <, entoncesdiremos que “s es anterior a t”
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Logica temporal basica: semantica
Estructura
Una estructura se define como un par E = (T , <).
T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)< es una relacion binaria llamada relacion de precedencia
Si un par de instantes de tiempo (s, t) pertenece a <, entoncesdiremos que “s es anterior a t”
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Logica temporal basica: semantica
Estructura
Una estructura se define como un par E = (T , <).
T es un conjunto de instantes de tiempo (s, t, u, ..., t1, t2...)< es una relacion binaria llamada relacion de precedencia
Si un par de instantes de tiempo (s, t) pertenece a <, entoncesdiremos que “s es anterior a t”
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Logica temporal basica: semantica
Valuacion
Diferentes valuaciones para cada instante de tiempo
Una valuacion en E es un mapa V : (T → (Prop→ {0, 1}))
O sea, una valuacion indica, para cada instante de tiempo, si unaproposicion es verdadera o falsa.
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 13 / 27
Logica temporal basica: semantica
Valuacion
Diferentes valuaciones para cada instante de tiempo
Una valuacion en E es un mapa V : (T → (Prop→ {0, 1}))
O sea, una valuacion indica, para cada instante de tiempo, si unaproposicion es verdadera o falsa.
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Logica temporal basica: semantica
Modelo
Un modelo se define como M = 〈T , <,V〉
Esta formado por una estructura (que contiene T y <) y unavaluacion que determina los valores de verdad que toman lasproposiciones en cada instante de tiempo.
Una estructura puede pensarse como la base o el esqueleto de unmodelo:
La estructura E determina los instantes de tiempo y la relacion entreellos.La valuacion V determina el valor de las proposiciones, pero no influyeen la ‘forma’ del mundo que estamos representando.
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 14 / 27
Logica temporal basica: semantica
Modelo
Un modelo se define como M = 〈T , <,V〉Esta formado por una estructura (que contiene T y <) y unavaluacion que determina los valores de verdad que toman lasproposiciones en cada instante de tiempo.
Una estructura puede pensarse como la base o el esqueleto de unmodelo:
La estructura E determina los instantes de tiempo y la relacion entreellos.La valuacion V determina el valor de las proposiciones, pero no influyeen la ‘forma’ del mundo que estamos representando.
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 14 / 27
Logica temporal basica: semantica
Modelo
Un modelo se define como M = 〈T , <,V〉Esta formado por una estructura (que contiene T y <) y unavaluacion que determina los valores de verdad que toman lasproposiciones en cada instante de tiempo.
Una estructura puede pensarse como la base o el esqueleto de unmodelo:
La estructura E determina los instantes de tiempo y la relacion entreellos.La valuacion V determina el valor de las proposiciones, pero no influyeen la ‘forma’ del mundo que estamos representando.
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Logica temporal basica: semantica
Para los operadores temporales, una formula α es verdadera en un instantede tiempo t de un modelo M = 〈T , <,V〉, si se cumplen las condiciones(siendo t y s dos instantes de tiempo distintos en nuestro modelo):
M, t � Fα si para algun s tal que t < s, se cumple M, s � αM, t � Pα si para algun s tal que s < t, se cumple M, s � αM, t � Gα si para todo s tal que t < s, se cumple M, s � αM, t � Hα si para todo s tal que s < t, se cumple M, s � α
Estos operadores “trasladan” la formula α hasta un instante detiempo distinto al instante en que se evalua la formula.
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 15 / 27
Estructuras, relaciones y propiedades
Recuperamos la nocion de estructura E = (T , <); o sea, la ‘forma’ delos instantes del mundo temporal que estamos representando.
La relacion < puede cumplir ciertas propiedades en funcion decomo se relacione con los elementos del conjunto T :
Transitividad: ∀xyz((x < y) ∧ (y < z))→ (x < z)Irreflexividad: ∀x¬(x < x)Linealidad: ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)Infinitud: ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y)Lımite superior: ∃x∀y(y < x) ∨ (y = x)· · · · · ·
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 16 / 27
Estructuras, relaciones y propiedades
Recuperamos la nocion de estructura E = (T , <); o sea, la ‘forma’ delos instantes del mundo temporal que estamos representando.
La relacion < puede cumplir ciertas propiedades en funcion decomo se relacione con los elementos del conjunto T :
Transitividad: ∀xyz((x < y) ∧ (y < z))→ (x < z)Irreflexividad: ∀x¬(x < x)Linealidad: ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)Infinitud: ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y)Lımite superior: ∃x∀y(y < x) ∨ (y = x)· · · · · ·
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 16 / 27
Tiempo, propiedades y formulas
Diferentes imagenes del tiempo: lineal, cıclico, ramificado...
La forma y el comportamiento de los flujos del tiempo puedencumplir algunas de estas propiedades.
Algunas (no todas) de estas propiedades se pueden expresar medianteformulas de la logica temporal:
Transitividad ∀xyz((x < y) ∧ (y < z))→ (x < z) FFα→ FαFuturo lineal ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) FPα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)Futuro infinito ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y) Gα→ FαDensidad ∀xy(x < y)→ ∃z((x < z) ∧ (z < y)) Fα→ FFα· · · · · · · · ·
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27
Tiempo, propiedades y formulas
Diferentes imagenes del tiempo: lineal, cıclico, ramificado...
La forma y el comportamiento de los flujos del tiempo puedencumplir algunas de estas propiedades.
Algunas (no todas) de estas propiedades se pueden expresar medianteformulas de la logica temporal:
Transitividad ∀xyz((x < y) ∧ (y < z))→ (x < z) FFα→ FαFuturo lineal ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) FPα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)Futuro infinito ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y) Gα→ FαDensidad ∀xy(x < y)→ ∃z((x < z) ∧ (z < y)) Fα→ FFα· · · · · · · · ·
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27
Tiempo, propiedades y formulas
Diferentes imagenes del tiempo: lineal, cıclico, ramificado...
La forma y el comportamiento de los flujos del tiempo puedencumplir algunas de estas propiedades.
Algunas (no todas) de estas propiedades se pueden expresar medianteformulas de la logica temporal:
Transitividad ∀xyz((x < y) ∧ (y < z))→ (x < z) FFα→ FαFuturo lineal ∀xy(x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x) FPα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)Futuro infinito ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y) Gα→ FαDensidad ∀xy(x < y)→ ∃z((x < z) ∧ (z < y)) Fα→ FFα· · · · · · · · ·
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 17 / 27
Logica temporal y flujos del tiempo
Se pueden “disenar” sistemas de logica temporal que determinen,mediante formulas del lenguaje, la forma y el comportamiento delflujo del tiempo que se quiera representar.
El lenguaje de la logica temporal nos permite hablar sobre el flujo deltiempo, y viceversa: una forma del tiempo determinada hara validasunas formulas determinadas en nuestro sistema logico.
Veamos algunos ejemplos...
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 18 / 27
Logica temporal y flujos del tiempo
Se pueden “disenar” sistemas de logica temporal que determinen,mediante formulas del lenguaje, la forma y el comportamiento delflujo del tiempo que se quiera representar.
El lenguaje de la logica temporal nos permite hablar sobre el flujo deltiempo, y viceversa: una forma del tiempo determinada hara validasunas formulas determinadas en nuestro sistema logico.
Veamos algunos ejemplos...
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 18 / 27
Flujo de tiempo lineal
t0 t1 t2
(...)tn tn+1
(...)
Propiedad Formula
Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z)→ (x < z)) FFα→ FαIrreflexiva ∀x(¬(x < x)) · · ·Lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) FPα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)
PFα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 19 / 27
Flujo de tiempo cıclico
(...)
t1
t2 t3 t4
t5
t6tntn+1
Propiedad Formula
Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z)→ (x < z)) FFα→ FαReflexiva ∀x(x < x) · · ·Lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) FPα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)
PFα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)Infinitud ∀x∃y(x < y) ∧ (x 6= y) Gα→ Fα
Hα→ Pα
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 20 / 27
Flujo de tiempo ramificado
(...)t0
t1 t3
t4
t5
t6
t2
(...)
(...)
(...)
(...)
(...)
Propiedad Formula
Transitiva ∀xyz((x < y) ∧ (y < z)→ (x < z)) FFα→ FαIrreflexiva ∀x(¬(x < x)) · · ·Pasado lineal ∀xy((x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)) PFα→ (Pα ∨ α ∨ Fα)
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Otros flujos temporales
(...)t1 t2 t3 t4
(...)
(...) (...)
(...)
(...)
t0
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t3 t4
t5
t6
Aplicaciones con flujos temporales “atıpicos”: algoritmos, situaciones hipoteticas...
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 22 / 27
Extensiones de la logica temporal: since y until
Dos nuevos operadores temporales:
‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β)‘Until’: Uαβ (hasta que α, sera el caso que β)
Permiten establecer relaciones temporales entre proposiciones:
“Desde que cayo el techo (t), la casa se moja (m); estare resfriado (r)hasta que lo arreglemos (a)!”
Stm ∧ Uar
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Extensiones de la logica temporal: since y until
Dos nuevos operadores temporales:
‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β)‘Until’: Uαβ (hasta que α, sera el caso que β)
Permiten establecer relaciones temporales entre proposiciones:
“Desde que cayo el techo (t), la casa se moja (m); estare resfriado (r)hasta que lo arreglemos (a)!”
Stm ∧ Uar
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Extensiones de la logica temporal: since y until
Dos nuevos operadores temporales:
‘Since’: Sαβ (desde que α, es el caso que β)‘Until’: Uαβ (hasta que α, sera el caso que β)
Permiten establecer relaciones temporales entre proposiciones:
“Desde que cayo el techo (t), la casa se moja (m); estare resfriado (r)hasta que lo arreglemos (a)!”
Stm ∧ Uar
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Extensiones de la logica temporal: intervalos de tiempo
Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantesindependientes.
Semantica: los instantes de tiempo del conjunto T vistoanteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:
El intervalo de tiempo [s, t] esta compuesto por todos los instantes detiempo u tales que s ≤ u ≤ t.
Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:
〈D〉α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alguninstante entre s y t.α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puededividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α escierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27
Extensiones de la logica temporal: intervalos de tiempo
Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantesindependientes.
Semantica: los instantes de tiempo del conjunto T vistoanteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:
El intervalo de tiempo [s, t] esta compuesto por todos los instantes detiempo u tales que s ≤ u ≤ t.
Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:
〈D〉α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alguninstante entre s y t.α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puededividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α escierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].
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Extensiones de la logica temporal: intervalos de tiempo
Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantesindependientes.
Semantica: los instantes de tiempo del conjunto T vistoanteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:
El intervalo de tiempo [s, t] esta compuesto por todos los instantes detiempo u tales que s ≤ u ≤ t.
Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:
〈D〉α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alguninstante entre s y t.α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puededividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α escierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].
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Extensiones de la logica temporal: intervalos de tiempo
Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantesindependientes.
Semantica: los instantes de tiempo del conjunto T vistoanteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:
El intervalo de tiempo [s, t] esta compuesto por todos los instantes detiempo u tales que s ≤ u ≤ t.
Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:
〈D〉α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alguninstante entre s y t.
α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puededividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α escierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].
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Extensiones de la logica temporal: intervalos de tiempo
Considerar el tiempo como intervalos en lugar de como instantesindependientes.
Semantica: los instantes de tiempo del conjunto T vistoanteriormente sirven para formar intervalos, de forma que:
El intervalo de tiempo [s, t] esta compuesto por todos los instantes detiempo u tales que s ≤ u ≤ t.
Sintaxis: se pueden introducir (por ejemplo) los operadores:
〈D〉α es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si α es cierto en alguninstante entre s y t.α ◦ β es cierto en el intervalo [s, t] si y solo si el intervalo se puededividir por un tercer punto u tal que s < u < t y se cumple que α escierto durante el intervalo [s, u] y β lo es durante el intervalo [u, t].
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 24 / 27
Extensiones de la logica temporal: la logica hıbrida
La logica hıbrida permite:
Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.Decir, con el propio lenguaje logico, que es cierto en un instante detiempo especıfico.
Los nominales (i , j , k...) y el operador @:
Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.El operador @ permite “trasladar” una proposicion hasta ese instante.
“El dıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) esNochebuena (b)”
@js ∧ @db
La logica hıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes detiempo especıficos, cosa que los operadores convencionales F ,G ,P yH no permiten.
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Extensiones de la logica temporal: la logica hıbrida
La logica hıbrida permite:
Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.Decir, con el propio lenguaje logico, que es cierto en un instante detiempo especıfico.
Los nominales (i , j , k...) y el operador @:
Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.El operador @ permite “trasladar” una proposicion hasta ese instante.
“El dıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) esNochebuena (b)”
@js ∧ @db
La logica hıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes detiempo especıficos, cosa que los operadores convencionales F ,G ,P yH no permiten.
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27
Extensiones de la logica temporal: la logica hıbrida
La logica hıbrida permite:
Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.Decir, con el propio lenguaje logico, que es cierto en un instante detiempo especıfico.
Los nominales (i , j , k...) y el operador @:
Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.El operador @ permite “trasladar” una proposicion hasta ese instante.
“El dıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) esNochebuena (b)”
@js ∧ @db
La logica hıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes detiempo especıficos, cosa que los operadores convencionales F ,G ,P yH no permiten.
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27
Extensiones de la logica temporal: la logica hıbrida
La logica hıbrida permite:
Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.Decir, con el propio lenguaje logico, que es cierto en un instante detiempo especıfico.
Los nominales (i , j , k...) y el operador @:
Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.El operador @ permite “trasladar” una proposicion hasta ese instante.
“El dıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) esNochebuena (b)”
@js ∧ @db
La logica hıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes detiempo especıficos, cosa que los operadores convencionales F ,G ,P yH no permiten.
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27
Extensiones de la logica temporal: la logica hıbrida
La logica hıbrida permite:
Identificar los instantes de tiempo desde dentro del propio lenguaje.Decir, con el propio lenguaje logico, que es cierto en un instante detiempo especıfico.
Los nominales (i , j , k...) y el operador @:
Los nominales identifican instantes de tiempo concretos.El operador @ permite “trasladar” una proposicion hasta ese instante.
“El dıa 24 de junio (j) es San Juan (s), y el 24 de diciembre (d) esNochebuena (b)”
@js ∧ @db
La logica hıbrida permite formalizar proposiciones sobre instantes detiempo especıficos, cosa que los operadores convencionales F ,G ,P yH no permiten.
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 25 / 27
Como dirıa Leibniz... Recapitulemus!
La logica temporal ofrece:
Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucranel tiempo.Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo enlos que enmarcar nuestro razonamiento.Extensiones:
Nuevos operadoresIntervalos de tiempo vs. instantesIdentificar instantes especıficos· · ·
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Como dirıa Leibniz... Recapitulemus!
La logica temporal ofrece:
Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucranel tiempo.
Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo enlos que enmarcar nuestro razonamiento.Extensiones:
Nuevos operadoresIntervalos de tiempo vs. instantesIdentificar instantes especıficos· · ·
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Como dirıa Leibniz... Recapitulemus!
La logica temporal ofrece:
Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucranel tiempo.Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo enlos que enmarcar nuestro razonamiento.
Extensiones:
Nuevos operadoresIntervalos de tiempo vs. instantesIdentificar instantes especıficos· · ·
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27
Como dirıa Leibniz... Recapitulemus!
La logica temporal ofrece:
Mayor expresividad: podemos formalizar razonamientos que involucranel tiempo.Modelos que permiten representar determinados flujos del tiempo enlos que enmarcar nuestro razonamiento.Extensiones:
Nuevos operadoresIntervalos de tiempo vs. instantesIdentificar instantes especıficos· · ·
Joan Casas Roma Logica temporal y flujos del tiempo 22 de mayo de 2015 26 / 27
El fin de los tiempos
¡Gracias por vuestra atencion!([email protected])
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