Lógica y computabilidad

7/25/2019 Lgica y computabilidad

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Logica y Computabilidad

Santiago Figueira

Departamento de Computacion, FCEyN, UBA

2o cuatrimestre 2015

1

Contenido - Computabilidad

1. Introduccion, maquinas de Turing, funciones parciales, funcionesTuring computables, ejemplos, p.4

2. Funciones iniciales, composicion, recursion, clases PRC, funcionesprimitivas recursivas , p. 23

3. Sumatorias y productorias, cuantificadores acotados, minimizacionacotada, codificacion de pares y secuencias, p. 36

4. LenguajeS, estado, descripcion instantanea, computo, funciones

parciales computables, minimizacion no acotada, p.525. Codificacion de programas, Halting problem, diagonalizacion, tesis

de Church, programa universal,step counter, snapshot, p.73

6. Teorema de la forma normal, teorema del parametro, teorema de larecursion y aplicaciones, teorema del punto fijo, p. 103

7. Conjuntos c.e., teorema de la enumeracion, teorema de Rice yaplicaciones, p.117

8. Opcional - Oraculos, reducibilidad de Turing, jerarqua aritmetica,problemade Post, p.133

2

Contenido - LogicaLogica proposicional

1. Lenguaje de logica proposicional,semantica, tautologa,consecuencia semantica, conjunto satisfacible, sistema axiomaticoSP, consecuencia sintactica, p.146

2. Teorema de la deduccion, lema de Lindenbaum, completitud de SP,compacidad, p.165

Logica de primer orden

1. Lenguaje de logica de primer orden, terminos, formulas, variableslibres y ligadas, interpretacion, valuacion, niveles de verdad,consecuencia semantica, p.182

2. Lema de sustitucion, sistema axiomatico SQ, consecuenciasintactica, teorema de la generalizacion, teorema de lageneralizacion en constantes, p. 202

3. Completitud de SQ,compacidad, p.221

4. Aplicaciones de compacidad, indecidibilidad de la logica de primerorden, p.237

5. Opcional - Teorema de incompletitud de Godel, p.252 3

ComputabilidadClase 1

Introduccion, maquinas de Turing, funciones parciales,funciones Turing computables, ejemplos

4


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Organizacion de la materia

Docentes Santiago Figueira (Prof.) Emilia Descotte (JTP) Manuel Gimenez (AY1) Herman Schinca (AY1) Gabriel Senno (AY1) Nahuel Lascano (AY2)

Miercoles de 17 a 19 en aula 4. Viernes de 17 a 22 en aula 9.

www.dc.uba.ar/lyc

[email protected]

5

Aprobacion

Dos parciales, cada uno con su recuperatorio.

La materia puede ser promocionada. Mas detalles, en lapractica.

Examenes: viernes 25/09: primer parcial viernes 13/11: segundo parcial viernes 20/11: primer recuperatorio viernes 27/11: segundo recuperatorio

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Temas y bibliografa

Computabilidad

Computability, Complexity and Languages, fundamentals oftheoretical computer science. Martin Davis, Ron Sigal, ElaineWeyuker, Elsevier, 1994

Logica proposicional Metalogica, introduccion a la metateora de la l ogica clasica de

primer orden. Geoffrey Hunter, Editorial Paraninfo, 1981.

Logica de primer orden

A mathematical introduction to logic. Herbert Enderton,Elsevier, 2006.

7

Orgenes fines del siglo XIX y principios del siglo XX: interes por los

fundamentos de la matematica dos grandes busquedas (Hilbert)

1. completitud de la aritmetica se buscaba un sistema axiomatico que capturara todas las

verdade s de la arit metica Godel (1931): cualquier sistema axiomatico suficientemente

poderoso es incompleto o inconsistente

2. el problema de la decision (Entscheidungsproblem) se buscaba un procedimiento efectivo para decidir si cualquier

formula de primer orden era valida o no Turing (1936): no existe tal procedimiento efectivo

David Hilbert Kurt Godel Alan Turing 8


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Maquinas de Turing

0 1 1 0 0 0 0 1 0 . . .. . .

q

Se compone de : unacinta

dividida en celdas infinita en ambas direcciones cada celda contiene un smbolo de un alfabeto dado .

L,R /

representa el blanco en una celdaL y R son smbol os reser vados (r epresentaran acciones quepuede realizar la cabeza)

unacabeza lee y escribe un smbolo a la vez se mueve una posicion a la izquierda o una posicion a la

derecha unatabla finita de instrucciones

dice que hacer en cada paso9

Tabla de instrucciones es el alfabeto. L, R /, . Qes el conjunto finito de estados A= {L, R} es el conjunto de acciones

un smbolo s se interpreta como escribir s en la posicionactual

Lse interpreta como mover la cabeza una posici on hacia laizquierda

Rse interpreta como mover la cabeza una posicion hacia la

derechaUnatabla de instrucciones Tes un subconjunto (finito) de

Q A Q

La tupla(q, s, a, q) T

se interpreta como

Si la maquina esta en el estadoqleyendo en la cinta elsmbolos, entonces realiza la acciona y pasa al estadoq

10

Ejemplo de ejecucion de una instruccionSupongamos un alfabeto ={0, 1}.Una maquina con esta tabla de instrucciones:

{ (q1, 0, 1, q2) , (q2, 1, R, q1)}

Si empieza en esta configuracion

0 1 1 0 0 0 0 1 0 . . .. . .

q1

pasa a

0 1 1 1 0 0 0 1 0 . . .. . .

q2

y luego a

0 1 1 1 0 0 0 1 0 . . .. . .

q1

11

Definicion de maquina de TuringUnamaquina de Turing es una tupla

(, Q, T, q0, qf)

donde

(finito) es el conjunto smbolos(L, R /, ) Q(finito) es el conjunto deestados

tiene dos estados distinguidos:

q0 Qes el estado inicial qf Qes el estado final

TQ {L, R} Qes latabla de instrucciones va a ser finita porque y Qlo son

cuando no hay restricciones sobre T decimos que M es unamaquina de Turing no determinsitca

cuando no hay dos instrucciones en T que empiezan con lasmismas primeras dos coordenadas, decimos que M es unamaquina de Turing determinstica

12


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EjemploSeaM = (, Q, T, q0, qf) con = {, a, b}

Q= {q0, q1, qf}

tabla de instrucciones

T =

q0 a b q1q1 b R q0q0 qf

q1 qf

Visto como automata

q0inicio q1

qf

a/b

b/R/

/

si empieza en a a a a

q0termina en

b b b b qf

si empieza en a a b a

q0termina en

b b b a q0

si empieza en a a b a

q0termina en

a a b a qf

13

Representacion de numeros y tuplasFijamos ={, 1}. representaremos a losnumerosnaturales en unario (con

palotes). el numero x N se representa como

x= 1 . . . 1 x+1

representamos a lastuplas(x1, . . . , xn) como lista de

(representaciones de) los xi separados por blanco la tupla (x1, . . . , xn) se representa como

x1 x2 xn

Por ejemplo,

el numero 0 se representa como 1

el numero 3 se representa como 1111

la tupla (1, 2) se representa como 11 111 la tupla (0, 0, 1) se representa como 1 1 11

14

Funciones parcialesSiempre vamos a trabajar con funciones f : Nn N.

Pero van a ser funciones parciales. Unafuncion parcial f es unafuncion que puede estar indefinida para algunos (tal vez ninguno;tal vez todos) sus argumentos.

notamos f(x1, . . . , xn) cuando f esta definida parax1, . . . , xn. En este caso f(x1, . . . , xn) es un numero natural.

notamos f(x1, . . . , xn) cuando f esta indefinida parax1, . . . , xn

El conjunto de argumentos para los que f esta definida se l lamadominiode f, notado dom(f).

dom(f) = {(x1, . . . , xn) : f(x1, . . . , xn)}

f estotalsi dom(f) = Nn.15

Computo de funciones parciales en maquinas de TuringUna funcion parcial f : Nn Nes Turing computablesi existe unamaquina de Turing determinstica M = (, Q, T, q0, qf) con ={, 1}tal que cuando empieza en la configuracion inicial

. . . x1 x2 . . . xn . . .

q0

(con los enteros xirepresentados en unario y nada mas en la entrada

salvo la representacion de la entrada):

si f(x1, . . . , xn) entonces siguiendo sus instrucciones en T llega auna configuracion final de la forma

. . . f(x1, . . . , xn) . . .

qf

(quiza algo mas en la cinta)

si f(x1, . . . , xn) entonces nunca termina en el estado qf.16


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Computo de la funcion f(x) = 0

q0inicio q1 q2 qf/R /1 1/R

17

Computo de la funcion f(x) =x+ 1

q0inicio q1 qf/1 1/R

18

Computo de la funcion f(x) = 2xIdea: por cada 1 que borro de la entrada, pongo 11 bien a la derecha.Repito esto hasta que quede solo un 1 en la entrada. Ah pongo un 1 masa la derecha.

Ejemplo: entrada = 2

1. 1 1 1

2. 1 1 1 1

3. 1 1 1 1 1

4. 1 1 1 1 1 1

Invariante: a lo largo de cada iteraci on, la cinta esta as: 1 . . . 1

n

1 . . . . . . 1 2m

para algunn > 0, m 0, n + m 1 = entrada

1. si n = 1 entonces pongo un 1 mas a la derecha y termina en qf con

1 1 . . . . . . 1 2m+1

2. si n > 1 transformo la cinta en 1 . . . 1 n1

1 . . . . . . 1 2(m+1)

y vuelvo

al paso 1 19

Computo de la funcion f(x) = 2x

q0inicio q1 q2 q11 q12

q13

q14

qf

q3

q4 q5

q6q7q8q9

q10

/L 1/L

1/1

/R

1/

/R

/R/11/R

/1

/ 1/L

1/R 1/R

1/L

/R 1/R

/R

/1

1/R

1/R

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Computo de una funcion parcial

Supongamos

f(x) =

x si xes par

si no

q0inicio q1 q2 q3 qf

q4

/L 1/L /R

1/R

/

1/L1/L

21

Poder de computo

TeoremaSea f : Nm N una funcion parcial. Son equivalentes:

1. fes computable en Java2. fes computable en C3. f es computable en Haskell

4. f es Turing computable

No es importante que base usamos para representar a los numeros

usamos representacion unaria ( ={, 1}) pero podramos haber elegido la binaria ( = {, 0, 1}) o base 10 ( ={, 0, 1, 2, . . . , 9})

si permitimos que al terminar la cinta tenga otras cosasescritas ademas de la salida o solo contenga la salida

si usamos esta variante de arquitectura: una cinta de entrada (solo de lectura) una cinta de salida (solo de escritura) una o varias cintas de trabajo, de lectura/escritura

Siempre computamos la misma clase de funciones! 22


Funciones iniciales, composicion, recursion, clases PRC,funciones primitivas recursivas

23

Funciones iniciales

Otra manera de formalizar la idea de funcion calculable de maneraefectiva:

empezar por funciones muy simples, efectivas intuitivamente

si mezclamos de alguna manera efectiva dos o mas funcionesque ya eran efectivas, entonces obtenemos una funci oncalculable de manera efectiva

DefinicionLas siguientes funciones se llamaniniciales:

s(x) = x+ 1

n(x) = 0

proyecciones: uni(x1, . . . , xn) = xi para i {1, . . . , n}

24


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Composicion y recursion primitiva

DefinicionSeaf : Nk Ny g1, . . . , gk: N

n N. h : Nn Nse obtiene apartir de f y g1, . . . , gk porcomposicionsi

h(x1, . . . , xn) = f(g1(x1, . . . , xn), . . . , gk(x1, . . . , xn))

Definicionh: Nn+1 Nse obtiene a partir de g: Nn+2 Ny f : Nn Nporrecursion primitivasi

h(x1, . . . , xn, 0) = f(x1, . . . , xn)

h(x1, . . . , xn, t + 1) = g(h(x1, . . . , xn, t), x1, . . . , xn, t)

(En este contexto, una funcion 0-aria es una constante k. Sih es1-aria y t= 0, entonces h(t) = k= s(k)(n(t)).)

25

Clases PRC

Una clase C de funciones totales esPRC (primitive recursiveclosed)si

1. las funciones iniciales estan en C

2. si una funcion f se obtiene a partir de otras pertenecientes a

C por medio de composicion o recursion primitiva, entonces ftambien esta en C

TeoremaLa clase de funciones totales Turing computables (o computablesen C, o en Java) es una clase PRC.

26

Funciones primitivas recursivasUna funcion esprimitiva recursiva (p.r.) si se puede obtener apartir de las funciones iniciales por un numero finito deaplicaciones de composicion y recursion primitiva.

TeoremaUna funcion es p.r. sii pertenece a toda clase PRC.

Demostracion.() La clase de funciones p.r. es una clase PRC. Luego, si f

pertenece a toda clase PRC, en particular f es p.r.() Seafp.r. y seaCuna clase PRC. Como fes p.r., hay una lista

f1, f2, . . . , fntal que

f =fn fies inicial (luego esta en C) o se obtiene por composicion o

recursion primitiva a partir de funciones fj, j< i (luegotambien esta enC).

Entonces todas las funciones de la lista estan en C(porinduccion). En particular, fn C. 27

Funciones totales Turing computables = funcionesprimitivas recursivas?

Entonces la clase de funciones p.r. es la clase PRC mas chica.

CorolarioToda funcion p.r. es total y Turing computable.

Demostracion.Sabemos que la clase de funciones totales Turing computables esPRC. Por el teorema anterior, si fes p.r., entonces f pertenece ala clase de funciones Turing computables.

No toda funcionparcialTuring computable es p.r porque todafuncion p.r. es total. Pero...

toda funcion total Turing computable es p.r.?

28


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Ejemplo de funcion p.r.

La funcionsuma(x, y) = x+ y

es p.r., porque

suma(x, 0) = u11(x)

suma(x, y + 1) = g(suma(x, y), x, y)

dondeg(x1, x2, x3) = s(u

31(x1, x2, x3))

29

Otras funciones primitivas recursivas

x y

x!

xy

xy= x y si x y0 si no (x) =

1 si x= 0

0 si no

y muchas mas. Todas las funciones totales Turingcomputables..?

30

Predicados primitivos recursivos

Lospredicadosson simplemente funciones que toman valores en{0, 1}.

1 se interpreta como verdadero

0 se interpreta como falso

Lospredicados p.r.son aquellos representados por funciones p.r. en{0, 1}.

Por ejemplo, el predicado x yes p.r. porque se puede definircomo

(xy)

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Operadores logicos

TeoremaSeaCuna clase PRC. Sipyq son predicados en Centoncesp,p qyp qestan en C.

Demostracion.

pse define como (p)

p qse define como p q

p qse define como (p q)

CorolarioSipyqson predicados p.r., entonces tambien lo son lospredicadosp, p qyp q

CorolarioSipyqson predicados totales Turing computables entoncestambien lo son los predicadosp, p qyp q

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Definicion por casos (2)

TeoremaSeaCuna clase PRC. Sean h , g: Nn N funciones en Cy seap: Nn {0, 1} un predicado en C. La funcion

f(x1, . . . , xn) = g(x1, . . . , xn) sip(x1, . . . , xn)h(x1, . . . , xn) si noesta en C.

Demostracion.f(x1, . . . , xn) =g(x1, . . . , xn) p(x1, . . . , xn) +h(x1, . . . , xn) (p(x1, . . . , xn))

33

Definicion por casos (m + 1)

TeoremaSeaCuna clase PRC. Sean g1, . . . , gm, h: Nn N funciones en Cy sean p1, . . . , pm: N

n {0, 1}predicados mutuamenteexcluyentes en C. La funcion

f(x1, . . . , xn) =

g1(x1, . . . , xn) sip1(x1, . . . , xn)...

gm(x1, . . . , xn) sipm(x1, . . . , xn)

h(x1, . . . , xn) si no

esta en C.

34

Recursion primitiva

todava no respondimos si p.r. = Turing computables totales

no lo vamos a responder todava

Observar que el esquema de recursion

h(x1, . . . , xn, 0) = f(x1, . . . , xn)

h(x1, . . . , xn, t+ 1) = g(h(x1, . . . , xn, t), x1, . . . , xn, t)

es muy simple:

la recursion siempre se hace en el ultimo parametro

la funcion variante de h(x1, . . . , xn, xn+1) es xn+1

35


Sumatorias y productorias, cuantificadores acotados,minimizacion acotada, codificacion de pares y secuencias

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Sumatorias y productorias (desde 0)

TeoremaSeaCuna clase PRC. Sif : Nn+1 Nes ta en Centonces tambienestan las funciones

g(y, x1, . . . , xn) =

yt=0

f(t, x1, . . . , xn)

h(y, x1, . . . , xn) =

yt=0

f(t, x1, . . . , xn)

Demostracion.g(0, x1, . . . , xn) = f(0, x1, . . . , xn)

g(t+ 1, x1, . . . , xn) = g(t, x1, . . . , xn) +f(t+ 1, x1, . . . , xn)

Idem para h con en lugar de +.

Observar que no importa la variable en la que se hace la recursion:

podemos definir g(x, t) como la clase pasada y luego

g(t, x) = g(u22 (t, x), u21 (t, x)) = g

(x, t). 37

Sumatorias y productorias (desde 1)

TeoremaSeaCuna clase PRC. Sif : Nn+1 Nes ta en Centonces tambienestan las funciones

g(y, x1, . . . , xn) =

yt=1

f(t, x1, . . . , xn)

h(y, x1, . . . , xn) =

yt=1

f(t, x1, . . . , xn)

(como siempre, sumatoria vaca = 0, pro ductoria vaca = 1)

Demostracion.g(0, x1, . . . , xn) = 0

g(t+ 1, x1, . . . , xn) = g(t, x1, . . . , xn) +f(t+ 1, x1, . . . , xn)

Idem para h con en lugar de + y 1 en lugar de 0 en el casobase.

38

Cuantificadores acotadosSeap: Nn+1 {0, 1}un predicado.

(t)y p(t, x1, . . . , xn)es verdadero sii

p(0, x1, . . . , xn) es verdaderoy...

p(y, x1, . . . , xn) es verdadero

(t)y p(t, x1, . . . , xn)es verdadero sii p(0, x1, . . . , xn) es verdaderoo

...

p(y, x1, . . . , xn) es verdadero

Lo mismo se puede definir con < yen lugar de y.

(t)


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Cuantificadores acotados (con


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Mas ejemplos de funciones primitivas recursivas

x div yes la division entera de x pory

mntx

((t+ 1) y> x)

Notar que con esta definicion 0 div 0 es 0.

x mod yes el resto de dividir a x por y

pn es el n-esimo primo (n> 0). Se define

p0= 0, p1= 2, p2= 3, p3= 5, . . .

p0 = 0

pn+1 = mntK(n)

(primo(t) t> pn)

Necesitamos una cota K(n)que sea buena, i.e. suficientemente grande y primitiva recursiva

K(n) = pn! + 1 funciona (ver que pn+1 pn! + 1).

45

Codificacion de pares

Definimos la funcion primitiva recursiva

x, y= 2x(2 y+ 1)1

Notar que 2x(2 y+ 1) = 0.

Proposicion

Hay una unica solucion (x, y) a la ecuacionx, y= z.

Demostracion.

xes el maximo numero tal que 2x|(z+ 1)

y= ((z+ 1)/2x 1) div 2

46

Observadores de paresLosobservadoresdel par z= x, y son

l(z) = x

r(z) = y

Proposicion

Los observadores de pares son primitivas recursivas.

Demostracion.

Comox, y< z+ 1 tenemos que l(z) = mnxz((y)z z= x, y)

r(z) = mnyz((x)z z= x, y)

Por ejemplo,

2, 5= 22(2 5 + 1)1 = 43

l(43) = 2

r(43) = 547

Codificacion de secuencias

Elnumero de Godelde la secuencia

a1, . . . , an

es el numero

[a1, . . . , an] =n

i=1paii ,

donde pies el i-esimo primo (i 1).

Por ejemplo el numero de Godel de la secuencia

1, 3, 3, 2, 2

es[1, 3, 3, 2, 2] = 21 33 53 72 112 = 40020750.

48


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Propiedades de la codificacion de secuencias

TeoremaSi[a1, . . . , an] = [b1, . . . , bn]entoncesa i= bi para todoi {1, . . . , n}.

Demostracion.Por la factorizacion unica en primos.

Observar que

[a1, . . . , an] = [a1, . . . , an, 0] = [a1, . . . , an, 0, 0] = . . .

pero[a1, . . . , an]= [0, a1, . . . , an]

49

Observadores de secuenciasLosobservadoresde la secuencia x= [a1, . . . , an] son x[i] = ai |x|= longitud de x

Proposicion

Los observadores de secuencias son primitivas recursivas.

Demostracion.

x[i] = mntx(pt+1

i |x) |x|= mnix(x[i]= 0 (j)x(j i x[j] = 0))

Por ejemplo, [1, 3, 3, 2, 2][2] = 3 = 40020750[2] [1, 3, 3, 2, 2][6] = 0 = 40020750[6] |[1, 3, 3, 2, 2]|= 5 =|40020750| |[1, 3, 3, 2, 2, 0]|=|[1, 3, 3, 2, 2, 0, 0]|= 5 =|40020750| x[0] = 0 para todo x 0[i] = 0 para todo i 50

En resumen: codificacion y decodificacion de pares ysecuencias

Teorema (Codificacion de pares)

l(x, y) = x, r(x, y) = y

z= l(z), r(z)

l(z), r(z) z

la codificacion y observadores de pares son p.r.

Teorema (Codificacion de secuencias)

[a1, . . . , an][i] =

ai si1 i n

0 si no

sin |x| entonces[x[1], . . . , x[n]] = x

la codificacion y observadores de secuencias son p.r.

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LenguajeS, estado, descripcion instantanea, computo,funciones parciales computables, minimizacion no acotada

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Lenguaje de programacionS(Davis/Sigal/Weyuker) resulta igual de poderoso que las maquinas de Turing, pero es

mas faci l de programar imperativo, muy simple

variables de entrada: X1, X2, . . .

unica variable de salida: Yvariables temporales: Z1, Z2, . . .

empiezan inicializadas en 0

las variables almacenan numeros naturales 3 instrucciones (cada una puede o no estar etiquetada):

1. V V+ 1 la variable Vse incrementa en 1

2. V V 1 Vse decrementa en 1 si antes era > 0; si no queda en 0 es el V1 que ya vimos

3. IFV = 0 GOTOA condicional muy primitivo A es una etiqueta que denota una instruccion del programa si el valor de Ves distinto de 0, la ejecucion sigue con la

primera instruccion que tenga etiqueta A si el valor de Ves 0, sigue con la pr oxima instruccion

programa = sucesion finita de instrucciones 53

Ejemplo 1

ProgramaP

[A] XX 1Y Y+ 1IF X= 0 GOTO A

Ejecucion paraentradaX= 3:

X Y

3 02 11 20 3

escribimos X por X1; Z por Z1 P termina cuando X= 0 porque no hay siguiente instruccion

Pcomputa la funcion f : N N,

f(x) =

x si x= 0

1 si no

siempre deja la variable X en 0

54

Ejemplo 2

[A] IF X= 0 GOTO B

ZZ+ 1

IF Z= 0 GOTO E

[B] XX 1

Y Y+ 1

ZZ+ 1

IF Z= 0 GOTO A

computa la funcion f : N N, f(x) = x cuando intenta ir a E, termina en el ejemplo, Z solo sirve para un salto incondicional. En

general GOTO L es equivalente a

V V+ 1

IF V= 0 GOTO L

dondeVes una variable nueva (en el ejemplo es Z) 55

Macros

S no tiene salto incondicional pero podemos simularlo con GOTO L lo usamos, como si fuera parte del lenguaje, pero:

cada vez que apareceGOTOL

en un programa P, lo reemplazamos con

V V+ 1

IFV = 0 GOTOL

donde Vtiene que ser una variable que no aparece en P.

Vamos a ver que se pueden simular muchas otras operaciones.Una vez que sepamos que se pueden escribir en el lenguaje S, lasusamos como si fueran propias (sonpseudoinstrucciones).

la forma abreviada se llama macro

el segmento de programa que la macro abrevia se llamaexpansion del macro

56


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Asignacion de cero: V 0

En un programa P, la pseudoinstruccion V 0 se expande como

[L] V V 1

IF V = 0 GOTO L

donde L es una etiqueta que no aparece en P

57

Asignacion de variables: Y X

Y 0

[A] IF X= 0 GOTO B

GOTO C

[B] XX 1

Y Y + 1

Z Z+ 1GOTO A

[C] IF Z= 0 GOTO D

GOTO E

[D] Z Z 1

XX+ 1

GOTO C

el primer ciclo copia el valor deX en Y y en Z; deja Xen cero

el segundo ciclo pone en X elvalor que tena originalmente ydejaZen cero

se usa la macro GOTO A

no debe expandirse como

Z Z+ 1

IF Z= 0 GOTOA

sino como

Z2 Z2+ 1

IF Z2= 0 GOTOA

58

Asignacion de variables: V V

Y 0

[A] IF X= 0 GOTO B

GOTO C

[B] XX 1

Y Y + 1

ZZ+ 1

GOTO A

[C] IF Z= 0 GOTO D

GOTO E

[D] ZZ 1

XX+ 1

GOTO C

se puede usar para asignar a lavariableVel contenido de la variableV y dejar V sin cambios dentro deun programa Pcualquiera: V V.

cambiar Y por V cambiar X por V

cambiar Z por una variabletemporal que no aparezca en P

cambiar A, B, C, D poretiquetas que no aparezcan en P

59

Suma de dos variables

Y X1

Z X2

[B] IF Z= 0 GOTO A

GOTO E

[A] Z Z 1

Y Y+ 1

GOTO B

computa la funcion f : N N N

f(x1, x2) = x1+x2

60


16/66

Resta de dos variables

Y X1

ZX2

[C] IF Z= 0 GOTO A

GOTO E

[A] IF Y = 0 GOTO B

GOTO A

[B] Y Y 1

ZZ 1

GOTO C

computa la funcion g: N N N

g(x1, x2) =

x1 x2 si x1 x2

si no

ges una funcionparcial

la indefinicion se nota con

(en el metalenguaje) el comportamiento del

programa que se indefinees lano terminacion

no hay otra causa deindefinicion

61

EstadosUnestadode un programa Pes una lista de ecuaciones de laforma V =m (donde Ves una variable y m es un numero) tal que

hay una ecuacion para cada variable que se usa en P

no hay dos ecuaciones para la misma variable

Por ejemplo, para P:

[A] XX 1

Y Y+ 1

IF X= 0 GOTO A

son estados de P:

X = 3, Y = 1 X = 3, Y = 1, Z= 0 X = 3, Y = 1, Z= 8

no hace falta quesea alcanzado

no son estados de P:

X = 3 X = 3, Z= 0 X = 3, Y = 1, X= 0

62

Descripcion instantaneaSupongamos que el programa P tiene longitud n .Para un estado de P y un i {1, . . . , n+ 1},

el par (i, ) es unadescripcion instantaneade P (i, ) se llamaterminalsi i= n+ 1

Para un (i, ) no terminal, podemos definir su sucesor(j, ) como:

1. si la i-esima instruccion de P es V V+ 1. j= i+ 1

es , salvo que V =m se reemplaza por V =m+ 12. si la i-esima instruccion de P es V V 1. j= i+ 1 es , salvo que V =m se reemplaza por V= max{m 1, 0}

3. si la i-esima instruccion de Pes IF V = 0 GOTO L es identico a

3.1 si tiene V= 0 entonces j= i+ 13.2 si tiene V =m para m = 0 entonces

si existe en P una instruccion con etiqueta L entoncesj= mn {k: k-esima instrucc ion de P tiene etiqueta L}

si no j= n + 1

63

Computos

Uncomputode un programa Pa partir de una descripcioninstantanea d1 es una lista

d1, d2, . . . , dk

de descripciones instantaneas de Ptal que

di+1 es sucesor de di para i {1, 2, . . . , k 1}

dkes terminal

64


17/66

Estados y descripciones iniciales

SeaPun programa y sean r1, . . . , rm numeros dados.

elestado inicialde P para r1, . . . , rm es el estado 1, que tiene

X1= r1 , X2= r2 , . . . , Xm= rm , Y = 0

junto con

V = 0para cada variable V que aparezca en Py no seaX1, . . . , Xm, Y

ladescripcion inicialde P para r1, . . . , rm es

(1, 1)

65

Computos a partir del estado inicialSeaPun programa y sean r1, . . . , rm numeros dados 1 el estado inicial

Dos casos hay un computo de P

d1, . . . , dk

tal que d1= (1, 1)

Notamos(m)P (r1, . . . , rm)al valor de Y en dk.

en particular, (m)P (r1, . . . , rm) esta definido (not.

(m)P (r1, . . . , rm))

no hay tal computo, i.e. existe una secuencia infinita

d1, d2, d3, . . .

donde d1= (1, 1). di+1 es sucesor de di

Decimos que(m)P (r1, . . . , rm)esta indefinido (not.

(m)P (r1, . . . , rm))

66

Funciones computablesUna funcion (parcial) f : Nm Nes S-parcial computable (osimplementeparcial computable) si existe un programa Ptal que

f(r1, . . . , rm)=(m)P (r1, . . . , rm)

para todo (r1, . . . , rm) Nm.

La igualdad (del meta-lenguaje) es verdadera si

los dos lados estan definidos y tienen el mismo valor o

los dos lados estan indefinidosLa funcion f esS-computable(o simplementecomputable) si esparcial computable y total.

Notar que un mismo programa Ppuede servir para computarfunciones de 1 variable, 2 variables, etc. Supongamos que en PapareceXn y no aparece Xi para i> n

si solo se especifican m < n variables de entrada,Xm+1, . . . , Xn toman el valor 0

si se especifican m > n variables de entrada, Pignorara Xn+1, . . . , Xm 67

Minimizacion no acotada

Recordar la definicion deminimizacion acotada:

mnty

p(t, x1, . . . , xn) =

mnimo t ytal que

p(t, x1, . . . , xn) es verdaderosi existe tal t

0 si no

Definimos laminimizacion no acotada

mnt

p(t, x1, . . . , xn) =

mnimo ttal que

p(t, x1, . . . , xn) es verdaderosi existe tal t

si no

68


18/66

Minimizacion no acotada

TeoremaSip: Nn+1 {0, 1} es un predicado computable entonces

mnt

p(t, x1, . . . , xn)

es parcial computable.

Demostracion.El siguiente programa computa mntp(t, x1, . . . , xn):

[A] IF p(Y, X1, . . . , Xn) = 1 GOTO E

Y Y + 1

GOTO A

69

Clausura por composicion

TeoremaSih se obtiene a partir de las funciones (parciales) computables

f, g1, . . . , gk por composicion entoncesh es (parcial) computable.

Demostracion.El siguiente programa computa h :

Z1 g1(X1, . . . , Xn)...

Zk gk(X1, . . . , Xn)

Y f(Z1, . . . , Zk)

Sif, g1, . . . , gk son totales entonces h es total.

70

Clausura por recursion primitiva

TeoremaSih se obtiene a partir deg por recursion primitiva yg escomputable entoncesh es computable.

Demostracion.El siguiente programa computa h :

Y k (es una macro, se puede hacer facil)[A] IF X= 0 GOTO E (otra macro, condicion del IF por =)

Y g(Z, Y)

ZZ+ 1

XX 1

GOTO ASig es total entonces h es total.

71

Las funciones computables forman una clase PRC

TeoremaLa clase de funciones computables es una clase PRC.

Demostracion.Ya vimos que la clase de funciones computables esta cerrada porcomposicion (p.70) y recursion primitiva (p.71). Veamos que lasfunciones iniciales son computables:

s(x) = x+ 1 se computa con el programaY X+ 1

n(x) = 0 se computa con el programa vaco

uni(x1, . . . , xn) = xi se computa con el programa

Y Xi

CorolarioToda funcion primitiva recursiva es computable.

72


19/66


Codificacion de programas, Halting problem, diagonalizacion,tesis de Church, programa universal, step counter, snapshot

73

Tipos de datos en S

vimos que el unico tipo de dato en S son los naturales sin embargo podemos simular otros tipos. Por ejemplo,

tipo bool: lo representamos con el 1 (verdadero) y el 0 (falso) tipo par de numeros naturales: la codificacion y decodificacion

de pares son funciones primitivas recursivas

tipo entero: po dra ser codificada con un parbool, numero natural

tipo secuencias finitas de numeros naturales: la codificacion ydecodificacion de secuencias son funciones primitivas recursivas

ahora vamos a ver como simular eltipo programa en S

74

Codificacion de programas en S

Recordemos que las instrucciones de Seran:

1. V V+ 1

2. V V 1

3. IF V = 0 GOTO L

Por conveniencia vamos a agregar una cuarta instruccion

4. V V: no hace nada

Observar que toda instruccion

puede o no estar etiquetada con L

menciona exactamente una variable V

el IF ademas menciona siempre una etiqueta L

75

Codificacion de variables y etiquetas deS

Ordenamos las variables:

Y, X1, Z1, X2, Z2, X3, Z3, . . .

Ordenamos las etiquetas:

A, B, C, D, . . . , Z, AA, AB, AC, . . . , AZ, BA, BB, . . . , BZ, . . .

Escribimos #(V) para la posicion que ocupa la variable Ven lalista. Idem para #(L) con la etiqueta L

Por ejemplo,

#(Y) = 1

#(X2) = 4

#(A) = 1

#(C) = 3

76


20/66

Codificacion de instrucciones de SCodificamos a la instruccion I con

#(I) = a, b, c

donde

1. si I tiene etiqueta L, entonces a = #(L); si no a = 02. si la variable mencionada en I es V entonces c= #(V) 13. si la instruccion I es

3.1 V V entonces b= 0

3.2 V V+ 1 entonces b= 13.3 V V 1 entonces b= 23.4 IFV = 0 GOTOL entonces b= #(L) + 2

Por ejemplo, #(XX+ 1) =0, 1, 1=0, 5= 10 #([A] XX+ 1) =1, 1, 1=1, 5= 21 #(IF X= 0 GOTO A) = 0, 3, 1=0, 23= 46 #(Y Y) = 0, 0, 0=0, 0= 0

Todo numeroxrepresenta a una unica instruccion I.77

Codificacion de programas en S

Un programa P es una lista (finita) de instrucciones I1, . . . , Ik

Codificamos al programa P con

#(P) = [#(I1), . . . , #(Ik)] 1

Por ejemplo, para el programa P

[A] XX+ 1

IF X= 0 GOTO A

tenemos

#(P) = [#(I1), #(I2)] 1 = [21, 46] 1 = 221 346 1

78

AmbiguedadesDijimos que P

[A] XX+ 1

IF X= 0 GOTO A

tiene numero [21, 46] 1. Pero

[21, 46] = [21, 46, 0]

Un mismo numero podra representar a mas de un programa!

Por suerte, el programa [21, 46, 0] es

[A] XX+ 1

IF X= 0 GOTO A

Y Y

y es equivalente a P.

De todos modos, eliminamos esta ambiguedad estipulando que

la instruccion final de un programa no puede ser Y Y

Con esto, cada numero representa a ununicoprograma. 79

Hay mas funciones N Nque numeros naturales

Teorema (Cantor)

El conjunto de las funciones (totales) N N no es numerable.

Demostracion.Supongamos que lo fuera. Las enumero: f0, f1, f2. . .

valores de f0 = f0(0) f0(1) f0(2) f0(3) . . .valores de f1 = f1(0) f1(1) f1(2) f1(3) . . .valores de f

2 = f

2(0) f

2(1) f

2(2) f

2(3) . . .

...valores de fk = fk(0) fk(1) fk(2) fk(3) . . .

... . . .

Defino la siguiente funcion g: N N

g(x) = fx(x) + 1.

Para todo k, fk=g (en particular difieren en el punto k).Entoncesgno esta listada. Absurdo: f0, f1, f2. . . era unaenumeracion detodaslas funciones N N. 80


21/66

Hay funciones no computables

hay una cantidad no numerable de funciones N N

o sea, hay mas funciones N Nque numeros naturales

hay tantos programas como numeros naturales

hay tantas funciones computables como numeros naturales tiene que haber funciones N Nno computables

Pero que ejemplo concreto tenemos?

81

El problema de la detencion (halting problem)HALT(x, y) : N2 {0, 1}es verdadero sii el programa con numeroy y entrada xno se indefine, i.e.

HALT(x, y) =

1 si

(1)P (x)

0 si no

donde Pes el unico programa tal que #(P) = y.

Ejemplo:

(pseudo)programaP

Y 2[A] Y Y+ 2

IF (a)Y(b)Y [Primo(a)Primo(b)a+b= Y] GOTOA

Supongamos que #(P) = e. Cuanto vale HALT(x, e)?

HALT(x, e) = 1 sii P(x) sii la conjetura de Goldbach es falsa

82

HALT no es computableTeorema (Turing, 1936)

HALTno es computable.

Demostracion.Supongamos que HALT es computable.Construimos el siguiente programa:

ProgramaQ

[ A] IF HALT(X, X) = 1 GOTO A

Supongamos que #(Q) = e. Entonces

Q(x) =

si HALT(x, x) = 1

0 si no

Entonces

HALT(x, e) = 1 sii Q(x) sii HALT(x, x)= 1

eesta fijo pero xes variable. Llegamos a un absurdo con x= e. 83

DiagonalizacionEn general, sirve para definir una funcion distinta a muchas otras.

En el caso de HALT(x, y),

sea Piel programa con numeroi supongo que HALT(x, y) es computable defino una funcion f computable nucleo de la demostracion: ver que f / {P0 , P1 , P2 , . . . }

para esto, me aseguro que f(x)= Px(x), en particular:

f(x) sii Px(x)P2 (0) P2 (1) P2 (2) . . .

P1 (0) P1 (1) P1 (2) . . .

P0 (0) P0 (1) P0 (2) . . .

pero f era computable! Absurdo: tena que estar en

{P0 , P1 , P2 , . . . }.

84


22/66

Tesis de Church

Hay muchos modelos de computo.Esta probado que tienen el mismo poder queS

C

Java

Haskell

maquinas de Turing

...

Tesis de Church.Todos losalgoritmospara computar en losnaturales se pueden programar en S.

Entonces, el problema de la detencion dice

no hay algoritmo para decidir la verdad o falsedad de

HALT(x, y)

85

Universalidad

Para cada n > 0 definimos

(n)(x1, . . . , xn, e) = salida del programae con entrada x1, . . . , xn

= (n)P (x1, . . . , xn) donde #(P) = e

Teorema

Para cada n > 0 la funcion (n)

es parcial computable.

Observar que el programa para (n) es uninterprete de programas.Se trata de un programa que interpreta programas (representadospor numeros).

Para demostrar el teorema, construimos el programa Un quecomputa (n).

86

Idea de UnUn es un programa que computa

(n)(x1, . . . , xn, e) = salida del programae con entrada x1, . . . , xn

= (n)P (x1, . . . , xn) donde #(P) = e

Un necesita

averiguar quien es P (decodifica e)

llevar cuenta de losestadosde Pen cada paso parte del estado inicial de Pcuando la entrada es x1, . . . , xn codifica los estados con listas por ejemplo Y = 0, X1= 2, X2= 1 lo codifica como

[0, 2, 0, 1] = 63

En el codigo de Un Kindica el numero de instruccion que se esta por ejecutar (en

la simulacion de P)

Sdescribe el estado de Pen cada momento

87

Inicializacion

// entrada = x1, . . . , xn, e

// #(P) = e= [i1, . . . , im] 1

Z Xn+1+ 1

// Z= [i1, . . . , im]

Sn

j=1

(p2j)Xj

// S= [0, X1, 0, X2, . . . , 0, Xn] es el estado inicial

K 1

// la primera instruccion de Pa analizar es la 1

88


23/66

Ciclo principal

// Scodifica el estado, Kes el numero de instruccion

// Z= [i1, . . . , im]

[C] IF K= |Z| + 1 K= 0 GOTO F

// si llego al final, terminar (ya veremos K = 0)

// si no, sea

Z[K

] =iK =

a,

b, c

U r(Z[K])

// U= b, c

P pr(U)+1// la variable que aparece eniKes la c+ 1-esima

// Pes el primo para la variable que aparece en iK

89

Ciclo principal (cont.)


// Z= [i1, . . . , im], iK= a, b, c, U= b, c

// Pes el primo para la variable V que aparece en iK

IF l(U) = 0 GOTO N

// si se trata de una instruccion V V salta a N

IF l(U) = 1 GOTO S

// si se trata de una instruccion V V+ 1 salta a S

// si no, es de la forma V V 1 o IF V= 0 GOTO L

IF(P|S) GOTO N

// si Pno divide a S (i.e. V= 0), salta a N

IF l(U) = 2 GOTO R

// V = 0. Si se trata de una instruccion V V 1, salta a R

90

Caso IF V = 0 GOTO L y V = 0


// Z= [i1, . . . , im], iK= a, b, c, U= b, c


// V = 0 y se trata de la instrucci on IF V = 0 GOTOL

// b 2, por lo tanto L es la (b 2)-esima etiquetaK mn

j|Z|(l(Z[j]) + 2 =l(U))

// K pasa a ser la primera instruccion con etiquetaL

// si no hay tal instruccion, K= 0 (saldra del ciclo)

GOTO C

// vuelve a la primera instruccion del ciclo principal

91

CasoR(Resta)


// Z= [i1, . . . , im], iK =a, b, c, U= b, c


// se trata deVV 1 con V = 0

[R] S S div P

GOTO N

// S=nuevo estado de P(resta 1 a V) y salta a N

92


24/66

CasoS(Suma)

// S codifica el estado, Kes el numero de instruccion

// Z= [i1, . . . , im], iK= a, b, c, U= b, c


// se trata deV V+ 1[S] S S P

GOTO N

// S= nuevo estado de P(suma 1 a V) y salta a N

93

CasoN(Nada)


// Z= [i1, . . . , im], iK= a, b, c, U= b, c


// la instruccion no cambia el estado

[N] KK+ 1

GOTO C

// S no cambia

// K pasa a la siguiente instruccion

// vuelve al ciclo principal

94

Devolucion del resultado

// Scodifica el estado final de P

// sale del ciclo principal

[F] Y S[1]// Y= el valor que toma la variable Y de Pal terminar

95

Todo junto

Z Xn+1+ 1

Sn

i=1

(p2i)Xi

K 1

[C] IF K= |Z| + 1 K= 0 GOTOF

U r(Z[K])

P pr(U)+1IF l(U) = 0 GOTON

IF l(U) = 1 GOTOS

IF(P|S) GOTON

IF l(U) = 2 GOTOR

K mni|Z|

(l(Z[i]) + 2 =l(U))

GOTOC

[R] S S divP

GOTON

[S] S S P

GOTON

[N] K K+ 1

GOTOC

[F] Y S[1]

96


25/66

Notacion

A veces escribimos

(n)e (x1, . . . , xn) =

(n)(x1, . . . , xn, e)

A veces omitimos el superndice cuando n = 1

e(x) = (x, e) = (1)(x, e)

97

Step Counter

Definimos

STP(n)(x1, . . . , xn, e, t) sii el programa e termina en

to menos pasos con entrada x1, . . . , xn

sii hay un computo del programa e

de longitud t+ 1, comenzandocon la entrada x1, . . . , xn

TeoremaPara cada n > 0, el predicadoSTP(n)(x1, . . . , xn, e, t)es p.r.

98

Snapshot

Definimos

SNAP(n)(x1, . . . , xn, e, t) = representacion de la configuracion

instantanea del programa e

con entrada x1, . . . , xn en el paso t

La configuracion instantanea se representa como

numero de instruccion, lista representando el estado

TeoremaPara cada n > 0, el predicadoSNAP(n)(x1, . . . , xn, e, t)es p.r.

99

Una funcion computable que no es primitiva recursiva se pueden codificar los programas de Scon constructores y

observadores p.r. se pueden codificar las definiciones de funciones p.r. con

constructores y observadores p.r. existe

(n)e (x1, . . . , xn) parcial computable que simula al e-esimo

programa con entrada x1, . . . , xn existe

(n)e (x1, . . . , xn) computable que simula a la e-esima funcion

p.r. con entrada x1, . . . , xn.Analicemosg: N Ndefinida como g(x) = (1)x (x)

claramente g es computable supongamos que ges p.r.

entonces tambien es p.r. la funci onf(x) = g(x) + 1 =(1)x (x) + 1

existe un e tal quee= f tendr amos e(x) = f(x) = x(x) + 1 eesta fijo pero xes variable instanciando x= e, e(e) = f(e) = e(e) + 1. Absurdo.

por que esto no funciona para parcial comp. en lugar de p.r.?100


26/66

La funcion de Ackermann (1928)

A(x, y, z) =

y+ z si x= 0

0 si x= 1 y z= 0

1 si x= 2 y z= 0

y si x> 2 y z= 0

A(x 1, y, A(x, y, z 1)) s ix, z> 0

A0(y, z) = A(0, y, z) = y+ z= y+1 + + 1 zveces

A1(y, z) = A(1, y, z) = y z= y+ +y zveces

A2(y, z) = A(2, y, z) = y z= yz =y y zveces

A3(y, z) = A(3, y, z) = y z= yy.

.

.

y

zveces

. . .

Para cada i, A i: N2 Nes p.r. pero A : N3 Nno es p.r. 101

Version de Robinson & Peter (1948)

B(m, n) =

n+ 1 si m = 0

B(m 1, 1) si m > 0 y n = 0

B(m 1, B(m, n 1)) si m > 0 y n > 0

B0(n) = B(0, n) = n + 1 B1(n) = B(1, n) = 2 + (n+ 3) 3 B2(n) = B(2, n) = 2 (n+ 3) 3 B3(n) = B(3, n) = 2 (n+ 3) 3 B4(n) = B(4, n) = 2 (n+ 3) 3 . . .

Para cada i, Bi: N Nes p.r. pero B: N2 Nno es p.r.

B(4, 2)2 1019728

B(x) = B(x, x) crece mas rapido que cualquier funcion p.r.

(f p.r.)(n)(x> n) B(x)> f(x)

102


Teorema de la forma normal, teorema del parametro, teoremade la recursion y aplicaciones, teorema del punto fijo

103

Teorema de la Forma Normal

TeoremaSea f : Nn N una funcion parcial computable. Entonces existeun predicado p.r. R: Nn+1 Ntal que

f(x1, . . . , xn) = l

mnz

R(x1, . . . , xn, z)

Demostracion.

Seaeel numero de algun programa para f(x1, . . . , xn).Recordar que la configuracion instantanea se representa como

numero de instruccion, lista representando el estado

El siguiente predicado R(x1, . . . , xn, z) es el buscado:

STP(n)(x1, . . . , xn, e, r(z))

l(z) = r

SNAP(n)(x1, . . . , xn, e, r(z))

estado final de econ entrada x1, . . . , xn

[1]

valor de la variable Yen ese estado final 104


27/66

Otra caracterizacion de funciones computables

TeoremaUna funcion esparcial computable si se puede obtener a partir delas funciones iniciales por un numero finito de aplicaciones de

composicion,

recursion primitiva y

minimizacion

TeoremaUna funcion escomputablesi se puede obtener a partir de lasfunciones iniciales por un numero finito de aplicaciones de

composicion,

recursion primitiva y

minimizacion propia

(del tipomntq(x1, . . . , xn, t) donde siempre existe al menos unt

tal queq(x1, . . . , xn, t) es verdadero)

105

Eliminando variables de entrada

Consideremos un programa Pque usa la entrada X1 y X2:

INSTRUCCION 1 #(I1)...

INSTRUCCION k #(Ik)

Computa la funcion f : N2 N

f(x, y) = (2)P (x, y)

#(P) = [#(I1), . . . , #(Ik)] 1

Busco numero de programa P0 para f0: N N, f0(x) = f(x, 0)

[A]X2 X2 1 109IF X2= 0 GOTOA 110


INSTRUCCION k #(Ik)

Computa la funcion f0: N N

f0(x) = (1)P0

(x)

#(P0) = [109, 110, #(I1), . . . , #(Ik)]1

106

Eliminando variables de entradaBusco numero de programa P1 para f1: N N, f1(x) = f(x, 1)

[A]X2 X2 1 109IF X2= 0 GOTOA 110

X2 X2+ 1 26


INSTRUCCION k #(Ik)


f1(x) = (1)P1

(x)

#(P1) =[109, 110, 26, #(I1), . . . , #(Ik)] 1

Busco numero de programa P2 para f2: N N, f2(x) = f(x, 2)

[A]X2 X2 1 109IF X2= 0 GOTOA 110

X2 X2+ 1 26X2 X2+ 1 26INSTRUCCION 1 #(I1)

...

INSTRUCCION k #(Ik)


f2(x) = (1)P2

(x)

#(P2) =[109, 110, 26, 26, #(I1), . . . , #(Ik)]1

107

Teorema del ParametroHay un programa Px2 para la funcion fx2 (x1) = f(x1, x2)

La transformacion (x2, #(P))#(Px2 ) es p.r., es decir, existeuna funcion S: N2 Np.r. tal que dado x2 e y= #(P) calcula#(Px2 ):

S(x2, y) =

2109 3110

x2

j=1p26j+2

|y+1|

j=1pj+x2+2

(y+1)[j]

1

TeoremaHay una funcion p.r. S: N2 N tal que

(2)y (x1, x2) =

(1)S(x2,y)

(x1).

TeoremaPara cada n , m> 0 hay una funcion p.r. inyectiva Snm: N

n+1 Ntal que

(n+m)y (x1, . . . , xm, u1, . . . , un) =

(m)Snm(u1,...,un,y)

(x1, . . . , xm) 108


28/66

Programas autoreferentes

en la demostracion del Halting Problem construimos unprograma Pque, cuando se ejecuta con su mismo numero deprograma (i.e. #(P)), evidencia una contradiccion

en general, los programas pueden dar por supuesto queconocen su mismo numero de programa

pero si un programa Pconoce su numero de programa,podra, por ejemplo, devolver su mismo numero, i.e. #(P)

109

Teorema de la Recursion

TeoremaSig: Nn+1 Nes parcial computable, existe un etal que

(n)e (x1, . . . , xn) = g(e, x1, . . . , xn)

Demostracion.SeaS1n la funcion del Teorema del Parametro:

(n+1)y (x1, . . . , xn, u) =

(n)S1n(u,y)

(x1, . . . , xn).

La funcion (x1, . . . , xn, v)g(S1n(v, v), x1, . . . , xn) es parcialcomputable, de modo que existe dtal que

g(S1n (v, v), x1, . . . , xn) = (n+1)d (x1, . . . , xn, v)

= (n)

S1n(v,d)(x1, . . . , xn)

desta fijo; ves variable. Elegimos v= d y e= S1n(d, d). 110

Teorema de la Recursion

CorolarioSig: Nn+1 Nes parcial computable, existeninfinitose tal que

(n)e (x1, . . . , xn) = g(e, x1, . . . , xn)

Demostracion.

En la demostracion del teorema anterior, existeninfinitos d tal que

(n+1)d =g(S

1n (v, v), x1, . . . , xn).

vS1n (v, v) es inyectiva de modo que existen infinitos

e= S1n (d, d).

111

Quines

Unquinees un programa que cuando se ejecuta, devuelve comosalida el mismo programa.

Por ejemplo:

char*f="char*f=%c%s%c;main()

{printf(f,34,f,34,10);}%c";

main(){printf(f,34,f,34,10);}

112


29/66

Quines

Existeetal que e(x) = e?

S, el programa vaco tiene numero 0 y computa la funcionconstante 0, i.e. 0(x) = 0.

Proposicion

Hay infinitosetal quee

(x) = e.

Demostracion.Considerar la funcion g: N2 N, g(z, x) = z.Aplicando el Teorema de la Recursion, existen infinitos etal que

e(x) = g(e, x) = e.

113

Quines

No hay nada especial con que la salida del programa sea su propionumero en el resultado anterior. Funciona para cualquier h parcialcomputable.

Existeetal que e(x) = h(e)?

Proposicion

Hay infinitosetal quee(x) = h(e).

Demostracion.Considerar la funcion g: N2 N, g(z, x) = h(z).Aplicando el Teorema de la Recursion, existen infinitos etal que

e(x) = g(e, x) = h(e).

114

Teorema del Punto Fijo

TeoremaSif : N Nes computable, existe un etal quef(e)= e.

Demostracion.Considerar la funcion g: N2 N,

g(z, x) = f(z)(x).

Aplicando el Teorema de la Recursion, existe un etal que paratodo x,

e(x) = g(e, x) = f(e)(x)

115

EjercicioProbar que f : N N,

f(x) =

1 xes total

0 si no

no es computable.

Supongamos f computable. Puedo definir el siguiente programa P:

[A] IF f(X) = 1 GOTO A

Tenemos

(2)P (x, y) = g(x, y) =

xes total

0 si no

es parcial computable. Por el Teorema de la Recursi on, sea e talque e(y) = g(e, y). ees total g(e, y) para todo y e(y) para todo y

eno es total eno es total g(e, y) = 0 para todo y e(y) = 0 para

todo y ees total 116


30/66


Conjuntos c.e., teorema de la enumeracion, teorema de Rice yaplicaciones

117

Conjuntos en teora de la computabilidad

Cuando hablamos un conjunto de naturales A pensamos siempreen la funcion caracterstica de ese conjunto.

A(x) =

1 si x A

0 si no

As, un conjunto puede ser:

computable

primitivo recursivo

TeoremaSean A, Bconjuntos de una clase PRCC. EntoncesA B, A ByA estan en C.

118

Conjuntos computablemente enumerablesIgual que con las funciones hay conjuntos computables, por ejemplo

, N , {p: pes primo} hay conjuntos no computables, por ejemplo

{x, y: HALT(x, y)} , {x, y, z: x(y) = z}

DefinicionUn conjunto A es computablemente enumerable (c.e.)cuando

existe una funcion parcial computable g: N N tal que

A={x: g(x)} = dom g

podemos decidir algoritmicamente si un elementos pertenecea A, pero para elementos queno pertenecen a A, el algoritmose indefine

se llaman algoritmos desemi-decision: resuelven unaaproximacion al problema de decidir la pertenencia de unelemento al conjunto A

119

Propiedades de los conjuntos c.e.Un conjunto A es co-c.e. si A es c.e.

TeoremaSiA es computable entoncesA es c.e.

Demostracion.SeaPA un programa para [la funcion caracterstica de] A.Consideremos el siguiente programa P:

[C] IF PA(X) = 0 GOTO C

Tenemos

P(x) =

0 si x A

si no

y por lo tantoA={x: P(x)}

120


31/66

Propiedades de los conjuntos c.e.

TeoremaSiA yBson c.e. entoncesA B yA B tambien son c.e.

Demostracion.Sean A={x: p(x)} , B= {x: q(x)}

(A B) El siguiente programa Rcomputa A B:

Y p(x)

Y q(x)En efecto, R(x) sii p(x) y q(x).

(A B) El siguiente programa R computaA B:

[C] IF STP(1)(X, p, T) = 1 GOTOE

IF STP(1)(X, q, T) = 1 GOTO E

T T+ 1

GOTOC

En efecto, R(x) sii p(x) o q(x). 121

Propiedades de los conjuntos c.e.

TeoremaA es computable siiA yA son c.e.

Demostracion.

() si A es computable entonces A es computable

() supongamos que A y A son c.e.

A={x: p(x)} , A={x: q(x)}

ConsideremosP:

[C] IF STP(1)(X, p, T) = 1 GOTOF

IF STP(1)(X, q, T) = 1 GOTO E

T T+ 1

GOTOC

[F] Y 1

Para cada x, x A o bien x A. Entonces Pcomputa A.122

Teorema de la enumeracion

Definimos

Wn= {x: n(x)} = dominio del n-esimo programa

Teorema

Un conjuntoA es c.e. sii existe un n tal queA = Wn.

Existe una enumeracion de todos los conjuntos c.e.

W0, W1, W2, . . .

123

Problema de la detencion (visto como conjunto)Recordar que

Wn= {x: n(x)}

DefinimosK= {n: n Wn}

Observar que

n Wn sii n(n) s ii HALT(n, n)

TeoremaKes c.e. pero no computable.

Demostracion.

la funcion n (n, n) es parcial computable, de modo que Kes c.e.

supongamos que K fuera computable. Entonces K tambien losera. Luego existe un etal queK =We. Por lo tanto

e K sii e We sii e K124


32/66

Mas propiedades de los conjuntos c.e.

TeoremaSiA es c.e., existe un predicado p.r. R: N2 N tal que

A={x: (t) R(x, t)}

Demostracion.SeaA = We. Es decir,

A={x: e(x)}.

Entoncesx A cuando en algun tiempo t, el programae conentradax termina, i.e.

A={x: (t) STP(1)(x, e, t) R(x, t)

}

125


TeoremaSiA = es c.e., existe una funcion p.r. f : N N tal que

A={f(0), f(1), f(2), . . . }

Demostracion.Por el teorema anterior, existe Pp.r. tal que

A={x: (t) P(x, t)}.

Seaa A y definamos

f(u) =

l(u) si P(l(u), r(u))

a si no

x A existe ttal que P(x, t) f(x, t) = x

sea xtal que f(u) = xpara algun u. Entonces x= a o bien ues de la forma u= x, t, con P(x, t). Luego x A. 126


TeoremaSif : N Nes parcial computable, A ={f(x) : f(x)} es c.e.

Demostracion.Sea p= f y sea A ={f(x) : f(x)}. Definamos el programa Q

[A] IF STP(1)(Z, p, T) = 0 GOTO B

IF p(Z) = X GOTOE

[B] Z Z+ 1

IFZ T GOTOA

T T+ 1

Z 0

GOTOA

Notar que Q(X) si existenZ, Ttal que

Z T STP(1)(Z, p, T) es verdadero

(i.e. el programa para f termina

en To menos pasos con

entradaZ)

X= f(Z)

Q(x) =

0 si x A

si no

LuegoA es c.e. 127

Caracterizaciones de los conjuntos c.e.

TeoremaSiA =, son equivalentes:

1. Aes c.e.

2. Aes el rango de una funcion primitiva recursiva

3. Aes el rango de una funcion computable

4. Aes el rango de una funcion parcial computable

Demostracion.

(1 2) Teorema de hoja126

(2 3) Trivial

(3 4) Trivial

(4 1) Teorema de hoja127

128


33/66

Teorema de RiceA Nes un conjuntode ndices si existe una clase de funcionesN Nparciales computables Ctal que A ={x: x C}

TeoremaSiA es un conjunto de ndices tal que =A = N, A no escomputable.

Demostracion.SupongamosC tal que A ={x: x C} computable. Sean f C

y g / Cfunciones parciales computables.Seah : N2 N la siguiente funcion parcial computable:

h(t, x) =

g(x) si t A

f(x) si no

Por el Teorema de la Recursion, existe etal que e(x) = h(e, x).

e A e= ge / C e /A

e /A e= f e C e A129

Aplicaciones del Teorema de Rice

El teorema da una fuente de conjuntos no computables:

{x: xes total}

{x: x es creciente}

{x: x tiene dominio infinito}

{x: xes primitiva recursiva}

Todos son no computables porque todos son conjuntos de ndicesno triviales!

130

Ejemplos de conjuntos no c.e. K= {x: x(x)} no es c.e.

Kes c.e. de modo que si K lo fuera, Kser a computable Tot= {x: x es total} no es c.e.:

es una diagonalizacion simple. Supongamos que Totes c.e. existefcomputable tal que Tot= {f(0), f(1), f(2), . . . } entonces existe etal que e(x) = f(x)(x) + 1 como e es total, e Tot. De modo que existe utal que f(u) = e f(u)(x) = f(x)(x) + 1. Absurdo para x= u.

Tot= {x: xno es total} no es c.e. parecido a lo que hicimos la clase pasada. Supongamos Tot c.e. existed tal que Tot= dom d definimos el siguiente programa P:

[C] IF STP(1)(X, d, T) = 1 GOTO E

T T+ 1

GOTOC

sigue igual a lo que vimos la clase pasada

(2)P (x, y) = g(x, y) =

x es total

0 si no131

Conjuntos mas difciles que el halting problem

K= {x: x(x)} no es computable pero K es c.e.

Tot= {x: xes total}no es computable Totno es c.e. Totno es c.e.

de alguna forma, Totes mas dif cil que K esto se formaliza dentro de la teora no hay tiempo para verlo en esta materia pero lo estudiamos enTeora de la Computabilidad

se suele dar los primeros cuatrimestres da 3 puntos como optativa para la licenciatura y se cursa 1

vez por semana http://www.glyc.dc.uba.ar/teocomp/

132


34/66


Oraculos, reducibilidad de Turing, jerarqua aritmetica,

problema de Post

133

OraculosEl lenguaje S se extiende:

tiene entradas X1, . . . , Xn N(como antes) y una entradaespecial que se llama oraculo

en el oraculo no se pone un numero natural sino unconjunto

A N.

un nuevo termino para leer el oraculo seteado en A

ORACULO[i] =

1 si i A

0 s ino

Todo se puede aritmetizar como antes. Existe un programauniversal:

Ae(x1, . . . , xn) = salida del e-esimo programa

con entrada x1, . . . , xn y oraculo =A

134

Tienen mas poder de computo

Por ejemplo, hay un programa que calcula el halting problem

K ={x: x(x)}

Pero claro... con oraculo K.

Por ejemplo, hay un programa p tal que

Ap =A para todo A

Ap =A para todo A

Kp ={x: dom x= }

Sin embargo, hay problemas que no se pueden resolver aunteniendo el oraculo K:

{x: xes total}

{x: Kx(x)}

135

Reducibilidad de TuringPara A, B N, decimos que A T B cuando se puede calcular elconjuntoA con oraculo B, i.e. existe ptal que

Bp =A

o sea, para todo x N

Bp(x) = A(x) = 1 si x A

0 sino

Tambien se dice que A es B-computable

AT Apara todo A

AT Apara todo A

{x: dom x= } T K

{x: xes total} T K

{x: Kx(x)} T K

136


35/66

El saltoParaA Nse define elsalto de A como

A ={x: Ax(x)}

Por ejemplo,

={x: x(x)} ={x: x(x)} = K

={x:

x(x)}

={x:

x (x)}

(n) ={x: (n1)x (x)}

DecimosA


36/66

La jerarqua aritmetica Aes (n)-c.e. sii

existe etal que A = dom(n)

e existe Pp.r. tal que

A(x) = 1 sii (y)(z)(w) . . . P(x, y, z, w, . . . ) con nalternancias de cuantificadores (empezando con )

se los llama conjuntosn+1 Aes (n)-co-c.e. sii A es (n)-c.e. sii

existe etal que A = dom(n)

e existe Rp.r. tal que

A(x) = 1 sii (y)(z)(w) . . . R(x, y, z, w, . . . ) con nalternancias de cuantificadores (empezando con )

se los llama conjuntosn+1 Aes (n)-computablesii A T

(n) sii Aes (n)-c.e. y(n)-co-c.e. existenP y Rp.r. tal que

A(x) = 1 sii (y)(z)(w) . . . P(x, y, z, w, . . . )

sii (y)(z)(y) . . . R(x, y, z, w, . . . )

conn alternancias de cuantificadores. se los llama conjuntosn+1 141

La jerarqua aritmetica

1 1

1

2 2

2

...

142

Problema de Post

Ejemplos de conjuntos c.e.

K= {x: x(x)}T

T

{x, y: x(y)}T

{x: xes primo}T

{x, y, z: x(y) = z}T

N T {x: dom x=}T

{x: x(x) tarda mas de 10 pasos en terminar}T

{x: 0 dom x}T

DecimosA T Bcuando A T B y BT A.

Problema de Post (1944): Existe un A c.e. tal que


37/66

Materia optativa

Todo esto y mucho mas en...

Teora de la Computabilidad

se suele dar los primeros cuatrimestres

da 3 puntos como optativa para la licenciatura y se cursa 1vez por semana

http://www.glyc.dc.uba.ar/teocomp/

145

Logica ProposicionalClase 1

Lenguaje de logica proposicional, semantica, tautologa,

consecuencia semantica, conjunto satisfacible, sistemaaxiomatico SP, consecuencia sintactica

146

El lenguaje P

smbolos p ( )

p, p, p, p, . . . son smbolos prop osicionales

formulas

1. to do smbolo proposicional es una f ormula2. si es una formula entonces es una formula3. si y son formulas entonces ( ) es una formula4. nada mas es una formula

convenciones escribimos qpor p r porp sp orp... escribimos ( ) en lugar de ( ) escribimos ( ) en lugar de ( ) escribimos en lugar de () cuando convenga

llamamosPROPal conjunto de todos los smbolosproposicionales

llamamosFORMal conjunto de todas las formulas

147

SemanticaUnainterpretaciones una funcion

v : PROP {0, 1}

A vtambien se la llama valuacion.

Definimos la nocion deverdad de una formula para una valuacion.

Si FORM y ves una valuacion, notamos v|= si es verdadera para v

v|= si es falsa para v

La definicion de |= es recursiva:

1. si p PROP, v|=psii v(p) = 1

2. v|= sii v|=

3. v|= ( ) sii v|= o v|=

148

S i T l d d d i i


38/66

Semantica

Observar que, por la convencion,

5. v|= ( ) sii v|= y v|=

6. v|= ( ) sii v|= o v |=

Por ejemplo, si v(p) = 1 , v(q) = 0 , v(r) = 1

v|= (p r)

v|= (q r)

v|=p

v|= (p q)

149

Tautologas y metodo de decisionUna formula es unatautologa (|=) si es verdadera paratoda interpretacion, i.e. para toda valuacion v, v|=.

Proposicion

Sea FORMy sean v ywson dos valuaciones tal quev(p) = w(p)para toda variable proposicional que aparece en .Entoncesv|= siiw|=.

Existe unmetodo de decisi onpara saber si es tautologa o no:

supongamos que tiene variables proposicionales p1, . . . , pn seaP({p1, . . . , pn}) = {V1, . . . , V2n}

para i {1, . . . , 2n} definimos vi(p) =

1 si p Vi

0 si no

es tautologa sii

vi |= para todo i {1, . . . , 2n}

150

Consecuencia semantica y conjunto satisfacibleSea FORM y FORM

es consecuencia semantica de (|=) si para todainterpretacion v:

si v|= para toda lo notamos v|=

, entonces v |=

essatisfaciblesi existe una interpretacion vtal que v|= paratoda (i.e. tal que v|= )

Por ejemplo

{q} |=q

{q} |=p q

{r, p q} |=p

{r, p q} |=s

es satisfacible

{p, q}es satisfacible

{p, p q}no es satisfacible

{p, p q, q}no es satisfacible151

Algunos resultados sobre |=

Proposicion

1. |= sii|= (i.e. es tautologa)

2. si|= entonces |=

3. {} |=

4. si y |= entonces |=

5. si |= y |= entonces |=

Demostracion de 5.

sea vuna interpretacion tal que v|=

sabemos v|=

sabemos v|=

concluimos v|=

152

M i d d ti SP Ej l d t i d


39/66

Mecanismo deductivo SP

axiomas. Sean ,, FORM

SP1 ( )SP2 (( ))(()())SP3 ( )( )

regla de inferencia

MP Sean , FORM. es una consecuenciainmediata de y

Unademostracionde en SPes una cadena finita y no vaca

1, . . . , n

de formulas de Ptal quen= y

ies un axioma o

i es una consecuencia inmediata de k, l, k, l< i

En este caso, decimos que es unteorema()153

Ejemplo: demostracion de p p

Recordar

SP1 ( )

SP2 (( ))(() ())

SP3 ( )( )

MP Sean , FORM. es una consecuenciainmediata de y

Demostracion:

1. p ((p p) p) SP12. (p ((p p) p))((p (p p)) (p p)) SP23. (p (p p)) (p p) MP 1 y 24. p (p p) SP15. p p MP 3 y 4

Concluimos p p(i.e. p pes un teorema)

154

Consecuencia sintactica

Sea FORM y FORM

es unaconsecuencia sintacticade ( ) si existe una cadenafinita y no vaca

1, . . . , n


ies un axioma o i o


Aqu, 1, . . . , n se llamaderivacionde a partir de . se llamateora. Decimos que es unteorema de la teora .

155

Correctitud de SP

TeoremaSi entonces |= (i.e. si es teorema de la teora , es validoen toda interpretacion de).

Demostracion.Supongamos . Es decir, existe una cadena finita y no vaca

1, . . . , n


ies un axioma o

i o


Demostramos que |= por induccion en n (la longitud de lademostracion). Detalles a continuacion.

156

D t i d C tit d d SP Ej l


40/66

Demostracion de Correctitud de SP

Propiedad a demostrar:

P(n) = si1, . . . , n= es una derivacion de a partir deentoncesv|= v |=

Demostramos que vale P(n) p or induccion en n .

1. caso base.Veamos que vale P(1). Sup. vtal que v|= . Queremosver que v|= v|=. Hay 2 posibilidades1.1 is axioma de SP: en este caso, v|=;

1.2 : en es te caso, tambien v|=.2. paso inductivo.Sup. v tal que v|= . Sup. que vale P(m) para todo

m n. Queremos ver que vale P(n+ 1).Sup. 1, . . . , n, n+1= es una derivacion de a partir de . Hay 3 posibilidades

2.1 is axioma de SP: igual que en caso base;2.2 : igual que en caso base;2.3 es consecuencia inmediata de i y j= i (i,j n). Por HI

(P(i) y P(j)), sabemos v|=i y v|=i . Entoncesnecesariamente v|=.

157

Ejemplos 1= {p} p

1. p p 1

2= {p} p1. p p 22. p ( p) SP13. p MP 1 y 2

3= {p} q

porque 3|=q(considerar v(p) = 1; v(q) = 0)

4= {p, p} 1. p ( p) SP12. p p 43. p MP 1 y 24. ( p)(p ) SP35. p MP 3 y 46. p p 47. MP 5 y 6

158

Conjuntos y sistemas consistentes FORM esconsistentesi no existe FORM tal que

y

Un sistema S esconsistentesi no existe FORM tal que

S y S

TeoremaEl sistema SP es consistente.

Demostracion.

sea vcualquier valuacion

por correctitud, todo teorema de SPes verdadero para v

v|= v|=

luego no puede pasar que y sean teoremas

159

Algunos resultados sobre

Proposicion

1. sii (i.e. es teorema)

2. si entonces

3. {}

4. si y entonces 5. si y entonces

Si reemplazamos por |=, obtenemos los mismos resultados (verhoja152)

160

Res men Notas sobre comp tabilidad


41/66

Resumen

lenguajeP

semantica

tautologa(verdadera en toda interpretacion)

consecuencia semantica|=

conjunto satisfacible(existe modelo para todos sus elementos)

metodo deductivo

teorema(tiene demostracion en SP)

consecuencia sintactica

conjunto consistente(no permite probar y )

161

Notas sobre computabilidadSe pueden codificar las formulas de Pcon numeros naturales. a cada formula se le asigna un numero # > 0 cada numero positivo representa una unica formula

Se puede decidir algortmicamente si una formula es un axioma ono es computable la funcion

ax(x) = 1 si la formula de numeroxes un axioma de SP0 si noSe puede decidir algortmicamente si una formula es consecuenciainmediata de otras dos es computable la funcion

mp(x, y, z) =

1 si la formula de numerozes consecencia

inmediata de las formulas de numerosx e y

0 si no162

Notas sobre computabilidad

Las demostraciones son listas (finitas) de formulas.

la demostracion 1. . . n se codifica como [#1, . . . , #n]

Se puede decidir algortmicamente si una lista de formulas es unademostracion valida o no

es computable la funcion

dem(x) =1 x es una demostracion valida

0 si no

en efecto,

dem(x) = (k {1, . . . , |x|})[ax(x[k]) cons(x, k)]

cons(x, k) = (i,j {1, . . . , k 1})[mp(x[i], x[j], x[k])]

163

Notas sobre computabilidad considerar el siguiente programa P:

[A] IF dem(D) = 1 D[|D|] = X GOTO E

D D+ 1

GOTOA

Pbusca una demostracion para la formula con numeroX

si la encuentra, se detiene si no, se indefine

sii P(#), o equivalentemente

es teorema sii # domP

el conjunto de teoremas de SPes c.e. esto pasa en general para cualquier sistema axiomatico

es decir, cualquier sistema de deduccion con un conjuntocomputable de axiomas y reglas de inferencia computablestiene un conjunto de teoremas c.e.

sera computable el conjunto de teoremas de SP? 164

Plan


42/66

Logica ProposicionalClase 2

Teorema de la deduccion, lema de Lindenbaum, completitud de

SP, compacidad

165

Plan

vimos queSPes correcto: |=Esto prueba

satisfacible consistente

ahora veremos que SPes completo: |=

Para esto: Lema de Lindenbaum satisfacible consistente

consecuencia: Teorema de Compacidad

166

El Teorema de la Deduccion

TeoremaSi {} entonces

Demostracion.Por induccion en la longitud de la demostracion de {} .Supongamos que

1, . . . , n

es una derivacion de (= n) a partir de {}. caso base (n= 1)

paso inductivo

HI: para toda derivacion de a partir de {} de longitud


43/66

Demostracion del Teorema de la Deduccion (paso inductivo)Supongamos

1, . . . , n

es una derivacion de a partir de {}

HI: para toda derivacion de a partir de {} de longitud < ntenemos

Queremos ver que . Hay 4 posibilidades:

1. es un axioma de SP: igual que en en caso base2. : igual que en en caso base3. = : igual que en en caso base4. se infiere por MP de i yj (i,j< n)

sin perdida de generalidad, j= i {} iy la derivacion tiene longitud < n por HI i {} jy la derivacion tiene longitud < n por HI j, i.e. (i ) sabemos (SP2) ( (i ))(( i) ()) por MP 2 veces 169

Conjuntos consistentes

Proposicion

1. {} es inconsistente sii

2. {} es inconsistente sii

Demostracion de 1.

() {}

trivialmente {} {} es inconsistente() existe tal que {} y {}

por el Teorema de la Deduccion,

y

se puede ver que (ejercicio)()(( ))por MP 2 veces tenemos

170

Satisfacible consistente

TeoremaSi FORM es satisfacible entonces es consistente.

Demostracion.

supongamos vtal que v|= pero es inconsistente

existe tal que y

por correctitud de SP, |= y |=

v|= y v|=

171

Lema de Lindenbaum

FORM esmaximal consistente (m.c.)en SP si

es consistente y para toda formula

o

existe tal que {} y {}

LemaSi FORM es consistente, existe m.c. tal que .

172

Demostracion del Lema de Lindenbaum (obtener m c ) Conjuntos maximales consistentes


44/66

Demostracion del Lema de Lindenbaum (obtener m.c.)Enumeramos todas las formulas:1, 2, . . . Definimos 0=

n+1=

n {n+1} si n {n+1}es consistente

n si no =

i0i

Tenemos

1.

2. cada i es consistente3. es consistente

si no, existe tal que y en ambas derivaciones aparecen unicamente {1, . . . , k} . seajsuficientemente grande tal que {1, . . . , k} j entonces j y j ; contradice 2

4. es maximal supongamos /. Debe existirn tal quen+1= n+1 /n+1, entonces n {n+1} es inconsistente luego {n+1} es inconsistente (pues n)

173

Conjuntos maximales consistentes

Proposicion

Si es m.c. entonces para toda FORM, o bien o bien.

Demostracion.

no puede ser que y esten en porque sera inconsistente

supongamos que ninguna esta. Como es maximal y por

Proposicion de la hoja170,

{}es inconsistente {} es inconsistente

inconsistente

Proposicion

Sea m.c. sii .174

Consistente satisfacible

TeoremaSi FORM es consistente entonces es satisfacible.

Demostracion.Dado consistente, construimos m.c. (Lindenbaum)

Definimos la interpretacion vtal que

v(p) =1 sii p

Veamos v|= sii por induccion en lacomplejidadde (i.e. cantidad de o que aparecen en )

caso base: = p. Trivial por definicion de v.

paso inductivo:HI:v|= sii para toda de complejidad < mSea de complejidad m . Hay 2 casos:

1. =2. = 175

Demostracion de consistente satisfacible (caso =)

HI: v |= sii para toda de complejidad < m

= tiene complejidad m .

Quiero probar que v|= sii

() v|= v|= HI /

() / HIv|= v |= v|=

176

Demostracion de consistente satisfacible (caso = ) Teorema de Completitud (fuerte)


45/66

Demostracion de consistente satisfacible (caso = )HI:v |= sii para toda de complejidad< m= tiene complejidad m .Quiero probar que v|= sii

() v|= v|= ( ) v|= o v|=

v|= HI /

sabemos ( ) (ejercicio)por MP entonces

v|= HI sabemos por SP1 que ( )por MP entonces

() v|= v|= y v|= HI y /

y y sabemos ( ( )) (ejercicio)aplicando MP 2 veces, ( )por lo tanto ( )

entonces / 177

Teorema de Completitud (fuerte)

Probamos que

consistente sii satisfacible (hojas171 y 175)

{} es inconsistente sii (hoja170)

TeoremaSi |= entonces .

Demostracion.

supongamos |=

{} es insatisfacible

{} es inconsistente

178

Consecuencias del Teorema de Completitud

Corolario sii |=

Corolario sii|= (i.e. es un teorema deSPsi i es tautologa)

Teorema (Compacidad)

Sea FORM. Si todo subconjunto finito de es satisfacible,entonces es satisfacible.

Demostracion. supongamos insatisfacible

es inconsistente

existe tal que y

se usan solo finitos axiomas de

existe finito tal que y

es inconsistente

es insatisfacible 179

Resumen

lenguajeP

semantica

tautologa(verdadera en toda interpretacion)

consecuencia semantica|=

conjunto satisfacible(existe modelo para todos sus elementos)

metodo deductivo

teorema(tiene demostracion en SP)

consecuencia sintactica

conjunto consistente(no permite probar y )

180



46/66


Habamos visto que el conjunto de teoremas de SP es c.e.

Vemos que, de hecho, es computable:

metodo de decision = tablas de verdad

sii |=

sii en la tabla de verdad de solo hay 1s en la ultima columna

181

Logica de Primer OrdenClase 1

Lenguaje de logica de primer orden, terminos, formulas,

variables libres y ligadas, interpretacion, valuacion, niveles deverdad, consecuencia semantica

182

Lenguajes de primer orden

s mbolos logicos y auxiliares: x ( )

x, x, x, x, . . . son variables

VARes el conjunto de variables

se llamacuantificador universal

smbolos de cada lenguaje particular L =C F P , donde

Ces un conjunto de smbolos de constantes (puede ser C= ) Fes un conjunto de smbolos de funciones (puede ser F= ) Pes un conjunto de smbolos de predicados(P =)

183

Terminos

Para un lenguaje fijo L, definimos losterminos de L:

1. toda variable es un termino

2. todo smbolo de constante deL es un termino

3. si fes un smbolo de funcion n-adico de L y t1, . . . , tn sonterminos de L, entonces f(t1, . . . , tn) es un termino de L

4. nada mas es un termino de L

TERM(L)es el conjunto de todos los terminos del lenguajeL

Un termino es cerradosi no tiene variables.

Por ejemplo, para L =C F P , con C= {c, d}, F= {f} yP= {R} (fde aridad 3, R binario)son terminos:

c , d , x , f(c, d, x) , f(c, f(x, x, x), x)

184

Formulas Convenciones


47/66

FormulasPara un lenguaje fijo L, definimos lasformulas deL:

1. si Pes un smbolo de predicado n-adico de L y t1, . . . , tn sonterminos de L, entonces P(t1, . . . , tn) es una formula deL(atomica)

2. si es una formula de L entonces es una formula deL

3. si y son formulas deL entonces () es una formuladeL

4. si es una formula de L y xuna variable entonces (x) esuna formula deL

5. nada mas es una formula deL

FORM(L)es el conjunto de todas las formulas del lenguaje L

Por ejemplo, para L =C F P , con C= {c, d}, F= {f} yP= {R} (fde aridad 3, R binario)son formulas:

R(d, x) , (x) R(d, x) , (x) R(f(x, x, x), d)

185

Convenciones

usamos x, y, z, . . . para variables

usamos a, b, c, d, . . . para smbolos de constante

usamos f, g, h, . . . para smbolos de funcion (la aridadsiempre va a quedar clara del contexto)

usamos P, Q, R, . . . para smbolos de predicado (la aridad

siempre va a quedar clara del contexto) escribimos (x) en lugar de (x)

escribimos ( ) en lugar de ()

escribimos ( ) en lugar de( )

escribimos en lugar de () cuando convenga

186

Variables libres y ligadas unaaparicionde una variable xen una formula estaligadasi

esta dentro del alcance de un cuantificador. En caso contrario,dicha aparicion estalibre.

una variable esta libreen una formula si todas sus aparicionesestan libres.

una variable estaligadaen una formula si todas susapariciones estan ligadas.

una formula es unasentenciasi todas las variables son ligadas

(es decir, no hay apariciones libres de variables)Por ejemplo, (para un lenguaje con un smbolo de predicado binario P) en P(x, y) , x esta libre en (y) P(x, y) , xesta libre en (x) P(x, y) , x esta ligada en (x)(y) P(x, y) , x esta ligada en P(x, y)(x)(y) P(x, y)

la primera aparicion de xes ta libre la segunda aparicion de xesta ligada entonces, xno esta ni libre n i ligada 187

Interpretacion de un lenguaje

UnaL-estructuraA de un lenguaje L =C F P es

un conjunto A no vaco, se lo llama universoo dominio

las siguientes asignaciones:

para cada s mbolo de constante c C, un elemento fijo

cA A

para cada s mbolo de funcion n-aria f F, una funcion

fA : An A

para cada s mbolo de predicado n-ario P P, una relacion

PA An

Las funciones fA y predicados PA son siempre totales.

188

Ejemplos No ejemplos


48/66

Ejemplos

ParaL =C F P , con C= {c, d}, F= {f, g} y P= {P}(f unaria, g binaria, P binario)

L-estructuraA

A= Z

cA= 0 dA= 1 fA(x) = x gA(x, y) = x+ y PA(x, y) sii x divide a y

L-estructuraB

B= P(N)

cB = dB = N fB(x) = x gB(x, y) = x y PB(x, y) sii x y

189

No ejemplos

ParaL =C F P , con C= {c, d}, F= {f, g} y P= {P}(f unaria, g binaria, P binario)

L-estructuraM

M= Z cM= 0 d

M= 1

fM(x) = 1/x gM(x, y) = xy

PM(x, y) sii xdivide a y

en general

1/x / Z

xy / Z

L-estructuraN

N= funciones R R cN= funcion identidad dN= funcion 0 fN(x) = derivada de x gN(x, y) = x y PN(x, y) sii x= y

una funcion R Rpuede noser derivable

190

ValuacionesFijemos una L-estructuraA con dominio A.

Unavaluacionpara A es una funcion v: VAR A

Extendemosv a v: TERM(L) A, que interpreta un termino ten unaL-estructuraA:

si t= x(variable) entonces

v(t) = v(x)

si t= c (constante) entonces

v(t) = cA

si t= f(t1, . . . , tn) (funcion) entonces

v(t) = fA(v(t1), . . . ,v(tn))

Seav una valuacion deA y sea a A. Definimos la valuacionv(x= a) de la siguiente manera

v(x= a) (y) =

v(y) x=y

a x= y191

EjemplosParaL =C F P , con C= {c, d}, F= {f, g} y P= {P}(f unaria, g binaria, P binario)

L-estructuraA

A= Z cA= 0 dA= 1 fA(x) = x g

A(x, y) = x+ y

PA(x, y) sii x divide a y

Tenemos

si v(x) = 2

v

g(x, f(d))

= 2+(1) = 1

para cualquier v

v

g(c, f(d))

= 0+(1) =1

L-estructuraB

B= P(N) cB = dB = N fB(x) = x g

B(x, y) = x y

PB(x, y) sii x y

Tenemos

si v(x) = {1, 2}

v

g(x, f(d))

={1, 2}N ={1, 2}

para cualquier v

v

g(c, f(d))

= N =192

Interpretacion de una formula Ejemplos


49/66

Interpretacion de una formulaSeaA una L-estructura con dominio A y v una valuacion de A.Definimos cuando es verdadera en A bajo la valuacion v(notacion:A |=[v])

1. es de la forma P(t1, . . . , tn) (atomica)

A |=P(t1, . . . , tn)[v] sii

v(t1), . . . ,v(tn)

PA

2. es de la forma

A |=[v] sii noA |=[v]

3. es de la forma ( )

A |= ( )[v] sii no A |=[v] o A |=[v]

4. es de la forma (x)

A |= (x)[v] sii para cualquiera A, A |=[v(x= a)]

193

EjemplosParaL =C F P , con C= {c, d}, F= {f, g} y P= {P}(f unaria, g binaria, P binario)

L-estructuraA

A= Z cA= 0 dA= 1 fA(x) = x gA(x, y) = x+ y PA(x, y) sii x divide a y

Tenemos

para v(x) = 1A |=P(x, d)[v]

para v(x) = 0A |=P(x, c)[v]

para cualquier vA |= (y)P(y, g(y, d))[v]

L-estructuraB

B= P(N) cB = dB = N fB(x) = x gB(x, y) = x y PB(x, y) sii x y

Tenemos

para v(x) = B |=P(x, d)[v]

para v(x) = {1, 2, 3}B |=P(x, c)[v]

para cualquier vB |= (y)P(y, g(y, d))[v]

194

Notacion (,,)

SeaA una L-estructura y v una valuacion deA. Se deduce:


A |= ( )[v] sii A |=[v] o A |=[v]


A |= ( )[v] sii A |=[v] y A |=[v]

7. es de la forma (x)

A |= (x)[v] sii hay una A tal que A |=[v(x= a)]

195

3 niveles de verdad

Para un lenguaje L fijo.

1. es satisfaciblesi existe una L-estructuraA y una valuacionv deA tal que A |=[v]

2. es verdadera (o valida) en una L-estructuraA (A |=)si

A |=[v] para toda valuacion v de A decimos queA es unmodelode

3. es universalmente valida (|=)si A |=[v] para todaL-estructuraA y toda valuacion v deA

196

Ejemplos Algunos resultados sobre satisfacibilidad y validez


50/66

j p A=Z;


51/66

g j gL es un lenguaje con igualdad si tiene un smbolo proposicionalbinario especial (el =) que solo se interpreta como la igualdad.

Fijemos un lenguaje L con igualdad y con ningun otro smbolo.Buscamos FORM(L) tal que {A : A |=} sea la clase demodelos

con exactamente 1 elemento

= (x)(y)x= y

con exactamente 2 elementos

= (x)(y) x=y

x=y(z)(z= x z= y)

con al menos 3 elementos

= (x)(y)(z)

x=y x=z y=z

con infinitos elementos... con finitos elementos. Se podra?201

Logica de Primer OrdenClase 2

Lema de sustitucion, sistema axiomatico SQ, consecuencia

sintactica, teorema de la generalizacion, teorema de lageneralizacion en constantes

202

Reemplazo de variables libres por terminos

SeaL =C F P un lenguaje fijo.

Sea FORM(L), t TERM(L) y x VAR. [x/t]es laformula obtenida a partir de sustituyendo todas las aparicioneslibres de la variable x por t

Por ejemplo, (para un lenguaje con smbolo de predicado binario P ysmbolo de funcion unario f)

P(x, y)[x/f(z)] = P(f(z), y) P(x, y)[x/f(x)] = P(f(x), y)

(x)(y) P(x, y)

[x/f(z)] = (x)(y) P(x, y)

P(x, y)(x)(y) P(x, y)

[x/f(z)] =

P(f(z), y)(x)(y) P(x, y)

Sic C, [c/t]es la formula obtenida a partir de sustituyendotodas las apariciones de la constante c por t

203

Variable reemplazable por un termino

Seat TERM(L), x VAR, FORM(L).

Decimos que x esreemplazablepor ten cuando

1. tes un termino cerrado (i.e. no tiene variables) o

2. ttiene variables pero ninguna de ellas queda atrapada por uncuantificador en el reemplazo [x/t]

Por ejemplo, (para un lenguaje con smbolo de predicado unario Pysmbolo de funcion binaria f)

En(y)

(x)P(x) P(x)

x es reemplazable por z: (y)

(x)P(x) P(z)

x es reemplazable por f(x, z): (y)

(x)P(x) P(f(x, z))

xno es reemplazable por f(x, y): (y)

(x)P(x) P(f(x, y))

204

Lema de Sustitucion Lema de Sustitucion


52/66

LemaSixes reemplazable porten entonces

A |= ([x/t])[v] sii A |=[v(x= v(t))]

Demostracion.Por induccion en la complejidad de.

(a veces escribo v por v) = P(u) es atomica (u es termino; el caso n-ario es similar).

A |=P(u[x/t])[v] sii v(u[x/t]) PA sii (lema auxiliar)v[x= v(t)](u) PA sii A |=[v(x= v(t))].

es de la forma o de la forma . Directo.

(sigue )

205

Demostracion (cont.) es de la forma (y) .

Sup. xno aparece libre en . Entonces v y v[x= v(t)] coinciden en todas lasvariables que aparecen libres en . Ademas, = [x/t]. Inmediato.

Sup. xaparece libre en . Como xes reemplazable por ten , yno ocurre en t.Luego para todo d A,

v(t) = v(y= d)(t). (1)

Ademas, xes reemplazable por ten . Como x=y,

[x/t] = ((y) )[x/t] = (y) ([x/t]).Luego

A |=[x/t][v] sii (def.) para todod A,A |=[x/t][v(y= d)]

sii (HI) para todo d A,A |=[v(y= d) w

(x= w(t))]

sii (1) para to do d A,A |=[v(y= d)(x= v(t))]

sii (x=y) para todo d A,A |=[v(x= v(t))(y= d)]

sii (def.) A |=[v(x= v(t))] 206

Mecanismo deductivo SQ(para un lenguaje fijo L)

Para un lenguaje fijo L

Lógica y computabilidad

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