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LÓGICA

LÓGICA BÁSICA

Por: Thais Lima Machado.

Lógica

Cálculo Proposicional

Cálculo de Predicados

Prova de Teoremas

Lógica

Cálculo Proposicional

Lógica - Cálculo Proposicional

Cálculo interessado pelas sentenças declarativas (proposições).

Proposições podem ser verdadeiras ou falsas.


Vocabulário: Operadores lógicos:

Negação: ~(Não é o caso que)Conjunção: &(e)Disjunção: v (ou) Condicional: -> (se..então)Bicondicional: (se e somente se)


Vocabulário: Letras Sentenciais:

Letras maiúsculas seguidas ou não de números.

Parênteses:( , )


Regras de Formação: Qualquer letra sentencial é uma fbf. Se x é uma fbf, então ~x também o é. Se x e y são fbfs, então (x & y), (x v y),

(x y) e (x y) também são.

fbf: Fórmula bem formada.


Definições: Fórmula Válida: Se e somente se for verdadeira

para todas as interpretações possíveis. Fórmula Inválida: Caso existir alguma

interpretação em que for falsa. Fórmula Inconsistente (Insatisfatível): Se e

somente se for falsa para todas as suas interpretações.

Fórmula Consistente: Se existir alguma interpretação onde ela for verdadeira.

Tautologia: Proposição que é sempre verdade, independente dos valores de seus componentes.


Regras de Inferências:

São regras hipotéticas ou não que geram as formas de argumentos numa série de etapas simples e precisas de raciocínio, chamadas de derivação ou prova.


Regras de Inferências: Regras Básicas:

Modus Poneuns (MP): De um condicional e seu antecedente podemos inferir o seu conseqüente.

Eliminação de Negação (~E): De um fbf da forma ~~x, podemos inferir x.

Introdução de Conjunção (&I): De quaisquer fbfs x e y, podemos inferir a conjunção x & y.



Eliminação de Conjunção (&E): De um conjunção podemos inferir qualquer um dos seus conjuntos (são cada uma das sentenças ligadas pela conjunção).

Introdução de Disjunção (vI): De uma fbf x, podemos inferir a disjunção de x com qualquer fbf.

Eliminação de Disjunção (vE): De fbfs da forma xvy, x z e yz, podemos inferir a fbf z.



Introdução do Bicondicional ( I): De quaisquer fbfs de formas (xy) e (yx) podemos inferir xy.

Eliminação do Bicondicional ( E): De quaisquer fbfs de formas (xy), podemos inferir (xy) ou (yx).



Prova do Condicional (PC): Dada uma derivação de uma fbf x a partir de uma hipótese y, podemos descartar a hipótese e inferir yx.

Redução ao Absurdo (RAA): Dada uma derivação de uma contradição a partir de uma hipótese x, podemos descartar a hipótese e inferir ~x.


Tabela Verdade Negação

x ~xV FF V


Tabela Verdade Conjunção

x y x & yV V VV F FF V FF F F


Tabela Verdade Disjunção

x y x v yV V VV F VF V VF F F


Tabela Verdade Condicional ‘P Q = ~(P & Q)’

x y x yV V VV F FF V VF F V


Tabela Verdade Bicondicional P Q = (P Q) & (Q P)

x y x yV V VV F FF V FF F V

Lógica

Cálculo dos Predicados

Lógica- Cálculo dos Predicados

Introduz noções lógicas para expressar qualquer conjunto.

Expressa através de três tipos de expressões: termos, predicados, quantificadores.


Definições: Classe de Atributo: São representadas

pelos substantivos comuns, locuções nominais, adjetivos, locuções adjetivas, verbos, e locuções verbais.

Quantificadores: São operadores lógicosque expressam relações entre os conjuntos designados pelas classes de atributos lógicos. Eles são classificados de universais e existenciais.


Definições: Quantificador Universal (): Esse tipo de

quantificador é formado pelas expressões “todo” e “nenhum”.

Quantificador Existencial (): Esse tipo de quantificador é formado pela expressão “algum”.

Predicados: Serão denotados por letras maiúsculas.


Vocabulário Símbolos lógicos:

Operadores lógicos: ~, &, v, , .Quantificadores: , .Parênteses: ( , ).


Vocabulário Símbolos não-lógicos:

Letras Normais: letras minúsculas de “a” a “t”.

Variaveis: letras minúsculas de “u” a “z”.Letras Predicativas: letras minúsculas.


Regras de Formação: Toda fórmula atômica é uma fbf. Se x é uma fbf, então ~x também o é. Se x e y são fbfs, então (x & y), (x v y),

(x y) e (x y) também o são.


Regras de Inferência:

Todas as regras definidas na lógica proposicional são utilizadas para o cálculo de predicados, apenas referenciando-se para os quantificadores.


Regras de Inferência: Regras Básicas:

Eliminação Universal (EU): De uma fbf quantificadora universalmente, x, infere-se qualquer fbf da forma x/, a qual resulta de se substituir cada ocorrência da variável em x por uma letra nominal .



Introdução Universal (IU): De uma fbf x contendo uma letra nominal , que não corre em qualquer premissa ou em qualquer hipótese vigente na linha em que x ocorre, infere-se uma fbf da forma x/, onde x/ é resultado de se substituir todas as ocorrências de em x por uma variável que não ocorra em x.



Introdução Existencial (IE): Dada um fbf x contendo uma letra nominal , infere-se uma fbf da forma x/, onde x/ é resultado de se substituir uma ou mais ocorrências de em x por uma variável que não ocorra em x.



Eliminação Existencial (EE): Dada uma fbf quantificada existencialmente, x e uma derivação de uma conclusão y a partir da hipótese do tipo x/ (o resultado de se substituir cada ocorrência da variável em x por uma letra nominal que não ocorra em x), descarta-se x/ e afirma-se y.

Lógica

Prova de Teoremas

Lógica- Prova de Teoremas

Provar teoremas faz parte da inteligência humana.

Técnica levada para a IA.Na IA, a área que mais utiliza é SE’sObjetivo: provar que uma forma é

conseqüência lógica de outras formulas.


Definições: Prova: É a demonstração que um

teorema (ou formula) é verdadeiro. Forma Normal Conjuntiva: É quando

uma formula F for composta de umas conjunções de outras formulas.


Definições: Forma Normal Disjuntivas: É quando

uma formula F for composta de umas disjunções de outras formulas.

Forma Normal Prenex: É quando uma formula F, na lógica da primeira ordem, são retirados todos os quantificadores existentes que prefixem a fórmula.


Universo de Herbrand Serve para demostrar que um conjunto

de cláusulas S é insatisfatível. Conjunto de cláusulas é dito

insatisfatível quando for falsa para todas as interpretações em todos os domínios.


Principio da Resolução: Nesse princípio usamos um mecanismo

de substituição que permite a verificação da validade de um fórmula, além de empregar uma única regra de inferência e não necessitar de axiomas lógicos.

Definição:É um método algorítmico que permite verificar a insatisfatibilidade de qualquer conjunto de cláusulas.


Termos importantes para o uso do Princípio da Resolução: Profundidade: Se a cláusulas vazia

sempre é produzida, o conjunto original deve Ter sido insatisfatível.

Completude: Se o conjunto original é insatisfatível, a cláusulas vazia eventualmente será produzida.

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