Lógico mat. c 3 equivalencia lógica.

19/08/12 Docente: Wilderd Alejandro Cabanillas Campos

Equivalencia Lógicas

Entonces podemos decir que si una proposición bicondicional es una Tautología se le llamará Equivalencia Lógica. Ejemplo. Verificar si las proposiciones bicondicionales que se dan son equivalencias lógicas o no.

Entonces podemos decir que si una proposición bicondicional es una Tautología se le llamará Equivalencia Lógica. Ejemplo. Verificar si las proposiciones bicondicionales que se dan son equivalencias lógicas o no.

Por lo tanto como la proposición bicondicional es una tautología, se dice que es una Equivalencia Lógica o que las proposiciones ⌐A ^ ⌐B y ⌐(A ν B), son lógicamente equivalentes. La notación que se acostumbra en estos casos es:

⌐A ^ ⌐B ≈ ⌐(A ν B)

Por lo tanto como la proposición bicondicional es una tautología, se dice que es una Equivalencia Lógica o que las proposiciones ⌐A ^ ⌐B y ⌐(A ν B), son lógicamente equivalentes. La notación que se acostumbra en estos casos es:

⌐A ^ ⌐B ≈ ⌐(A ν B)

Dos esquemas proposicionales A y B se dice que son equivalentes cuando unidas por el BICONDICONAL el resultado es una tautología, es decir A y B tienen los mismos valores de verdad en su operador principal.

Dos esquemas proposicionales A y B se dice que son equivalentes cuando unidas por el BICONDICONAL el resultado es una tautología, es decir A y B tienen los mismos valores de verdad en su operador principal.

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Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes:A= “Si Juan Aprobó los exámenes de admisión, ingreso a la universidad”.B= “No es el caso que Juan apruebe los exámenes de admisión y no ingrese a la universidad”

Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes:A= “Si Juan Aprobó los exámenes de admisión, ingreso a la universidad”.B= “No es el caso que Juan apruebe los exámenes de admisión y no ingrese a la universidad”

Solución:Escribiendo en forma simbólica:p = Juan Aprobó los exámenes de admisiónq = Juan ingresó a la universidad.Entonces A = p q y B = ~(p ^ ~q)Uniendo bicondicionalmente estos dos esquemas se tiene: (p q) ~(p ^ ~q)Demostrando con la tabla de verdad:

Solución:Escribiendo en forma simbólica:p = Juan Aprobó los exámenes de admisiónq = Juan ingresó a la universidad.Entonces A = p q y B = ~(p ^ ~q)Uniendo bicondicionalmente estos dos esquemas se tiene: (p q) ~(p ^ ~q)Demostrando con la tabla de verdad:

p q pq ~(p ^ ~q)

V V V V V FV F F V F VF V V V V FF F V V V F

Como en la tabla los valores finales es una tautología las proposiciones A y B son equivalentes.Como en la tabla los valores finales es una tautología las proposiciones A y B son equivalentes.



De las siguientes proposiciones, cuáles son equivalentes:1. Es necesario que Juan no estudie en la USS para que Luis viva en Chiclayo.2. No es cierto que Luis viva en Chiclayo y que Juan estudie en la USS.3. Luis no vive en Chiclayo y Juan no estudia en la USS.

De las siguientes proposiciones, cuáles son equivalentes:1. Es necesario que Juan no estudie en la USS para que Luis viva en Chiclayo.2. No es cierto que Luis viva en Chiclayo y que Juan estudie en la USS.3. Luis no vive en Chiclayo y Juan no estudia en la USS.

Solución:

p = Juan estudia en la USS.

q = Luis vive en Chiclayo. Entonces:

1. q ~p 2. ~(q ^ p) 3. ~q ^ ~p

Solución:

p = Juan estudia en la USS.

q = Luis vive en Chiclayo. Entonces:

1. q ~p 2. ~(q ^ p) 3. ~q ^ ~pp q q ~p ~(q ^ p) ~q ^ ~p

V V F V F V V F

V F V V V F F F

F V V V V F F F

F F V V V F V V



Pagar 1000 soles y no ser accionista y estar en el club.

Simbolizar las proposición: “Hay que cancelar 1000 soles y ser accionista para ingresar al club” es: (p ∧q) → r

Pagar 1000 soles o ser accionista y no ingresar al club. (p v q) ∧ ∼r

Pagar 1000 soles y ser accionista o no ingresar al club. ( p ∧ q) v ∼r

( p ∧ ∼q) ∧ r

EJERCICIOS:

DETERMINAR CUAL DE LOS ESQUEMAS ANTERIORES SON EQUIVALENTES



Desarrollar:

1) ~(p q) ~[ (~q) (~p) ]

2)[ p (q r ) ] [ (p ^ ~r ) ~q]

3)[(~p ^ q) r ] [r ^ ~(p ν~q)]



A. Ley de la Doble Negación: ∼∼p ≡ pB. Ley de Idempotencia de la Conjunción y la Disyunción:

p ∧ p ≡ pp ∨ p ≡ p

C. Leyes Conmutativas: p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p p ↔ q ≡ q ↔ p D. Leyes Asociativas:

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)(p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)

LEYES DE LA EQUIVALENCIA LÓGICA Las leyes de equivalencias más conocidas son:



E. Leyes Distributivas:p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)p→ (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)p→ (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r)

F. Leyes de Identidad:p ∧ V ≡ pp ∨ F ≡ pp ∧ F ≡ F p ∨ V ≡ VG. Leyes de D`Morgan:

∼(p ∧ q) ≡ (∼p ∨ ∼q)∼(p ∨ q) ≡ (∼p ∧ ∼q)



H. Leyes de la Absorción: p ∧ (p ∨ q) ≡ p

p ∧ (∼p ∨ q) ≡ p ∧ qp ∨ (p ∧ q) ≡ pp ∨ (∼p ∧ q) ≡ p∨ q

I. Leyes del Condicional: p → q ≡ ∼p ∨ q∼(p → q) ≡ p ∧ ∼qJ. Leyes del Bicondicional: p ↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q→ p) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼p ∧ ∼q) ≡ ∼(p ∆ q)



K. Leyes de Contraposición:p → q ≡ ∼q → ∼pp ↔ q ≡ ∼q ↔ ∼p

L. Leyes de Exportación: (p ∧ q) → r ≡ p → (q → r)

M. Ley del Tercio Excluido:∼p ∨ p ≡ V

N. Ley de la Contradicción:∼p ∧ p ≡ F

O. Reducción al Absurdo:p → q ≡ (p ∧ ∼q) → F

OBSERVACIÓN: Estas leyes permiten la transformación y simplificación de un esquema molecular en otro más simple, cambiando una o más expresiones componentes del esquema por sus equivalentes lógicos.



Ejemplos:

b) Simplificar: [∼(p → q) ∧ (∼q ∨ p)] ∨ p

Tenemos: [∼ (∼p ∨ q) ∧ (∼q ∨ p)] ∨ p Condicional

[(∼∼p ∧ ∼q) ∧ (∼q ∨ p)] ∨ p Morgan

{p ∧ ∼q ∧ (∼q ∨ p)} ∨ p Doble negación

(p ∧ ∼q) ∨ p Absorción

p ∨ (p ∧ ∼q) Conmutativa p Absorción

Luego: [∼(p→ q) ∧ (∼q ∨ p)] ∨ p ≡ p



a) Simplificar el esquema: ∼(p ↔ q) ∨ (∼p → q)

Tenemos: ∼[(p ∧ q) ∨ (∼p ∧ ∼q)] ∨ (∼∼p ∨ q) Bicondicional y condicional

[∼(p ∧ q) ∧ ∼(∼p ∧ ∼ q)] ∨ (p ∨ q) Morgan

[(∼p ∨ ∼q) ∧ (∼∼p ∨ ∼∼q)] ∨ (p ∨ q) Morgan

[(∼p ∨ ∼ q) ∧ (p ∨ q)] ∨ (p ∨ q) Doble negación

(p ∨ q) ∨ [(p ∨ q) ∧ (∼p ∨ ∼ q) Conmutativa

(p ∨ q) Absorción

Por lo tanto: ∼(p ↔ q) ∨ (∼p→ q) ≡ (p ∨ q)



¿QUÉ ES UN ARGUMENTO?

Un argumento es una proposición compuesta del tipoSi (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ..... ∧ pk) entonces q Premisas → Conclusión EjemploSi Roxana gana la beca, estudiará en la Universidad Señor de Sipan. Y Roxana ganó la beca.Por lo tanto, estudiará en la Universidad Señor de Sipan.

Este argumento tiene dos premisas.

Las premisas son: “Si Roxana gana la beca entonces estudiará en la Universidad Señor de Sipan” y “ Roxana se ganó la beca”.

La conclusión es: “Roxana estudiará en la Universidad Señor de Sipan”.



¿QUÉ ES UNA IMPLICACIÓN?

La implicación lógica es la relación entre dos formulas proposicionales a través del conectivo lógico CONDICONAL y cuyo resultado es una tautología

Ejemplos: Determinar la validez de la siguiente implicación

[(p ^ ~q) ^ (~p r)] (p ν ~q)

p q r [(p ^ ~q) ^ (~p r)] (p ν ~q)

V V V V F F F F F V V V V F

V V F V F F F F V F V V V F

V F V V V V F F F V V V V V

V F F V V V V F V F V V V V

F V V F F F F V V V V F F F

F V F F F F F V F F V F F F

F F V F F V F V V V V F V V

F F F F F V F V F F V F V V

El resultado del esquema molecular es una tautología por lo tanto es una implicación



LA INFERENCIA LÓGICA

La Inferencia: Es un proceso mental lógico de pasar de un conjunto de proposiciones llamadas premisas a una conclusión y suele indicarse a través de expresiones como: Luego, en consecuencia, por lo tanto, por consiguiente etc. Existen dos tipos de inferencias.

•La Inferencia inmediata: Se caracteriza porque la conclusión se desprende o deriva sobre la base de una sola premisa.

Ejemplo: Toda papaya es fruta

Alguna fruta es papaya•La inferencia mediata: Se caracteriza porque la conclusión se deriva de

dos o más premisas. Ejemplo:

Todo contador conoce la elaboración de un balance económico José es contador José conoce la elaboración de un balance económico



Las inferencias lógicas son implicaciones o condicionales de forma: Horizontal Vertical

p1 ∧ p2 ∧ …. ∧ pm ⇒ q p1 p2 pm

∴ q Donde: p1, p2, p3…, pm representan a cada una de las premisas y “q” es la conclusión



El Método abreviado Cuando el número de variables pasa de tres se torna tedioso el método de la tabla de verdad; para contrarrestar este inconveniente se utiliza el método abreviado cuyo procedimiento consiste. •Suponer que en la condicional: el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. •Determinar los valores de las variables del consecuente de manera que expresen la falsedad de este. •Reemplazar en el antecedente los valores obtenidos del consecuente, para encontrar los valores de las demás variables. •Si se verifica la estructura de la condicional con dichos valores la inferencia es inválida, sin embargo, si obtenemos una proposición simple con dos valores de verdad se concluye que es una contradicción y por lo tanto la inferencia será válida.



Ejemplo: Si la tormenta continúa, nos quedaremos en casa; si nos quedamos en casa, no iremos al concierto. Luego si la tormenta continúa no iremos al concierto. Fórmula p: La tormenta continúa (p → q)

q: nos quedamos en casa q → ∼ r r : iremos al concierto _______ p → ∼ r

[( p → q) ∧ ( q → ∼ r) ] → (p → ∼ r)

V → F

* p → ∼ r ≡ F ; V (p) ≡ V V ( r) ≡ V * p → q ≡ V ; V (p) ≡ V V ( q) ≡ V

* q → ∼ r ≡ V ; V (q) ≡ V V ( r) ≡ F Observamos que r tiene dos valores luego la inferencia es válida.



INFERENCIA LÓGICA

Si de una o mas proposiciones llamadas premisas, se deduce la afirmación de una proposición, llamada conclusión se dice que se ha construido una inferencia.

Si de una o mas proposiciones llamadas premisas, se deduce la afirmación de una proposición, llamada conclusión se dice que se ha construido una inferencia.

Ejemplos: Determinar si p ν q es una consecuencia valida de:

~p ~q, ~q r, ~ rEjemplos: Determinar si p ν q es una consecuencia valida de:

~p ~q, ~q r, ~ r

p q r ( ~p ~q ) ^ (~q r) ^ (~r) ( p ν q)

V V V V V V F F V V

V V F V V V V V V V

V F V V V V F F V V

V F F V F F F V V V

F V V F F V F F V V

F V F F F V F V V V

F F V V V V F F V F

F F F V F F F V V F

1 3 2 5 4 7 6

Como el resultado es una tautología la inferencia es validaComo el resultado es una tautología la inferencia es valida



Determinar la validez de la inferencia siguiente:Sí el triángulo es isósceles entonces tiene dos lados iguales. Pero el triángulo no tiene dos lados iguales: por lo tanto no es isósceles.

Determinar la validez de la inferencia siguiente:Sí el triángulo es isósceles entonces tiene dos lados iguales. Pero el triángulo no tiene dos lados iguales: por lo tanto no es isósceles.

Solución:

p= El triángulo es isósceles.

q= El triángulo tiene dos lados iguales.

El esquema de la inferencia sería: [(p q) ^ (~q) ] (~p)

Solución:

p= El triángulo es isósceles.

q= El triángulo tiene dos lados iguales.

El esquema de la inferencia sería: [(p q) ^ (~q) ] (~p)

p q ( p q ) ^ (~q) (~p)

V V V F F V F

V F F F V V F

F V V F F V V

F F V V V V V

1 3 2 5 4



Si llovió entonces hubo nubes. No hubo nubes, por tanto, no llovió.

p q ( p → q) ^ ~q → ~p

V V V F F V F

V F F F V V F

F V V F F V V

F F V V V V V

1 3 2 5 4

EJEMPLOS

La simbolización es:p = llovió y q =hubo nubes

Luego, la simbolización completa es:p→ q~q~p



Si se levanta aire húmedo, entonces refrescará. Si refresca entonces se formarán nubes, no se levanta aire húmedo. Por tanto, no se formarán nubes.

La simbolización es:p= Se levanta aire húmedo y q=refrescarár=se formarán nubes.

p q r [ (p → q) ^ (q → r) ] ^ ~p → ~r

V V V V V V F F V F

V V F V F F F F V V

V F V F F V F F V F

V F F F F V F F V V

F V V V V V V V F F

F V F V F F F V V V

F F V V V V V V F F

F F F V V V V V V V

1 3 2 5 4 7 6

Luego, la simbolización completa es:p → qq → r~p~r

Como el resultado no es una tautología la inferencia no es validaComo el resultado no es una tautología la inferencia no es valida


El amor es ciego y los hombres no son conscientes del hecho de que el amor es ciego, o el amor es ciego y las mujeres sacan ventaja de ello. Si los hombres no son conscientes de que el amor es ciego, entonces el amor no es ciego. En conclusión, las mujeres sacan ventaja de ello.

Amor ciego: pHombres no conscientes: ~ qMujeres sacan ventaja: rFORMALIZAMOS: ((p ^ ~q) v (p ^ r)) ^(~q → ~p) →r

P q r ((p ^ ~ q) v (p ^ r)) ^ (~ q → ~ p) → r

V V V V F F V V V V V V F V V F V V V

V V F V F F V F V F F F F V V F V V F

V F V V V V F V V V V F V F F F V V V

V F F V V V F V V F F F V F F F V V F

F V V F F F V F F F V F F V V V F V V

F V F F F F V F F F F F F V V V F V F

F F V F F V F F F F V F V F V V F V V

F F F F F V F F F F F F V F V V F V F



Cuando Eduardo no juega al baloncesto, juega al tenis; cuando juega al tenis, juega al fútbol; no juega al fútbol. Por tanto, Eduardo juega al baloncesto.Eduardo juega baloncesto: pEduardo juega tenis: qEduardo juega fútbol: rFORMALIZAMOS: ((~p → q) ^ (q → r)) ^ ~r → p

p q r ((~ p → q) ^ (q → r)) ^ ~ r → p

V V V F V V V V V V V F F V V V

V V F F V V V F V F F F V F V V

V F V F V V F V F V V F F V V V

V F F F V V F V F V F V V F V V

F V V V F V V V V V V F F V V F

F V F V F V V F V F F F V F V F

F F V V F F F F F V V F F V V F

F F F V F F F F F V F F V F V F



Resolver: Traducir a forma simbólica y comprobar la validez de los enunciados.

1. Si usted gana el premio mayor, entonces se hará millonario. Se hace usted millonario, entonces podrá vivir mejor. Usted gana el premio mayor luego:

2. Si la enfermedad del paciente tiene un diagnóstico de tuberculosis ,entonces la bacteria que posee es el bacilo de Koch .Se sabe que la bacteria que posee no es bacilo de Koch. En consecuencia.

3. El argumento: Eres Ingeniero o Matemático. Pero no eres profesional en matemáticas. Por tanto:

4. La proposición Si caigo, me levanto. Si me levanto, camino. Por tanto.

p. : gana el premio mayor q. : es millonario r. : podré vivir mejor. {[(p → q) ^ (q → r)] ^ p} → r

p. : la enfermedad tiene un diagnóstico de tuberculosis q. : la bacteria es el bacilo de Koch.[(p → q) ^ ~ q ] → ~ p

[(p v q) ^ ~ q] → p

eres profesional en Ingeniería

ya que caigo bien se ve que camino

p : Me caigo q : Me levanto r : camino [(p → q) ^ (q → r) ] → (p → r)


Reglas de Inferencia.

Cuando aparecen tres o más proposiciones simples en un argumento resulta tedioso estar utilizando las tablas de verdad para verificar su valides, existe un método más conveniente para verificar si un argumento es válido o no, es deducir las conclusiones de sus premisas por una secuencia de argumentos más cortos y más elementales que sabemos válidos. A estos nuevos argumentos más cortos, que son válidos, se les llama Reglas de Inferencia.


Modus Ponendo PonensEsta regla de inferencia se aplica cuando aparecen como premisas una condicional y el antecedente de esa condicional para obtener como conclusión al consecuente de la condicional. Consideremos algunos ejemplos en donde se aplica la regla de Inferencia del Modus Ponendo Pones.Ejm. Nº1Si estudio mucho, entonces pasaré el examen….premisa 1Estudio mucho…………………………………………premisa 2Pasaré el examen……………………………………...conclusión.

Ejm. Nº2Si no hace frió, entonces el lago no se helará….premisa 1No hace frió……………………………………………premisa 2El lago no se helará………………………………….conclusión

A B P1 A P2 B Conclusión

⌐C ⌐ D P1

⌐C P2

⌐ D Conclusión


Modus Tollendo Tollens

Esta regla de inferencia se aplica cuando se tiene como premisas a una proposición condicional y como otra de las premisas a la negación del consecuente de la condicional, para obtener como conclusión la negación del antecedente.

Si llovió entonces hubo nubes………….…premisa 1

No hubo nubes………………………… …premisa 2

No llovió………………………………… …. conclusión.

A B P1⌐B P2⌐ A Concusión


Regla de Adjunción

Esta regla será denotada con “A” y consiste en lo siguiente. Supongamos que se tienen las proposiciones verdaderas:Cinco es mayor que tresY la segunda es:Tres es menor que cuatroComo ambas son verdaderas, entonces también lo es la proposición:Cinco es mayor que tres y tres es menor que cuatroAl simbolizar las proposiciones se tiene lo siguientes:A P1B P2 A ^ B Conclusión


Regla de Simplificación

Esta regla la denotaremos con “S” y es recíproca a la anterior, es decir, si se tiene la proposición verdadera:

Cinco es mayor que tres y tres es menor que cuatro

Podemos deducir las proposiciones verdaderas:La primera de ellas es: cinco es mayor que tresY la segunda es: tres es menor que cuatroAhora al simbolizar las proposiciones se tiene:A ^ B P1A ConclusiónB Conclusión


Ley de Silogismo HipotéticoLa abreviatura que utilizaremos es “S.H.” y si se tienen las premisas:Si voy a la Universidad entonces asisto a clasesSi asisto a clases entonces entiendo los temasAl utilizar la Ley del Silogismo Hipotético concluimos:Si voy a la Universidad entonces entiendo los temasAl simbolizar estas proposiciones se tiene lo siguiente:A=voy a la Universidad B=asisto a clases y C=entiendo los temas.Luego la simbolización completa es:A B P1B C P2A C Conclusión


Ley de Silogismo DisyuntivoEsta ley afirma:

Sí se niega uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en la afirmación del otro miembro.

Ejemplo:

X es número par o múltiplo de 5……..p v q

X no es par……………………………. ~p

X es múltiplo de 5………………….. q ó

X es número par o múltiplo de 5……..p v qX no es múltiplo de 5.………………. ~qX es par………………………….……. p


Reglas de Inferencia

[( p → q) ∧ ¬q ] ⇒ ¬pModus Tollens

[ p ∧ ( p → q)] ⇒ qModus Ponens

p ⇒ ( p ∨ q )Amplificación

( p ∧ q ) ⇒ pSimplificación

Implicación lógicaNombre de la Regla

[( p ∨ q) ∧ ¬p)] ⇒ qSilogismo disyuntivo

[(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r)Silogismo hipotético

( p ∧ q ) = p

( p ∧ q ) = q

Reducción

Lógico mat. c 3 equivalencia lógica.

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