En matemática, la longitud de una curva es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el espacio consiste en dividir en segmentos pequeños, escogiendo una familia finita de puntos en “C”. Y luego aproximar la longitud mediante longitud de poligonal que pase por ambos puntos.

Cuantos más puntos escojamos en “C” mejor será el valor obtenido como aproximación de la longitud de “C”.

Longitud de una Curva

Sea “C” una curva regular y simple en . Sea ∝: [a, b] → una parametrización de “C” se

define la longitud de C como.

Si “C” es una curva regular a trozos, se define su longitud como la suma de las longitudes de cada trozo regular.

Si “C” es una curva cerrada simple, se puede dividir por tres puntos y considerarla como una curva regular a trozos.

Rn

Rn

∫ ( c )=∫a

b

‖∝(t )‖dt

Tipos de

Curva

Curva ElementalUn conjunto γ de puntos del espacio se

denominará curva elemental si es la imagen obtenida en el espacio por una aplicación topológica de un segmento abierto de recta. Sea γ una curva elemental y sea a < t < b el segmento abierto del que se obtiene la aplicación f de la curva correspondiente al punto t del segmento. El sistema de igualdadesx = f1(t), y= f2(t), z= f3(t) se denominan ecuaciones de la curva γ en forma paramétrica

Curva SuaveSe le llama curva suave a la curva que no posee puntos

angulosos. Un ejemplo puede ser el círculo, la elipse, la parábola, etc. Una curva que no es suave puede ser, por ejemplo, una cicloide.

Formalmente, dada una curva C representada por la ecuación paramétrica:

En un intervalo I cualquiera, es suave si sus derivadas son continuas en el intervalo I y no son simultáneamente nulas, excepto posiblemente en los puntos terminales del intervalo.

Curva Simple

Tipos de

Curva

Las curvas, según esta definición, pueden ser muy intrincadas, de muy diverso tipo. Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto p existe un Ω entorno abierto de p para el cual   admite una representación de clase   con  .

Un conjunto δ de puntos del espacio se denominara curva simple si es conjunto conexo y si para todo punto W del mismo existe un entorno tal que la parte de δ comprendida en él forma una curva elemental

Curva PlanaUna curva plana es aquella que reside en un solo plano y

puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana.

Curva Diferenciable

Una curva se llama diferenciable cuando la función   es diferenciable. Si además la función anterior es inyectiva en el intervalo   entonces la curva admite un vector tangente único en cada punto y es rectificable (lo cual significa que su longitud de arco está bien definida y es posible calcular su longitud. La curva   :

Es continua pero no diferenciable, por lo que su longitud entre el punto (0,0) y cualquier otro punto de la misma no puede calcularse.

Curva CerradaSe llama curva cerrada a aquella curva

simple homeomorfa con una circunferencia. Se llama entorno de un punto W de una curva simple δ la parte común de la curva δ y un entorno espacial del punto W. Por tanto, todo punto de una curva simple posee un entorno que conforma una curva elementa.Una curva diferenciable es cerrada cuando   cuando . Si además, la función   es inyectiva en el intervalo   entonces se dice que la curva es una curva cerrada simple. Una curva cerrada simple es homeomorfa al círculo , es decir, tiene la misma topología de un anillo. La curva  dada por:

Ejemplos