Los 4 Modulos Juntos

Mdulo 1

Unidad 1

Los nmeros y sus operaciones

Materia: Curso de nivelacin en Matemtica

Profesor: Lic. Mara A. Valenzuela

Curso de nivelacin de Matemtica - Prof. Lic. Mara Alejandra Valenzuela| 2

1.1- Introduccin

En nuestra vida cotidiana estamos rodeados por nmeros. Tenemos nmeros de celulares, telfonos, PIN, CUIT, CUIL, DNI, cdigo postal, precios, ndice de inflacin, nmero de calzado, nmero de vuelo, patente, sueldo, alquiler, piso de un edificio, ao de nacimiento, pgina, velocidad mxima, horario de atencin, nmero de tarjeta de crdito, distancia al sol, dimetro de un quiste, nmero de canal, entre otros. Evidentemente la mayora de nosotros hacemos un exhaustivo manejo de los nmeros, pero qu es un nmero?

Antes de enunciar todas las clases de nmeros y estudiar sus propiedades tratemos de resolver los siguientes problemas sin utilizar nada ms que nuestro sentido comn, nuestra intuicin y, por supuesto, el poco o mucho bagaje de conocimientos que hemos acumulado en nuestra educacin formal.

Luego de realizar o analizar los desafos encuadraremos a cada uno de ellos dentro del marco terico correspondiente.

Primer desafo: Este desafo nos introducir al concepto de nmero.

Cul es la cifra ms grande? Cul es el nmero ms grande?

3 8 1

Segundo desafo: Este desafo nos introducir al primer conjunto de nmeros que vamos a definir

Toma una hoja de papel, recorta de ella un cuadrado de aproximadamente 20 centmetros de lado. Dobla el papel al medio cuatro veces, de modo que al desdoblarlo los pliegues formen una cuadrcula de 16 cuadrados pequeos. Ahora marca muy bien cada pliegue, para que el papel se doble fcilmente en cualquier direccin.

Numera cada cuadrado utilizando los nmeros de 1 a 16 como se muestra en la figura:


1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Dobla el papel a lo largo de los pliegues hasta que quede del tamao de uno de los cuadraditos. El modo de doblarlo puede ser tan complicado como quiera; puedes incluso meter pliegues dentro de pliegues. Corta los cuatro bordes del paquete final para que te queden 16 cuadraditos separados. Algunos de los cuadrados tendrn un nmero arriba, otros un nmero abajo. Sin dar la vuelta a ninguno de los cuadrados, desparrmalos sobre la mesa. Suma todos los nmeros que hayan quedado boca arriba. El nmero que has obtenido ser el 68? Verdad?

Desafo 3: Este desafo muestra una forma en que otra ciencia utiliza los nmeros negativos. Para la Historia una marca para contar es el nacimiento de Cristo pero para la Matemtica Qu tipos de nmeros usar?

El tornillo de Arqumedes es una mquina que sirve para elevar, por ejemplo, granos o agua. Arqumedes, que fue adems de un matemtico, un gran inventor, lo cre en algn ao antes que ocurriera el nacimiento de Jesucristo. Despus de 2146 aos se invent la computadora, en 1946. En qu ao invent Arqumedes su tornillo?

Desafo 4: Por ltimo, como introduccin a las fracciones, pensemos en este desafo; a lo mejor con la calculadora en mano nos resulte ms fcil de resolver, pero prestemos atencin si respondemos a lo que se nos pregunta.

1- Los cientficos dicen que nos pasamos las tres octavas parte del da durmiendo. Cuntas horas al da se supone que nos encontramos despiertos?

2- Tambin dicen que en promedio vemos televisin 1/6 parte del da. Qu parte representa de nuestras horas de despiertos?


1.2- Los nmeros. El concepto de nmero es un concepto abstracto el cual, a medida que lo introducimos, representan distintas ideas. La cifra es el signo o caracter que representa a un nmero, es decir que es una representacin del concepto abstracto nmero, por ende nuestra respuesta al desafo 1 debera ser 3 es la cifra ms grande pero el nmero ms grande es el 8. Este desafo junto al desafo 2 ha utilizado el primer conjunto de nmeros a presentar.

1.2.1 Los nmeros naturales

Los nmeros naturales son los nmeros que sirven para contar y los denotamos con la letra N:

N= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

1.2.3 Los nmeros enteros

En el caso del desafo 3, si restamos 2146 a 1946 nos da por resultado un nmero negativo, que en el lenguaje de la lnea histrica significa que se trata en un tiempo antes del nacimiento de Cristo.

La historia resuelve la situacin utilizando el concepto antes del nacimiento de Cristo, Despus del nacimiento de Cristo, pero las matemticas utilizan un nuevo conjunto de nmeros: los nmeros enteros. Los denotamos con la letra Z

Z={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,.}

1.2.4 Los nmeros racionales.

A partir de la idea de partes o fracciones necesitamos el manejo de un nuevo conjunto de nmeros. Aqu debemos observar que por un lado la

fraccin4

2 representa la situacin de tomar 2 de las 4 partes en que se

divide la unidad, pero es obvio que esa fraccin tambin est

representada por 2

1, es decir, si tomamos 1 de las 2 partes iguales en

que puede dividir una unidad.

Fracciones equivalentes:

Son fracciones que representan el mismo valor, la misma parte de un total.


As tenemos por ejemplo:

2

1=

4

2=

6

3 =

8

4 son fracciones equivalentes

La fraccin 2

1 es una fraccin irreducible.

Pero no slo hablamos de partes de total, tambin podemos hablar de fracciones negativas que no representan a una parte de un total.

Definimos a los nmeros racionales como el conjunto de nmeros que se

representan en la forma b

a siendo a y b nmeros enteros, b distinto de cero,

b

a es una fraccin irreducible. Denotamos al conjunto con la letra Q, que

viene de la palabra quotients (divisin en ingls).

Q= { b

airreducible, ,0b ba, enteros}

a se llama numerador y b denominador

Ejemplo

5

2,10

11, -

8

1 son nmeros racionales.

El signo de la fraccin puede estar tanto en el numerador como en el denominador o delante de la fraccin.

Notemos que a cualquier nmero entero se lo puede representar como una fraccin con denominador 1, por ejemplo:

3=1

3 -2=

1

2 0=

1

0

1.2.5 Nmeros Irracionales

Nmeros decimales

Dijimos que un nmero racional es un nmero que se puede representar como una fraccin entre dos enteros, pero fraccin significa razn, proporcin, es decir, estamos ante la divisin del numerador entre el denominador, as

1

4= 0.25


7

4= 1.75

2

5=-0.4

2

3= 0.66666666

De aqu concluimos que todo nmero racional tiene su representacin como nmero decimal, que se encuentra simplemente realizando la divisin entre numerador y denominador.

Ahora analicemos la situacin inversa. Si tenemos un nmero decimal, representa una fraccin?

Transformar nmeros decimales a fraccin.

Para transformar el nmero decimal a fraccin decimal con una cantidad finita de decimales se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el nmero.

2.34 =234

100 =

117

50

0.34=34

100=

17

50

3.4=34

10=

17

5

Nmeros decimales con infinitas cifras peridicas

Nmero decimal peridico es el nmero decimal que tiene una o varias cifras que se repiten indefinidamente a partir de un cierto lugar. Se puede transformar los nmeros peridicos a fraccin?

Veamos un vdeo donde explica como representar al nmero 0.99999999999 como fraccin.

http://youtu.be/KqWlGNgmqCs

Cul es la fraccin que representa al 0.99999?


Tratemos de aplicar el razonamiento del video a estos nmeros decimales con infinitas cifras peridicas.

Completar las siguientes tablas:

x = 0,2222..

10x = 2,222.

10x -x = 2

x =

9

2

x = 0,12333333.

100x = 12,333

1000x = 123,333.

1000x-100x = 123,3-12,3.

900x = 111

x = 900

111

x = 2,555.

10x = 25,555

10x-x = 23

x = 9

23


x = 1,765656565..

10x = 17,65656565..

1000x = 1765,656565

1000x-10x = 1748

x =

990

1748

Podemos resumir estas tablas en el siguiente mecanismo:

1. Se anota el nmero que se obtiene de la cifras significativas sin la coma decimal hasta la cifra que se repite y se le resta l o los nmeros que estn antes del perodo.

2. El denominador de la fraccin se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el perodo y tantos 0 como cifras tenga el anteperodo (los nmeros que estn antes de las cifras peridicas y despus de la coma).

Ejemplo:

57, 23=57,232323.=5723 57

99=5666

99

2,45 = 2,4555.=245 24

90=

221

90

Nmeros decimales con infinitas cifras no peridicas

Un nmero decimal conocido que tiene infinitas cifras pero no peridicas es el nmero raz cuadrada de dos.

Haciendo uso de la calculadora de tu computadora se puede ver que

2 = 1,4142135623730950488016887242097. La duda es ser que tendr una tanda grande de nmeros que se repiten y ser entonces un nmero decimal con infinitas cifras peridicas?

La respuesta es NO.


Los nmeros irracionales son los nmeros que no pueden representarse como un racional y en su representacin decimal son nmeros con infinitas cifras no peridicas. Los vamos a denotar con la letra I

I= { los nmeros que no pueden representarse como fraccin}

Veamos el siguiente video para profundizar esta importante definicin:

http://www.youtube.com/watch?v=yX97MMWh944.

En vista de este video, es obvia la respuesta a cada pregunta.

1) Todos los nmeros decimales son racionales? NO

2) Existe algn nmero que sea racional e irracional a la vez? NO

3) Podemos decir que el nmero tiene una cantidad finita de

decimales? NO

1.2.6 Los nmeros reales

Si unimos todos los nmeros racionales Q con todos los nmeros irracionales I obtenemos el conjunto de los nmeros reales. Los nmeros reales se denotan con la letra R.

Esquemticamente tenemos:


La recta real

Representamos a los nmeros reales en una recta, donde cada punto de la misma representa un nico nmero y cada nmero tiene asignado un nico punto. Para ello es necesario indicar el 0 (origen) y una escala (unidad)

A partir de esta representacin podemos ubicar cualquier nmero sobre ella. Por ejemplo, el nmero 3 ser el punto que est 3 medidas

de unidad a la derecha del origen, el -2

1 estar representado por el

punto que est a la izquierda del origen a una distancia igual a la mitad de la unidad. Si tomo el punto que est a 5 unidades a la derecha del origen representar al nmero 5.

Distancia entre dos puntos

Si queremos calcular la distancia entre dos puntos de la recta real, por ejemplo, a y b, debemos hallar la diferencia entre el que represente el mayor nmero y el que representa el nmero menor.

Por ejemplo, en el caso del desafo 3

Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero es igual a la distancia del punto de la recta real que representa al nmero al cero. Denotamos al valor absoluto de un nmero cualquiera x de la siguiente manera: |x|

Ejemplos.

|4|=4

|1946|=1946


|-200|=200

|0|=0

En general definimos para cualquier x real

|x|=

0

0

xsix

xsix

Observacin: -x indica el opuesto de x. Es muy comn confundirse al ver esta expresin y decir que x es un nmero negativo cuando en realidad va a ser negativo slo si x es positivo. En el caso que x sea negativo, -x va a representar un nmero positivo ya que el opuesto de un negativo es un positivo.

Ejemplos

-(3)=-3 El opuesto de un positivo es un negativo

-(-3)= 3 El opuesto de un negativo es un positivo

1.2.7 Las operaciones en R

Las operaciones que podemos realizar con los nmeros reales son:

Suma o Adicin: a+b, en este caso a y b se llaman sumandos

Resta o Substraccin: a-b, en este caso a es llamado minuendo y b sustraendo

Tambin a a y b se los llama trminos

Producto: a.b, en este caso a y b se llaman factores

Divisin: a:b,a

b a b, en este caso a se llama dividendo y b divisor.

Potencia: an, en este caso a es llamada base y n es llamado exponente

Radicacin:n a

, en este caso a es llamado radicando y n ndice.


Propiedades de la suma y el producto

Si representamos con a, b y c nmeros reales cualesquiera, se tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa

a+b=b+a

Conmutativa

a.b=b.a

Asociativa

a+(b+c)=(a+b)+c

Asociativa

a.(b.c)= (a.b).c

El 0 es el elemento neutro de la suma

a+0 = a

El 1 es el elemento neutro del producto

a.1= a

Cada real tiene su opuesto

a+(-a)=0

Cada real no nulo tiene su inverso

a .1

a=1 1a =

1

a

Propiedad distributiva de la suma con respecto al producto

a.(b+c)= ab+ ac

Propiedades de la potenciacin y de la radicacin

Distributiva respecto a la multiplicacin

(a.b)n= an. bn

Distributiva respecto a la multiplicacin

nnn naba ..

Distributiva respecto a la divisin

n

b

a

=n

n

b

a

Distributiva respecto a la divisin

n

b

a

Potencia de otra potencia

mnmn aa .

Raz de otra raz

mnm n aa .


Ejemplos

Veamos una aplicacin interesante de la propiedad distributiva en el siguiente video. http://youtu.be/5JtliQVoOZo

Suma de fracciones

Igual denominador

Para sumar fracciones con igual denominador, slo se suman los numeradores

5

6

5

693

5

6

5

9

5

3

Distintos denominadores

Para sumar fracciones con distintos denominadores debemos transformar dichas fracciones en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador comn. Por ejemplo

2

1

5

3

En este caso si buscamos el mnimo comn mltiplo entre 5 y 2 podemos transformar ambas fracciones en fracciones equivalentes con denominador 10.

3

5.2

2+

1

2.5

5=

6

10+

5

10=

11

10

Producto y Divisin

Para el producto y cociente tendremos en cuenta la siguiente regla de los signos:

El producto o cociente entre dos nmeros positivos o dos negativos es un nmero positivo. Ejemplos: 3.2= 6 y (-2).(-4)= 8.

El producto o cociente entre un nmero positivo y uno negativo es un nmero negativo. Ejemplo: (-2). 4= -8.

El producto entre fracciones es una fraccin que se obtiene multiplicando sus numeradores y denominadores respectivamente.

Ejemplo:

)5

1(

3

2=-

53

12=-

15

2


El cociente entre fracciones podemos expresarlo como un producto donde se invierte el divisor.

Ejemplo:

2 7 2 5 10: .

3 5 3 7 21 .

Tambin se puede expresar as:

Producto de los extremos por el producto de los medios.

-21

10

73

52

Potenciacin

0

1

1

. .....

1 1

n

nveces

n

n

n

x

x x

x x x x

xx x

Exponentes negativos y racionales

Recordemos algunas reglas de la potenciacin con exponentes negativos o racionales.

a 0 = 1 ; a -1=a

1 ; a -2=

2

1

a ;

5

73

2

Numerador

Denominador


1

2a = a ; a n/m=

nmm n aa

Ejemplos

3

2

2

31

; 9

4

3

2

2

322

;

2

38 =4 ; 1

29 =1

3

Uso de parntesis, corchetes y llaves.

1. Identifica el valor de:

-3-{2+[5-(3-1)]-1}+4=

Primero se resuelve el parntesis: -3-{2+[5-(2)]-1}+4

Luego se resuelve el corchete: -3-{2+[3]-1}+4

Ahora se resuelve las llaves: -3-{4}+4

-4 y +4 se cancelan por ser opuestos

El resultado es -3

2. Simplifica a la mnima expresin

-3-{a+[5-(3-a)]-2a}+4

Primeros suprimimos el parntesis:-3-{a+[5-3+a]-2a}+4

Luego suprimimos el corchete:-3-{a+5-3+a-2a}+4

Por ltimo suprimimos las llaves:-3-a-5+3-a+2a + 4

Ahora sumamos trminos semejantes (los nmeros con los nmeros y las a con las a):-3-5+4-a-a+2a=-8+4-2a+2a

El resultado es -4


1.3- Casos de factoreo.

Factorear una expresin matemtica significa transformarla en un producto de factores. De la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma o resta se deducen varios casos de factoreo cuyas aplicaciones son recurrentes en el uso cotidiano de las matemticas y juegan un papel importante en los procedimientos algebraicos.

1.3.1 El factor comn y el factor comn por grupos

Si en la propiedad distributiva

a.(b+c)= a.b +a.c,

podemos afirmar que:

a.b + a.c = a. (b+c),

de esta forma hemos extrado el factor comn a.

En la expresin a.b+a.c+d.b+d.c podemos agruparla haciendo uso de la propiedad asociativa,

a.b+a.c+d.b+d.c= (a.b+a.c) +(d.b+d.c)= a. (b+c) + d. (b+c).

los factores a y d son comunes de los dos primeros trminos y de los dos ltimos trminos respectivamente. Aplicando para cada grupo de trminos la extraccin del factor comn, hemos aplicado factor comn por grupos pero no hemos factoreado la expresin original porque no la hemos transformado en el producto de factores.

Para concluir, observemos que el factor (b+c) es comn en ambos trminos. Aplicando la extraccin de dicho factor, el segundo miembro de la igualdad se reduce a:

(b+c). (a+d)

1.3.2 El cuadrado de un binomio y el trinomio cuadrado perfecto

La propiedad distributiva se aplica tambin para desarrollar potencias del tipo (a+b)2.

(a+b)2 = (a+b) . (a+b)

(a+b)2 = a.a +a.b +b.a+ b.b


(a+b)2= a2+2a.b+b2. El lado izquierdo de la igualdad es el cuadrado de un binomio y el lado derecho de la igualdad se lo conoce como el trinomio cuadrado perfecto.

Tenemos entonces que:

a2+2a.b+b2= (a+b)2 es el factoreo del trinomio cuadrado perfecto.

1.3.3 La diferencia de cuadrados

Aplicamos la propiedad distributiva al producto entre (a+b) y (a-b):

(a+b).(a-b)= a.a a.b+b.a-b.b

(a+b).(a-b)= a2 - b2

Esta expresin generalmente trabajada en sentido contrario a2 - b2= (a+b).(a-b) se llama diferencia de cuadrados.

Ejemplos:

a) x2+8x+16= (x+4)2. Es un trinomio cuadrado perfecto

b) 3y3-6y2+3y= 3y(y2-2y+1)= 3y(y-1)2. Obtuvimos un factor comn

c) x4 1= (x2-1)(x2+1)= (x-1)(x+1) (x2+1)= Aplicamos dos veces diferencias de cuadrados.

d) ax2-ay2+bx2-by2= a(x2-y2) +b(x2-y2) =(x2-y2) (a+b)=

(x-y)(x+y)(a+b). Aplicamos factor comn por grupos y luego diferencias de cuadrados

1.4- Asignacin de

porcentajes

El porcentaje es una de las expresiones matemticas ms utilizada en la vida diaria. Desde las tasas de inters bancario hasta en la informacin de los noticieros se maneja el trmino porcentaje. Nos sirve para manejar datos estadsticos, para relacionar un parte del total y para medir variaciones relativas de una cantidad. Por ello, antes de introducir su concepto, realicemos el siguiente desafo a nuestra manera.


Desafo 6

1. El arroz ha sufrido un incremento menor al 4% con respecto al ao pasado. El precio del arroz del ao pasado era aproximadamente $7 el kilo.

2. El descenso de turistas en una localidad turstica ha sido del 12% con respecto al ao anterior. El ao pasado se manej un volumen aproximado de1.200.00 turistas.

Cul es el intervalo de valores que hay entre el ao anterior y este ao para cada uno de los tems? Representa cada intervalo grficamente en la recta real.

1.4.1 Porcentajes

El porcentaje es una magnitud que mide partes de un total. En este ejemplo, cada cuarto representa el 25% y suman el 100% del rectngulo:

Es til recordar que la palabra por ciento significa cada cien.

1.4.2 Clculo de porcentajes

Un porcentaje tambin se puede expresar como un nmero decimal o fraccin.

50% de

La mitad de

0.5 de

2

1de

25% 25% 25% 25%


De esta forma se asigna para cada porcentaje % la fraccin que le corresponde. Una regla prctica para asignar el porcentaje de una fraccin es calcular la expresin decimal de dicha fraccin y multiplicar por 100.

Ejemplo

Fraccin Expresin decimal Porcentaje

3/4 3:4= 0,75 0,75.100=75

5/4 4:5=1,25 1,25.100=125

La regla prctica que podemos utilizar para calcular el porcentaje de un nmero es multiplicar a dicho nmero por el porcentaje y luego dividir por 100.

Ejemplo

Calcula el 60% de 5

Es decir, (60 .5):100= 3.

Esto es lo mismo que multiplicar la expresin decimal del porcentaje por el nmero:

0,6. 5 = 3

Resolvamos nuestro desafo 6

Arroz

Para calcular el 4% de 7 debemos multiplicar su expresin decimal por 7.

0,04.7=0,28

incremento: $7 +0,04.7= 1,04.$7=$7,28

La representacin de la situacin en la recta real es el intervalo

[7, 7,28)

Significa que el valor actual del arroz est entre $7 y $7,28 sin llegar a este ltimo valor.

Turistas

Como conocemos el valor del ao pasado, calculemos el 12% de ese valor:


0,12. 1200000=14400

decremento: 1200000-0,12.1200000=0,88.1200000=1056000

Como se habla de valores aproximados, los extremos del intervalo son 1056000 y 1200000, pero el nmero real puede ser cualquier nmero comprendido entre ellos dos, inclusive ellos mismos.


Bibliografa Lectura 1

Apostol, Tom M.,(1982) Calculus, Argentina, Editorial Revert S. A.

Cugno, Hayde, (2009) Curso de Nivelacin en Matemtica. Universidad Empresarial Siglo 21.

Haeussler Ernest F, Jr, Paul Richard S., Wood, Richard J.,(2008),Matemticas para administracin y Economa, Mxico, Pearson, Prentice Hall.

Lopez, Antonio Roberto, (1984) Matemtica Moderna 1, 2, 3 y 4, Buenos Aires, Editorial Stella.

Tarzia D. A, (2000) Curso de nivelacin de Matemtica", Santiago de Chile, McGraw-Hill Interamericana.

.

http://www.mathsisfun.com/percentage.html http://platea.pntic.mec.es/jescuder/numeros.htm

Mdulo 2

Unidad 2

Elementos y teora de conjuntos




2.1- Introduccin

Antes de definir matemticamente el concepto conjunto busquemos cul es su significado como vocablo de la lengua espaola. Nos encontraremos, entre sus tantas acepciones, con: traje, juego de vestir compuesto de varias prendas grupo musical o teatral formado por unos pocos intrpretes. En nuestro discurso coloquial lo encontramos en frases como un conjunto de casas, podemos jugar en conjunto, esta visin en conjunto. Es decir, este vocablo, puede ser utilizado en distintas circunstancias que si lo llevamos al plano matemtico nos lleva a una manera distinta de trabajar en matemtica ya que no vamos a dar una definicin formal y no ambigua. El concepto matemtico de conjunto se basa en la idea intuitiva que tenemos del mismo, como una coleccin, agrupacin, reunin, unin de objetos.

Una de las aplicaciones de la teora de conjuntos son los problemas de conteo. Por eso antes de ir a la teora formal de conjuntos pensemos como introduccin al tema el siguiente desafo.

Desafo 1

En una habitacin se encuentran 15 hombres y 10 mujeres. Se sabe que entre todas estas personas hay 5 fumadores. El total de mujeres fumadoras es 3. Podramos con estos datos averiguar cuntos hombres no fumadores hay? Muy sencillo no?

2.2- Formas de definir un

conjunto.

Hay distintos tipos de objetos que se renen en un conjunto, por ejemplo:

El conjunto de rboles de nuestro pas.

El conjunto de estudiantes universitarios de una provincia.

El conjunto de nmeros pares.

El conjunto de rutas del continente.

El conjunto de acciones que bajaron en la bolsa de comercio.

El conjunto de rectas paralelas a una dada.


Todos estos tipos de objetos se llaman elementos del conjunto. Adems cada conjunto colecciona diferentes clases de elementos, plantas, seres humanos, nmeros, obras, papeles, objetos geomtricos, etc. Por eso para cada conjunto vamos a tomar un conjunto referencial o conjunto universal que nos brindar la naturaleza de los elementos, por ejemplo, el conjunto universal que vamos a considerar para estudiar el conjunto de los nmeros pares es distinto del conjunto universal para estudiar el conjunto de los estudiantes universitarios de una provincia

2.2.1 Notacin

Denotaremos a los conjuntos con letras maysculas: A, B, C, etc. La letra U se refiere al conjunto universal. A los elementos de cada conjunto lo indicaremos con letras minsculas, a , b, c , x, y,

Para indicar que p es un elemento del conjunto A, decimos

p pertenece a A y los escribimos p A.

Si p no es un elemento de A, notamos p A.

Un conjunto est bien definido si se puede establecer fehacientemente la pertenencia o no de un elemento. Por ejemplo:

A es el conjunto de las personas buenas del mundo Juan Perez pertenece a ese conjunto?

B es el conjunto de los edificios altos que es un edificio alto? de dos pisos? de ms de cinco pisos?

A y B son dos conjuntos mal definidos porque no puedo determinar fehacientemente si Juan Perez pertenece o no al conjunto A o que es un edificio alto.

2.2.2 Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos son iguales A y B son iguales si y solamente si tienen los mismos elementos. Notamos A=B.

Ejemplo:

A= el conjunto de las vocales de la palabra arcada

B= el conjunto de las vocales de la palabra maana.

2.2.3 Forma de extensin y comprensin

Un conjunto puede ser definido en dos formas diferentes:

Por extensin o enumeracin: Se hace una lista, si es posible, de todos sus elementos y se los encierra entre llaves

Ejemplo

A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}


Por comprensin: Se indica una propiedad caracterstica de sus elementos.

Ejemplo

A={x N / x es un dgito} Se lee el conjunto de las x pertenecientes a los nmeros naturales tales x es un dgito.

Depende de cada situacin en concreto para ver cuando utilizar una forma de definicin u otra.

2.2.4 Conjunto vaco

Definimos al conjunto vaco como el conjunto que no tiene elementos. Lo

denotamos con .

Ejemplos

A= { x Z / x2=3 } , el conjunto de los nmeros enteros tales que elevados al cuadrado nos den igual a 3. No hay ningn nmero

entero que cumpla esa propiedad , de donde A=

B={ x es un cuadriltero de 3 lados}. Todos los cuadrilteros tienen

4 lados, de donde B=

2.2.5 Subconjunto

Si cada uno de los elementos de un conjunto A es tambin un elemento de un conjunto B, decimos que A es un subconjunto de B. Tambin decimos que A est incluido en B o que B incluye a A y lo denotamos

A B B A.

Si por lo menos un elemento de A no est en B, decimos que A no est incluido en B

A B

2.3- Representacin grfica

de conjuntos

Antes de perdernos en frmulas o palabras, las representaciones grficas de los conjuntos son de gran ayuda para simplificar la comprensin de los problemas. Pero para que el objeto de estudio sea comprendido en cualquier circunstancia por cualquier persona hacemos una convencin en dicha representacin.


Veamos, antes de presentarla formalmente, dos desafos que nos ayude a ver la comodidad de la representacin grfica de conjuntos.

Desafo 2

De acuerdo a la situacin planteada en el desafo 1, si representamos a los hombres con los puntos celestes, a las mujeres con los puntos rosas y a los que fuman con la letra F,podemos graficar lo siguiente:

Cuntos conjuntos diferentes puedes formar si tomamos como conjunto universal U el de las personas que hay dentro de esta habitacin?

En este caso es ms fcil optar por la definicin en forma de comprensin, por ejemplo:

A= { x U / x es un hombre}

Desafo 3

Veamos este argumento lgico. Supongamos vlidas las siguientes tres premisas:

1- Los msicos son gente feliz

2- Todo contador es rico

3- Nadie que sea feliz es tambin rico

Preguntas:

Se puede deducir que ningn msico es rico?


Los contadores son gente feliz?

Nadie puede ser msico y contador a la vez?

La teora de los nmeros nos puede ayudar a razonar las respuestas.

2.3.1 Diagramas de Venn

Estamos en el siglo de la imagen. Para bien o para mal, sufriremos ms que nunca la accin de la imagen.

Gastn Bachelard

Una imagen vale ms que mil palabras.

Un diagrama de Venn es la representacin grfica de los conjuntos. Es la herramienta que nos permite visualizar diferentes clases de problemas. El conjunto universal se representa por el interior de un rectngulo. Los conjuntos se representan por crculos en el interior del rectngulo.

Si A B, entonces el crculo que representa A est dentro del crculo que representa B

Un punto dentro de un crculo indica un elemento que pertenece al conjunto que representa. En caso contrario el punto queda fuera del crculo.

Veamos un ejemplo

En este grfico vemos que hay 3 conjuntos A, B y C.

Podemos ver algunas relaciones:

A B, A C, B C, C A.

x A, x B, x C, y C, etc


Volvamos al desafo 3. Consideremos

A= { x es una persona feliz}

B= {x es una persona rica}

C={ x es msico}

D={ x es contador}

En la primer premisa deca: los msicos son gente feliz, que es lo mismo que decir todo persona que es msico es una persona feliz se puede pensar entonces que todo elemento de C es un elemento de A.

En la ltima premisa deca: Nadie que es rico es tambin es feliz, que es lo mismo que decir si una persona es rica no es feliz y si una persona es feliz no es rica, se puede pensar entonces como que todo elemento de B no es un elemento de A y todo elemento de A no es un elemento de B.

En la segunda premisa dice: todo contador es rico. Que es lo mismo que decir toda persona que es contador es una persona rica se puede pensar entonces como todo elemento del conjunto D es tambin un elemento del conjunto B.

Utilizando los diagramas de Venn nos quedara

Volvamos a pensar las respuestas de las preguntas del desafo 3 pero ahora apoyados por estos diagramas.


2.4- Operaciones entre

conjuntos.

Adems de la representacin grfica de los conjuntos necesitamos hacer operaciones entre ellos para resolver distintas clases de problemas. En este curso veremos cuatro operaciones. Pero cul es nuestra idea intuitiva para resolver los problemas? Veamos el siguiente desafo antes de la presentacin de las operaciones.

Desafo 4

1- Expresa los siguientes conjuntos por extensin

A= {x N / 3 < x 7 }

B= { x N / x es par y menor a 10}

C= { x N / x es impar y menor o igual 3}

2- Representa estos conjuntos utilizando los diagramas de Venn. cul es el conjunto universal?

3- Responde las siguientes preguntas:

a) Cuntos elementos en comn tienen A y B?

b) Es el conjunto A un subconjunto de B o viceversa?

c) cuntos elementos hay en total entre el conjunto A y el conjunto B?

d) Cuntos elementos en comn tienen B y C?

e) cuntos elementos hay en total entre el conjunto B y el conjunto C?

f) Si consideramos el conjunto universal como el conjunto de los dgitos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} cuntos elementos hay que no estn ni en A ni en B ni en C?

g) cuntos elementos hay en A que no estn en B?

h) cuntos elementos hay en B que no estn en A?

Como operamos con nmeros, tambin podemos hacerlo con los conjuntos.

La operacin entre dos o ms conjuntos da como resultado a otro conjunto.

Las operaciones que se definen son: unin, interseccin, diferencia y

complemento.


2.4.1 Unin entre conjuntos

Si A y B son conjuntos del conjunto universal U, la unin se define como

el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o pertenecen

a B. Se simboliza A B.

Por comprensin, la unin queda definido como

A B={x U / x A x B}.

En forma de diagrama de Venn, la unin se representa por la regin

sombreada:

Ejemplo: Sean A = {0;1} y B={2;3;4}, entonces A B={0;1;2;3;4}.

2.4.2 Interseccin entre conjuntos

La interseccin entre A y B se define como los elementos que

pertenecen a A y al mismo tiempo pertenecen a B, es decir, por sus

elementos comunes. Se simboliza A B.

Por comprensin, la interseccin se define como

A B={x U /x A y x B}.


En forma de diagrama de Venn, la interseccin se representa por la

regin sombreada:

Si A y B no tiene elementos comunes, la interseccin es un conjunto

vaco y se dicen que A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes.

Su grfica es:

Ejemplo: Sean A = {0;1} , B={2;3;4} y C={ 1;2}, luego tenemos que

A C={1}; B C={2} y A B= .


2.4.3 Diferencia entre conjuntos

Se define la diferencia entre el conjunto A y B como el conjunto cuyos

elementos pertenecen a A y no pertenecen a B. Se simboliza A-B.

Por comprensin queda definida la diferencia por

A-B={ x U / x A y x B}.

La regin sombreada representa la diferencia:

Ejemplo: A = {0;1} , B = {2;3;4} y C = { 1;2}, luego A-C = {0}; B-C

= {3;4} y A-B = A.

2.4.4 El complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto A, es otro conjunto cuyos elementos son

todos los elementos del conjunto universal U que no pertenecen a A. Se

simboliza cA o 'A .

Por comprensin, cA = {x U / x A}.

La regin sombreada representa el complemento de A:


Observemos que el complemento es un caso particular de la diferencia

entre U y A.

Ejemplo: Sea U el conjunto formado por todos los nmeros enteros y A

formado por los enteros positivos, entonces cA es el conjunto formado

por todos los enteros negativos.

Para pensar

Si A B, entonces A B = B.

A = A.

A A = A

Si A B, entonces A B = A.

A = .

A A = A

Si A y B son conjuntos disjuntos entonces A B= .

Si A y B son conjuntos disjuntos entonces A-B= A

U c=

c = U


2.5- Aplicaciones de la

teora de conjuntos:

problemas de conteo

Qu es un problema de conteo? Un problema de conteo es un problema como el del siguiente desafo. Tratemos de resolverlo antes de ver la herramienta matemtica que podemos usar para hacerlo.

Desafo 5

Hay 35 estudiantes que quieren cursar Matemtica, Administracin o ambas a la vez. Si 25 estudiantes se han inscriptos en Administracin y 20 en Matemtica, cuntos estn inscriptos en ambos cursos Matemtica y Administracin?.

Sugerencia para el planteo:

M= {x es un estudiante inscripto en la materia Matemtica}

A= {x es un estudiante inscripto en la materia Administracin}

U= {x es uno de los 35 estudiantes}

Grafica una representacin en diagrama de Venn. Son los conjuntos M y A disjuntos?

2.5.1 Cardinal de un conjunto

La cantidad de elementos de un conjunto define el cardinal y se denota por #A. Para el caso del conjunto de las vocales, #V = 5. Si el conjunto tiene infinitos elementos, diremos que el cardinal es infinito.

Si el conjunto tiene cardinal finito diremos que el conjunto es finito.

2.5.2 Propiedades de los conjuntos finitos

Supongamos tener dos conjuntos , A y B, de la siguiente manera dada por sus diagramas de Venn.


#A= nmeros de elementos que estn slo en A + nmeros de elementos de la interseccin

#B= nmeros de elementos que estn slo en B + nmeros de elementos de la interseccin

#A+#B= nmero de elementos que estn slo en A + nmeros de elementos que estn slo en B + dos veces el nmero de elementos que estn en la interseccin de ambos.

De esto se deduce las siguientes propiedades:

1. #(A B)= #A +#B - #(A B)

2. Si A B= entonces #(A B)= #A +#B

3. #(A B C)= #A +#B + #C - #(A B) - #(A C) -#(B C) + #(A B C)

Ejemplo 1

En un banco hay 10 empleados exclusivos para la caja de ahorro, 30 que trabajan en cuentas corrientes de los cuales 4 colaboran en las cajas con los cajeros exclusivos que son 16. Adems, hay 6 empleados que pueden trabajar en caja de ahorro y en cuentas corrientes, y 4 empleados (1 gerente, 1 secretario y 2 contadores) que pueden apoyar en las 3 secciones( es decir, vamos a considerar que trabajan en la 3 secciones a la vez).

cuntos empleados hay en el banco?

cuntos empleados desempean una nica funcin en el banco?


cuntos empleados desempean al menos dos funciones en el banco?

Solucin:

CA= {empleados que trabajan en caja de ahorros}

CC= {empleados que trabajan en cuentas corrientes}

C= {empleados que trabajan en cajas}

U= {empleados del banco}

Debemos releer el enunciado varias veces y luego ir analizando los cardinales asignados segn cada oracin. Iremos colocando estos cardinales en las partes correspondientes del diagrama de Venn

hay 10 empleados exclusivos para la caja de ahorro

# (CA- CC-C)= 10

30 que trabajan en cuentas corrientes: #CC=30

4 colaboran con los cajeros exclusivos


#(CC C)=4

los cajeros exclusivos que son 16 : #(C-CA-CC)=16

hay 6 empleados que pueden trabajar en caja de ahorro y en cuentas corrientes #(CA CC)=6

16


4 empleados (1 gerente, 1 secretario y 2 contadores) que trabajan en las 3 secciones: #(CA CC C)=4.

Como el cardinal del conjunto CC es 30, si le restamos las intersecciones, podemos deducir que #(CC- CA-C)= 16

Si sumamos los empleados que hay en cada parte nos quedara:

10+6+4+16+4+16= 56 empleados.

Para ver los empleados que hacen una nica funcin, sumamos las cantidades fuera de las intersecciones:

10+16+16= 42 empleados.

16

16


Un empleado que cumpla al menos dos funciones es un empleado que puede hacer 2 o 3 funciones a la vez. En este caso debemos sumar las cantidades de las intersecciones:

6+4+4=14 empleados.

2.5.3 Tablas de contingencia

Las tablas de doble entrada o de contingencias pueden ser pensadas tambin desde la teora de conjuntos. Supongamos que se realiz una encuesta para conocer la opinin de los estudiantes universitarios acerca de la implementacin de la pena de muerte. La tabla resultante es:

Implementacin de la pena de muerte

Sexo A favor En contra Total

Varones 79 121 200

Mujeres 27 73 100

Total 106 194 300

Cada celda de la tabla representa el cardinal de operaciones entre los conjuntos varones V, mujeres M, a favor F y en contra C.

Para las celdas cuyos recuentos representan las opiniones emitidas, se tiene:

#(V F)=79;

#(V C)=121;

#(M F)=27

#(M C)=73.

A su vez, los cardinales de las uniones de dichas intersecciones representan los totales columnas y filas:

# (V F) (V C)=200; # (M F) (M C)=100;

# (V F) (M F)= 106 y # (V C) (M C)= 194.

Finalmente, para el conjunto universal se tiene #U = 300.


Pensemos ahora como obtener # ( V F). Este significara el cardinal de las personas que sean varones personas que estn a favor de la pena de muerte. Segn la propiedad 1 de los conjuntos finitos este cardinal es igual a:

# ( V F)= #V + #F - # (V F)= 200 + 106 79= 227

2.5.4 Cuantificadores

Cuantificadores Universales: y

Supongamos que voy al gimnasio los das lunes, mircoles y viernes.

Analicemos la veracidad de las siguientes afirmaciones:

1. x da de la semana, voy al gimnasio.

2. x da de la semana, voy al gimnasio.

Obviamente la primera es falsa ya que slo voy 3 das a la semana y no todos y cada uno de los das de la semana

La segunda es verdadera ya que afirma que por lo menos voy un da ( de hecho voy 3).

Ejemplo:

Mira el siguiente diagrama. Observa sus conjuntos y como estn ubicados los elementos. Luego analiza la veracidad de las afirmaciones expresadas en forma simblica.

1. x A / x B


2. x A , x B

3. x A , x B

4. C Ac

5. {2,3} A

6. 1 B

7. 4 A

8. B C= C

9. A C=

10. (A B) C =

11. x U / x (A B)

12. x C , x B

13. C-B=

14. 4 A 4 B

15. x A x U

16. x B , x C

Respuestas:

1. V

2. F

3. F

4. V

5. V

6. V

7. F ( ojo , la relacin elemento-conjunto es de pertenencia)

8. V

9. V

10. F

11. V

12. V

13. V

14. V


15. F

16. F

Lista de smbolos utilizados

pertenece

no pertenece

/ tal que

para todo cualquiera sea

existe un

y

o

subconjunto de incluido en

no es subconjunto de o no est incluido en

U conjunto universal

conjunto vaco


Lopez, Antonio Roberto : Matemtica Moderna 1,2,3 y 4,

Buenos Aires, Editorial Stella

Haeussler Ernest F,Jr,Paul Richard S., Wood, Richard

J.,Matemticas para administracin y Economa, Mxico,

Pearson, Prentice Hall.

Apostol, Tom M., Calculus , Argentina, Editorial Revert S.

A.

Tarzia D. A , Curso de nivelacin de Matemtica", Santiago

de Chile ,McGraw-Hill Interamericana (2000).

Lipschtuz Seymour, Matemticas para computacin,

Mxico, McGraw-Hill


Arcos, Robinson: El pensamiento y el lenguaje en la

matemtica. Facultad de ingeniera, Universidad Central de

Venezuela.

Cantor, Georg. Editorial Crtica: Fundamentos para una teora

general de conjuntos: escritos y correspondencia selecta,

2005. ISBN 978-84-8432-695-3.

Editorial Crtica, Dios cre los nmeros: los descubrimientos

matemticos que cambiaron la historia, 2006. ISBN 978-84-

8432-753-0.

Garcia, Manuel y Juan Jos: Anlisis estadsticos para datos

categricos. Editorial Sntesis, 1996. ISBN 84-7738-392-8.

Kisbye, Patricia; Tiraboschi Alejandro: Elementos de

lgica y teora de conjuntos. Facultad de Matemtica,

Astronoma y Fsica, Universidad Nacional de Crdoba.

Mdulo 3

Unidad 3

Relaciones y funciones




3.1- Introduccin

En el siglo XVII, con el nacimiento de lo que hoy conocemos como Clculo o Anlisis Matemtico, G. W. Leibniz introdujo el trmino funcin en el vocabulario de la Matemtica. Pero fuera de la Matemtica tambin hemos escuchado e incluso utilizado este trmino, por ejemplo: En funcin de lo que me conteste ver cul es la decisin que tomo, Este es un indicador del nivel del dique en funcin de las ltimas lluvias Revisarn subsidios en Argentina en funcin de desarrollo, etc. Algunos de estos conceptos concuerdan con el uso matemtico de la palabra. Veremos en esta unidad que es una funcin matemtica y algunos ejemplos de este tema fundamental.

Relaciones vs. Funciones

Ahora vamos a definir primero el concepto de relacin y luego el concepto de funcin basado en el concepto de relacin. Es decir, primero debemos tener claro qu es una relacin matemtica y luego, con esa base, definir funcin. Para ello comencemos a pensar en el:

Desafo 1

Vamos a completar un cuadro con los datos de nuestras pulsaciones. Para ver cmo hacemos para tomarla podemos ir a este sitio:

http://www.frecuencia-cardiaca.com/comoTomarPulsaciones.php

Luego nos vamos a medir las pulsaciones en 3 momentos distintos. Al primer momento le vamos asignar el valor 1, al segundo momento le vamos a asignar el valor 2 y el tercer y ltimo momento le asignaremos el valor 3.

Vamos a anotar estas pulsaciones en la siguiente tabla:

Momento Nmero de pulsaciones

(por minuto)

1

2

3


Completar una tabla es una forma matemtica de definir relaciones o funciones. El desafo que acabas de realizar es un modo de razonar de la Matemtica muy utilizado en el clculo y en el cual se sintetiza mucha informacin. Ahora vamos a definir formalmente los conceptos necesarios matemticos para comprender qu es una funcin.

3.1.1 Producto Cartesiano:

Definicin: Si A y B son conjuntos, el producto cartesiano de A y B se define como el conjunto:

AxB = {(a , b) / a A, b B}

Es el conjunto de los pares ordenados (a,b) donde en primer lugar hay un elemento del primer conjunto y en segundo lugar un elemento del segundo conjunto.

Obviamente AxB no es igual a BxA

Ejemplo:

A= {1,2,3} B={a, b}

AxB= {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Mientras que

BxA={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

3.1.2 Relacin

Definicin: Sean A y B dos conjuntos no vacos. Una relacin R de A en B es un subconjunto de AxB. Si (a,b) R se dice que a est relacionado con b. Tambin se puede notar aRb.

Ejemplo

A= {todos los hombres que existen o han existido}

B= {seres humanos vivos}

(a,b) R a es el padre biolgico de b

En este caso observemos que no a todo elemento de A le corresponde un elemento de B, ya que no todos los hombres son padres. Tambin observemos que hay algunos elementos de A relacionados con ms de un elemento de B, pues hay padres que tienen ms de un hijo. Pero queda claro que ningn elemento de A est relacionado con TODOS los elementos de B como ocurre en la definicin de AxB.

Una relacin es una asociacin entre los elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, el conjunto formado por {1,2,3} y el conjunto de nmeros que dieron tus pulsaciones.


Al primer conjunto lo llamamos Dominio y al segundo conjunto lo llamamos Codominio. En el desafo 1 relacionamos al conjunto {1,2,3} (dominio) con el conjunto de tus pulsaciones (codominio)

Si a est relacionado con b ( (a,b) R , aRb) decimos que b es la imagen de a por R, por ello, muchas veces al codominio lo llamamos conjunto Imagen, pero para hablar con exactitud son dos conceptos distintos.

Codominio de una relacin es el conjunto B. Imagen de una relacin es un subconjunto del codominio formado por todas las imgenes de los elementos del dominio. Si no se especifica el codominio tomamos al conjunto codominio igual al conjunto imagen.

Ejemplo.

Es claro que en desafo 1, el dominio es el conjunto {1, 2, 3} pero al codominio lo podemos tomar como el conjunto de reales positivos o el conjunto de los reales, para dar un ejemplo, PERO el conjunto imagen es el conjunto formado por los tres valores de tus pulsaciones.

3.2- Funcin

3.21.1 Definicin de funcin

Una funcin es una relacin que cumple:

Cada uno de los elementos del dominio est relacionado con algn elemento del codominio.

La imagen de cada elemento del dominio es nica.


Ejemplo

Vamos a ver un ejemplo conceptual y luego veremos algunos ejemplos concretos.

Ejemplo conceptual:

Pensemos en el conjunto de todos los lectores de esta lectura y supongamos que las pulsaciones de ellos en el momento (1) tomaron distintos valor, como 70 pulsaciones por minutos, 68, 69, 71.5, etc. Grficamente

Ahora vamos a juntar a todas las personas del conjunto A en un saln y vamos a llamar al chico del bar para que le traiga un cortado al alumno que tiene 70 pulsaciones por minuto. Es decir, ahora pensamos en una pulsacin que est relacionada con un alumno y evidentemente el chico del bar se puede encontrar con un problema, en realidad, se puede encontrar con dos problemas.


Problema 1: Hay varios alumnos con 70 pulsaciones por minuto a quin le da el cortado?

Problema 2: Ningn alumno tiene 70 pulsaciones por minuto. No hay nadie que pague ese cortado.

Cualquiera de los problemas es un gran inconveniente para el chico del bar, por eso diferenciamos a las relaciones entre malas relaciones y buenas relaciones. A las buenas relaciones la nombramos matemticamente como funcin. Este ltimo ejemplo NO es funcin.

Ejemplos analticos

1) A={ 10,20, 30,40,50} , B= {5,10,15,20,25}

R= {(10,5),(20,10),(30,15), (40,20), (50, 25)}

Es funcin porque cada elemento de A (1er elemento de cada par) est relacionado con un nico elemento de B

2) A={ 10,20, 30,40,50} , B= {5,10,15,20,25}

R= {(10,5),(20,5),(30,5), (40,5), (50, 5)}

Es funcin porque cada elemento de A est relacionado con un nico elemento de B (aun cuando es el mismo elemento para todos. Esta funcin se llama constante y la vamos a estudiar en profundidad ms adelante).

Funciones reales

Si el dominio y codominio de nuestra funcin son conjuntos de nmeros reales la funcin se dice real.

Decimos que una funcin real es una relacin que asigna a cada x de un conjunto real un valor nico llamado f(x), imagen de x.

La variable x se la llama variable independiente. Si y= f(x) llamamos a la variable y variable dependiente (porque sus valores dependen de los valores de x).


A una funcin tambin se la puede representar como una caja negra, donde a la x se le dice entrada y a la y ( f(x)) se le dice salida.

Si uno alimenta la caja con un valor x de un determinado dominio, la caja devuelve un nico valor y c.

Por lo general, utilizamos letras como f, g, h, F, G para representar distintas funciones.

En nuestro curso estamos interesados en estudiar nicamente funciones reales, salvo aclaracin al respecto.

3.2- Formas de definir una

funcin

numricamente Por tabla

x f(x)

2 3

3 6

Significa f(2)=3 y f(3)=6

Por pares ordenados

{(2,3),(3,6)}

Significa f(2)=3 y f(3)=6

Por diagramas de Venn


algebraicamente Frmula o ecuacin

f(x) = 3x2-2x+4

y= 3x2-2x+4

en este caso f(2)= 3(2)2 -2(2)+4= 12

grficamente grfico cartesiano

En este caso f(2)= 3 porque se encuentra el

punto de coordenadas (2,3) sobre la curva

de f(x)

Observacin: TEST DE LA RECTA

VERTICAL Para que una curva en un

plano cartesiano sea realmente la grfica

de una funcin cada recta vertical debe

intersecarse con la grfica en un solo

punto.

2

3

2

3

3

6

f(x)


3.4- Valor numrico de una

funcin

Dada una funcin real f(x), si tomamos un valor especfico para la x obtendremos un nico valor para f(x) que es llamado imagen de x o tambin el valor numrico de la funcin f para un determinado x.

Ejemplo:

f(x) = 3 x2 + 1

f(0) = 3. (0)2 + 1= 1 El valor numrico de la funcin f para x=0 es 1.

f(1)= 3. (1)2 + 1= 4. El valor numrico de la funcin f para x=1 es 4.

3.4.1 Dominio de funciones reales

En general, cuando trabajamos con funciones reales, no indicamos cul es su dominio, simplemente damos la frmula f(x). Para ello convenimos en tomar como dominio cuando no se explicita, al mayor subconjunto de nmeros reales para los cuales se puede hallar su imagen por medio de f(x)

Ejemplos

1) Si f(x)= 3x2-2x+4 el dominio de la funcin es el conjunto de todos los nmeros reales, dado que se puede hallar la imagen de cualquier nmero real. Escribimos:

No es funcin


Dom f= R

2) Si f(x)= x

x 1 el dominio de la funcin es el conjunto de todos los

nmeros reales menos el cero ya que se puede identificar la imagen de

cualquier nmero menos el cero: f(0)= 0

10 pero no se puede dividir

por cero por lo tanto f(0) no existe. El cero no pertenece al dominio.

Dom f= R-{0}

2) Si f(x)= x el dominio de esta funcin es el conjunto de todos los

reales positivos unin el cero ya que no existe en los reales la raz cuadrada de un nmero negativo.

3.4.2 Dominio de una funcin dada por su grfica

Grficamente tambin podemos ver el dominio e imagen de una funcin que est definida grficamente:

Se puede observar que las abscisas de los puntos de la curva estn sobre un segmento de la recta x [a,b], y sus respectivas imgenes toman el valor mnimo c y el valor mximo d, recorriendo las ordenadas de los puntos de la curva todos los valores entre c y d.

Entonces,

Dominio= { x R / a x b} =[a,b]

Imagen= { x R / c x d} =[c,d]

Si la curva ocupara todo el sistema cartesiano de la siguiente manera:

d

c

a b


Se entiende que los trazos siguen infinitamente y decimos en este caso

Dominio= R

Imagen = R

3.5- La funcin lineal

Dentro de todas las diferentes funciones que nos vamos a encontrar en el estudio de las herramientas matemticas, una de las ms utilizadas es la funcin lineal. Antes de definirla formalmente pensemos en el siguiente desafo:

Desafo 2

Para producir un producto debemos invertir no slo en materia prima sino en otras variables como por ejemplo: alquiler de local, luz, agua, telfono, sueldo de empleados, plizas de seguro, etc. Todo esto en un determinado lapso de tiempo tiene un costo que s o s hay que afrontar se produzcan 1 ,2 o 10000 unidades del producto. A este costo lo llamamos costo fijo.

Luego la produccin lleva su materia prima, su cantidad de horas, etc. Este costo se estima por unidad.

El costo total de produccin es la suma del costo fijo y el costo variable que depende de las cantidades del producto a fabricar.

Si tengo un costo fijo de $5000 y cada unidad tiene un costo de $2 cul es el costo total de producir 200 unidades? Y 2000 unidades? Y 20000 unidades? Cul es la relacin que hay entre producir x unidades de mi producto y el costo total de produccin? Esta relacin, es una funcin?


3.5.1 Funcin lineal

Definicin: Una funcin lineal es una funcin de la forma

f(x) = ax+b y=ax+b

donde a y b son dos nmeros reales cualquiera.

Por ejemplo

f(x) = 2x-1, en este caso a=2 y b= -1

f(x)= 4x+2, en este caso a=4 y b=2

f(x)= -x , en este caso a=-1 y b=0

f(x)= 2

3

2

x, en este caso a=

2

1 y b=

2

3

f(x)= x - 2 , en este caso a= y b= - 2 (son horribles los coeficientes pero coeficientes al fin!)

f(x) = 12, en este caso a=0 y b =12

3.5.2 Grfica de la funcin lineal

La grfica de la funcin lineal resulta una lnea recta. El conjunto de puntos (x, f(x)) estn alineados, de ah el nombre de la funcin.

Ejemplo:

f(x)= 2x +3

Calculemos la imagen para distintos valores de x.

f(-1)= 2(-1) +3= 1 (-1,1) pertenece al grfico de la funcin.

f(0)= 2(0) + 3= 3 (0,3) pertenece al grfico de la funcin.

f(1)= 2(1) +3 = 5 (1,5) pertenece al grfico de la funcin.

f(2)= 2 (2) +3 = 7 (2,7) pertenece al grfico de la funcin.


3.5.3 Pendiente y ordenada al origen

Toda funcin dada por la frmula f(x)= ax +b tiene una representacin grfica como recta. Los nmeros a y b, llamados coeficiente lineal y trmino independiente respectivamente cumplen un rol fundamental en el grfico.

El coeficiente lineal a se llama pendiente y el trmino independiente b ordenada al origen.

Qu es la pendiente?

1) Consideremos la funcin f(x) =3x-1.

Primero hagamos un anlisis numrico. Calculemos los valores de la funcin en:

x y=f(x)

-2 -7

-1 -4

0 -1

1 2

2 5

Observamos que a medida que aumento una unidad en la columna de los x, la columna de las y aumentan 3 unidades y esto sucede cualquiera sea el x inicial. Grficamente esto se ve en


En cualquier punto de la recta, si me traslado una unidad a la DERECHA y luego subo 3 unidades encuentro otro punto de la recta.

Tambin podemos decir que grficamente la pendiente mide la inclinacin de la recta respecto de la horizontal. En este ejemplo que vimos la recta sube 3 unidades por cada unidad de desplazamiento as:

a= 1

3=3

2) Consideremos como ejemplo la funcin f(x)= -3x +2.

El anlisis numrico nos indica:

x y=f(x)

-2 8

-1 5

0 2

1 -1

2 -4

Observamos que a medida que aumenta una unidad en la columna de los x,

la columna de las y disminuye 3 unidades y esto sucede cualquiera sea el x

inicial. Grficamente esto se ve en


En cualquier punto de la recta, si me traslado una unidad a la DERECHA y luego bajo 3 unidades encuentro otro punto de la recta.

En este ejemplo la inclinacin de la recta baja 3 unidades por cada unidad de desplazamiento as:

a= -1

3=-3

Por ende pendiente positiva indica rectas crecientes (que suben) y pendiente negativa indica rectas decrecientes (que bajan).

3) Por ltimo veamos un ejemplo donde la pendiente es una fraccin

f(x)=2

3 x + 1

x y=f(x)

-4 -5

-2 -2

0 1

2 4

4 7

En este caso en la columna de las x vamos aumentando 2 unidades y la

columna de las y, en consecuencia, van aumentando 3 unidades.


Grficamente

Resumiendo:

Definicin de pendiente: La pendiente de una funcin lineal es el

coeficiente del trmino en x, a. Mide la inclinacin de la recta con

respecto a la horizontal.

Interpretacin de la pendiente:

Numrica: y aumenta (o disminuye) a unidades por cada unidad

de aumento de x

Grfica: la recta se eleva (cae) a unidades por cada unidad de desplazamiento a la derecha

Ordenada al origen

En una funcin lineal f(x) =a x + b si tomamos el valor de la abscisa x =0

obtendremos el valor de la ordenada y=b, es decir, que obtendremos un

punto de la grfica de coordenadas (0, b) que es el punto donde el grfico

intercepta al eje y

Observemos en cada una de las tres tablas el valor obtenido para x=0. En

los tres casos f(0)= b . Y en cada uno de los tres grficos la recta corta al eje

de las ordenadas en -1,2 y 1 respectivamente.

Resumiendo:

3

2


Definicin de la ordenada al origen: La ordenada al origen de una

funcin lineal es el coeficiente del trmino independiente, b.

Interpretacin de la ordenada al origen.

Numrica: b es el valor de y cuando x vale 0

Grfica: b es el punto de interseccin del grfico con el eje y

Casos particulares

a=0

En este caso la frmula de la funcin lineal nos quedara: f(x)= b.

Como la pendiente mide la inclinacin de la recta con respecto a la

horizontal, al tener pendiente cero eso significa que NO HAY inclinacin.

Adems observando el conjunto imagen vemos que slo asume un valor: b

Este caso es el de la funcin constante (todas las x tienen la misma imagen).

b=0

La frmula nos quedara: f(x)= ax.

Como la ordenada al origen es cero nos indica que el corte de la recta con el

eje de las ordenadas es el mismo origen del sistema de coordenadas

cartesianas. Se dice que es una recta que pasa por el origen.

Tambin se la llama funcin de proporcionalidad directa.


3.5.4 Ecuacin de una recta que pasa por dos puntos

Los postulados de Euclides incluyen una afirmacin evidente y simple:

Por dos puntos diferentes slo se puede trazar una nica lnea recta.

Vamos a ver ahora cmo se obtiene la ecuacin de la funcin lineal en el

caso que no tengamos ni el valor de la pendiente ni el valor de la ordenada

al origen, sino simplemente las coordenadas de dos puntos que se

encuentran sobre la lnea recta o bien la imagen de la funcin para dos

elementos distintos del dominio.

Para eso antes de presentar el concepto terico pensemos en el:

Desafo 3

Un criador de gallinas las alimenta con una dieta especial. Esta dieta genera

que el peso de la gallina aumente linealmente en funcin del nmero de

das. Si el peso inicial de una gallina es de 40 gramos y 25 das despus es

de 675 gramos, responde:

Cul ser el peso de la gallina 35 das despus? Y 50 das despus? Cul

sera la formulacin de la funcin lineal que represente el peso p en

funcin de los das d?

Definicin:

Si el punto P de coordenadas (x1 , y1) y el punto Q de coordenadas (x2 , y2)

pertenecen al grfico de una funcin lineal. La pendiente de dicha funcin

queda determinada por:


a=12

12

xx

yy

Ejemplo

Queremos encontrar la frmula de una funcin lineal y sabemos de ella que:

f(2)=10 y f(4)= 12. Eso significa que los puntos (2,10) y (4,12)

pertenecen a su grfica.

Utilizando la frmula del clculo de la pendiente tenemos que:

a=24

1012= 1

Por ende ya conocemos la pendiente de la funcin y faltara hallar su

ordenada al origen. Para ello planteamos:

y= 1.x +b

y= x+b

Reemplazamos la x por la abscisa de cualquiera de los dos puntos, por

ejemplo x=2 , y la y por su correspondiente ordenada, y=10.

10= (2) +b,

De donde b tiene que ser igual a 8.

Hemos hallado de esta manera la frmula de la funcin lineal f(x)= x+8

En el desafo tenemos al Peso (p) en funcin a los das (d) y nos dicen que la

relacin es lineal. Entonces sabemos que p= a.d +b (en este caso p sera la

variable dependiente de la d, variable independiente)

p(0)= peso inicial peso para el da cero = 40 gramos

y

p(25)=675 gramos

Nos estn dando dos datos de la funcin:

El punto (0,40) y el punto (25, 675) pertenecen a la funcin, de donde la

pendiente es igual a:

a=025

40675=25,4=

5

127

Adems el primer punto nos da la ordenada al origen. Obtenemos as que el

peso en funcin de los das tiene el modelo lineal:


P(d)= 5

127d+40.

Observacin importante.

Supongamos que sabemos que los dos puntos conocidos de la recta son:

P=(3,5) y Q= (3,7)

Al graficar la recta que pasa por estos dos puntos vemos que:

La recta es vertical; es la grfica de una funcin? No! (test de la recta

vertical)

Efectivamente no existe una funcin lineal que verifique que pse por esos

dos puntos. El clculo de la pendiente sera:

0

2

33

57

Como no se puede dividir por cero se llega a un absurdo.

En definitiva, la grfica de una funcin lineal es una recta, pero no toda

recta es una funcin lineal.



Apostol, Tom M., (1982) Calculus, Argentina, Editorial Revert S. A.

Bocco, Mnica, (2005) Matemtica,Universidad Empresarial Siglo 21.

Haeussler Ernest F, Jr. Paul Richard S., Wood, Richard J.,

(2008),Matemticas para administracin y Economa, Mxico, Pearson,

Prentice Hall.

Lipschtuz Seymour, (1994) Matemticas para computacin, Mxico,

McGraw-Hill

Tarzia D. A, (2000) Curso de nivelacin de Matemtica", Santiago de

Chile, McGraw-Hill Interamericana.

http://www.purplemath.com/modules/fcns.htm

Mdulo 4 Unidad 4 Ecuaciones

Curso de nivelacin de Matemtica

Prof. Lic. Valenzuela Mara Alejandra

Curso de nivelacin de Matemtica - Prof. Lic. Mara Alejandra Valenzuela | 2

4.1 Introduccin

Una de las herramientas ms poderosas de la Matemtica son las ecuaciones; ellas nos trasladan de una realidad concreta a un mundo de simbolismo. Cuanto ms seguros manejemos ese mundo de smbolos ms til nos resultar como aplicacin a la realidad concreta. Utilizaremos las propiedades de los nmeros reales, el concepto de funcin y expresaremos conjuntos como solucin de las ecuaciones. Su concepto es simple pero la destreza en resolverlas es clave para completar la aprehensin de ellas.

Transente, sta es la tumba de Diophante: es l quien con esta sorprendente distribucin te dice el nmero de aos que vivi. Su juventud ocup su sexta parte, despus durante la doceava parte su mejilla se cubri con el primer vello. Pas an una sptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco aos despus, tuvo un precioso nio que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereci de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorndole durante cuatro aos.

De todo esto, deduce su edad. "1

Antes de presentar la definicin de ecuacin, resolvamos este desafo para ver en qu nos pueden ayudar las ecuaciones para simplificar esfuerzo.

Desafo 1

Identifica el rea del tringulo obtenido de la interseccin de las rectas

y= 23

x+3 ,y= -23

x+3 , y=0

1 http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html


Para hallar las coordenadas del punto A slo necesitamos usar el concepto de ordenada al origen visto en el mdulo 3. Cmo hacemos para reconocer las coordenadas de los puntos B y C (sin mirar la grfica)?

4.2 Ecuaciones lineales Antes de definir qu es una ecuacin lineal aclaremos algunos conceptos previos necesarios.

Igualdad numrica

21

- =+ 2542221

(7-3) 1= 41

Igualdad algebraica a(b+c)= ab +ac

x 2 4= 0

ECUACIN

Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las letras de las expresiones algebraicas son llamadas variables. Si sustituimos las letras por valores numricos puede transformar o no en una igualdad numrica

Ejemplo

3212 += xx

Primer miembro

Segundo miembro

Incgnita


Las variables que aparecen en la ecuacin se llaman incgnitas y los miembros de la ecuacin son las dos expresiones algebraicas que la definen.

IDENTIDAD ALGEBRAICA

Una identidad algebraica es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada por cualquier valor que asuman sus variables.

Ejemplo

Todos los nmeros reales verifican:

Esta identidad es conocida como la frmula del cuadrado del binomio.

Resolver una ecuacin consiste en hallar todos los valores de la incgnita que producen una igualdad numrica entre los dos miembros de la ecuacin. Estos valores se llaman solucin de la ecuacin.

Ecuaciones equivalentes: Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

4.2.1 Ecuacin lineal con una incgnita

Una ecuacin lineal con una incgnita es una ecuacin de la forma:

ax + b =0 a y b nmeros reales

Tambin se reconoce a una ecuacin lineal con una incgnita cuando la expresin algebraica es entera con una incgnita de exponente 1.

Recordemos que una expresin algebraica entera es una expresin matemtica donde aparece letras y nmeros junto a las operaciones suma, resta, multiplicacin y potenciacin

Ejemplos:

(x+y) 2 = x2 + 2xy + y2

Incgnitas


5x-3=0 Es una ecuacin lineal con incgnita x

3a+2= 5 a -2 Es una ecuacin lineal con incgnita a

01

1=

x

No es una ecuacin lineal porque aparece una divisin

0232 =+ xx No es una ecuacin lineal porque la incgnita aparece con exponente 2

Resolucin de las ecuaciones lineales

Para resolver una ecuacin lineal se utiliza la propiedad uniforme de los nmeros reales que dice:

a=b a+c= b+c cR

a=b a.c =b.c cR c 0

Esta propiedad nos dice que cuando tenemos una igualdad si sumamos (restamos) a ambos trminos la misma cantidad la igualdad permanece, tambin si multiplicamos (dividimos) por un nmero no nulo la igualdad se mantiene.

Ejemplos

Primer paso:

2x+8 = 6

-8 Restamos a ambos miembros 8

-8

2x = -2

Segundo paso:

2x = -2

21

. Dividimos a ambos

miembros por 2 (multiplicamos por )

21

.

x = -1

Lo que hace la propiedad uniforme es transformar, a travs de las dos operaciones elementales, nuestra ecuacin en otra ecuacin equivalente.


El proceso se llama despejar x. Resolver una ecuacin significa aislar a la x en un miembro para encontrar el valor solucin en el otro miembro. Muchas veces se utiliza el argumento lo que es positivo pasa negativo que lleva a equivocaciones en la resolucin, pues lo que en realidad se hace es: lo que est sumando lo paso restando(o al revs) y lo que est multiplicando lo paso dividiendo (o al revs).

Verificacin:

Una vez resuelta la ecuacin es conveniente verificar que el resultado obtenido es verdaderamente la solucin. Para ello se reemplaza el valor en la x de la ecuacin.

Ejemplo.

Verifiquemos nuestro resultado en la ecuacin 2x+8=6

2 .(-1) +8 = 6

-2+8 = 6

6 = 6 correcto !

Ms ejemplos

4x+4=x-5

4x-x+4=-5

3x+4=-5

3x=-5-4

x= - 3

En este caso tenemos dos trminos con x. Necesitamos combinar estos trminos en un solo trmino con x.

Aqu procedemos de manera usual

Verificacin

4(-3)+4=(-3)-5, -12+4=-3-5, -8=-8 OK

7(x-2) +2x-1=5-x

7x -14+2x-1=5-x

9x-15= 5-x

9x+x=5+15

10 x= 20

x=20/10

x= 2

Algunas veces tenemos varios trminos con x en el mismo miembro. Primero resolvemos en este trmino combinando todos los trminos en x y todos los nmeros.

Luego se contina como el ejemplo anterior.

Siempre se llega a la forma ax+b=0 ax = -b


Verificacin

7 (2-2) +2(2)-1= 4 (2), 7 .0 +4-1=5-2, 3=3 OK

x/2 x/3+1/2=- x/6 +3/2

x/2-x/3 +x/6= 3/2 -1/2

22

623

=+ xxx

2x/6 = 1

x/3=1

x= 3.1

x=3

Esta ecuacin es un ejemplo como el anterior pero nos disgusta ms porque debemos trabajar con fracciones. En este caso se empieza juntando las x en un miembro y los nmeros en el otro miembro.

Luego podemos trabajar con el denominador comn (tambin podemos usar calculadora)

Verificacin

(3)/2-(3)/3 +1/2= - (3)/2 +3/2 ,

0=0

4.2.2 Soluciones de la ecuacin lineal

Una nica solucin

3(x-1) = 2x+5

3x-3= 2x+5

3x-2x= 5+3

x= 8

S={8}

Infinitas soluciones

3(x-1) = 3x -3

3x-3= 3x-3

3 x-3 x= -3+3

0x=0

S= R

En este caso se obtuvo 0=0, eso significa que no importa cul es el valor de la x que siempre se llega a una igualdad (la x desparece).


Por eso decimos que el conjunto solucin es el conjunto de todos los nmeros reales.

Ninguna solucin

3 ( x-1) = 3x+2

3x-3= 3x +2

3x-3x= 2 +3

0x= 5

S= { }=

En este caso se obtuvo 0 =5 que no es una igualdad numrica, es un absurdo. Como aqu tambin la x desaparece pero no se llega a una igualdad significa que ningn valor de x verifica la ecuacin.

Por eso decimos que el conjunto solucin es el conjunto vaco.

4.2.3 Races de la funcin lineal

En el desafo 1 se nos presenta la necesidad de saber con exactitud la abscisa del punto B y del punto C, pero estos puntos se encuentran sobre el eje x, es decir sabemos que su ordenada y vale cero.

La raz o cero de la funcin lineal es la x que verifica f(x)=0

Resulta que hallar la raz o cero de una funcin lineal es equivalente a resolver una ecuacin lineal (de ah su nombre).


4.3 Sistemas de ecuaciones lineales Cuando resolvemos una ecuacin lineal con una incgnita, nuestro problema se reduce a buscar el valor de un nmero que cumpla ciertas restricciones. Pero muchas veces nos encontramos con problemas mayores donde hay numerosos valores que deseamos conocer, con diferentes restricciones.

Antes de definir un sistema de ecuaciones lineales vamos a intentar pensar el siguiente desafo como introduccin al tema.

Desafo 2

Identifica el rea del tringulo obtenido de la interseccin de las rectas

y= x

y= -x+2

y=0

Si realizamos su grfico es fcil ver en el papel cules son las coordenadas del punto A. Pero cmo podemos hallar sus coordenadas con exactitud?

4.3.1 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas x,y es un sistema de la forma:


=+

=+feydxcbyax

, fedcba ,,,,, R

Resolver un sistema es encontrar un valor para la x y otro valor para l y que verifiquen las dos ecuaciones simultneamente

Ejemplo

+==

2xyxy

En este caso si pasamos las x al otro lado de la igualdad

tenemos:

=+=+20

yxyx

siendo a =-1 , b =1, c =0, d =1 , e=1, f =2

4.3.2 Mtodos de resolucin de sistemas

Mtodo de sustitucin

El mtodo consiste en eliminar unas de las variables sustituyndola en una ecuacin. La idea es tomar una ecuacin y hacer que una de las variables absorba a la otra y luego utilizando la ecuacin restando suplantar la variable que absorbe.

Ejemplos

1)

+==

2xyxy

)2()1(

De la ecuacin (1) tenemos la y escrita en funcin de la x. La y absorbe a la x.

y=x

Luego sustituimos en la ecuacin (2) a la y por su equivalente:

(x)=-x+2

Resultando as una ecuacin en una sola variable. Resolvemos esta ecuacin:

x+x=2

2x=2

x= 2/2

x=1

Finalmente volvemos a la (1) y reemplazamos a la x por el valor 1


y= (1)

La solucin buscada es S= {(1,1)}

2)

=+=

64823

yxyx

)2()1(

Para evitar a las fracciones, podemos empezar tomando la ecuacin (2) y despejando de ella la variable x. Nos quedara

-x= -4y - 6

x= (-1).(-4y +6)= 4y +6

Sustituimos ahora a la x obtenida en la ecuacin (1),

3 (4y +6) - 2y=8

Propiedad distributiva:

12y + 18 -2y = 8

Y resolvemos a la ecuacin con una sola incgnita y

10y= -10

y= -10/10

y= -1

Para terminar volvemos a la expresin de x que absorbe a la y, sustituyendo el valor de y hallado:

x= 4(-1) +6= 2

la solucin al sistema es:

S={(2,-1)}

Mtodo de Igualacin

El mtodo consiste en eliminar una de las variables igualndolas en una ecuacin.

Se despeja una de las variables en la primera ecuacin, por ejemplo, la y.

Se despeja la misma variable en la segunda ecuacin.

Se igualan las dos expresiones obtenidas resultando una ecuacin lineal en una variable x.

Se resuelva esta ecuacin, hallndose un valor para x


Se sustituye el valor encontrado en el paso anterior en cualquiera de los dos primeros pasos.

Ejemplos

Resolvamos los dos sistemas anteriores pero utilizando ahora el mtodo de igualacin.

1)

+==

2xyxy

En la primera ya tenemos despejada la y: y=x

En la segunda tambin ya tenemos despejada la y: y= -x+2

Igualando las y de las dos expresiones obtenemos

x =-x+2

es una ecuacin lineal con incgnita x. Resolvemos:

x+x= 2

2x=2

x=1

Volvemos con este nmero a cualquiera de las dos primeras ecuaciones y obtenemos y=1

Que es la misma solucin que obtuvimos por el mtodo de sustitucin.

2)

=+=

64823

yxyx

Empezamos despejando la y de la primera ecuacin:

-2y= 8 -3x

y= -8/2 + 3/2 x

Despejamos y de la segunda ecuacin:

4y = -6 +x

y= -6/4 + x/4= -3/2 + x/4

Igualamos

-8/2 + 3/2 x = -3/2 + x/4


Nos qued una ecuacin lineal con una incgnita x. Resolvemos,

3/2 x - x/4 = -3/2 + 8/2

(6x-x)/4 = 5/2

5x/ 4 = 5/2

x= 54

25

x= 2

Reemplazamos este valor en cualquiera de las dos primeras

y= -8/2 + 3/2 . (2)

y= -4 +3=-1

que es la misma solucin que obtuvimos por el mtodo de sustitucin.

Mtodo Grfico

Otra forma de resolver los sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas es utilizar las herramientas grficas vistas en el mdulo de funcin lineal.

Toda ecuacin del tipo, ax+by=c , representa una recta. Efectivamente si b 0, podemos despejar la y de la ecuacin en funcin de la x,

by= c ax

y= c/b a/c x

que es la ecuacin de una recta con pendiente a/c y ordenada al origen c/b.

Si b=0 la ecuacin ax=c, representa a la recta vertical (no es funcin) x= c/a

Por eso un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas representa grficamente dos rectas en el plano cartesiano xy. La solucin del sistema, si existe, es el conjunto de coordenadas del punto interseccin de las mismas (o los puntos de interseccin de las mismas).

Ejemplos:

Utilizando los mismos ejemplos para los dos mtodos anteriores vemos que el ejemplo 1 tiene como grfico el grfico del desafo 2.


1)

+==

2xyxy

)2()1(

La ecuacin (1) es una recta con pendiente 1 y ordenada al origen 0.

La ecuacin (2) es una recta con pendiente -1 y ordenada al origen 2.

Graficamos en un mismo sistema cartesiano y vemos que las coordenadas del punto interseccin son (1,1). Eso significa que x=1 e y=1 son las soluciones buscadas, coincidiendo con los otros mtodos.

Para hallar con exactitud el valor de la solucin este mtodo no es muy apropiado ya que puede haber errores en la precisin del grfico, adems de no ser muy prctico. Pero este mtodo nos orienta a la existencia o no de solucin o soluciones. Por el anlisis grfico de los sistemas podemos clasificar a los mismos.

4.3.3 Clasificacin de los sistemas de ecuaciones lineales segn sus soluciones

De acuerdo a las posibles relaciones de dos rectas en un mismo plano cartesiano podemos clasificar a los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas como:


Sistemas compatibles determinados.

Tienen una nica solucin S={ (x0,y0)}

Dos rectas que se intersecan en un punto A de coordenadas ( x0,y0)

Sistemas compatibles indeterminados.

Tienen infinitas soluciones

Grficamente parece una nica recta pero en realidad hay una superposicin de las dos rectas. Son dos rectas coincidentes. Todos sus puntos forman la interseccin de ellas.

Sistemas Incompatibles

No hay solucin

Dos rectas paralelas NUNCA se cortan. No tienen puntos en comn

Problemas

Hay muchas situaciones de la vida diaria que tiene como modelo matemtico a las ecuaciones lineales. Uno de los mayores desafos no slo para los estudiantes sino para los profesionales es traducir el lenguaje cotidiano a la expresin matemtica. Logrado el modelo, se pueden aplicar tcnicas de resolucin, como las vistas en los sistemas de ecuaciones lineales, para hallar una solucin a la problemtica concreta. Como ejercitacin al tema nos vamos a encontrar con problemas a resolver. Tengamos en cuenta los siguientes pasos para ejecutar la resolucin de los mismos:

A= (x0,y0)


1. Leer y releer tantas veces como sea necesaria las consignas hasta que se comprenda los enunciados.

2. Extraer datos de los enunciados

3. Identificar la/s incgnita/s

4. Traducir al lenguaje simblico

5. Unir el paso 2 ,3 y 4 para plantear la ecuacin correspondiente

6. Resolver y verificar el resultado

Algunos ejemplos de traduccin

Lenguaje coloquial Lenguaje simblico

La suma de dos nmeros x+y

El doble de un nmero 2x

El consecutivo de un nmero x+1

La tercera parte de la diferencia de dos nmeros 3

yx

La suma de dos nmeros pares consecutivos

2x+ (2x+2)

Otra ayuda para esta traduccin es entender dnde est el signo igual.

Ejemplos:

1. La suma de tres nmeros consecutivos es igual al cudruplo del menor de los tres nmeros.

Obviamente aqu el verbo indica dnde est el igual:

x + (x+1) + (x+2) = 4 x

2. La suma de dos nmeros excede en 10 unidades al producto de ellos

Aqu el verbo excede equivale al igual

x +y = xy + 10

3. El valor de y representa el 10% el valor de x

Aqu el verbo representa significa es igual


y = 0,10 x

4.4 Ecuaciones Cuadrticas Una funcin de la forma cbxaxxf ++= 2)( con 0a se llama funcin cuadrtica y su grfica en el plano cartesiano es una curva llamada parbola.

Ejemplo: 2( ) 2 3f x x x=

Los puntos donde la curva corta al eje de las abscisas x son los ceros o races de la funcin. Esos puntos tienen ordenadas y =0 por eso para calcular cules son las races se debe plantear la ecuacin:

cbxax ++= 20

llamada ecuacin cuadrtica.

4.4.1 Resolvente.

La frmula de clculo para resolver la ecuacin es:


2 42

b b acx

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