Marcelo Lugo

Los escalares y los vectoresDurante cientos de años los humanos han desarrollado varias formas para contar los objetos.Para contar, registrar, comparar o comunicar se usan símbolos que permiten identificar alnúmero de objetos, dichos símbolos se conocen como escalares.

Al principio, bastaba con los números naturales (1, 2, 3, 4...) para contar a la mayoríade los objetos pero, eventualmente, surgió la clase de los enteros, que abarcaban al conceptodel cero y a los números negativos. Hoy se emplea a los enteros para contar poblaciones,números reales para registrar temperaturas y números trascendentales para expresar a π,e, y a las funciones trigonométricas.

Las cantidades escalares abarcan más cosas en nuestras vidas cotidianas como la esta-tura, la edad, la temperatura, números de página, masa, distancia y tasas de interés. Sinembargo, algunas cosas no se pueden definir o medir mediante un sólo número. Por ejemplola velocidad, la fuerza y el peso requieren de una magnitud y una dirección.

Como proceso natural emplearemos dos o más escalares para registrar tales cantidades.Tras muchos debates surgió el término vector, que describe a las cantidades que poseen

magnitud y dirección y así surgió el álgebra de los vectores para analizar y resolver algunosproblemas geométricos.

La representacion de las cantidades vectorialesEs posible enfocar el tema de los vectores desde dos direcciones: una emplea una base axio-mática, la otra es intuitiva. El enfoque axiomático empieza por definir el significado de espa-cio vectorial y los objetos (vectores) que son miembros de este espacio, junto con los axiomasque describen su manipulación. El enfoque intuitivo es mucho más visual y usa segmentosde línea orientados o dirigidos para explicar cómo se trata a los vectores. El segundo enfoqueproporciona un rápido abordaje del tema y será suficiente para la mayoría de los lectores.

Antes de que se desarrollara la notación vectorial, los problemas que involucraban a lasfuerzas se resolvían usando segmentos de línea, y las fuerzas se representaban usando laregla del paralelogramo como se ilustra en la figura 1.

Figura 1

La idea de usar segmentos de línea para representar a los vectores ha dominado la evo-lución del análisis vectorial, aunque debe notarse que algunos matemáticos no tienen nece-sidad de tal ayuda visual cuando entran a los mundos multidimensionales de los espaciosvectoriales abstractos. Afortunadamente para nosotros todos los problemas que abordare-mos tienen como base los segmentos de línea en dos o tres dimensiones.

Un segmento de línea es un gráfico adecuado para representar a un vector, porque sulongitud representa a su magnitud, y su orientacion representa a la dirección. La figura 2

1

Marcelo Lugo

muestra a tres vectores idénticos ya que tienen las mismas longitud y orientación, y susposiciones son irrelevantes.

Figura 2

Los segmentos de línea de la figura 2 tienen punta de flecha, que define la direccion delvector. Sin la punta de flecha, el segmento de línea puede apuntar en cualquier dirección.Así, se requiere de un segmento de línea dirigido para proporcionar una descripcion delvector sin ambigüedades.

La figura 3(a) uestra dos puntos, A y B, conectados mediante una línea con una puntade flecha que apunta en la dirección de A a B. Este segmento de línea dirigido se representapor

−−→AB, donde la flecha en el diagrama confirma la dirección de A a B, y la flecha encima de

AB nos recuerda que se trata de una cantidad vectorial.

Figura 3

Si la flecha del segmento de línea apunta en la dirección opuesta, como se muestra en lafigura 3(b), se representa por

−−→BA. Entonces, ¿cuál es la diferencia entre los dos segmentos

de línea−−→AB y

−−→BA? La distancia entre los dos puntos es la misma, sólo ha cambiado la

dirección por lo que se puede arreglar la diferencia introduciendo un signo negativo. Porejemplo: −−→

BA =−−−→AB

o inversamente −−→AB =−−−→BA.

El efecto del signo negativo intercambia efectivamente las letras que identifican a lospuntos.

Si se adopta esta notacion, las siguientes afirmaciones son descripciones válidas de otrossegmentos de línea: −−→

AC =−−−→CA

y−−−→CB =−−→

CB.

2

Marcelo Lugo

La idea de seguir una trayectoria de un punto a otro es muy útil cuando se está resolviendoproblemas con vectores. A lo largo de esta trayectoria se identifica a los segmentos de línea(vectores) que localizan a algún punto, lo cual revela eventualmente las cosas que estamosbuscando.

Ahora se introduce un tercer punto C, y se identifica a los segmentos de línea como semuestra en la figura 4

Figura 4

Es posible moverse de A a C directa o indirectamente. La trayectoria directa es−−→AC y la

indirecta es a través de B, es decir,−−→AB+−−→

BC. Ya que ambas trayectorias van de A a C, se diceque son equivalentes. aunque las distancias Euclidianas no son las mismas. Asi, se puedeestablecer que −−→

AC =−−→AB+−−→

BC (1)

o, por el otro camino,−−−→AC =−−−→AB−−−→

BC.

Puede notarse que en la ecuación (1) las letras A y C en−−→AC son la primera y la última

letras en−−→AB+−−→

BC y que las B se han cancelado. Este patrón ocurre frecuentemente cuandose manipulan estas etiquetas o identificadores.

Figura 5

Finalmente, adicionemos un cuarto punto D, como se muestra en la figura 5. Los segmentosde línea que conectan A, B y C no han cambiado, pero se han introducido los segmentosde línea

−−→AD,

−−→BD y

−−→DC, que establecen trayectorias entre cualesquiera dos puntos direc-

ta o indirectamente. Aunque sólo puede haber una ruta directa, puede haber varias rutasindirectas. Por ejemplo, es posible moverse de A a B de dos maneras:

A a C y luego C a B

3

Marcelo Lugo

oA a D y luego D a B.

Pero también puede pasarse de A a B a través de C y luego a D, o bien de A a B a través deD y luego a C, es decir, A a D, D a C y luego de C a B.

Todas son trayectorias válidas y conforme se añadan puntos crece el número de trayec-torias indirectas. Así, ahora tenemos una manera de hacer anotaciones en una ruta y éstase ve influenciada por las etiquetas asignadas originalmente a los segmentos de línea. Porejemplo, si queremos movernos de Q a P pero el segmento de línea de conexion se etiquetacomo

−−→PQ, entonces se usa −−−→PQ para representar a

−−→QP. Cuando se apliquen estas técnicas

a los vectores reales, se descubrirá que algunas direcciones son más convenientes que otras.La definicion de un segmento de línea que use

−−→AB o −−−→BA es una notacion útil que usa-

remos frecuentemente. Sin embargo, también se les puede asignar nombres a los segmentosde la línea, tales como a, n o q. Nótese que el tipo en negritas permite distinguir el nombrede un vector de los de las cantidades escalares como x, y o t. Esta es una notación amplia-mente aceptada para hacer referencia a los vectores y permite crear diagramas como el quese muestra en la figura 6.

Figura 6

De la figura 6 se pueden hacer las observaciones siguientes:

r= s+ t

s=m+n

yt=n−m+r.

Figura 7

Una estrategia para resolver problemas y que se usará más adelante en la creacion deuna cadena indirecta de vectores que, eventualmente, revela al vector en la ruta directa. Talsituación se muestra en la figura 7, que nos permite escribir

p= r+s− t

4

Marcelo Lugo

Tal vez el lector se pregunte a qué se debe que el vector n está invertido en la figura7. ¿Por qué no apunta en la misma dirección que r, s y t? Pues bien, cuando se etiquetaa los vectores, ciertas direcciones son más convenientes que otras, lo cual da lugar a talesconflictos. Sin embargo, no hay de qué preocuparse, pues un simple signo ‘−’ resuelve elproblema.

La notación que se ha usado hasta aquí es muy similar a la que se usa en álgebra. Encierto modo, el álgebra d elos vectores es virtualmente idéntica al álgebra ordinaria, exceptopor un par de detalles que se verán más adelante. Por ejemplo, en el álgebra se puede decirque si

x = 2+b

yb = c+d

entoncesx = 2+ c+d.

Similarmente, six =−6

entonces−x = 6.

Del álgebra también se sabe que six = 10+b

entonces10= x−b

Así que, ¿es posible usar reglas similares en el álgebra de los vectores? Sí, si es posible.Ahora que ya sabemos cómo codificar e interpretar los diagramas vectoriales, veamos

cómo podemos identificar puntos a los largo de un vector. Considere, entonces, al vector r,como se muestra en la figura 8. Si el vector t tiene una orientación idéntica pero tiene lamitad de la longitud que r, se puede establecer que

t= 12

r.

Figura 8

Pero también se puede decir que r = 2t, lo cual es cierto y válido. Y, en general, se puedeestablecer que

r=λp

5

Marcelo Lugo

donde λ es cualquier cantidad escalar. Por lo tanto, hay que acostumbrarse a declaracionescomo

p= 2r−3s.

Estos multiplicadores escalares porporcionarán una estrategia útil en la solución de proble-mas, como se verá más adelante.

Cuando se añaden cantidades escalares, sabemos que su secuencia no tiene efecto al-guno en el resultado final. Por ejemplo, 2+6 = 8 y 6+2 = 8. Afortunadamente, también secumple esto en los vectores. Por ejemplo, si r= s+ t, entonces también s puede establecerque r= t+s. Esto se muestra gráficamente en la figura 9(a), que ilustra el significado der= s+ t. Pero igualmente, se puede invertir la secuencia de los vectores para crear r= t+s,como se muestrra en la figura 9(b). Cuando se sustraen cantidades escalares, su secuencia

rr

s

s

t

t

(a) (b)

Figura 9

sí es importante. Por ejemplo, 2−6=−4, pero 6−2=+4. Sin embargo, si se considera sumarjuntas a cantidades positivas y negativas, se encuentra que 2+(−6)=−4 y (−6)+2=−4. Es-to también tiene su equivalente vectorial y resulta interesante investigar cómo representargráficamente a esta combinación.

La operación r= s+ t se muestra en la figura 9(a), pero para trazar r= s− t, es mejorconsiderarla como r= s+ (−t), como se muestra en la figura 10. El proceso implica trazar alvector t, invirtiéndolo para crear −t y sumar s a −t.

-t t

sr=s-t s+t

Figura 10

Los vectores no colinealesCuando dos vectores son colineales, damos por hecho que ambos poseen la misma direcciónpero que pueden tener diferentes longitudes. Esto significa que unu de los vectores debe ser

6

Marcelo Lugo

múltiplo escalar del otro. Si los vectores no son colineales, entonces es imposible que uno seamúltiplo escalar del otro. Por ejemplo, la figura 11 muestra al triángulo ∆ABC construidoa partir de tres vectores que no son colineales: r = −−→

BA, s = −−→BC y r+s = −−→

AC. A continuaciónse encuentra superpuesto otro triángulo, ADE, con ar=−−→

AD, bs=−−→DE y ar+ bs=−−→

AE dondea y b son escalares. Los vectores ar y bs tampoco son colineales, porque

−−→AD es paralelo a−−→

AB y−→E es paralelo a

−−→BC. Formalmente esto se escribe como

−−→AD ∥ −−→AB y

−−→DE ∥ −−→BC, donde

el símbolo ∥ significa paralelo a. Al examinar la figura 11 se nota que la ruta−−→AE es única.

EC

A

BD

r+sar+bs

r

s

ar

bs

Figura 11

Sin importar cómo se escalen los vectores r y s, al sumarlos, su suma siempre producirá unvector resultante diferente. Si queremos movernos de A a E, existe sólo un par de escalarespara escalar a r y s. Esto significa que si siempre encontramos un enunciado tal que

ar+bs= cr+ds

donde r y s no son colineales, sólo significa que a = c y b = d. Esta condición sólo se aplicaa vectores no colineales. Sin embargo, tales combinaciones de vectores son muy comunes yjuegan un papel muy importante en la solución de problemas.

Ahora ya conocemos suficiente álgebra de los vectores com opara resolvere algunos pro-blemas geométricos sencillos. Así, se verificará que los lados opuestos de un paralelogramosson iguales. Empecemos con el paralelogramo ABCD que se muestra en la figura 12, don-de r = −−→

AB y s = −−→AD. Pero como AB ∥ DC y AD ∥ BC, se puede hacer la conjetura de que−−→

DC = ur y−−→BC = vs, donde u y v son escalares. Ahora se puede definir la trayectoria directa

A B

CD

s

r

vs

ur

AC

Figura 12

7

Marcelo Lugo

−−→AC en términos de dos trayectorias indirectas:

−−→AC =−−→

AB+−−→BC

y −−→AC =−−→

AD+−−→DC

por lo tanto, −−→AB+−−→

BC =−−→AD+−−→

DC

O, usando nombres vectoriales,r+vs= s+ur.

Puesto que estos vectores no son colinelaes, es posible igualar los coeficientes y establecerque

1= u y v = 1.

Si u = 1 y v = 1,−−→AB = −−→

DC y−−→AD = −−→

BC, lo que significa que sus longitudes son iguales. Deaquí que se ha probado que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

Con otro ejemplo se puede demostrar que las dos diagonales de un paralelogramo sebisectan una con la otra.

A B

CD

s

r

s

r

E

Figura 13

La figura 13 muestra un paralelogramo ABCD fromado a partir de los vectores r y s,donde r=−−→

AB =−−→DC y s=−−→

AD =−−→BC. Se puede ver que

−−→AC = r+s (2)

y −−→DB = r−s. (3)

Se observa que las diagonales se intersectan en E, lo que significa que−−→AE y

−−→AC son colinea-

les. Por lo tanto, se puede establecer−−→AE =λ

−−→AC. (4)

donde λ es un escalar.De modo semejante, se puede establecer que

−−→DE = ε

−−→DB. (5)

8

Marcelo Lugo

donde ε es un escalar.Ahora, se pretende probar que λ= 1

2 y que ε= 12 Reescribiendo (4) y sustituyendo en (2):

−−→AE =λ(r+s)=λr+λs. (6)

También se puede reescribir (5) y hacer la sustitución en (3):

−−→DE = ε(r−s)= εr−εs. (7)

Así, se tienen−−→AE y

−−→DE. Pero se requiere de una tercera ecuación que asocie a

−−→AE con−−→

DE. Observando la figura 13 se ve que en el triángulo ∆AED se tiene

−−→AE =−−→

AD+−−→DE = s+−−→

DE. (8)

Por lo tanto, sustituyendo las ecuaciones (6) y (7) en la (8) se obtiene

λr+λs= s+εr−εs

yλr+λs= εr+ (1−ε)s.

Ahora, se tiene una ecuación que asocia a λ, ε, r y s. Pero como r y s no son colineales, sepueden igualar los coeficientes, por lo que:

λ= ε y λ= 1−ε

lo que significa que

ε= 1−ε y ε= 12

Y tambiénλ= 1

2.

Por lo tanto, las diagonales de un paralelogramo se bisectan una con otra.Ahora es tiempo de formalizar estos conceptos y ver cómo se puede codificar a los vecto-

res usando coordenadas Cartesianas.

La representación vectorial

IntroducciónLos vectores aparecieron a mediados del siglo 19. Para entonces la geometría analítica ya sehabía establecido, especialmente el uso de las coordenadas Cartesianas. Como consecuencia,era un simple paso el desarrollar un marco numérico para representar a los vectores usandocoordenadas Cartesianas.

Las coordenadas CartesianasLa figura 14 muestra este sistema de trabajo. La figura muestra un vector cuyo extremoinicial está en (1, 1) y su extremo final en (3, 2).

9

Marcelo Lugo

1

2

3

1 2 3 4

Y

X

1

2

Figura 14

Como puede verse, las coordenadas Cartesianas proporcionan un mecanismo para re-presentar a un vector en términos de sus componentes Cartesianas horizontal y vertical.También puede verse que la componente horizontal del vector se obtiene sustrayendo lascoordenadas correspondientes del extremo inicial de las del final: 3−1 = 2 y las de su com-ponente vertical se obtiene con la sustracción: 2−1= 1.

Desde mediados del siglo 19 y hasta mediados del 20, aparecieron dos métodos paracombinar las componentes x (horizontal) y y (vertical): una técnica pone a las componentes

como un par ordenado como [x y] y la otra las pone como[

xy

]. A la primera forma se le llama

vector fila o vector renglón y al segundo se le llama vector columna. Cuando se hace refernciaa un vector columna dentro de un texto, se expresa como [x y]T , el cual describe a un vectorrenglón trnaspuesto, i.e., un vector columna.

No hay restricciones sobre los vectores, pueden ser de cualquier longitud y apuntar encualquier dirección. Sin embargo, com ocon frecuencia se calculan vectores a partir de otrosvectores, es posible crear un vetor sin longitud, al cual se le llama vector nulo o cero. Lafigura15 muestra a cuatro vectores etiquetados como a, b, c y d y el Cuadro 1 que presentaun resumen de las componentes de sus extremos, inicial y final.

1

2

3

1 2 3 4

Y

X

a b

c d

Figura 15

10

Marcelo Lugo

Tabla 1Vector Final Inicio Componente x Componente y

a (0,2) (3,3) -3 -1b (4,3) (2,2) 2 1c (1,2) (1,0) 0 2d (3,1) (2,1) 1 0

Así, los vectores son

a=[−3−1

]b=

[21

]c=

[02

]d=

[10

].

Hasta aquí la definición de un vector es la de un segmento de recta 2D, pero también esposible tener vectores en tres dimensiones. Por ejemplo, la figura xxxxxxxxxxxxx, muestraun segmento de recta 3D con sus componentes carterianas, donde el vector v se representapor

v=x

yz

Así, un vector 2D tiene dos componentes y un vector 3D tiene trescomponentes, las cualesse conocen como compenentes Cartesianas.

La orientación y longitud de un vector están determinadas completamente por el signoy valor de sus componentes Cartesianas. Afortunadamente, la longitud de un segmento decualquier línea se obtiene fácilmente por el teorema de Pitágoras; aunque también se re-quiere de alguna representación simbólica.

La notación vectorialEl tipo negrita se usa para nombrar a los vectores. Esta es una convención universal yayuda a distinguir a los escalares (x, y, z, r, s, t, ...) de los vectores (a, b, c, d, n, p, q, ...).Sin embargo, cuando se trata de un segmento de línea formado por dos puntos, tales comoA y B, el vector asociado se denota por

−−→AB o AB, que representa a un vector cuyo extremo

inicial está en A y el final en B.

La longitud de un vectorSe sabe que los escalares pueden ser posditivo o negativos y, cuando se está interesadosolamente en el valor absoluto de un escalar s (i. e., independiente del signo), se usa lanotación |s|, la cual, efectivamente, elimina el signo. Para representar la longitud de unvector se usa la msima notación, i. e. |a|. También es posible usar |−−→AB| o |AB|. Y para evitarconfusiones se usa ||−−→AB|| o ||AB||, que es la convención que se usará a partir de ahora paradisdtinguirlos de los escalares.

Si un vector v está dado por

v=[

xy

]11

Marcelo Lugo

su longitud está dada por

||v||√

x2 + y2.

De modo semejante, si un vector 3D está dado por

v=x

yz

su longitud está dada por

||v||√

x2 + y2 + z2.

Estos cálculos tienen como base el teorema de Pitágoras y se ilustran en la figura 16.

X

x

Y

yv

v v

Xx

Y

y

Z z

v

Figura 16

La longitud de un vector es un escalar. Así ||v|| es un escalar y se puede usar comocualquiera otro escalar.

A continuación se estudiará el álgebra que muestra cómo los vectores se manipulan e in-tegran aritméticamente con los escalares. Es conveniente ilustrar esto en dos dimensiones,considerando que también se aplica a las tres dimensiones.

El álgebra de los vectoresLa inversión del signo de un escalar se logra multiplicándolo por −1. Por ejemplo, −1×(+3)=−3 y −1× (−3)= 3. Similarmente, la dirección de un vector se logra multiplicando suscomponentes por −1. Por ejemplo, si

v=[12

]entonces

−v=[−1−2

].

La figura 17 muestra la interpretación gráfica de esta inversión del signo.A un vector se le puede multiplicar por un escalar positivo o negativo. Por ejemplo

v=[12

]12

Marcelo Lugo

v v

Y Y

X X

1 1

2 2

3 3

1 12 2

Figura 17

entonces

2v=[24

]y

12

v=[1

21

].

Del mismo modo, la adición y sustracción de vectores obedece a las mismas reglas quelos escalares. Por ejemplo, dados dos vectores

v=[12

]y w=

[21

]entonces

v+w=[1+22+1

]=

[33

].

En contraste,

v−w=[1−22−1

]=

[−11

]y

w−v=[2−11−2

]=

[1−1

].

La adición de vectores también tiene una interpretación gráfica sencilla. De hecho, laadición de vectores usa la regla del paralelogramo vista anteriorment. La figura 18 ilustrala adición de los vectores v y w. Es obvio que las componentes del vector suma se obtienensumando las componentes individuales. Recuerde que estos vectores pueden tener cualquierposición en el espacio.

La sustracción de los vectores se muestra en la figura 19. Para simplificar el proceso, esmejor considerar a v−w como v+ (−w).

La multiplicación y división de dos vectores no es tan obvia. Para empezar, dividir un vec-tor por otro carece de significado alguno y no existe definición de dicha operación, mientrasque la multiplicación puede efectuarse de dos maneras que se verán más tarde.

13

Marcelo Lugo

Y

X

v

w

v+w

1

2

3

1 2 3 4

Figura 18

Y

X

v

w

w

1

2

3

1 2 3 4

v-w

Figura 19

Las leyes asociadas con los escalares son simples y familiares. Afortunadamente, lasmismas leyes se aplican a los vectores; la única diferencia entre los dos sistemas está en elproducto de dos vectores. La Tabla 2 muestra ejemplos de los dos sistemas

La Tabla 2 se construyó con fines de comparación.

Los vectores unitariosUn vector unitario tiene longitud 1. Los vectores unitarios simplifican mucho la solución deproblemas; por lo que debemos entender cómo es posible crearlos.

Por ejemplo, si v = [x y]T es un vector unitario, se dice que ||v|| = 1, i. e.,√

x2 + y2 = 1y comunmente se representa por n, donde el acento circunflejo indica que la longitud delvector es unitaria. Ya se sabe que la longitud de un vector se puede cambiar mediante unfactor de escalamiento. Por lo tanto, cualquier vector tiene que ser algún múltiplo de unvector unitario:

v=λv.

Pero, seguramente, λ= ||v||. Por lo tanto, se puede escribir

v= ||v||v

14

Marcelo Lugo

Tabla 2Ley Álgebra escalar Álgebra vectorialConmutativa para la suma a+b = b+a a+b=b+aAsociativa para la suma a+ (b+ c)= (a+b)+ c a+ (b+c)= (a+b)+cConmutativa para la multiplicación ab = ba ab=baAsociativa para la multiplicación a(bc)= (ab)c a(bc)= abcDistributiva para la multiplicación (a+b)c = ac+bc (a+b)c= ac+bc

a(b+ c)= ab+ac a(b+c)= ab+ac

que conduce av= v

||v|| .

Por ejemplo, dado

v=[34

]es posible construir un vector unitario dividiendo sus componentes por ||v||, el cual, en estecaso es √

32 +42 = 5,

i.e.,

v=[0.60.8

],

que es el vector unitario correspondiente.

Los vectores unitarios rectangularesUna poderosa característica del álgebra de los vectores emerge de la definición previa de unvector, ya que es posible expresar a un vector como la suma de vectores unitarios alineadoscon los ejes rectangulares Cartesianos.La siguiente descripción está en tres dimensionespero se aplica de modo semejante en dos dimensiones. Nótese también que se emplea unsistema de ejes 3D de mano derecha.

X

Y

Z

Figura 20

15

Marcelo Lugo

Primero se definen tres vectores unitarios rectangulares i, j y k, paralelos con los ejes x,y y z rectangulares Cartesianos, respectivamente, como se muestra en la figura 20, donde

i=1

00

j=0

10

k=0

01

.

Consecuentemente, cualquier vector v= [a b c]T se puede expresar como

v= ai+bj+ ck

que brinda un mecanismo algebraico sencillo para manipular a los vectores.Por ejemplo, es posible invertir a v:

−v=−ai−bj− ck.

Se puede duplicar la longitud de v:

2v= 2ai+2bj+2ck.

Y si se tiene a dos vectores,v= 2i+3j+4k

yw= 5i+6j+7k

es posible sumarlos:

v+w= (2i+3j+4k)+ (5i+6j+7k)= 7i+9j+11k.

Más adelante se verá cómo multiplicar vectores usando esta notación.

Los vectores de posiciónImagine un punto P en el espacio con coordenadas (x, y, z). Obviamente, existe un vectorcuyo extremo inicial es el origen del sistema de coordenadas y cuyo extremo final es el puntoP. A tal vector se le conoce como vector de posición ya que fija la posición de P. Su utilidadradica en el hecho de que sus componentes rectangulares son idénticas a las coordenadascartesianas del punto, i.e., p= xi+ yj+ zk.

Ahora, se procederá a resolver algunos ejercicios.

Problema 1Un objeto esetá sujeto a dos fuerzas F1 y F2, donde F1 actúa horizontalmente de izquierdaa derecha, mientras que F2 actúa verticalmente hacia abajo, como se muestra en la figura21. El problema consiste en encontrar la magnitud y dirección de la fuerza resultante y lafuerza que mantendría al lobjeto en el equilibrio.

Se define a las fuerzas como vectores:

F1 = 6i

16

Marcelo Lugo

X

Y

F=61

F= 42

Figura 21

yF2 =−4j

Por lo tanto, la fuerza resultante es

F1 +F2 = 6i−4j,

cuya magnitud (longitud) es

||F1 +F2|| =√

62 +42 =p

52= 7.211.

La dirección de la fuerza se puede especificar con relación al eje horizontal, x, como semuestra en la figura 22.

a

a

X

F =42

F =61

F +F1 2

Figura 22

De la figura 22, se encuentra que

α= tan−1(−4

6

)=−33.69° 326.31°.

Para que el objeto se encuentre en equilibrio , la fuerza total sobre él debe ser cero, loque significa que debe aplicarse una tercera fuerza igual y opuesta a F1 +F2, i. e.,

−(F1 +F2)=−(6i−4j)=−6i+4j.

17

Marcelo Lugo

Su dirección es

β= 180°+ tan−1(

4−6

)= 146.31°,

con respecto al eje x.

Problema 2Verifiquemos que la adición de dos vectores es conmutativa, i.e., a+b=b+a.

Primero se define a los dos vectores, a y b, como se meustra en la figura 23.

a

b

a+b

A

B

C

Figura 23

De la figura 23, se obtienea=−−→

AB y b=−−→BC

ya+b=−−→

AB+−−→BC =−−→

AC (9)

Pero del mismo modo, se puede describir al vector suma que se muestra en la figura 24.

a

b

a

b

b+a

A

B

C

D

Figura 24

De la figura 24, se tiene queb=−−→

AD y a=−−→DC

yb+a=−−→

AD+−−→DC =−−→

AC (10)

18

Marcelo Lugo

De las ecuaciones (9) y (10) se tiene que

a+b=b+a,

como se esperaba.

Problema 3Verifiquemos que la adición de vectores es asociativa, i.e., a+ (b+c)= (a+b)+c.

La figura 25 muestra a cuatro vectores que forman un cuadrilátero, donde una diagonalestá formada por a+b y la otra diagonal está formada por b+c.

a

b

c

d

a+bb+c

Figura 25

De la figura 25 es obvio que

a+ (b+c)=d y (a+b)+c=d

por lo tantoa+ (b+c)= (a+b)+c,

como se deseaba demostrar.

El producto de vectoresAhora se estudiará el producto de los vectores que a los matemáticos les llevó mucho tiem-po reconocer y definir. Lo que reultaba inusual es que hubiera dos maneras de multplicarvectores: una que daba lugar a una cantidad escalar y la otra a un vector nuevo.

El producto de dos escalares es bien conocido. Por ejemplo, 3×4= 12 y 4×3= 12, de modoque el orden carece de efecto en el resultado final. Sin embargo, existen dos interpretacionesde este producto: una es simplemente el hecho de que el producto de que 3 por 4 hacen 12;la otra es que 3×4 se puede considerar como una área, con un tamaño de 12 unidades. ELproducto de dos vectores no es tan sencillo, pero existen similaridades con la multiplicaciónescalar (consultar A History of Vector Analysis de Michael Crowe, para mayor informaciónsobre el descubrimiento de estos dos productos).

El producto escalarAntes de definir a este producto, sería interesante pensar en lo que se debía haber predi-cho del producto escalar con base en el conocimiento de la multiplicación de escalares. Por

19

Marcelo Lugo

ejemplo, dados los vectoresa= xai+ yaj+ zak

a= xbi+ ybj+ zbk

se tiene de inmediato la intención de multiplicar las componentes juntas:

xaxb, ya yb, zazb.

¿Pero qué se hace con estos términos? Pues bien, ¿por qué no sumarlos? Si se hace estoúltimo, se obtiene

a ·b= xaxb + ya yb + zazb.

Así, se tiene la definición del producto escalar.Un enfoque alternativo sería multiplicar sus magnitudes: ||a|| · ||b||, que es un escalar.

Sin embargo, se ignoraría la orientación de los dos vectores, que puede sugerirse con:

||a|| · ||b||cosθ

||a|| · ||b||sinθ

||a|| · ||b||θdonde θ es el ángulo entre los vectores.

Todas estas son razonables y, en la matemática no hay reglas que impidan definir algunanueva fórmula o técnica. Lo importante es que se integre con el resto de la matemática. Puesbien, como se verá a continuación, las dos primeras sugerencias son extremadamente útiles,pero la tercera carece de aplicación.

El producto escalar de dos vectores a ·b está definido como

a ·b= ||a|| · ||b||cosθ (11)

dondea y b son los dos vectores y θ es el ángulo que los separa

Los términos a la derecha del signo = en la ecuación (11) son escalares. Por lo tanto, elresultado debe ser también un escalar (de aquí el nombre de producto escalar).

La figura 26 muestra tres pares de vetores con diferentes ángulos de separación. Nóteseque θ es el ángulo entre los extremos finales de los dos vectores.

La definición anterior no es tan arbitraria como se había sugerido, es extremadamenteútil en una amplia gama de aplicaciones geométricas y científicas. Por ejemplo, si dos vecto-res son perpendiculares, su producto escalar es cero, debido a que cos90°= 0. Además, si dosvectores tienen la misma orientación, su producto escalar es igual al producto de sus mag-nitudes, pues cos0°= 1. Tales resultados se usarán más tarde como parte de las estrategiaspara resolver problemas.

Considere lo que sucede cuando se aplica una fuerza a un mecanismo restringido a mo-verse en una dirección. Tal escenario se muestra en figura 27.

Si la fuerza está representada por f, y la dirección del mecanismo es v, entonces la mag-nitud de la fuerza que actua en la dirección del mecanismo es ||f||cosθ. Dado que el trabajo

20

Marcelo Lugo

A A A

B B B

C

C

C

D

D

D

I II

q q

q

Figura 26

q

v

f

f cos q

Figura 27

total hecho por el producto de la fuerza que actúa sobre la distancia, este queda representadopor ||f|| ||v||cosθ, que es el producto escalar.

La figura 28 muestra cómo debe visualiarse el producto escalar, donde un vector se pro-yecta sobre el otro y se multiplican las dos longitudes.

Los dos vectores son−−→AB y

−−→AC con un ángulo θ entre ellos. La proyección de

−−→AC sobre−−→

AB es−−→AC′, que es igual a

−−→AC cosθ. El producto escalar de

−−→AB y

−−→AC es, por lo tanto

−−→AB ·−−→AC =

∥∥∥−−→AB∥∥∥∥∥∥−−→AC′

∥∥∥=∥∥∥−−→AB

∥∥∥∥∥∥−−→AC∥∥∥cosθ

Ahora se mostrará que

a ·b= ∥∥a∥∥∥∥b

∥∥cosθ = xaxb + ya yb + zazb.

Empezando con los dos vectores siguientes

a= xai+ ya j+ zak y b= xb i+ yb j+ zbk.

Por lo que

a ·b= (xai+ ya j+ zak

) · (xb i+ yb j+ zbk).

21

Marcelo Lugo

q

A

B

C

C’

AC

AC’

AB

Figura 28

Expandiendo

a ·b= xaxb i · i+ ya yb j · j+ zazbk · k+ xa yb i · j+ xazb i · k+ yaxb j · i+ yazb j · k+ zaxbk · i+ za ybk · j. (12)

Ahora, se descubrirá el significado de i · i, j · j, k · k, i · j, etcétera.Si se usa la ecuación (11) para evaluar i · i, se tiene que

i · i= ∥∥i∥∥∥∥i

∥∥cos0°= 1

El resultado es 1 ya que ‖i‖ = 1, y el ángulo entre ambos es 0°, cuyo coseno es 1. Obvia-mente, este reultado se aplica también a j · j y k · k. Todas las demás combinaciones tienenun ángulo de 90° entre los vectores unitarios, así que el coseno es cero. Consecuentemente,todos estos términos se anulan y nos quedamos con

a ·b= ∥∥a∥∥∥∥b

∥∥cosθ = xaxb + ya yb + zazb (13)

que es la definición del producto escalar y debe mantenerse en la memoria.Normalmente, se conoce el valor de θ y la ecuacion (12) se usa para encontrar su valor

de acuerdo conθ = cos−1

(xaxb + ya yb + zazb

‖a‖‖b‖)

(14)

Nótese que si a yb son vectores unitarios, entonces

θ = cos−1 (xaxb + ya yb + zazb

)Ejemplo 1Encuentre el ángulo entre los vectores a y b si

a= i+2j+3k y b= 4i+5j+6k.

Así,‖a‖ =

√12 +22 +32 =

p14

22

Marcelo Lugo

y‖b‖ =

√42 +52 +62 =

p77

Usando la ecuación (12) se encuentra que

a ·b=p

14p

77cosθ = 1×4+2×5+3×6= 32.

Y, usando la ecuación (13) se obtiene

θ = cos−1(

32p14

p77

)= 12.9°

Ejemplo 2Pruebe que los vectores a y b, dados a continuación, son perpendiculares

a= i+3j−2k y b= 4i+2j+5k.

Así,a ·b= (

i+3j−2k) · (4i+2j+5k

)= 0.

Puesto que ‖a‖ > 0 y ‖b‖ > 0 y el producto escalar es cero, se puede deducir que el ánguloentre los vectores es 90°, cuyo coseno es cero.

Después de estudiar los ejemplos anteriores, volvamos a la geometría que está detrás delproducto escalar.

La figura 28 muestra que

−−→AB ·−−→AC = ∥∥−−→AB

∥∥∥∥−−→AC∥∥cosθ = ∥∥−−→AB

∥∥ ·∥∥−−→AC′∥∥.

q

q’

A

B

C

D

C’

ABAD

AC

AC’

Figura 29

Pero la figura 29 introduce un punto D tal que la línea−−−−→C′CD es perpendicular a

−−→AB.

Seguramente la proyección de−−→AD sobre

−−→AB es

−−→AC′, que es igual a la proyección de

−−→AC

−−→AB.

De hecho, todos los puntos sobre una línea perpendicular a otra tendrán una proyeccióncomún.

23

Marcelo Lugo

Por lo tanto,

−−→AB ·−−→AD = ∥∥−−→AB

∥∥∥∥−−→AD∥∥cosθ′ = ∥∥−−→AB

∥∥∥∥−−→AC′∥∥.

Esta configuración geométrica se presenta cuando se resuelven algunos problemas. Porejemplo, con referencia a la figura 30, se puede establecer directamente que

p ·v=q ·vsimplemente porque p y q tienen proyecciones idénticas sobre v.

p

q v

O

P

Q

Figura 30

A continuación echaremos un vistazo al producto vectorial.

El producto vectorialNuevamente, antes de definir a este producto, trataremos de anticipar la respuesta. Empe-cemos con los vectores 3D, a y b, los cuales deben estar en algún plano común en el espacio,ver la figura 31.

a

b

X

Y

Z

Figura 31

Ahora, si se multiplican estos vectores y se crea un tercer vector, es obvio que el vec-tor debe ser paralelo o intersectar al plano común, así, lo que sucede es que el vector esperpendicular al plano común.

24

Marcelo Lugo

EN el siglo 19, Sir William Rowan Hamilton buscó con afán para descubrir un equiva-lente a los números complejos en 3D. Dado que en 2D los números complejos se expresancomo

q = s+ai

parece razonable conjeturar que un número complejo en 3D tenga la forma

q = s+ai+b j

donde i y j son iguales ap−1. Pero cuando se multiplican dos de tales objetos, crean tér-

minos tales como i · i, j · j, i · j y j · i cuyo resultado es −1 para los dos primeros productos,pero los dos últimos productos son un problema, parece no haber solución obvia por lo queHamilton extendió la notación a

q = s+ai+b j+ ck

donde I, j y k son iguales ap−1. Cuando Hamilton multiplicaba estos objetos encontró

términos como i · j, j · k y k · i, que también dificultaban la descripción. El 16 de octubre de1843, pensó en la idea de que i · j = k, j ·k = i y k · i = j. También conjeturó que j · i =−k, k · j =−i e i · k = − j. En ese momento descubrió los cuaterniones, que revelaron los fundamentosde los productos escalar y vectorial. Las i, j y k de Hamilton no son los i, j y k que se usanen las coordenadas Cartesianas, pero existen entre ellas algunas extrañas similaridades. Suproducto vectorial sugiere la siguiente manipulación.:

a×b= (yazb − ybza)i+ (zaxb − zbxa)j+ (xa yb − xb ya)k (15)

el cual, claramente, es otro vector y resulta ser perpendicular al plano que contiene a a y b.La ecuación (14) también puede expresarse en forma de determinante

a×b=∣∣∣∣ya zayb zb

∣∣∣∣i+ ∣∣∣∣za xazb xb

∣∣∣∣j+ ∣∣∣∣xa yaxb yb

∣∣∣∣k (16)

y que frecuentemente se presenta como

a×b=∣∣∣∣∣∣

î j kxa ya zaxb yb zb

∣∣∣∣∣∣ (17)

que produce el mismo resultado que la ecuación (15) y se recuerda con más facilidad. Debenotarse que el símbolo ′×′ se usa para distinguir al producto vectorial del producto escalary, a veces, se le llama producto cruz.

Este producto se puede expresar de otro modo. Dados

a= xai+ ya j+ zak y b= xb i+ yb j+ zbk

entoncesa×b= (xai+ ya j+ zak)× (xb i+ yb j+ zbk)

que se expande como

a×b= xaxb i× i+ ya yb j× j+ zazbk× k+ xa yb i× j+ xazb i× k+ yaxb j× i+ yazb j× k+ zaxbk× i+ za ybk× j (18)

25

Marcelo Lugo

Si se observa cuidadosamente la ecuación (18), se observan características parecidas alas de la ecuación (12). Ahora se desea una regla similar a la de la ecuación (11) para elproducto escalar. Así, se puede probar con

a×b= ∥∥a∥∥∥∥b

∥∥sinθ n (19)

donde el vector unitario n es perpendicular a a y b.Aplicando la ecuacion (19) a la (18), los términos î×î, j×j y k×k se hacen cero, ya que el

ángulo entre ellos es 0°, y sin 0°=0. Por lo que

a×b= xa yb i× j+ xazb i× k+ yaxb j× i+ yazb j× k+ zaxbk× i+ za ybk× j

Si se invocan las reglas para los cuaterniones aplicadas a los vectores:

i× j=k, j× k= i y k× i= j

y sus formas inversasj× i=−k, k× j=−i y i× k=−j

se obtienea×b= xa ybk− xazb j− yaxbk+ yazb i+ zaxb j− za yb i

que resulta ena×b= (yazb − za yb)i+ (zaxb − xazb)j+ (xa yb − yaxb)k

que es idéntica a la ecuación (15).Tomando en cuenta la ecuacion (19) de la definición del producto vectorial se puede con-

siderar la orientación de n.Dado que se emplea un sistema de ejes de mano derecha, la mano derecha también

determina la orientación de n. Por lo tanto, haciendo referencia a la mano derecha, el pulgarrepresenta a a, el dedo índice representa a b y el dedo medio indica la direccion de n. Resultaconveniente considerar a esta operación como una rotación de a a b y que produce al vectorperpendicular n. Como altrernativa también se acostumbra a indicar a a con el dedo índice,a b con el dedo medio y a n con el pulgar, ambas técnicas son representación de la mismaoperación. Esto se muestra en la figura 32. Debe notarse que el vector producto es sensibleal orden de los dos vectores que lo producen. Al intercambiar a los vectores a y b se obtiene

b×a=−n=−∥∥b∥∥∥∥a

∥∥sinθ n

y se ve que el producto vectorial viola la regla de conmutatividad que sí se cumple con losescalares. De hecho, a×b=−(b×a).

La ecuación (19) no solo determina la longitud de n, también proporciona informaciónacerca de la cerradura del espacio al que pertenecen a y b. Y si se elimina a n del ladoderecho de la ecuación se obtiene

∥∥a∥∥∥∥b

∥∥sinθ, lo cual nos recuerda a otra fórmula: 12 absinθ,

que es el área de un triángulo con lados a y b y un ángulo entre ellos de θ. La figura 33 ilustraesto.

El área de ∆ABC es igual a 12 absinθ, lo que significa que absinθ es igual al áreal del

paralelogramo ABCD. Así, cuando se calcula el producto vectorial a×b, el vector perpendi-cular n tiene una longitud cuyo valor es igual al del área del paralelogramo con lados

∥∥a∥∥ y∥∥b

∥∥. La figura 34 ilustra esta relación.

26

Marcelo Lugo

a

b

n q

Figura 32

a

b

q

A B

C D

Figura 33

Antes de proceder, será útil probar que las fórmulas anteriores son conssitentes, por loque demostraremos que las unidades vectoriales rectangulares obedecen a estas reglas.

Sustituyendo a y b por i y j en

a×b=∣∣∣∣∣∣

î j kxa ya zaxb yb zb

∣∣∣∣∣∣se obtiene

i× j=∣∣∣∣∣∣î j k1 0 00 1 0

∣∣∣∣∣∣i× j=

∣∣∣∣0 01 0

∣∣∣∣i+ ∣∣∣∣0 10 0

∣∣∣∣j+ ∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣k= k

Si ahora se sustituye por j y k se obtiene

j× k=∣∣∣∣∣∣î j k0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣j× k=

∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣i+ ∣∣∣∣0 01 0

∣∣∣∣j+ ∣∣∣∣0 10 0

∣∣∣∣k= i

27

Marcelo Lugo

n = a b sin q

area = a b sin q

qa

b

n

Figura 34

Si ahora se sustituye por k y i se obtiene

k× i=∣∣∣∣∣∣î j k0 0 11 0 0

∣∣∣∣∣∣k× i=

∣∣∣∣0 10 0

∣∣∣∣i+ ∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣j+ ∣∣∣∣0 01 0

∣∣∣∣k= j.

A continuación se mostrará que el producto vectorial no es conmutativo, para lo cual sesustituirá a a por k y a b por j, por lo que

k× j=∣∣∣∣∣∣î j k0 0 10 1 0

∣∣∣∣∣∣k× j=

∣∣∣∣0 11 0

∣∣∣∣i+ ∣∣∣∣1 00 0

∣∣∣∣j+ ∣∣∣∣0 00 1

∣∣∣∣k=−i.

lo que confirma quej× k=−k× j.

Las áreas de los paralelogramos asociados con los ejemplos anteriores valen 1, que es lalongiud del vector resultante.

Como un ejemplo adicional, considere el escenario de la figura 35. Los vectores a y bestán dados por

a=−j+k y b= i− j.

La tarea consiste en calcular los vectores normales tanto a a como a b. Así

a× b=∣∣∣∣∣∣î j k0 −1 11 −1 0

∣∣∣∣∣∣a× b=

∣∣∣∣−1 1−1 0

∣∣∣∣i+ ∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣j+ ∣∣∣∣0 −11 −1

∣∣∣∣k= i+ j+ k

28

Marcelo Lugo

11

1

X

Y

Z

ab

n=a b

Figura 35

que es el resultado correcto pero, ¿qué se puede decir del ángulo θ?

θ = cos−1(

xaxb + ya yb + zazb

‖a‖‖b‖)

θ = cos−1(0×1+ (−1)× (−1)+1×0p

2p

2

)= 60°.

O bien

θ = sin−1( ∥∥n

∥∥∥∥a∥∥∥∥b

∥∥)= sin−1

( p3p

2p

2

)= 60°.

Las tres ecuaciones precedentes son correctas, así como el triángulo formado por a y bes un triángulo equilátero.

Las normales a las superficiesUna aplicación importante del prducto de vectores en la computadora es la facilidad conla que se calculan normales a las superficies. Dado un triángulo, es posible usar dos ladoscuales quiera del triángulo para el producto vectorial. Sin embargo, se debe conocer la con-vención para definir los vértices de un triángulo y cuál de las caras del triángulo será afuerao adentro. La figura 36 muestra un triángulo donde los vértices están definidos en secuenciaantihioraria, visto desde afuera.

Usando la regla de la mano derecha se puede ver que el primer vector tiene que ser−−→AB

seguido de−−→AC, que asegura que la normal, n, a la superficie apunta en la dirección desde la

que se observa al triángulo.Dado que los vértices son A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) y C(xC, yC, zC), entonces los vectores−−→

AB y−−→AC quedan definidos como sigue

−−→AB = (xB − xA)i+ (yB − yA)j+ (zB − zA)k

−−→AC = (xC − xA)i+ (yC − yA)j+ (zC − zA)k

29

Marcelo Lugo

A

C

B

nq

AB

AC

Figura 36

Por lo tanto,

n=−−→AB×−−→

AC =∣∣∣∣∣∣

î j kxB − xA yB − yA zB − zAxC − xA yC − yA zC − zA

∣∣∣∣∣∣como se esperaba.

El álgebra de los productos entre vectoresAhora se consolidarán las reglas algebraicas asociadas con los productos escalar y vectorial.Las leyes necesarias son: la conmutativa y la distributiva, pero también es necesario confir-mar el papel de los escalares en estos productos.

La ley de la conmutatividad para el producto escalarDado que

a ·b= ∥∥a∥∥∥∥b

∥∥cosθ (20)

la ley de la conmutatividad del producto escalar permite que se escriba la ecuación anteriorcomo

a ·b= ∥∥b∥∥∥∥a

∥∥cosθ =b ·aPor lo tanto

a ·b=b ·a.

Por lo que la conmutatividad en el producto escalar queda probada.

La ley de la ditributividad para el producto escalarDados

a= xai+ ya j+ zak

b= xb i+ yb j+ zbk

c= xc i+ yc j+ zck

entoncesa · (b+c)= (xai+ ya j+ zak) · [(xb i+ yb j+ zbk)+ (xc i+ yc j+ zck)]

30

Marcelo Lugo

a · (b+c)= (xai+ ya j+ zak) · [(xb + xc)i+ (yb + yc)j+ (zb + zc)k)]

a · (b+c)= xa(xb + xc)+ ya(yb + yc)+ za(zb + zc)

a · (b+c)= xaxb + xaxc + ya yb + ya yc + zazb + zazc)= a ·b+a ·cPor lo tanto

a · (b+c)= xa(xb + xc)+ ya(yb + yc)+ za(zb + zc)

a · (b+c)= a ·b+a ·c,

como se esperaba.

La ley de la conmutatividad para el producto vectorialLa ley de la conmutatividad para el producto vectorial no se cumple pues, dado

a×b=∣∣∣∣∣∣

î j kxa ya zaxb yb zb

∣∣∣∣∣∣a×b=

∣∣∣∣ya zayb zb

∣∣∣∣i+ ∣∣∣∣za xazb xb

∣∣∣∣j+ ∣∣∣∣xa yaxb yb

∣∣∣∣ka×b= (yazb − ybza)i+ (zaxb − zbxa)j+ (xa yb − xb ya)k.

En contraste

b×a=∣∣∣∣∣∣

î j kxb yb zbxa ya za

∣∣∣∣∣∣b×a=

∣∣∣∣yb zbya za

∣∣∣∣i+ ∣∣∣∣zb xbza xa

∣∣∣∣j+ ∣∣∣∣xb ybxa ya

∣∣∣∣kb×a= (ybza − yazb)i+ (zbxa − zaxb)j+ (xb ya − xa yb)k

b×a=−(yazb − ybza)i− (zaxb − zbxa)j− (xa yb − xb ya)k=−a×b

Por lo tantob×a=−a×b

y la ley de la conmutatividad no se cumple, como quedó demostrado.

La ley de la distributividad para el producto vectorialDados

a= xai+ ya j+ zak

b= xb i+ yb j+ zbk

c= xc i+ yc j+ zck

yd=b+c= xd i+ yd j+ zdk,

31

Marcelo Lugo

entonces

a× (b+c)= a×d=∣∣∣∣∣∣

î j kxa ya zaxd yd zd

∣∣∣∣∣∣a×d=

∣∣∣∣ya zayd zd

∣∣∣∣i+ ∣∣∣∣za xazd xd

∣∣∣∣j+ ∣∣∣∣xa yaxd yd

∣∣∣∣ky sustituyendo b+c por d se obtiene

a× (b+c)=∣∣∣∣ ya zayb + yc zb + zc

∣∣∣∣i+ ∣∣∣∣ za xazb + zc xb + xc

∣∣∣∣j+ ∣∣∣∣ xa yaxb + xc yb + yc

∣∣∣∣ka× (b+c)= [ya(zb + zc)− za(yb + yc)]i+ [za(xb + xc)− xa(zb + zc)]j+ [xa(yb + yc)− ya(xb + xc)]k

a× (b+c)=(yazb − ybza)i+ (yazc − ycza)i+(zaxb − zbxa)j+ (zaxc − zcxa)j+(xa yb − xb ya)k+ (xa yc − xc ya)k

a× (b+c)= a×b+a×c

como quería demostrarse.

Los productos triplesYa estudiados los productos que involucran a dos vectores, se estudiará ahora a los productosque involucran a tres vectores. Un enfoque interesante consiste en considerar a tres vectores,a, b y c, y explorar las combinaciones usando ′·′ y ′×′ sin cambiar el orden alfaético de losnombres de los vectores, como se muestra en la Tabla 3:

Tabla 3a · (b×c) a× (b ·c)(a×b) ·c) (a ·b)×c)a× (b×c) a · (b ·c)(a×b)×c) (a ·b) ·c

No todas las combinaciones de la tabla anterior conducen a resultados con algún signi-ficado y por ello se colocaron en la segunda columna. Los productos que se muestran en laprimera columnasi tienen un significado que se describirá a continuación.

El triple producto escalarLa figura 37 muestra tres vectores, a, b y c que forman la base de un prisma en el que elárea de la base está dada por Area = ∥∥a

∥∥∥∥b∥∥sinθ. Pero n= a×b, donde

∥∥n∥∥= Area. Ahora,

el volumen de un prisma es el producto (altura vertical)·(área de la base), que en notaciónvectorial está dado por

V olumen = (∥∥c

∥∥cosα) · (∥∥n∥∥)= ∥∥c

∥∥ ·∥∥n∥∥cosα

32

Marcelo Lugo

que se reconoce como el producto c ·n. Pero como n= a×b, se puede establecer que

V olumen = c · (a×b)

que es un arelación más elegante.

n

c

b

a

a

Área

Figura 37

El prisma de la figura 37 se puede trazar fácilmente con los vectores b y c como base,usando el razonamiento anterior, quedaría como

V olumen = a · (b×c)

Similarmente, si los vectores c y a forman la base, el volumen será

V olumen =b · (c×a)

Así, se puede concluir que

V olumen = a · (b×c)=b · (c×a)= c · (a×b). (21)

Los primeros dos renglones de la primera columna de la Tabla 3 corresponden al volumende un paralelepípedo y se les conoce como triple producto escalar.

A diferencia del producto vectorial, el producto escalar es conmutativo, por lo que sepermite escribir

c · (a×b)= (a×b) ·cla cual, usando la ecuación (21), conduce a

a · (b×c)= (a×b) ·c (22)

y como la ecuación (22) tiene sentido solo cuando el paréntesis abarca al producto vectorial,se puede emplear [abc] para representar a a · (b×c) o (a×b) ·c), que suele conocerse comoel producto caja. Sin embargo, el producto vectorial no es conmutativo, lo que significa quesi se invierten los vectores que representan a la base, el vector normal resultante n apuntaen la dirección opuesta y resulte en un valor negativo. Así, estrictamente hablando [abc]

33

Marcelo Lugo

X

Y

Z

n

a

b

c

Figura 38

representa al volumen del prisma con su signo. Para ilustrar esto, calculemos el volumen deun cubo y mostremos por qué el orden es tan importante.

La figura 38 muestra a tres vectores, a, b y c que son la base para construir un cubo. Losvectores se definene como

a=−k

b=−i

c= j

y se organizan en una secuencia de mano derecha.Sustituyendo estos en

[abc]=V olumen = (a×b) ·c (23)

se obtieneabc]=V olumen = (−k×−i) · j.

Primero se calcula el producto vectorial

(−k×−i)

(−k×−i)=∣∣∣∣∣∣

î j k0 0 −1−1 0 0

∣∣∣∣∣∣= j

Ahora se calcula el producto escalarj · j=+1.

Así, el cubo tiene un volumen de +1 unidades.Ahora se intercambiarán los vectores base

a=−i

b=−k

c= j

34

Marcelo Lugo

que están organizados de acuerdo con una secuencia de mano izquierda.Sustituyendo en la ecuación (23) se tiene que

[abc]= (−i×−j) · j

(−i×−j)=∣∣∣∣∣∣

î j k−1 0 00 0 −1

∣∣∣∣∣∣=−j.

Y calculando ahora el producto escalar

−j · j=−1 unidades.

Así, el cubo tiene un volumen de −1 unidades, así que

[abc]=V olumen = ∣∣(a×b) ·c∣∣= ∣∣(a · (b×c)∣∣. (24)

La ecuación antrerior se puede escribir como

a× (b×c)=∣∣∣∣∣∣xa ya zaxb yb zbxc yc zc

∣∣∣∣∣∣ (25)

que es una relación más elegante.Además, si se intercambian dos renglones o dos columnas de un determinante, se invierte

su signo. También, el valor de un determinante permanece sin cambios si se trasponen suselementos. Por lo tanto ∣∣∣∣∣∣

xa ya zaxb yb zbxc yc zc

∣∣∣∣∣∣=−∣∣∣∣∣∣xa ya zaxc yc zcxb yb zb

∣∣∣∣∣∣=−∣∣∣∣∣∣xb yb zbxa ya zaxc yc zc

∣∣∣∣∣∣y

[abc]=−a · (c×b)=−b · (a×c).

Y para ver que la ecuación (23) funciona adecuadamente consideremos el primer ejemplode los dos anteriores, donde

a=−k

b=−i

c= j

Usando (23) se encuentra

[abc]= a× (b×c)=∣∣∣∣∣∣

0 0 −1−1 0 00 1 0

∣∣∣∣∣∣= 1

Así, ahora estamos en condiciones de probar que a · (b×c)=b · (c×a)= c · (a×b), aunqueya se concluyó anteriormente. De la ecuación (23) se tiene

a× (b×c)=∣∣∣∣∣∣xa ya zaxb yb zbxc yc zc

∣∣∣∣∣∣.35

Marcelo Lugo

Por lo que ∣∣∣∣∣∣xa ya zaxb yb zbxc yc zc

∣∣∣∣∣∣=−∣∣∣∣∣∣xb yb zbxa ya zaxc yc zc

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣xb yb zbxc yc zcxa ya za

∣∣∣∣∣∣=b× (c×a).

Similarmente, ∣∣∣∣∣∣xa ya zaxb yb zbxc yc zc

∣∣∣∣∣∣=−∣∣∣∣∣∣xc yc zcxb yb zbxa ya za

∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣xc yc zcxa ya zaxb yb zb

∣∣∣∣∣∣= c · (a×b).

Por lo tantoa · (b×c)=b · (c×a)= c · (a×b). (26)

como ya se sabía.

El triple producto vectorialUno de los productos triples en la Tabla 3 es a× (b×c), y se tienen tres preguntas al respecto:

1. ¿Existe alguna relación equivalente que involucre productos escalares?

2. ¿Tiene alguna conexión con (a×b)×c?

3. ¿Tiene algún significado geométrico?

b b

c c

b c b c

a (b c)

a

(a) (b)

Figura 39

La figura 39(a) muestra parte del triple producto, donde se ven los vectores b c compar-tiendo un plano común y el producto vectorial b×c perpendicular a este plano. El tercervector a puede residir en este plano o intersectarlo. Primero se considerará el caso en el quese intersecta con el plano, ver la figura 39(b).

Si se considera al producto vectorial de a con b×c, el resultado a× (b×c) debe ser per-pendicular a a y a b×c, lo que significa que debe estar en el plano original que contiene a by a c.

Ahora, considere el escenario en el que a reside en el plano que contiene a b y a c. Estono es diferente del escenario previo ya que el resultado a× (b×c) debe ser perpendicular ab×c, que está en el plano. Lo mismo es cierto para (a×b)×c.

36

Marcelo Lugo

Se puede mostrar quea× (b×c)= (a ·c)b− (a ·b)c (27)

y(a×b)×c= (a ·c)b− (b ·c)a. (28)

Es obvio que a× (b×c) 6= (a×b)×c, lo que confirma que la ley de la aosciatividad no secumple para el triple producto vectorial. Por lo que la respuesta a la segunda pregunta esno.

De lo que se ha descubierto hasta aquí, parece que el triple producto vectorial carece designificado geométrico alguno, por lo que la respuesta a la tercera pregunta también es no.

Un método popular para detectar polígonos con perspectiva (que no están en un planoperpendicular a la línea de visión del observador) consiste en calcular el ángulo entre la nor-mal a la superficie del polígono y el vector que representa a la línea de visión del observador.Esto se muestra en la figura 40.

n

aq

Figura 40

Si el ángulo θ entre los vectores a y n es igual o excede los 90°, el polígono es invisible.Pero supongamos que no se cuenta con el vector normal, entonces se puede usar el tripleproducto escalar en su lugar.

Primero se debe conocer el orden de los vértices del polígono visto desde el exterior.Supongamos que es en sentido antihorario. Es posible especificar dos vectores, b y c, talesque su producto vectorial apunte hacia afuera. Por ejemplo, en la figura 41 los vértices A, By C dan lugar a los vectores b =−−→

AB y c =−−→AC. Se puede crear un tercer vector a localizado

en O de modo que a = −−→AO. Esto da lugar a un tetraedro cuyo volumen puede ser positivo,

cero o negativo, dependiendo de la orientación del observador y el polígono.

aO

C

B

Ac

b

Figura 41

37

Marcelo Lugo

El volumen del tetraedro está dado por

16

a · (b×c)= 16

∣∣∣∣∣∣xa ya zaxb yb zbxc yc zc

∣∣∣∣∣∣.Si el volumen es positivo, el polígono está enfrente del observador, si el volumen es cero,

el polígono es paralelo al observador y si el volumen es negativo, el polígono muestra su carareversa al observador. Probemos esta hipótesis con un ejemplo.

La 42 muestra un escenario en el que el observador está localizado en (1,0,0) mirandohacia uno de los vértices del triángulo que se encuentra en el origen del sistema de coorde-nadas.

X

Y

Z

a

b

c

(0, 1, 1)

(0, 0, 2)

(0, 0, 0)

(1, 0, 0)

Figura 42

Por lo tanto, los vectores son a= i, b= i+ j, c= 2k y el volumen del prisma está dado por

V ol = 16

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 10 0 2

∣∣∣∣∣∣= 16×2

lo que significa que el polígono es visible. Si el observador se localiza en (0,0,−1) a lo largodel eje negativo z, el volumen es cero:

V ol = 16

∣∣∣∣∣∣0 0 −10 1 10 0 2

∣∣∣∣∣∣= 0

lo que significa que el polígono es invisible. Finalmente, si el observador se localiza en(−1,0,0), el volumen es negativo:

V ol = 16

∣∣∣∣∣∣−1 0 00 1 10 0 2

∣∣∣∣∣∣= 16× (−2)

lo que significa que el polígono es invisible.

38

Marcelo Lugo

Si el observador se localiza en el origen, no es necesario crear vectores adicionales ya queel volumen está dado por

V ol = 16

∣∣∣∣∣∣xa ya zaxb yb zbxc yc zc

∣∣∣∣∣∣donde solo se requieren las coordenadas de los vértices.

Los vectores perpendicularesCuando se trabaja en 2D, con frecuencia se emplean vectores que son perpendiculares conalgún vector de referencia. Por ejemplo, la 43 muestra a dos vectores v y n, donde n esperpendicular a v y, matemáticamente, se expresa como n⊥ v.

n

v

Figura 43

El símbolo ⊥ se puede ver como un operador, tal que dado un vector v, v⊥ es un vectorperpendicular a v. En estos casos el problema radica en conocer la dirección del vector per-pendicular. La figura 44 muestra las dos posibilidades y ambas son válidas. Sin embargo,la matemática emplea una convención donde una rotación antihoraria es positiva, lo cualapoya a la regla de la mano derecha. Como consecuencia, se adopta la orientación que semuestra en la figura 44. El siguiente paso es encontrar las componentes del vector v⊥.

v

v

v

v

(a) (b)

Figura 44

La 45 muestra al vector v= ai+bj, que forma un ángulo α con el eje x y 90°−α con el ejey. Si se trasponen las componentes de v de modo que −bi+aj se crea un segundo vector, el

39

Marcelo Lugo

cual debe ser perpendicular a v, ya que el ángulo entre los vectores es de 90°. Por lo tanto,se afirma que

v= ai+bj

v⊥ =−bi+aj (29)

a

a

b

-b

a

a90° a

v

v

X

Y

Figura 45

Adicionalmente se tiene una confirmación más con el producto escalar, donde

v ·v⊥ = (ai+bj) · (−bi+aj)=−ab+ab = 0.

Una altenativa más se tiene si se convierte al vector v en un número complejo:

ai+bj≡ a+ ib (30)

dondei =

p−1.

Si se multiplica a a+ ib por i, efectivamente se tiene una rotación de 90°:

i(a+ ib)= ai+ i2b =−b+ai

donde−b+ai ≡−bi+aj

Aunque el cambio de signo y el intercambio de las componentes es una operación simple,es posible representarla formalmente con el determinante:

v⊥ =−∣∣∣∣ î ja b

∣∣∣∣=−bi+aj.

A partir de la definición del producto escalar se sabe que

a ·b= ∥∥a∥∥∥∥b

∥∥ cosθ

40

Marcelo Lugo

y

cosθ = a ·b∥∥a∥∥∥∥b

∥∥ .

Pero lo que no se sabe es el sentido de θ; esto es, ¿b rota en sentido antihorario conrespecto a a o vice versa? Considere el escenario que se muestra en la 46, donde b rota endirección antihoraria con respecto a a, dando lugar a un ángulo positivo θ.

aq

a

a b

Figura 46

De la figura se puede establecer que

a⊥ ·b= ∥∥a⊥∥∥∥∥b∥∥ cosθ.

y

cosα= a⊥ ·b∥∥a⊥∥∥∥∥b∥∥ a⊥ ·b∥∥a

∥∥∥∥b∥∥ . (31)

Pero nótese que θ+α = 90°,sinθ = cosα. (32)

Sustituyendo (32) en (31) se obtiene

sinθ = a⊥ ·b∥∥a∥∥∥∥b

∥∥ . (33)

Ahora, la naturaleza de la función coseno es que

cosθ = cos(−θ)

que no es el caso para la función seno:

sin(−θ)=−sinθ.

Esto implica que la ecuación (33) es sensible a la dirección del ángulo θ. Entonces, si brota en dirección antihoraria un ángulo θ desde a, sin θ es positivo. Pero si b rota en sentidohorario un ángulo θ desde a, sin θ es negativo.

41

Marcelo Lugo

Un ejemplo sencillo demuestra la sensibilidad angular de la ecuación (33).Con referencia a la figura 46 sean

a= i

b= i+ j

a⊥ = j

Por lo tanto,

sinθ = a⊥ ·b∥∥a∥∥∥∥b

∥∥ = j · (i+ j)1 ·p2

= 1p2

.

q a

b

a

Figura 47

En contraste y con referencia a la figura 47

a= i

b= i− j

a⊥ = j

Por lo que

sinθ = j · (i− j)1 ·p2

=− 1p2

.

Esto implica que la ecuación (33) es sensible al signo del ángulo entre los vectores.Ya se sabe que ∥∥a×b

∥∥= ∥∥a∥∥∥∥b

∥∥ sinθ

42

Marcelo Lugo

que es igual al área del paralelogramo formado por los vectores a y b (ver la figura 34). Perode la eucación (33) se puede establecer que

a⊥ ·b= ∥∥a∥∥∥∥b

∥∥ sinθ

a

a

a

b.área = a b sin q

Figura 48

Por lo tanto a⊥ ·b es igual al área (con signo) del paralelogramo formado por a y b, comose muestra en la figura 48.

La interpolación con vectoresLa interpolación entre un par de cantidades escalares es común en los gráficos por compu-tadora, especialmente en el control de la intensidad de la luz, color, posición o la orientaciónde objetos y cámaras. También es posible hacer interpolación con vectores y se hace regular-mente en el sombreado Phong. Sin embargo, una consecuencia de los vectores linealmenteinterpolados es que la longitud de los vectores no se preserva, lo cual causa problemas enla forma de vectores nulos o la necesidad de la normalización. Si la longitud de un vectores importante, entonces se debe usar la interpolación esférica. A continuación se estudiránestos esquemas.

La interpolación linealDados dos escalares v1 y v2, es posible hacer la interpolación lineal entre ellos usando

v = (1−λ)v1 +λv2

donde λ es un escalar tal que 0≤λ≤ 1.Cuando λ< 0 o λ> 1, la interpolación continúa, pero v < v1 y v < v2, respectivamente.No debería ser una sorpresa que el mismo proceso funcione con los vectores y se pueda

escribirw= (1−λ)u+λv, 0≤λ≤ 1 (34)

La figura 49 ilustra los valores de w para diferentes valores de λ.Más adelante se seguirá usando la ecuación (34) para identificar los puntos que se en-

cuentran sobre una línea determinada por dos vectores.

43

Marcelo Lugo

u

v

w0w0.25

w0.5w0.75

w1

l=0

l=1

l=0.25

l=0.5

l=0.75

Figura 49

La interpolación esféricaLa interpolación esférica asegura que la magnitud del vector interpolado no se anula.

W

O X

Y

Ta

bv

w

uab

b

gq

Figura 50

La figura 50 muestra a dos vectores unitarios u y v separados por el ángulo θ, que sepuede determinar usando

θ = cos−1(u · v).

De la figura se puede ver queOT = a, TW = b

y TW es paralelo a v.La interpolación lineal del ángulo está controlada por el parámetro λ, donde

α=λθ and β= (1−λ)θ

por lo quew= au+bv.

De la figura 50 se obtieneγ=π−θ

44

Marcelo Lugo

ysinγ= sinθ.

Por lo tanto, usando la regla de los senos:

OWsinγ

= 1sinθ

= asinβ

= bsinα

a = sinβsinθ

= sin(1−λ)θsinθ

y

b = sinαsinθ

= sinλθsinθ

Finalmentew= sin(1−λ)θ

sinθu+ sinλθ

sinθv (35)

La ecuación (35) se llama slerp ya que en su aplicación en 3D los vectores unitarios seinterpola esféricamente a través de una esfera de radio unitario. Este interpolante tambiénse puede usar para cuaterniones unitarios.

Probemos la ecuación (35) con un ejemplo sencillo. Dados u= i y v= j, entonces θ=90°.Ahora encontremos al vector interpolado cuando λ=0.5.

Y

X

w45°

45°

v

u

Figura 51

Como se muestra en la figura 51 el vector intepolado debe ser

w=p

22

i+p

22

j.

Usando la ecuación (35) se encuentra que

w= sin45°sin90°

i+ sin45°sin90°

j.

w=p

22

i+p

22

j.

Aunque la ecuación (35) supones que u y v son vectores unitarios, esto también es ciertopara vectores no unitarios. Por ejemplo, si u= 2i y v= 4j, entonces θ=90°.

45

Marcelo Lugo

Ahora, encontremos el vector interpolado cuando λ=0.5, así que

w=p

22

2i+p

22

4j=p

2 i+2p

2 j.

La magnitud de w es

∥∥w∥∥=

√(p2)2 +

(2p

2)2 =

p10= 3.162.

Así, aun cunado el ángulo de rotación es 50% del ángulo de separación, la longitudedel vector excede la mitad del camino entre 2 y 4, lo cual se debe a que la interpolación esesférica más que lineal.

Si se quisiera que la longitud del vector interpolado se relacione linealmente con θ, en-tonces se debe normalizar a u y a v y escalar al vector interpolado como sigue:

w= [(1−λ)∥∥u

∥∥+λ∥∥v

∥∥](sin(1−λ)θ

sinθu+ sinλθ

sinθv).

Por ejemplo, usando el ejmplo en el que u= 2i, v= 2j y λ=0.5 se tiene

w= (0.5×2+0.5×4)(sin45°sin90°

i+ sin45°sin90°

j)

y

w= 3(p

22

i+p

22

j)

que es el resultado correcto.No es necesario decir que la interpolación se puede usar tanto en 3D como en 2D.

Los cosenos directoresLa orientación y magnitud de un vector están codificados en sus componentes Cartesianas.La magnitud de un vector v en 3D se obtiene con

Y

X

v

ai

aiaj

aj

ak

X

Y

Z

v

Figura 52

∥∥v∥∥=

√x2

v + y2v + z2

v

46

Marcelo Lugo

en tanto que su orientación se obtiene usando

α= tan−1(

yv

xv

)donde α es el ángulo entre el vector y el eje x. Sin embargo, se puede desarrollar la idea delos cosenos directores.

La figura 52 ilustra la idea que está detrás de los cosenos directores para vectores 2Dy 3D. Los ángulos αi, α j y αk (para un vector en 3D) proporcionan un mecanismo visualelegante para la orientación de un vector en relación con sus ejes Cartesianos. De hecho,lo que se usa son los cosenos de los ángulos, que están íntimamente relacionados con lascomponentes del vector.

Y

X

v

ai

aj

yv

xv

Figura 53

Para empezar, considerese el vector v en 2D de la figura 53. Tienen componentes xv y yvy es obvio que αi +α j=90°. Ahora

cosαi = xv∥∥v∥∥

y

cosα j = yv∥∥v∥∥ .

Si v es un vector unitario,cosαi = vx

ycosα j = vy

y se les llama cosenos directores de v.En el escenario 3D de la figura 54 no se ve inmediatamente que cosαi, cosα j y cosαk

sean los cosenos directores, pero el producto escalar lo revela.Para encontrar cosαi

cosαi = xv∥∥v∥∥ .

47

Marcelo Lugo

ai

aj

ak

X

Y

Z

v

yv

xvzv

Figura 54

Similarmentecosα j = yv∥∥v

∥∥y

cosαk =zv∥∥v

∥∥ .

Una vez más, si v es un vector unitario, los cosenos directores son las componentes delvector.

El cambio del sistema de coordenadasUna de las palicaciones útiles de los cosenos directores es la transformación de puntos de unsistema de coordenadas a otro. Por ejemplo, considere el problema de calcular las coordena-das 2D de un punto con respecto a un sistema de coordenadas que ha sido girado un ánguloθ con respecto a un sistema de referencia inicial, como se muestra en la figura 55

q

q

90°+q

f

Y

X

X’

Y’

Figura 55

X ′ rota θ con respecto a X y tiene cosenos directores cosθ y cosφ.Pero como

sinθ = cosφ

X ′ tiene cosenos directores cosθ y sinθ.

48

Marcelo Lugo

Similarmente, Y ′ está girada con respecto a Y y tiene cosenos directores cos(90°+θ) ycosθ.

Pero comocos(90°+θ)=−sinθ

Y ′ tiene cosenos directores −sinθ y cosθ.Si el sistema de coordenadas gira un ángulo θ, esto es equivalente a girar un punto en la

dirección opuesta −θ.La transformación para hacer una rotación θ es[

cosθ −sinθsinθ cosθ

].

Por lo tanto, la rotación −θ es [cosθ sinθ−sinθ cosθ

].

Debe notarse que los elementos del primer renglón de la transformación son los cosenosdirectores del eje X ′ rotado y que los elementos del segundo renglón son los cosenos directo-res del eje Y ′ rotado. Así, se puede establecer que las coordenadas de un punto P(xP , yP ) enun sistema de referencia girado es[

x′Py′P

]=

[r11 r12r21 r22

]·[

xPyP

]donde

r11 es el coseno director de X ′ con respecto a Xr12 es el coseno director de X ′ con respecto a Yr21 es el coseno director de Y ′ con respecto a Xr22 es el coseno director de Y ′ con respecto a YPuesto que sin2θ+ cos2θ = 1, los coseno directores para cualquier vector poseen las si-

guientes cualidades:r2

11 + r212 = 1

r221 + r2

22 = 1.

Para ver esta transformación en acción considere el caso de calcular las nuevas coor-denadas de P(1,1), donde los ejes se giran 45°. Este escenario se muestra en la figura 56.

Debe ser obvio de la figura 56 que las coordenadas de P con respecto a los ejes giradosson (

p2,0).

Los cosenos directores para X ′ con cos 45° y sin 45°, mientras que los cosenos directorespara Y ′ son −sin 45° y cos 45°, que da lugar a la siguiente transformación:[

x′Py′P

]=

[0.707 0.707−0.707 0.707

]·[

xPyP

](x′P , y′P )= (1.414,0).

49

Marcelo Lugo

1

1 X

Y

X’

Y’P

45°

Figura 56

Se puede usar un argumento similar para calcular las nuevas coordenadas de un puntorespecto de un sistema girado en 3D. De nuevo, el punto se gira en dirección opuesta a ladel eje de rotación. Aunque esto puede requerir tres rotaciones individuales alrededor de losejes x, y y z, el resultado final se puede expresar como una transformaciónr11 r12 r13

r21 r22 r23r31 r32 r33

donder11 r12 r13 son los cosenos directores del eje X ′ girado con respecto a X , Y y Z, respectiva-mente,r21 r22 r23 son los cosenos directores del eje Y ′ girado con respecto a X , Y y Z, respectiva-mente yr31 r32 r33 son los cosenos directores del eje Z′ girado con respecto a X , Y y Z, respectiva-mente.

Así, las nuevas coordenadas de un punto P(xP , yP , zP ) están dadas porx′Py′Pz′P

=r11 r12 r13

r21 r22 r23r31 r32 r33

·xP

yPzP

.

Debe notarse quer2

11 + r212 + r2

13 = 1

r221 + r2

22 + r223 = 1

r231 + r2

32 + r233 = 1.

Para demostrar lo anterior, considere el caso de calcular las nuevas coordenadas delpunto P(1,1,1), donde el sistema de coordenadas se gira como se ilustra en la figura 57. 56.

De la figura 57 se puede predecir que las nuevas coordenadas son (1,−1,1).Los cosenos directores para X ′, Y ′ y Z′ son (0,1,0), (−1,0,0) y (0,0,1), respectivamente.Por lo tanto x′P

y′Pz′P

= 0 1 0−1 0 00 0 1

·1

11

= 1−11

50

Marcelo Lugo

X

Y

Z

X’

Y’

Z’

P(1, 1, 1)

Figura 57

que es lo que se esperaba.

51

Marcelo Lugo

52

Bibliografía

[1] Stan Gibilisco, Pre-Calculus, Know-it-All, McGraw-Hill, 2010.

[2] Fred Safier, Precalculus, Second Edition, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, 2009.

[3] J. S. R. Chisholm, Vectors in three-dimensional space, Cambridge University Press, 2008.

[4] Michael Corral, Vector Calculus, Schoolcraft College, 2008.

[5] John Vince, Vector Analysis for Computer Graphics, Springer-Verlag London Limited,2007.

[6] John Vince, Geometry for Computer Graphics, formulae, examples, and proofs, Springer-Verlag London Limited, 2005.

[7] Richard Courant & Fritz John, Introducción al cálculo y al análisis matemático, Vol. 1,LIMUSA, 1999.

[8] Gabriel Weinreich, Geometrical Vectors, The University of Chicago Press, 1998.

[9] John Hamal Hubbard & Barbara Burke Hubbard, Vector Calculus, Linear Algebra, AndDifferential Forms, Prentice Hall, 1996.

[10] K. T. Leung & S. N. Suen, Vectors, Matrices and Geometry, Hong Kong University Press,1994.

[11] Jerrold Marsden & Alan Weinstein, Calculus III, Springer-Verlag, 1985.

[12] A. I. Borisenko & I. E. Tarapov, Vector and Tensor Analysis with Applications, DoverPublications Inc., 1979.

[13] J. A. Shercliff, Vector Fields, vector analysis developed through its applications to engi-neering and physics, Cambridge University Press, 1977.

[14] Banesh Hoffmann, About Vectors, DOVER, 1975.

[15] Tom M. Apostol, Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus, with an Introduction toLinear Algebra, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc, 1967.

[16] Charles Wexler, Analytic Geometry, A Vector Approach, Addison-Wesley PublishingCompany, Inc. 1964.

53

Marcelo Lugo BIBLIOGRAFÍA

[17] Arthur H. Copeland, Geometry, Algebra, and Trigonometry by Vector Methods, TheMacmillan Company, 1962.

[18] Murray R. Spiegel, Vector Analysis and An Introduction to Tensor Analysis, Schaum’sOutline Series, McGraw-Hill, 1959.

[19] D. E. Rutherford, Vector Methods applied to differential geometry, mechanics and po-tential theory, Ninth Edition, Interscience Publisher Inc., 1959.

[20] James Byrnie Shaw, Vector Calculus with applications to Physics, D. Van NostrandCompany, 1922.

[21] Abhijit Kar Gupta, PBC Lecture Notes in Physics – Vector Algebra & Vector Analysis.

54