78

Presentación de la unidad

•La ampliación del campo numérico de los números enteros a los decimales no es obvia y exige la elaboración de una compleja estructura de conceptos y nuevas relaciones. La prueba de esta dificultad está, históricamente, en su tardía aparición. De hecho, la primera vez que se tiene constancia de la presencia de los nú-meros decimales es en el libro De Thiende (la decena), del mate-mático holandés Simon Stevin (1548 - 1620). Para expresar 0,548 escribía: 5 1 4 2 8 3. De esta manera, lo que para nosotros serían 5 décimas, 4 centésimas y 8 milésimas, para él eran 5 primeras, 4 segundas y 8 terceras.

•A lo largo de la unidad profundizaremos en la estructura del sis-tema de numeración decimal (órdenes de unidades decimales) y revisaremos los algoritmos para las distintas operaciones con nú-meros decimales. Pondremos especial atención en los procedi-mientos para dividir decimales y para aproximar el cociente al orden de unidades deseado, habida cuenta de los errores que suelen cometer los alumnos y alumnas en esta operación.

•La calculadora sencilla de cuatro operaciones puede resultar una buena herramienta para facilitar la investigación y el descubri-miento de relaciones y propiedades.

Conocimientos mínimos

Para que los números decimales resulten de utilidad en el análisis,

interpretación y representación del entorno, consideramos impres-

cindibles los siguientes contenidos de la unidad:

•Leer y escribir números decimales.

•Conocer y utilizar las equivalencias entre los distintos órdenes de

unidades.

•Ordenar números decimales.

•Aproximar un número decimal a un determinado orden de uni-

dades.

•Calcular por escrito con números decimales (las cuatro operacio-

nes).

•Realizar sencillas operaciones y estimaciones mentalmente.

•Utilizar la calculadora para operar con números decimales.

•Elaborar e interpretar mensajes con informaciones cuantificadas

mediante números decimales.

•Resolver problemas cotidianos en los que aparezcan operacio-

nes con números decimales.

5 Los números decimales

78

Esquema de la unidad

LOS NÚMEROS

según su naturaleza, se clasifican en

que se pueden

mediante que generan que generan

que surgen como resultado de

SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

ordenar operar divisiones no exactas

raíces no exactas

NATURALES ENTEROS DECIMALES OTROS

DECIMALES EXACTOS

DECIMALES PERIÓDICOS

DECIMALES NO EXACTOS Y NO PERIÓDICOS

79

Anticipación de tareas

•Recordar la estructura del S.N.D.

•Revisar las propiedades y los algoritmos de las operaciones con números naturales.

•Recordar la prioridad de operaciones en las expresiones con pa-réntesis y operaciones combinadas de números naturales.

•Practicar y asegurar el cálculo mental.

•Recordar el orden de los números naturales y su representación en la recta numérica.

Adaptación curricular

En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación curricular de esta unidad 5 del libro del alumnado, para cuya ela-boración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que aquí se proponen.

La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáti-cas: el práctico y el intelectual.

Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se proponen.

Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha su-primido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigi-dos.

Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la uni-dad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de nivel hasta adaptarse a lo convenido.

Lo mismo cabe decir de la autoevaluación.

APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO PENSAMIENTO CRÍTICO

Pág. 87. Actividad sugerida en esta P.D. (*) Pág. 89. Actividad 6 Pág. 93. Actividad 9 (*)

Pág. 93. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 91. Ejercicio resuelto Pág. 98. Actividad 10

Pág. 94. Problemas resueltos Pág. 99. Actividades 23, 24

Pág. 98. Actividad 6

Pág. 99. Actividad 25

Pág. 99. Actividad 26 (*)

Pág. 99. Actividades 29 y 31

INTERDISCIPLINARIEDAD TIC EMPRENDIMIENTO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Pág. 86. Actividad sugerida en esta P.D. (*)

Pág. 86. Actividad suge-rida en esta P.D. (*)

Pág. 90. Actividad 12 Todos los problemas propuestos en el L.A. están en-cuadrados en este apartado. Aquí se señalan algu-nos que tienen especial interés.

Pág. 100. Actividades 36 (*), 37 y 38

Pág. 101. Actividades 49 (*) y 51 (*) Pág. 96. Actividad 15

Pág. 102. Actividad “Investiga y exprésate” (*)

Pág. 100. Actividad “Aprende a resolver problemas” (*)

Pág. 101. Actividades 46, 50, 52

Pág. 103. Actividad “Entrénate resolviendo proble-mas” (*)

En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensa-miento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, las TIC, el emprendimiento y la resolución de pro-blemas. Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).

Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*).

80

La mayor parte de los sistemas de numeración de las antiguas civilizacio-nes son de base decimal, que proviene, sin duda, de contar con los dedos de las manos.

El sistema de numeración decimal-posicional se usó ini-cialmente en Europa solo para designar números ente-

ros. Fue en el siglo XVI cuando se hizo extensivo, también, para cuantifi car partes de la unidad (números decimales).

Los indios, en el siglo VII, añadieron a la base decimal la notación posicional: el valor de un signo (cifra), depende

de la posición que ocupa. Este grandioso avance vino unido a la invención del cero para ocupar las posiciones vacías.

Medida de unidades incompletas Medimos el lapicero con la regla:

1 ¿Cuál o cuáles de estas medidas son correctas?:127 mm 12,7 cm 1,27 dm 0,127 m

Números y partes de kiloLa balanza digital marca el peso de la sandía: 3,000 kilos.

2 ¿Qué número marcará la balanza digital si pesas media sandía?

3 ¿Qué marcará si pesas una botella de refresco? ¿Y si pesas un bote de miel? ¿Y si pesas un bote de tomate?

Ofertas en el supermercado Marta va al supermercado.—¡Tráeme un paquete de lentejas! —le encarga su vecina Rosa.—¡Y a mí, uno de garbanzos! —le pide su vecino Germán.Ya en la tienda, adquiere estos dos lotes:

4 € 5 €

4 ¿Cuánto deberá cobrar a Rosa por el paquete de lentejas y a Germán por el de garbanzos?

5 Los números decimales

Al iniciar la unidad

• La lectura sirve de introducción a la unidad, anunciando los contenidos que se van a trabajar y haciendo un breve repaso a la evolución histórica de los números hasta la aparición de los decimales.

• Tiene interés que los estudiantes aprecien la importancia de la apari-ción del cero, y constaten que se trata de un elemento imprescindible para el desarrollo de nuestro sistema de numeración decimal. Efectivamente, el cero permite colocar una cifra en el orden de unida-des deseado, base de la estructura de un sistema de numeración de ti-po posicional. Como muestra, basta pedirles que observen y comparen, por ejemplo, los números ocho, ochenta y ochocientos en escritura egipcia y en escritura decimal, y reflexionen sobre la necesidad del cero en cada una.

Cuestiones para detectar ideas previas

• Se sugiere la lectura colectiva de las actividades y su resolución en gran grupo, poniendo en común opiniones e ideas.

• La primera actividad detecta si los estudiantes interpretan correctamen-te la recta numérica y hasta qué punto controlan las equivalencias entre distintos órdenes de unidades. La segunda atiende al razonamiento ló-gico y a operaciones básicas, mediante cálculo mental, con resultado decimal. La tercera incide en la aproximación por redondeo.

•Como complemento, se sugieren actividades como las que siguen:

– Una lechuga cuesta 0,55 €. ¿Cuánto cuestan 2, 3, 4… lechugas?

– ¿A cómo sale el kilo de dátiles si un cuarto de kilo cuesta 2,30 €?

– ¿Cuál es la diferencia de precio entre un kilo de naranjas de mesa, a 2,75 €/kg, y un kilo de naranjas de zumo, a 1,95 €/kg?

– ¿Cuánto fresón puedes comprar con 3 euros si el kilo está a 1,50 €?

– Elabora una lista de compra con un coste total de 10 euros.

Interdisciplinariedad

Se sugiere la siguiente actividad: Describe una situación en la que los nú-meros decimales resultan útiles para: la economía doméstica, la dietética, el deporte y la industria farmacéutica.

TIC

Se sugiere la siguiente actividad: Busca en Internet:

a) ¿Qué matemáticos fueron los primeros en utilizar la coma para los nú-meros decimales? ¿Cuándo fue?

b) Infórmate de la curiosa forma que utilizaba Simon Stévin para expresar los números decimales, y escribe en esa notación el número 18,395.

Aprendizaje cooperativo

Se sugiere, para enfocar estas actividades hacia el aprendizaje cooperati-vo, lo siguiente: Los estudiantes, en pequeño grupo, comentan y resuel-ven las actividades. Después, en gran grupo, contrastan opiniones y acuerdan conclusiones.

Soluciones de las actividades

1 Todas las medidas son correctas: expresan la misma longitud en dis-tintas unidades.

2 1,5 kilos

3 Al pesar una botella de refresco marcará 1,5 kilos. Al pesar un bote de miel marcará 0,75 kilos. Al pesar un bote de tomate marcará 0,5 kilos.

4 Por el paquete de lentejas deberá cobrar a Rosa 1,33 euros, y a Germán, por el de garbanzos, 1,67 euros.

81

5UNIDAD

8988

Los órdenes de unidades decimales

Para expresar cantidades más pequeñas que la unidad, utilizamos los órdenes de unidades decimales.

• Al dividir una unidad en diez partes iguales, cada parte es una décima.

5,55 65,3 5,4

5,3 → Cinco unidades y tres décimas

• Al dividir una décima en diez partes iguales, cada parte es una centésima.

5,55 5,3 5,36 5,4

5,36 → Cinco unidades y treinta y seis centésimas

• Al dividir una centésima en diez partes iguales, cada parte es una milésima.

5,36 5,365 5,37

5,365 → Cinco unidades y trescientas sesenta y cinco milésimas

• En el sistema de numeración decimal, una unidad de cualquier orden se divide en diez unidades del orden inmediato inferior.

10 U = 10 d = 100 c = 1 000 m = …

décimas centésimas milésimas diezmilésimas unidades cienmilésimas decenas millonésimas

… D U, d c m dm cm mm …1 3, 0 5 7 4

Trece unidades y quinientas setenta

y cuatro diezmilésimas

• Para leer un número decimal:— Se nombra la parte entera expresada en unidades.— Se nombra la parte decimal expresada en el orden de unidades de la cifra

decimal que queda a la derecha.

1 UNIDAD

10 DÉCIMAS

100 CENTÉSIMAS

1000 MILÉSIMAS

1 DÉCIMA

1 CENTÉSIMA

10,001 = — 1000

10,01 = — 100

10,1 = — 10

1 MILÉSIMA

Orden en los números decimales

Los números decimales quedan ordenados en la recta numérica.

0,4–0,5–1,7 1,7 2,5

3210–1–2

–1,7 < –0,5 < 0,4 < 1,7 < 2,5Pero también puedes comparar números sin acudir a la representación en la rec-ta, observando las cifras y el lugar que ocupan:• Para comparar dos números decimales, se compara la parte entera. Por ejemplo: 5,375 < 6,1 → porque 5 U < 6 U

Para comparar dos números decimales, se compara la parte entera.U, d c m

5, 3 7 5

6, 1 0 0 • Si tienen la misma parte entera, se iguala la cantidad de cifras decimales po-

niendo ceros a la derecha y se compara la parte decimal. Por ejemplo: 3,25 3,4 ↓ ↓ 3,25 < 3,40 → porque 25 c < 40 c

U, d c m

3, 2 5

3, 4 0

Los ceros a la derecha de un núme-ro decimal no modifican el valor del número.

U, d c m

2, 52, 5 02, 5 0 0

2,5 = 2,50 = 2,500

Ten en cuenta

2,34 €↓

2

0,3

0,04

Dos unidades y treinta y cuatro centésimas

1 Estructura de los números decimales

1. Escribe con cifras.a) Ocho décimas. b) Dos centésimas.c) Tres milésimas. d) Trece milésimas.

2. Escribe cómo se leen.a) 1,2 b) 12,56 c) 5,184d) 1,06 e) 5,004 f ) 2,018

3. Escribe con cifras.a) Once unidades y quince centésimas.b) Ocho unidades y ocho centésimas.c) Una unidad y trescientas once milésimas.d) Cinco unidades y catorce milésimas.

4. Escribe cómo se leen.a) 0,0007 b) 0,0042 c) 0,0583d) 0,00008 e) 0,00046 f ) 0,00853g) 0,000001 h) 0,000055 i) 0,000856

5. Escribe con cifras.a) Quince diezmilésimas.b) Ciento ochenta y tres cienmilésimas.c) Cincuenta y ocho millonésimas.

6. Observa la tabla y contesta.

U, d c m

4 02 0 0

3 0 0 0

a) ¿Cuántas centésimas hay en 40 milésimas?b) ¿Cuántas centésimas hacen 200 diezmilésimas?c) ¿Cuántas millonésimas hay en 3 milésimas?

7. Indica el valor que representa cada letra:

Z

3

6,2 6,4

A4

B

PNM

X

C D

Q

1,56 1,57TY

8. Ordena de menor a mayor.a) 5,83 5,51 5,09 5,511 5,47b) 0,1 0,09 0,099 0,12 0,029c) 0,5 – 0,8 – 0,2 1,03 –1,1

Piensa y practica

Practica la lectura de números decimales.En la web

Sugerencias• Para comenzar, se sugiere recurrir a la interpretación y a la elaboración

de mensajes propios del lenguaje habitual que incluyan conceptos rela-tivos a los números decimales:

– Me he puesto el termómetro y tengo tres décimas de fiebre.

– Un gramo es la milésima parte de un kilo.

– La luz tarda en encenderse menos de una millonésima de segundo.

• Partiendo de la unidad representada en la recta numérica y, mediante sucesivas particiones, vamos obteniendo y visualizando las décimas, las centésimas, etc.

• La comprensión y la interpretación correcta de la recta numérica tiene im-portancia tanto desde el punto de vista práctico como desde el teórico:

– Desde el punto de vista práctico, es la llave para la utilización de cier-tos procedimientos relativos a otros campos de las matemáticas: lec-tura de mediciones, valoración de escalas, manejo de los ejes de coordenadas, interpretación de gráficas estadísticas…

– Desde el punto de vista teórico, ofrece apoyos visuales para relacio-nar los distintos órdenes de unidades y establecer sus equivalencias, para ordenar números decimales, para realizar aproximaciones, etc.

• Los estudiantes deben comprender que todo número decimal tiene su lugar en la recta numérica, lo que implica la ordenación del conjunto de los números decimales.

• Para comparar, los estudiantes suelen encontrar dificultades cuando los números tienen distinta cantidad de cifras decimales. Se recomienda entonces que las igualen añadiendo ceros a la derecha.

Refuerzo y AmpliaciónRecomendamos, del cuaderno n.º 1 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios del 1 al 6 de la pág. 3. Ejercicios del 1 al 8 de las págs. 18 y 19.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 a) 0,8 b) 0,02 c) 0,003 d) 0,013

2 a) Una unidad y dos décimas.

b) Doce unidades y cincuenta y seis centésimas.

c) Cinco unidades y ciento ochenta y cuatro milésimas.

d) Una unidad y seis centésimas.

e) Cinco unidades y cuatro milésimas.

f ) Dos unidades y dieciocho milésimas.

3 a) 11,15 b) 8,08 c) 1,311 d) 5,014

4 a) Siete diezmilésimas.

b) Cuarenta y dos diezmilésimas.

c) Quinientas ochenta y tres diezmilésimas.

d) Ocho cienmilésimas.

e) Cuarenta y seis cienmilésimas.

f ) Ochocientas cincuenta y tres cienmilésimas.

g) Una millonésima.

h) Cincuenta y cinco millonésimas.

i ) Ochocientas cincuenta y seis millonésimas.

5 a) 0,0015 b) 0,00183 c) 0,000058

6 a) 4 b) 2 c) 3 000

7 A = 3,5 B = 4,8 C = 5,9 D = 7,1

M = 6,22 N = 6,3 P = 6,35 Q = 6,42

X = 1,561 Y = 1,565 Z = 1,569 T = 1,571

8 a) 5,09 < 5,47 < 5,51 < 5,511 < 5,83

b) 0,029 < 0,09 < 0,099 < 0,1 < 0,12

c) –1,1 < –0,8 < –0,2 < 0,5 < 1,03

82

5UNIDAD

9190

Entre dos decimales siempre hay otros decimales

• Elijamos dos números cualesquiera; por ejemplo, 2,3 y 2,6. Es evidente que entre ellos hay otros decimales:

2,3 < 2,4 < 2,5 < 2,6• Busquemos, ahora, un número decimal comprendido entre 2,3 y 2,4. Estos dos números se diferencian en una décima, y esa décima se puede dividir

en diez centésimas.2,32

2,3 2,42,35 2,38

Añadiendo alguna de esas centésimas a 2,3, obtenemos decimales comprendi-dos entre 2,3 y 2,4.

2,3 = 2,30 < 2,32 < 2,35 < 2,38 < 2,40 = 2,4El proceso puede continuar inde� nidamente o repetirse para cualquier otro par de números.

Lola tiene una báscula en el cuarto de aseo que aprecia hasta las décimas de kilo. Si el peso no coincide con un número exacto de décimas, parpadea en-tre la décima anterior y la siguiente. ¿Qué peso te atribuirías si la báscula parpadeara entre 53,6 kg y 53,7 kg?

Intercalamos un número decimal que ocupe la posición intermedia ente 53,6 y 53,7:

53,6 = 53,60 → 53,65 ← 53,70 = 53,7

Solución: Podemos decir que el peso asciende a 53,65 kilos, aproximadamente.

Problema resuelto

Los números decimales se pueden cla-sificar en tres grupos:— Exactos: Con un número finito

de cifras. 2,75— Periódicos: Con infinitas cifras

que se repiten. 41:11 = 3,727272… = ,3 72

#— Otros: Con infinitas cifras que no

se repiten. 3 = 1,7320508…

Ten en cuenta

Aproximación por redondeo

En algunas ocasiones se nos presentan números con demasiadas cifras decimales y preferimos, o nos vemos obligados, a sustituirlos por otros más manejables de valor aproximado.

Ejemplo

En el banco me han calculado los intereses de dos cuentas bancarias: A → 18,2733 € B → 35,3682 €Sin embargo, las cantidades ingresadas han sido: A → 18,27 € B → 35,37 €¿Por qué las cantidades aplicadas no coinciden con las que se habían calculado?La unidad monetaria más pequeña es el céntimo. Por eso, los resultados con mu-chas cifras decimales se han de concretar con redondeos a los céntimos.• En el primer caso, cuenta A, la cantidad 18,2733 está más cerca de 18,27 que

de 18,28. Por eso se toman 27 céntimos (observa que la cifra de las centésimas no cambia).

18,2818,27

18,2733

• En el segundo caso, cuenta B, la cantidad 35,3682 está más cerca de 35,37 que de 35,36. Ahora se toman 37 céntimos (observa que se ha sumado uno a la cifra de las centésimas).

35,3735,36

35,3682

Como ves, en cada caso se toma el céntimo completo más cercano.

Para redondear un número a un determinado orden de unidades:• Se suprimen todas las cifras a la derecha de dicho orden.• Si la primera cifra suprimida es igual o mayor que cinco, se suma uno a la

cifra anterior. Y si no lo es, se deja como está.

Aproxima a los gramos el peso de cada caja. Recuerda que un gramo es una milésima de kilo.

4 : 3 = 1,333333… 5 : 3 = 1,666666… Cada caja pesa 1,333 kg. Cada caja pesa 1,667 kg.

Ejercicio resuelto

En las transacciones bancarias y co-merciales, se aplican los redondeos considerando que los que van a la baja se compensan con los que van al alza.

Observa

9. Copia en tu cuaderno y escribe un número en cada casilla.2,6 < < 2,8 7 < < 8 0,3 < < 0,50,4 < < 0,5 1,25 < < 1,27 3,42 < < 3,43

10. Intercala un número decimal entre cada par de nú-meros:a) 2,99 y 3 b) 4 y 4,1 c) 3,1 y 3,11d) 0,5 y 0,51 e) 0,523 y 0,524 f ) 1,999 y 2

11. Escribe, en cada caso, un número decimal que esté a la misma distancia de los dos números dados:a) 4 y 5 b) 1,8 y 1,9 c) 2,04 y 2,05

12. En un encuentro internacional de atletismo se dispu-ta la prueba de los 100 metros lisos.Dos jueces se encargan de tomar el tiempo del gana-dor, pero obtienen una ligera diferencia en sus me-diciones:• Juez A → 9 segundos y 92 centésimas• Juez B → 9 segundos y 93 centésimas¿Qué tiempo le asignarías al ganador de la prueba?

13. Intercala, a intervalos iguales, tres números entre 2,7 y 2,8.

2,7 2,8

2,700 2,800

Piensa y practica

14. Redondea a las décimas.a) 6,27 b) 3,84 c) 2,99d) 0,094 e) 0,341 f ) 0,856

15. Redondea a las centésimas.a) 0,574 b) 1,278 c) 5,099d) 3,0051 e) 8,0417 f ) 2,99

Piensa y practica

Sugerencias• Profundizando en la comparación y ordenación de números decimales,

y también con el apoyo de la recta numérica, se verá que entre dos de-cimales dados, por próximos que estén, siempre se puede colocar un tercer decimal.

•Cuando los alumnos y las alumnas encuentren dificultades para interca-lar un decimal entre otros dos que se diferencian solo en una unidad del último orden (por ejemplo, 2,345 y 2,346), conviene mostrarles que la dificultad se resuelve añadiendo un cero más a la derecha (2,3450; 2,3460).

Estos procedimientos implican reflexiones que ayudan a profundizar en la estructura de los números y van abriendo camino para aprendizajes futuros, como por ejemplo el cálculo infinitesimal.

• El redondeo es una actividad habitual que los estudiantes deben com-prender y realizar con soltura. Se puede comenzar recordando los re-dondeos realizados anteriormente con números enteros y pasar, des-pués, a redondeos de números decimales que aparecen de forma natural en el quehacer diario:

– Mediciones con la cinta métrica: redondeo a los metros o a los decí-metros.

– Mediciones con la regla: redondeo a los centímetros.

– Manejo de dinero: redondeo al euro y al céntimo.

•Continuamos la secuencia didáctica, con el apoyo de la recta numérica, realizando redondeos a las unidades. Dominados estos, propondremos redondeos a las décimas, después a las centésimas, etc.

• Podemos finalizar con una actividad a la que se enfrentarán frecuente-mente el alumnado: redondear resultados obtenidos en la calculadora. Haremos ver que la máquina ofrece con frecuencia resultados con dema-siadas cifras decimales y que, en cada caso, debemos tomar la aproxima-ción adecuada. Por ejemplo, cuando se trabaja con cantidades de dinero, los resultados deben redondearse a las centésimas (céntimos de euro).

Refuerzo y AmpliaciónRecomendamos, del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios del 1 al 6 de la pág. 3.

Soluciones de “Piensa y practica”

9 Por ejemplo:

2,6 < 2,7 < 2,8 7 < 7,5 < 8 0,3 < 0,4 < 0,5

0,4 < 0,45 < 0,5 1,25 < 1,26 < 1,27 3,42 < 3,425 < 3,43

10 Por ejemplo:

a) 2,995 b) 4,05 c) 3,105

d) 0,505 e) 0,5235 f ) 1,9995

11 a) 4,5 b) 1,85 c) 2,045

12 9 segundos y 925 milésimas

13 2,725; 2,750 y 2,775

14 a) 6,3 b) 3,8 c) 3,0 d) 0,1 e) 0,3 f ) 0,9

15 a) 0,57 b) 1,28 c) 5,10 d) 3,01 e) 8,04 f ) 3,00

ANOTACIONES

83

5UNIDAD

9392

Ya conoces la suma, la resta y la multiplicación de decimales. Por eso, nos limita-remos a repasarlas incorporando el manejo de los números negativos.

Suma y resta

En el depósito de frío de una granja, que estaba vacío, han vertido dos cán-taras de leche, con 12,35 litros y 7,65 litros. Después, se han extraído dos bidones para hacer queso, uno de 8,9 litros y otro de 5,45 litros. ¿Cuántos litros quedan en el depósito?

(12,35 + 7,65) – (8,9 + 5,45) = 20 – 14,35 = 5,65Solución: En el depósito quedan 5,65 litros de leche.

entran salen 12,35 8,9 + 7,65 + 5,45 20,00 14,35 quedan 20,00 – 14,35 5,65

Problema resuelto

Para sumar o restar números decimales:• Se colocan en columna haciendo corresponder las comas.• Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, etc.Todo lo que se dijo sobre los números negativos en las operaciones con enteros sirve también para las operaciones con decimales.

Multiplicación

Si una hora de aparcamiento cuesta 2,50 €, ¿cuánto pagaremos por una estancia de tres horas y cuarto (3,25 h)?

3, 2 5 ← 2 cifras decimales × 2, 5 ← 1 cifra decimal 1 6 2 5 6 5 0

⏐↓

8, 1 2 5 ← 2 + 1 = 3 cifras decimales

Solución: 8,125 € redondeo⎯⎯⎯⎯→ 8,13 € pagaremos por la estancia.

Problema resuelto

Para multiplicar números decimales:• Se multiplican como si fueran enteros.• Se coloca la coma en el producto, apartando tantas cifras decimales como las

que reúnan entre todos los factores.

Multiplicación por 10, 100, 1000, …

Recuerda que para multiplicar un número decimal por 10, por 100, por 1 000, …, solo hay que mover la coma hacia la derecha uno, dos, tres, … lugares.

Ejemplo

Teniendo en cuenta los precios que anuncia el cartel de la izquierda, calculamos:• Coste de 10 fotocopias → 0,04 · 10 = 0,40 €• Coste de 100 fotocopias → 0,025 · 100 = 2,50 €• Coste de 1 000 fotocopias → 0,019 · 1 000 = 19,00 €

Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se despla-za la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañan a la unidad.

FOTOCOPIAS

De 1 a 10 .................. 0,04 € unidad

De 11 a 100 ............. 0,025 € unidad

Más de 100 ............ 0,019 € unidad

12,35 l 7,65 l ¿? l 8,9 l 5,45 l

2 Suma, resta y multiplicación de números decimales

1. Calcula mentalmente.a) 0,8 + 0,4 b) 1 – 0,3c) 1,2 + 1,8 d) 2,4 – 0,6e) 3,25 + 1,75 f ) 2,5 – 0,75

2. Recuerda las operaciones con números positivos y ne-gativos y calcula mentalmente.a) 0,5 – 0,75 b) 1,2 – 1,5c) 0,25 – 1 d) 2 – 1,95e) 0,4 + 0,8 – 1,6 f ) 2,7 – 0,95 – 1,04

3. Añade tres términos a estas series:a) 3,25 - 4 - 4,75 - 5,5 - …b) 8,65 - 8,5 - 8,35 - 8,2 - …c) 1,5 - 1,62 - 1,74 - 1,86 - …

4. Resuelve en tu cuaderno.a) 17,28 – 12,54 – 4,665b) 17,28 – (12,54 – 4,665)c) 12,4 – 18,365 + 7,62d) 12,4 – (18,365 + 7,62)

5. Copia en tu cuaderno y coloca la coma decimal que falta en cada producto:a) 2,7 · 1,5 → 405 b) 3,8 · 12 → 456c) 0,3 · 0,02 → 0006 d) 11,7 · 0,45 → 5265

6. Multiplica.a) 3,26 · 100 b) 35,29 · 10 c) 4,7 · 1 000d) 9,48 · 1 000 e) –6,24 · 100 f ) 0,475 · (–10)

7. Calcula en tu cuaderno.a) 3,25 · 16 b) 2,6 · 5,8 c) 27,5 · 10,4d) 3,70 · 1,20 e) 4,03 · 2,7 f ) 5,14 · 0,08

8. Opera como en el ejemplo.• 5,6 – 2,1 · (0,5 – 1,2) = 5,6 – 2,1 · (–0,7) =

= 5,6 + 1,47 = 7,07

a) 8,3 + 0,5 · (3 – 4,2) b) 3,5 – 0,2 · (2,6 – 1,8)c) (5,2 – 6,8) · (3,6 – 4,1) d) (1,5 – 2,25) · (3,6 – 2,8)

9. ¿Verdadero o falso?a) Al multiplicar un número por 0,8, aumenta su valor.b) El resultado de multiplicar un número por 1,1 es

mayor que el número original.c) Para multiplicar por 100, se desplaza la coma dos

lugares a la derecha.d) Desplazar la coma un lugar hacia la izquierda

equivale a multiplicar por diez.

10. De un listón de 2 m de longitud se corta un trozo de 0,97 m. ¿Cuánto mide el retal que queda?

11. En la carrera de 200 metros lisos, Jon Dalton ha invertido veintidós segundos y tres décimas, y Bo-bi García, veintitrés segundos y catorce centésimas. ¿Cuánto tiempo le ha sacado Jon a Bobi?

12. En la ferretería se vende el cable blanco a 0,80 € el metro, y el negro, más grueso, a 2,25 € el metro. ¿Cuánto pagaremos por 3,5 m del blanco y 2,25 m del negro ?

Piensa y practica

Practica sumando números decimales.En la web

Practica restando números decimales.En la web

Practica multiplicando números decimales.En la web

Sugerencias• Se repasan aquí los algoritmos de la suma, de la resta y de la multiplica-

ción de números decimales. Puesto que se trata de procedimientos ya superados por los estudiantes, podemos profundizar en su justificación, en la comprobación de las propiedades de estas operaciones y en las relaciones entre ambas, todo ello siguiendo las mismas pautas que en los números naturales.

• Los estudiantes practicarán también la resolución de expresiones con paréntesis y operaciones combinadas, aplicando todo lo aprendido con números enteros.

•Además, se sugiere trabajar el desarrollo del cálculo mental con núme-ros decimales:

– Sumas y restas de cantidades de una y de dos cifras decimales.

– Cálculo con cantidades de dinero (añadir, cambiar, quitar, devolver…).

– Construcción de series ascendentes y descendentes.

– Productos por la unidad seguida de ceros.

– Productos por 0,5 (la mitad) y por 1,5 (el triple del anterior, de la mitad).

– Productos por 0,25 (la cuarta parte) y por 0,75.

– Productos por 0,1.

Refuerzo y AmpliaciónRecomendamos, del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 1, 2 y 4 de la pág. 4. Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 5.

Ampliación: Ejercicios 3 y 5 de la pág. 4. Ejercicios 1 a 7 de la pág. 10.

Aprendizaje cooperativo Para esta página, y para todas las destinadas a reforzar la destreza operati-va, si el profesor o profesora considera oportuno orientar estas activida-

des hacia el aprendizaje cooperativo, se sugiere la siguiente metodología:

• Los estudiantes se distribuyen en parejas o en tríos.

• Resuelven una serie de expresiones individualmente, y después contras-tan las soluciones y los procesos.

• Si hay discrepancias, deben descubrir los errores. Si no saben resolver las dudas o no se ponen de acuerdo, actuará el docente.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 a) 1,2 b) 0,7 c) 3 d) 1,8 e) 5 f ) 1,75

2 a) – 0,25 b) – 0,3 c) – 0,75 d) 0,05 e) – 0,4 f ) 0,71

3 a) 6,25 - 7 - 7,75 b) 8,05 - 7,9 - 7,75 c) 1,98 - 2,1 - 2,22

4 a) 0,075 b) 9,405 c) –13,585

5 a) 4,05 b) 45,6 c) 0,006 d) 5,265

6 a) 326 b) 352,9 c) 4 700

d) 9 480 e) – 624 f ) – 4,75

7 a) 52 b) 15,08 c) 286

d) 4,44 e) 10,881 f ) 0,4112

8 a) 7,7 b) 3,34 c) 0,8 d) – 0,6

9 a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Falso

10 El retal que queda mide 1,03 m.

11 Jon le ha sacado a Bobi 84 centésimas.

12 Pagaremos 7,86 euros.

84

5UNIDAD

9594

Ahora vas a profundizar en lo que sabes sobre la división de números decimales. Empezaremos con las divisiones de divisor entero.

Divisor entero. Aproximación del cociente

Vamos a repasar la forma de obtener las cifras decimales del cociente hasta con-seguir la aproximación deseada.

Para obtener el cociente decimal:• Al bajar la cifra de las décimas del dividendo, se pone la coma decimal en el

cociente y se continúa la división.• Si no hay su� cientes cifras decimales en el dividendo, se añaden los ceros

necesarios para lograr la aproximación deseada.

Dividir por 10, 100, 1�000, …

Recuerda que para dividir un número por 10, por 100, por 1 000, …, solo hay que mover la coma hacia la izquierda uno, dos, tres, … lugares.

Ejemplos

Teniendo en cuenta el peso del paquete de 500 folios, calculamos:• Peso de 100 folios → 2 331 : 5 = 466,2 gramos• Peso de 10 folios → 466,2 : 10 = 46,62 gramos• Peso de 1 folio → 466,2 : 100 = 4,662 gramos

Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañan a la unidad

División con números decimales en el divisor

Hasta ahora no hemos abordado divisiones con cifras decimales en el divisor. Para resolverlas, nos apoyaremos en una propiedad que ya conoces y que ahora conviene recordar.

■ UNA PROPIEDAD IMPORTANTE DE LA DIVISIÓN

Compara los ejemplos siguientes:

Ejemplos• Si envasamos 15 kilos de ci-

ruelas en 3 cajas, ponemos 5 kilos en cada caja.

15 30 5

• Si envasamos 150 kilos de cirue-las en 30 cajas, ponemos 5 kilos en cada caja.

150 3000 5

Observa que al multiplicar por 10 el número de kilos (dividendo) y el número de cajas (divisor), el resultado no varía.

Propiedad de la división: Al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía.

■ PROCEDIMIENTO PARA ELIMINAR LAS CIFRAS DECIMALES DEL DIVISOR

Cuando el divisor es un número decimal, utilizamos la propiedad anterior para cambiar la división por otra con el mismo resultado y el divisor entero.

Ejemplo

El camarero llena una jarra con 0,6 litros de leche y en cada café pone, por término medio, 0,04 litros. ¿Cuántos cafés podrá atender con el contenido de la jarra?

Multiplicamos el dividendo y el divisor por 100. Se-gún la propiedad anterior, el cociente no varía.

El divisor es ahora un número entero. Ya podemos hacer la división.Solución: Podrá poner 60 : 4 = 15 tazas de café.

60 420 15

0

0,6 0,04

· 100 · 100

⎯→

⎯→

Cuando hay decimales en el divisor:• Se multiplican el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos

ceros como cifras decimales haya en el divisor.• Así, la división se transforma en otra de divisor entero. El cociente no varía.

Obtener el cociente de las siguientes divisiones:

210 1680420 1,25

0840 000

21 : 16,8

3000 2550 120 00

0,3 : 0,0025· 10 · 10 · 10 000 · 10 000

Ejercicio resuelto

2 331 gramos

3 División de números decimales

Ejercicios resueltos

1. Queremos repartir un bidón de 15 litros de aceite en cua-tro garrafas iguales. ¿Cuán-tos litros pondremos en cada garrafa?

El cociente entero deja un resto de 3 unidades.

Transformamos las tres unidades del resto en 30 décimas y las dividimos entre 4. Por eso ponemos la coma en el cociente. Sobran 2 décimas.

Continuamos la división transformando las 2 décimas en 20 centésimas.Solución: Pondremos 3,75 litros en cada garrafa.

1 5 4 3 3 →1 5, 0 4 3 0 3,7 → 21 5, 0 4 3 0 3,75 → 20 0

2. Doña Emilia compra un queso de un kilo y setecientos veinticinco gramos, para re-partirlo con sus dos herma-nas. ¿Qué cantidad de queso apartará para cada una?

1, 725 3 → 1, 725 3 → 1, 725 3 0 2 0,5 22 0,575 15 0

Solución: Cada hermana se llevará 0,575 kg de queso (575 gramos).

Practica dividiendo números decimales.En la web

Sugerencias

• Constatadas en la práctica diaria las dificultades que tienen muchos es-tudiantes en la división con números decimales, hacemos aquí una revi-sión detenida de este proceso con una exhaustiva colección de activida-des que servirán para completar lagunas y, en cualquier caso, para afianzar la mecanización de los algoritmos y la aplicación de la opera-ción en la resolución de problemas.

•Comenzamos repasando la división con divisor entero y la aproximación del cociente al orden de unidades deseado.

• En la aproximación decimal del cociente de enteros, razonaremos la co-locación de la coma del modo siguiente: las unidades de resto se “cam-bian a décimas” y se sigue dividiendo. Por tanto, en el cociente se ob-tendrán décimas. Etcétera.

•A continuación se recuerda la división por la unidad seguida de ceros.

•Antes de abordar las divisiones con decimales en el divisor, revisaremos una propiedad imprescindible para justificar los procedimientos que se verán a continuación: si se multiplican el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía. Con esta propiedad, que nos per-mite eliminar las cifras decimales del divisor, y los algoritmos ya conoci-dos, podremos resolver todos los casos de división de decimales.

•Durante la aplicación de la propiedad anterior, conviene hacer la si-guiente reflexión: el cociente no varía, pero ¿qué ocurre con el resto? La resolución de este tipo de cuestiones supone una profundización en la estructura de la división y en las relaciones entre sus términos.

• Revisaremos también la división por la unidad seguida de ceros, en con-traste con la multiplicación estudiada en el epígrafe anterior.

• Por último, dentro del ámbito del cálculo mental, se sugiere trabajar re-laciones como:

– Dividir entre 0,1 es lo mismo que multiplicar por 10.

– Dividir entre 0,5 es lo mismo que multiplicar por 2.

– Dividir entre 0,25 es lo mismo que multiplicar por 4.

Para ello, se pueden proponer tandas de ejercicios destinadas a resaltar los objetivos perseguidos (por ejemplo: 4,7 · 10; 4,7 : 0,1).

Refuerzo y AmpliaciónRecomendamos, del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 6. Ejercicios 3 y 4 de la pág. 7. Ejercicios 6, 7 y 8 de la pág. 8.

Ampliación: Ejercicio 5 de la pág. 7. Ejercicios 9 a 12 de la pág. 9.

ANOTACIONES

85

5UNIDAD

9796

El concepto de raíz cuadrada, que ya conoces, se aplica de la misma forma a los números decimales.

a = b ↔ b 2 = a ,0 81 = 0,9 ↔ (0,9)2 = 0,81Sin embargo, la mayoría de los números no tienen raíz exacta, en cuyo caso tra-bajamos con aproximaciones.

, ,,

88

7 5 2 2 4 7 53 3 9 7 5

<>

2

2= =

=* , , , , ,

, , , ,88

7 5 2 7 2 7 7 29 7 52 8 2 8 7 84 7 5

<>

2

2= =

=*

, ,…7 5 2= , , …7 5 2 7=

La raíz cuadrada en la calculadora

El cálculo de las aproximaciones por tanteo es lento y molesto, por lo que se suele recurrir a la calculadora.

,7 5 → 7 . 5 $ → {“…|«°\‘“|}Normalmente, no es necesario tomar todas las cifras decimales que ofrece la má-quina, por lo que se redondea a un determinado orden de unidades.

, ,,

88

7 5 2 72 74

Redondeo a las décimas.Redondeo a las centésimas.

= *

Cálculo con lápiz y papel

Recuerda el algoritmo que aprendiste en la unidad 2 para el cálculo de la raíz cuadrada de números naturales. Con los números decimales actuarás de la misma forma, teniendo en cuenta que las cifras se separan de dos en dos, a la derecha y a la izquierda de la coma.

Ejemplo

√ 7 , 50 2 – 4 3

2

√ 7 , 50 2,7 – 4 47 · 7 = 329 3 50 –3 29 21

2,7 47 · 7 = 329

√ 7 , 50 00 2,73 – 4 47 · 7 = 329 3 50 543 · 3 = 1 629 –3 29 21 00 –16 29 4 71

2,73 47 · 7 = 329

543 · 3 = 1 629

El proceso puede continuar, añadiendo parejas de ceros en el radicando, hasta lograr la aproximación deseada.

1. Divide mentalmente.a) 1 : 2 b) 5 : 2 c) 7 : 2d) 1 : 4 e) 2 : 4 f ) 5 : 4g) 1,2 : 2 h) 1,2 : 3 i) 1,2 : 4j) 0,6 : 3 k) 0,8 : 4 l) 0,9 : 9

2. Calcula con dos cifras decimales, si las hay.a) 28 : 5 b) 53 : 4 c) 35 : 8d) 7,5 : 3 e) 6,2 : 5 f ) 12,5 : 4g) 47 : 3 h) 9 : 7 i) 169 : 11j) 7,7 : 6 k) 14,3 : 9 l ) 96,7 : 22

3. Calcula y aproxima a las décimas, como en el ejemplo.

• 86 : 7 = 12,28... redondeo⎯⎯⎯⎯→ 12,3a) 10 : 3 b) 16 : 9 c) 25 : 7d) 9,2 : 8 e) 15,9 : 12 f ) 45,52 : 17

4. Divide.a) 5 : 10 b) 8 : 100 c) 2 : 1 000d) 3,6 : 10 e) 5,7 : 100 f ) 2,8 : 1 000g) 2,54 : 10 h) 57,25 : 100 i) 0,3 : 1 000

5. Observa el ejemplo y calcula el cociente con dos cifras decimales.• 5 : 9 → 5 9 → 5,0 9 → 5,00 9

0 5 0,5 50 0,55 5

a) 1 : 4 b) 3 : 5 c) 30 : 8d) 2 : 9 e) 6 : 11 f ) 5 : 234

6. Calcula con tres cifras decimales, si las hay.a) 0,9 : 5 b) 0,5 : 4 c) 0,3 : 9d) 1,2 : 7 e) 0,08 : 2 f ) 0,02 : 5

7. Copia en tu cuaderno y completa.a) 8 : 0,9 = … : 9 b) 15 : 0,35 = … : 35c) 2 : 1,37 = … : 137 d) 7 : 0,009 = … : 9

8. Suprime las comas multiplicando dividendo y divisor por la unidad seguida de ceros y después calcula con dos cifras decimales, si las hay.a) 32 : 0,8 b) 6 : 0,7 c) 1,82 : 0,7 d) 18 : 0,24 e) 0,72 : 0,06 f ) 1,52 : 0,24 g) 7 : 0,05 h) 0,2 : 0,025 i) 11,1 : 0,444

9. Calcula.a) 5 : 0,7 b) 12 : 0,05 c) 4 : 1,26d) 0,7 : 0,25 e) 1,60 : 0,12 f ) 2,5 : 0,004

10. Copia en tu cuaderno, calcula y completa.a) 15 · = 8,4 b) 2,84 · = 4,26

c) · 1,6 = 1,44 d) · 2,08 = 2,075

11. Observa que el dividendo es menor que el divisor, analiza el ejemplo y calcula.•

· 100

0,3 : 1,55 ⇒ 30 : 155 ⇒ 30,00 155 · 100 14 50 0,19 0 55

a) 0,4 : 0,84 b) 0,7 : 1,4 c) 0,8 : 1,25d) 2 : 5,4 e) 3,2 : 8,36 f ) 3,654 : 6,3

12. Tres botes de refresco hacen un litro. Expresa en li-tros la capacidad de un bote.

13. Una empresa de mantenimiento de carreteras se compromete a señalizar 15 kilómetros de una nue-va autopista en ocho días. ¿Cuántos kilómetros debe señalizar por término medio cada día?

14. Un paquete con seis yogures pesa 0,678 kg. Expresa en kilos el peso de un yogur.

15. ¿Cuántas filas de cajas de 0,2 m × 0,2 m × 0,2 m se pueden apilar en un contenedor de 1,85 m de al-tura? ¿Qué hueco quedaría entre la última caja y el techo del contenedor?

16. Los melones se venden a 1,25 €/kg. ¿Cuánto pesa un melón que cuesta 4,40 €?

17. Para preparar una dosis de cierta vacuna, se nece-sitan 0,25 mililitros (0,00025 litros) de principio activo. ¿Cuántas dosis se obtendrán de un litro de principio activo?

18. Hemos pagado 16,20 € por una pescadilla de 1,32 kilos. ¿A cómo se vende el kilo de pescadilla?

Piensa y practica 4 Raíz cuadrada y números decimales

1. Calcula mentalmente.

a) ,0 01 b) ,0 09 c) ,0 25

d) ,0 64 e) ,0 0001 f ) ,0 0049

2. Aproxima a las décimas y a las centésimas.

a) 58 b) ,7 2 c) ,0 5

d) 14 e) ,8 5 f ) ,0 03

Piensa y practica

Soluciones de “Piensa y practica”

1 a) 0,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 0,25 e) 0,5 f ) 1,25

g) 0,6 h) 0,4 i ) 0,3 j ) 0,2 k) 0,2 l ) 0,1

2 a) 5,6 b) 13,25 c) 4,37 d) 2,5 e) 1,24 f ) 3,12

g) 15,66 h) 1,28 i ) 15,36 j ) 1,28 k) 1,58 l ) 4,39

3 a) 3,333… ≈ 3,3 b) 1,77… ≈ 1,8 c) 3,571… ≈ 3,6

d) 1,15 ≈ 1,2 e) 1,325 ≈ 1,3 f ) 2,677… ≈ 2,7

4 a) 0,5 b) 0,08 c) 0,002 d) 0,36 e) 0,057

f ) 0,0028 g) 0,254 h) 0,5725 i ) 0,0003

5 a) 0,25 b) 0,6 c) 3,75 d) 0,22 e) 0,54 f ) 0,02

6 a) 0,18 b) 0,125 c) 0,033 d) 0,171 e) 0,04 f ) 0,004

7 a) 80 : 9 b) 1 500 : 35 c) 200 : 137 d) 7 000 : 9

8 a) 320 : 8 = 40 b) 60 : 7 = 8,57 c) 18,2 : 7 = 2,6

d) 1 800 : 24 = 75 e) 72 : 6 = 12 f ) 152 : 24 = 6,33

g) 700 : 5 = 140 h) 200 : 25 = 8 i ) 11 100 : 444 = 25

9 a) 7,14 b) 240 c) 3,17 d) 2,8 e) 13,33 f ) 625

10 a) 0,56 b) 1,5 c) 0,9 d) 0,9975…

11 a) 0,47 b) 0,5 c) 0,64 d) 0,37 e) 0,38 f ) 0,58

12 0,33 litros 13 1,875 km 14 0,113 kilos

15 Se pueden apilar 9 filas de cajas. Quedan 0,05 m entre la última caja y el techo del contenedor.

16 3,52 kilos

17 4 000 dosis

18 12,27 €/kg

Sugerencias• El alumnado ya conoce el concepto de raíz cuadrada entera. Ahora se

retoma dicho concepto y se aproxima el valor de una raíz hasta el orden de unidades deseado.

• Para el cálculo de raíces, se ofrecen tres vías:

– el tanteo. Sirve para fijar el concepto. Es enriquecedor desde el punto de vista del aprendizaje matemático. Se aconseja solamente para nú-meros pequeños y con aproximaciones hasta, a lo sumo, las centési-mas.

– la calculadora. Al ofrecer demasiadas cifras decimales, exige aproxi-mar a un determinado orden de unidades. Es práctico, pero conviene no descuidar el aprendizaje de su correcta utilización.

– el algoritmo. Es menos enriquecedor en cuanto a la construcción de conceptos, a la vez que más lento y laborioso.

Refuerzo y AmpliaciónRecomendamos, del cuaderno n.º 3 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3 y 4 de la pág. 11. Ejercicio 1 de la pág. 12.

Ampliación: Ejercicios 2 y 3 de la pág. 13.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 a) 0,1 b) 0,3 c) 0,5 d) 0,8 e) 0,01 f ) 0,07

2 a) 7,6; 7,62 b) 2,7; 2,68 c) 0,7; 0,71

d) 3,7; 3,74 e) 2,9; 2,92 f ) 0,2; 0,17

86

1 Los números naturales

Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo.

Los sistemas de numeración sirven para escribir números y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, tam-

bién, para operar con ellos. Piensa en el sistema romano (que ya conoces) y en cómo se las apañarían para efectuar sumas. Por ejemplo, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. ¿Complicado? Pues imagina lo difícil que tendría que ser multiplicar.

Mayas2000 a.C. Romanos

100 a.C.

Babilonios2000 a.C.

Egipcios3500 a.C.

Chinos 3500 a.C.

Hindúes 500 a.C.

Árabes 700 d.C.

Sistema decimal que usamos

Así multiplicaban los antiguos hindúes

– En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la ca-silla sombreada, 4 × 7 = 28.

– Se suman los resultados en vertical. En cada columna solo cabe un dígito.

Así multiplicaban los antiguos egipcios Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo hacían 23 × 18.

Escribían dos columnas de números siguiendo las si-guientes reglas:– En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepa-

sar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23.– La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo fac-

tor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían duplicado 1 en la primera columna.

– Después, en la primera columna tomaban los números necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23:

1 + 2 + 4 + 16 = 23– Para concluir, cogían, en la segunda columna, los nú-

meros correspondientes a los sumandos de la primera columna y los sumaban. En nuestro caso:

18 + 36 + 72 + 288 = 414El resultado de la suma obtenida en la columna de la derecha era el pro-ducto buscado. En nuestro ejemplo:

23 × 18 = 414

1

1252

12

2

12

0 43 0

2

9 61

34

6 57

1 9 7 2 2

2 8

2 Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:

a) 208 × 34 b) 453 × 26

3 Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál te parece más cómoda y efectiva? Justifica tu respuesta.

1 Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio:a) 17 × 41 b) 41 × 17

1248

1623

183672

144288414

⎯→⎯→⎯→

⎯→

→→→

→←

←•←•←•

←•→

5UNIDAD

98 99

Ejercicios y problemas

El sistema de numeración decimal

1. Escribe cómo se leen.a) 13,4 b) 0,23 c) 0,145d) 0,0017 e) 0,0006 f ) 0,000148

2. Escribe con cifras.a) Ocho unidades y seis décimas.b) Tres centésimas.c) Dos unidades y cincuenta y tres milésimas.d) Doscientas trece cienmilésimas.e) Ciento ochenta millonésimas.

3. Escribe con cifras.a) Media unidad. b) Media décima.c) Media centésima. d) Un cuarto de unidad.

4. Expresa en décimas.a) 6 decenas. b) 27 unidades.c) 200 centésimas. d) 800 milésimas.

5. Copia y completa en tu cuaderno.a) 8 u = 80 d = … c = … mb) … u = … d = 30 c = … mc) … u = … d = … c = 1 700 m

6. ¿Verdadero o falso?a) Media centésima equivale a 5 décimas.b) 25 centésimas hacen la cuarta parte de una décima.c) La cuarta parte de una diezmilésima equivale a 25

millonésimas.

Orden. Representación. Redondeo

7. Ordena de menor a mayor en cada caso:a) 1,4 1,390 ,1 39

! 1,399 1,41

b) – 0,6 0,9 – 0,8 2,07 –1,03

8. Asocia un número a cada letra:

R T U VS5,28 5,29

A 6,56 DB C E

M N2,3 2,4O P Q

9. Intercala un número decimal entre:a) 0,5 y 0,6 b) 1,1 y 1,2 c) 0,24 y 0,25d) 6,16 y 6,17 e) 1 y 1,1 f ) 3,2 y 3,01

10. ¿Qué números dividen el intervalo 2-3 en cuatro tramos iguales?

2 3

11. Escribe los números que dividen el intervalo 0,7-0,8 en cinco partes iguales.

0,7 0,8

12. Ejercicio resueltoAproximar 3,70965 a las…

Unidades → 4 Décimas → 3,7Centésimas → 3,71 Milésimas → 3,710

13. Aproxima, en cada caso, a las unidades, a las déci-mas y a las centésimas:a) 2,499 b) 1,992 c) 0,999

14. Aproxima a las milésimas.a) 0,62359 b) ,1 7

! c) 0,0999

OperacionesSumas y restas

15. Calcula mentalmente.a) ¿Cuánto le falta a 4,7 para valer 5?b) ¿Cuánto le falta a 1,95 para valer 2?c) ¿Cuánto le falta a 7,999 para llegar a 8?

16. Realiza estas operaciones:a) 13,04 + 6,528 b) 2,75 + 6,028 + 0,157c) 4,32 + 0,185 – 1,03 d) 6 – 2,48 – 1,263

17. Calcula y completa en tu cuaderno.a) 2,7 + … = 5,2 b) … + 3,08 = 4 c) 1,25 – … = 0,4 d) … – 2,015 = 3,52

18. Opera las expresiones siguientes:a) 5 – (0,8 + 0,6)b) 2,7 – (1,6 – 0,85)c) (3,21 + 2,4) – (2,8 – 1,75)d) (5,2 – 3,17) – (0,48 + 0,6)

Multiplicación y división

19. Multiplica.a) 0,6 · 0,4 b) 0,03 · 0,005c) 1,3 · 0,08 d) 15 · 0,007e) 2,65 · 1,24 f ) 0,25 · 0,16

20. Calcula con dos cifras decimales, si las hay.a) 0,8 : 0,3 b) 1,9 : 0,04c) 5,27 : 3,2 d) 0,024 : 0,015e) 2,385 : 6,9 f ) 4,6 : 0,123

21. Multiplica y divide mentalmente.a) 0,12 · 10 b) 0,12 : 10c) 0,002 · 100 d) 0,002 : 100e) 0,125 · 1 000 f ) 0,125 : 1 000

22. Copia y completa en tu cuaderno.a) 72 : … = 7,2 b) 3,8 : … = 0,038c) … : 1 000 = 0,05 d) … : 100 = 2,3

23. Multiplica. ¿Qué observas?a) 6 · 0,5 b) 10 · 0,5 c) 22 · 0,5d) 0,8 · 0,5 e) 1,4 · 0,5 f ) 4,2 · 0,5

24. Divide. ¿Qué observas?a) 3 : 0,5 b) 5 : 0,5 c) 11 : 0,5d) 0,4 : 0,5 e) 0,7 : 0,5 f ) 2,1 : 0,5

25. Calcula, observa los resultados y responde.a) 200 · 0,1 30 · 0,1 8 · 0,1 ¿Qué le ocurre a un número al multiplicarlo por 0,1?b) 7 : 0,1 35 : 0,1 0,5 : 0,1 ¿Qué le ocurre a un número al dividirlo por 0,1?

26. Pon ejemplos, investiga, y después com-pleta en tu cuaderno.a) Multiplicar por 0,2 es igual que dividir entre …b) Dividir entre 0,2 es igual que multiplicar por …

27. Multiplica mentalmente.a) 18 · 0,1 b) 15 · 0,01 c) 400 · 0,001d) 5 · 0,2 e) 200 · 0,02 f ) 3 000 · 0,002g) 20 · 0,5 h) 20 · 0,05 i) 2 000 · 0,005

28. Divide mentalmente.a) 7 : 0,1 b) 9 : 0,01 c) 8 : 0,001d) 2 : 0,2 e) 6 : 0,02 f ) 10 : 0,002g) 1 : 0,5 h) 1 : 0,05 i) 1 : 0,005

Operaciones combinadas

29. Ejercicio resuelto4,8 + 2,6 · 0,5 – 18 · 0,1

4,8 + 1,3 – 1,8

3 + 1,3

4,34,80 + 2,6 · 0,5 – 18 · 0,1 = 4,8 + 1,3 – 1,8 = = 3 + 1,3 = 4,3

30. Opera ayudándote del cálculo mental.a) 5,6 – 0,8 : 0,5 + 6,2 · 0,5 b) 0,62 : 0,1 – 4,3 – 12 · 0,1c) 15 · 0,5 + 0,5 : 0,2 – 9,8d) 5,5 · 0,2 + 1,1 + 6,6 : 0,3

31. Ejercicio resuelto3,25 · 2,4 – 1,5 · (2,1 – 3,9) = 7,8 – 1,5 · (–1,8) = = 7,8 + 2,7 = 10,5

3,25× 2,413006507,800

3,9– 2,1

1,8

7,8+ 2,710,5

1,5× 1,8

120152,70

32. Calcula.a) 1,9 + 2 · (1,3 – 2,2)b) 0,36 – 1,3 · (0,18 + 0,02)c) 2,5 – 1,25 · (2,57 – 0,97)d) 6,5 · 0,2 – 0,4 : (2,705 – 3,105)e) 12 : 6,4 – 2 · (1 : 8)f ) – (3,5 · 1,2) : 2,1 + (0,865 – 3)g) (–5,33 + 1,79) · 3 – (8,75 : 0,5)

En la web Practica las operaciones con decimales.

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

1 a) Trece unidades y cuatro décimas.

b) Veintitrés centésimas.

c) Ciento cuarenta y cinco milésimas.

d) Diecisiete diezmilésimas.

e) Seis diezmilésimas.

f ) Ciento cuarenta y ocho millonésimas.

2 a) 8,6 b) 0,03 c) 2,053 d) 0,00213 e) 0,000180

3 a) 0,5 b) 0,05 c) 0,005 d) 0,25

4 a) 6 decenas = 600 décimas

b) 27 unidades = 270 décimas

c) 200 centésimas = 20 décimas

d) 800 milésimas = 8 décimas

5 a) 8 u = 80 d = 800 c = 8 000 m

b) 0,3 u = 3 d = 30 c = 300 m

c) 1,7 u = 17 d = 170 c = 1 700 m

6 a) Falso b) Falso c) Verdadero

7 a) 1,390 < 1,399 < ,1 39!

< 1,4 < 1,41

b) –1,03 < – 0,8 < – 0,6 < 0,9 < 2,07

8 A = 5,9 B = 6,3 C = 6,8 D = 7 E = 7,1

M = 2,28 N = 2,34 O = 2,37 P = 2,39 Q = 2,43

R = 5,277 S = 5,285 T = 5,293 U = 5,296 V = 5,3

9 Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo:

a) 0,52 b) 1,15 c) 0,247

d) 6,1604 e) 1,06 f ) 3,1

10 2,25; 2,50 y 2,75

11 0,72; 0,74; 0,76 y 0,78

13 a) Unidades → 2; Décimas → 2,5; Centésimas → 2,50

b) Unidades → 2; Décimas → 2,0; Centésimas → 1,99

c) Unidades → 1; Décimas → 1,0; Centésimas → 1,00

14 a) 0,624 b) 1,778 c) 0,100

15 a) 0,3 b) 0,05 c) 0,001

16 a) 19,568 b) 8,935 c) 3,475 d) 2,257

17 a) 2,5 b) 0,92 c) 0,85 d) 5,535

18 a) 3,6 b) 1,95 c) 4,56 d) 0,95

ANOTACIONES

87

1 Los números naturales

Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo.

Los sistemas de numeración sirven para escribir números y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, tam-

bién, para operar con ellos. Piensa en el sistema romano (que ya conoces) y en cómo se las apañarían para efectuar sumas. Por ejemplo, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. ¿Complicado? Pues imagina lo difícil que tendría que ser multiplicar.

Mayas2000 a.C. Romanos

100 a.C.

Babilonios2000 a.C.

Egipcios3500 a.C.

Chinos 3500 a.C.

Hindúes 500 a.C.

Árabes 700 d.C.

Sistema decimal que usamos

Así multiplicaban los antiguos hindúes

– En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la ca-silla sombreada, 4 × 7 = 28.

– Se suman los resultados en vertical. En cada columna solo cabe un dígito.

Así multiplicaban los antiguos egipcios Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo hacían 23 × 18.

Escribían dos columnas de números siguiendo las si-guientes reglas:– En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepa-

sar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23.– La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo fac-

tor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían duplicado 1 en la primera columna.

– Después, en la primera columna tomaban los números necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23:

1 + 2 + 4 + 16 = 23– Para concluir, cogían, en la segunda columna, los nú-

meros correspondientes a los sumandos de la primera columna y los sumaban. En nuestro caso:

18 + 36 + 72 + 288 = 414El resultado de la suma obtenida en la columna de la derecha era el pro-ducto buscado. En nuestro ejemplo:

23 × 18 = 414

1

1252

12

2

12

0 43 0

2

9 61

34

6 57

1 9 7 2 2

2 8

2 Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:

a) 208 × 34 b) 453 × 26

3 Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál te parece más cómoda y efectiva? Justifica tu respuesta.

1 Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio:a) 17 × 41 b) 41 × 17

1248

1623

183672

144288414

⎯→⎯→⎯→

⎯→

→→→

→←

←•←•←•

←•→

5UNIDAD

98 99

Ejercicios y problemas

El sistema de numeración decimal

1. Escribe cómo se leen.a) 13,4 b) 0,23 c) 0,145d) 0,0017 e) 0,0006 f ) 0,000148

2. Escribe con cifras.a) Ocho unidades y seis décimas.b) Tres centésimas.c) Dos unidades y cincuenta y tres milésimas.d) Doscientas trece cienmilésimas.e) Ciento ochenta millonésimas.

3. Escribe con cifras.a) Media unidad. b) Media décima.c) Media centésima. d) Un cuarto de unidad.

4. Expresa en décimas.a) 6 decenas. b) 27 unidades.c) 200 centésimas. d) 800 milésimas.

5. Copia y completa en tu cuaderno.a) 8 u = 80 d = … c = … mb) … u = … d = 30 c = … mc) … u = … d = … c = 1 700 m

6. ¿Verdadero o falso?a) Media centésima equivale a 5 décimas.b) 25 centésimas hacen la cuarta parte de una décima.c) La cuarta parte de una diezmilésima equivale a 25

millonésimas.

Orden. Representación. Redondeo

7. Ordena de menor a mayor en cada caso:a) 1,4 1,390 ,1 39

! 1,399 1,41

b) – 0,6 0,9 – 0,8 2,07 –1,03

8. Asocia un número a cada letra:

R T U VS5,28 5,29

A 6,56 DB C E

M N2,3 2,4O P Q

9. Intercala un número decimal entre:a) 0,5 y 0,6 b) 1,1 y 1,2 c) 0,24 y 0,25d) 6,16 y 6,17 e) 1 y 1,1 f ) 3,2 y 3,01

10. ¿Qué números dividen el intervalo 2-3 en cuatro tramos iguales?

2 3

11. Escribe los números que dividen el intervalo 0,7-0,8 en cinco partes iguales.

0,7 0,8

12. Ejercicio resueltoAproximar 3,70965 a las…

Unidades → 4 Décimas → 3,7Centésimas → 3,71 Milésimas → 3,710

13. Aproxima, en cada caso, a las unidades, a las déci-mas y a las centésimas:a) 2,499 b) 1,992 c) 0,999

14. Aproxima a las milésimas.a) 0,62359 b) ,1 7

! c) 0,0999

OperacionesSumas y restas

15. Calcula mentalmente.a) ¿Cuánto le falta a 4,7 para valer 5?b) ¿Cuánto le falta a 1,95 para valer 2?c) ¿Cuánto le falta a 7,999 para llegar a 8?

16. Realiza estas operaciones:a) 13,04 + 6,528 b) 2,75 + 6,028 + 0,157c) 4,32 + 0,185 – 1,03 d) 6 – 2,48 – 1,263

17. Calcula y completa en tu cuaderno.a) 2,7 + … = 5,2 b) … + 3,08 = 4 c) 1,25 – … = 0,4 d) … – 2,015 = 3,52

18. Opera las expresiones siguientes:a) 5 – (0,8 + 0,6)b) 2,7 – (1,6 – 0,85)c) (3,21 + 2,4) – (2,8 – 1,75)d) (5,2 – 3,17) – (0,48 + 0,6)

Multiplicación y división

19. Multiplica.a) 0,6 · 0,4 b) 0,03 · 0,005c) 1,3 · 0,08 d) 15 · 0,007e) 2,65 · 1,24 f ) 0,25 · 0,16

20. Calcula con dos cifras decimales, si las hay.a) 0,8 : 0,3 b) 1,9 : 0,04c) 5,27 : 3,2 d) 0,024 : 0,015e) 2,385 : 6,9 f ) 4,6 : 0,123

21. Multiplica y divide mentalmente.a) 0,12 · 10 b) 0,12 : 10c) 0,002 · 100 d) 0,002 : 100e) 0,125 · 1 000 f ) 0,125 : 1 000

22. Copia y completa en tu cuaderno.a) 72 : … = 7,2 b) 3,8 : … = 0,038c) … : 1 000 = 0,05 d) … : 100 = 2,3

23. Multiplica. ¿Qué observas?a) 6 · 0,5 b) 10 · 0,5 c) 22 · 0,5d) 0,8 · 0,5 e) 1,4 · 0,5 f ) 4,2 · 0,5

24. Divide. ¿Qué observas?a) 3 : 0,5 b) 5 : 0,5 c) 11 : 0,5d) 0,4 : 0,5 e) 0,7 : 0,5 f ) 2,1 : 0,5

25. Calcula, observa los resultados y responde.a) 200 · 0,1 30 · 0,1 8 · 0,1 ¿Qué le ocurre a un número al multiplicarlo por 0,1?b) 7 : 0,1 35 : 0,1 0,5 : 0,1 ¿Qué le ocurre a un número al dividirlo por 0,1?

26. Pon ejemplos, investiga, y después com-pleta en tu cuaderno.a) Multiplicar por 0,2 es igual que dividir entre …b) Dividir entre 0,2 es igual que multiplicar por …

27. Multiplica mentalmente.a) 18 · 0,1 b) 15 · 0,01 c) 400 · 0,001d) 5 · 0,2 e) 200 · 0,02 f ) 3 000 · 0,002g) 20 · 0,5 h) 20 · 0,05 i) 2 000 · 0,005

28. Divide mentalmente.a) 7 : 0,1 b) 9 : 0,01 c) 8 : 0,001d) 2 : 0,2 e) 6 : 0,02 f ) 10 : 0,002g) 1 : 0,5 h) 1 : 0,05 i) 1 : 0,005

Operaciones combinadas

29. Ejercicio resuelto4,8 + 2,6 · 0,5 – 18 · 0,1

4,8 + 1,3 – 1,8

3 + 1,3

4,34,80 + 2,6 · 0,5 – 18 · 0,1 = 4,8 + 1,3 – 1,8 = = 3 + 1,3 = 4,3

30. Opera ayudándote del cálculo mental.a) 5,6 – 0,8 : 0,5 + 6,2 · 0,5 b) 0,62 : 0,1 – 4,3 – 12 · 0,1c) 15 · 0,5 + 0,5 : 0,2 – 9,8d) 5,5 · 0,2 + 1,1 + 6,6 : 0,3

31. Ejercicio resuelto3,25 · 2,4 – 1,5 · (2,1 – 3,9) = 7,8 – 1,5 · (–1,8) = = 7,8 + 2,7 = 10,5

3,25× 2,413006507,800

3,9– 2,1

1,8

7,8+ 2,710,5

1,5× 1,8

12015

2,70

32. Calcula.a) 1,9 + 2 · (1,3 – 2,2)b) 0,36 – 1,3 · (0,18 + 0,02)c) 2,5 – 1,25 · (2,57 – 0,97)d) 6,5 · 0,2 – 0,4 : (2,705 – 3,105)e) 12 : 6,4 – 2 · (1 : 8)f ) – (3,5 · 1,2) : 2,1 + (0,865 – 3)g) (–5,33 + 1,79) · 3 – (8,75 : 0,5)

En la web Practica las operaciones con decimales.

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

19 a) 0,24 b) 0,00015 c) 0,104

d) 0,105 e) 3,286 f ) 0,04

20 a) 2,66 b) 47,5 c) 1,64

d) 1,6 e) 0,34 f ) 37,39

21 a) 1,2 b) 0,012 c) 0,2

d) 0,00002 e) 125 f ) 0,000125

22 a) 10 b) 100 c) 50 d) 230

23 a) 3 b) 5 c) 11

d) 0,4 e) 0,7 f ) 2,1

Multiplicar por 0,5 es lo mismo que dividir entre 2.

24 a) 6 b) 10 c) 22

d) 0,8 e) 1,4 f ) 4,2

Dividir entre 0,5 es lo mismo que multiplicar por 2.

25 a) 200 · 0,1 = 20; 30 · 0,1 = 3; 8 · 0,1 = 0,8

Multiplicar un número por 0,1 es lo mismo que dividirlo entre 10.

b) 7 : 0,1 = 70; 35 : 0,1 = 350; 0,5 : 0,1 = 5

Dividir un número entre 0,1 es lo mismo que multiplicarlo por 10.

26 a) Multiplicar por 0,2 es igual que dividir entre 5.

b) Dividir entre 0,2 es igual que multiplicar por 5.

27 a) 1,8 b) 0,15 c) 0,4

d) 1 e) 4 f ) 6

g) 10 h) 1 i ) 10

28 a) 70 b) 900 c) 8 000

d) 10 e) 300 f ) 5 000

g) 2 h) 20 i ) 200

30 a) 7,1 b) 0,7 c) 0,2 d) 24,2

32 a) 0,1 b) 0,1 c) 0,5 d) 2,3

e) 1,625 f ) – 4,135 g) –28,12

ANOTACIONES

88

5UNIDAD

100 101

Ejercicios y problemas

100

Aprende a resolver problemasAprende a resolver problemas

Raíz cuadrada

33. Calcula mentalmente.a) ,0 04 b) ,0 16 c) ,0 36

d) ,0 0009 e) ,0 0025 f ) ,0 0081

34. Copia y completa en tu cuaderno.

√ 3 8, 0 0 , – 3 6 12 · 0 2 – 1 2 1 0

12

√5, 7 0 , – 4 4 · 1 0

4

35. Calcula con una cifra decimal.a) ,5 76 b) ,32 8 c) ,138 85

Utiliza la calculadora

36. Observa el ejemplo y resuelve con la calculadora.• 1,42 – 2,4 · (2,15 – 1,6) ⇒ ⇒ 2,15 - 1,6 = * 2,4 µ 1,42 ≤ Ñ ⇒ {∫∫≠Ÿ‘} 1,42 – 2,4 · (2,15 – 1,6) = 0,1

a) 2,75 – 0,5 · (1,69 – 0,38)b) 2,3 · (6,07 – 1,34) – 0,45

37. Calcula con lápiz y papel, sacando dos cifras deci-males, y después comprueba con la calculadora.a) 42 b) 230 c) 1425

38. Haz con la calculadora y aproxima a las centésimas.a) 13 b) 217 c) 2829

Resuelve problemas

39. Tras consultar con su dietista, el señor Horondo se ha puesto a régimen. En la tabla ha recogido los resulta-dos de la báscula tomados el primer día de cada uno de los seis últimos meses:

1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°91,38 90,16 88,815 87,801 86,9 86,15

a) ¿En qué mes ha adelgazado más?

b) ¿Cuánto ha adelgazado en total?

40. Con 15 kilos de miel se han llenado 25 frascos. ¿Cuál es el peso de cada frasco, teniendo en cuenta que el casco y la tapa pesan 0,12 kg?

41. Un coche avanza 2,68 metros por cada vuelta que da la rueda. ¿Cuántas vueltas dará en el trayecto de 620 kilómetros entre Madrid y Barcelona? (Aproxi-ma el resultado a las centenas).

42. Cuatro tazas pesan lo mismo que cinco vasos. Si cada taza pesa 0,115 kg, ¿cuánto pesa cada vaso?

43. Una empresa de productos lácteos vende los yo-gures a 1,20 € la unidad. De esa cantidad, la terce-ra parte corresponde al envase; la mitad, a costes de producción, comercialización y ganancias, y el resto, al contenido. ¿Cuánto cuesta el contenido?

44. Raquel ha hecho este trimestre tres exámenes de matemáticas y ha sacado un 5,5, un 7 y un 2,40. ¿Cuál es su nota media?

45. El cesto del panadero, vacío, pesa 8,5 kg; y carga-do con barras de 250 gramos pesa 18,750 kg. ¿Cuán-tas barras hay en el cesto?

46. Se desea cercar la finca que aparece en la figura con una valla de alambrada que se vende, por rollos de 5 metros, a 12,99 € el rollo. ¿Cuál será el presu-puesto para la alambrada?

28,2 m

19,95 m

5,75 m

9,85 m

47. Rosa y Javier compran en el supermercado:

— Cinco litros de leche a 1,05 € el litro.

— Una bolsa de bacalao de 0,92 kg a 13,25 €/kg.

— Un paquete de galletas que cuesta 2,85 €.

— Un cuarto de kilo de jamón a 38,40 €/kg.

¿Cuánto pagan en caja por la compra?

48. Una merluza de kilo y cuarto ha costado 15,75 €. ¿Cuánto costará otra merluza que pesa 1,4 kilos?

49. ¿Cuántas baldas de 0,8 m de longitud y 0,25 m de anchura puede obtener un carpintero, cor-tando un tablero de 2,40 m × 1,75 m?

Problemas “+”

50. Una nave de exposiciones mide 20,25 m de an-cho por 35,8 m de largo. Para limpiar el suelo, se utiliza la máquina fregadora y enceradora capaz de cubrir una superficie de 1 000 m2 a la hora. ¿Dará tiempo a limpiar la nave en tres cuartos de hora?

51. Martina tiene dos teléfonos móviles con-tratados en dos compañías diferentes, A y B. La com-pañía telefónica A cobra 30 céntimos por estableci-miento de llamada y 20 céntimos al minuto. La com-pañía B no cobra establecimiento de llamada, pero cobra 25 céntimos por minuto.

Explica brevemente qué teléfono le conviene usar a Martina, dependiendo del tiempo previsto para la lla-mada.

52. Las tablas siguientes recogen los tiros a canasta y las canastas conseguidas por dos jugadores en los cinco últimos partidos.

JUGADOR A 1.° 2.° 3.° 4.° 5.°

TIROS 4 3 4 2 5CANASTAS 2 3 3 2 4

JUGADOR B 1.° 2.° 3.° 4.° 5.°

TIROS 5 7 3 8 7CANASTAS 2 5 2 7 5

¿Cuál de los dos jugadores crees que tiene el tiro más seguro? Justifica tu respuesta.

¿Qué compra? ¿Qué hace con lo que compra? ¿Qué elementos necesita para llevara cabo su propósito y cuánto le cuestan? ¿Qué quiere conseguir?

¿Por qué no empiezas calculan-do el número de botellas nece-sarias para envasar todo el vino?

Pues si ya tienes los gastos y la ganancia por botella…

¿Puedes ahora calcular el coste de cada uno de los elementos que permiten producir una bo-tella?

Si se quieren ganar 54 000 € en total, ¿cuánto hay que ganar con cada botella?

— Buena idea, así podré calcular luego el coste del vino que va en una botella y a cuánto ha de ascender la ganancia por botella:

30 000 : 0,75 = 40 000 botellas

— Ya está, lo sumo todo y listo:0,14 + 0,01 + 1,80 + 1,35 = 3,30 €

Solución: El precio de cada botella será de 3,30 €.

— Veamos… necesito una botella vacía, un corcho y, por supuesto, el vino:Botella vacía: 14 : 100 = 0,14 €Corcho: 10 : 1 000 = 0,01 €Vino: 72 000 : 40 000 = 1,80 €

— Esto es fácil. Como son 40 000 botellas…54 000 : 40 000 = 1,35 € tiene que ganar por botella

Un bodeguero compra una partida de 30 000 litros de vino por 72 000 € y los envasa en botellas de 75 centilitros. Las botellas, vacías, le salen a 14 € la centena, y los corchos, a 10 € el millar. ¿A cómo debe vender la botella para obtener 54 000 € de bene� cios?

Comprueba que has entendido el enunciado.

Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?

En la web Resuelve problemas con números decimales.

41 231 343,2835… vueltas que, aproximando a las centenas, son 231 300 vueltas.

42 Un vaso pesa 92 g.

43 El contenido cuesta 0,20 euros.

44 Nota media: 4,9666… (4,97 si se aproxima a las centésimas; y 5 si se aproxima a las décimas o a las unidades).

45 En el cesto hay 41 barras.

46 259,80 euros

47 Pagan 29,89 €.

48 Costará 17,64 euros.

49 Puede obtener 21 baldas.

50 Sí, podrá cumplir el trabajo en tres cuartos de hora.

51 Si la llamada dura menos de 6 minutos, le conviene usar la compañía B; si la llamada dura 6 minutos le da igual una compañía u otra, y si dura más de 6 minutos, le conviene usar la A.

52 El jugador A (por cada tiro encesta 0,777… canastas) tiene el tiro un poco más seguro que el jugador B (por cada tiro encesta 0,7 canas-tas).

Aprende a resolver problemas

En este apartado, mediante el seguimiento de un ejemplo, se pretende ofrecer modelos, estrategias y pautas para resolver problemas.

• Para explotar al máximo los objetivos de este apartado, podemos pedir a los alumnos y a las alumnas que resuelvan previamente el problema, buscando cada uno su propio camino. Y después, en gran grupo, con-trastar los distintos procesos seguidos, la calidad de cada exposición, etc. Terminaremos analizando el desarrollo que incluye la página.

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

33 a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6 d) 0,03 e) 0,05 f ) 0,09

34 √ 3 8, 0 0 6 , 1 – 3 6 12 1 · 1

0 2 0 0 – 1 2 1

0 7 9

√ 5, 7 0 2 , 3 – 4 4 3 · 3

1 7 0 1 2 9

0 4 1

35 a) 2,4 b) 5,7 c) 11,7

36 a) 2,095 b) 10,429

37 a) 6,48 b) 15,16 c) 37,74

38 a) 3,60555… → 3,61 b) 14,7309… → 14,73

c) 53,1883… → 53,19

39 a) Ha adelgazado más el segundo mes del régimen.

b) En total ha adelgazado 91,38 – 86,15 = 5,23 kilos.

40 El peso de cada frasco es de 0,72 kilos.

ANOTACIONES

89

5UNIDAD

102 103

Taller de matemáticas 5UNIDADUNIDAD

103

Autoevaluación

102

aprenderemprender

Lee e infórmateEscritura de los números decimalesLos números decimales se conocen desde la antigüedad, pero la forma en que los escribi-mos es bastante reciente.Los primeros pasos hacia la escritura actual se dieron en Europa con la llegada del sistema de numeración decimal en la segunda mitad el siglo xvi. Por esa época, aparecen tratados en los que cada cifra decimal iba acompañada de su órden de unidades. Por ejemplo, para escribir 12,58 ponían:

12(0) 5(1) 8(2)

Como ves, (0) indicaba la parte entera; (1), la cifra de las décimas; (2), las centésimas, etc.El siguiente paso fue la separación de la parte entera de la parte decimal colocan-do un circulito encima de la cifra de las unidades:

12(0) 5(1) 8(2) ⎯→ 12̊ 58

A comienzos del siglo xvii, matemáticos italianos y holandeses comenzaron a uti-lizar un punto o una coma para este propósito. Pero no fue hasta la publicación de los trabajos del matemático escocés John Napier (1550-1617), quien utilizaba ambos de forma indistinta, cuando se popularizaron estas formas de escribir los números decimales. Mientras que en la Europa continental se adoptó la coma decimal, en las Islas Británicas y en los demás países anglosajones se pre� rió el punto, notación que ha pasado también a las calculadoras y a los ordenadores.

Entrénate resolviendo problemas Echa cuentas… y un poco de ingenio• Tengo en el bolsillo 25 monedas. Todas son de 0,50 € o de 0,20 €. En total tengo

8 €. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase?• Tengo 3,45 € en monedas de 1 €; 0,50 €; 0,20 € y 0,05 €. Hay menos de diez mone-

das. ¿Cuántas hay de cada tipo? (Encuentra más de una solución).

• Consigue el número 10 multiplicando tres números diferentes. (Encuentra más de una solución). ? × ? 10× ? =

• Tres amigos motoristas, Roberto Rojo, Bartolomé Blanco y Genaro Gris, se disponen a salir de paseo:

—¿Os habéis � jado —dice Roberto— que una de nuestras motos es roja, otra blanca y otra gris, pero en ningún caso el color coincide con el apellido del dueño?—Pues no me había � jado —dice el de la moto blanca—, pero tienes razón.¿De qué color es la moto de cada uno?

• a) Completa varias � las de esta tabla usando la calcula-dora:

1 : 9

2 : 9

3 : 9

…

0,11111…

0,22222…

…

0,1

)

b) Ahora, divide entre 9 varios números de esta serie:1 - 10 - 19 - 28 - 37 - …

1 : 9

10 : 9

19 : 9

…

0,1111…

1,1111…

…

0,1

)

— ¿Qué tienen en común estos números?— ¿Qué tienen en común los cocientes?

c) Haz lo mismo con los números de estas series:2 - 11 - 20 - 29 - 38 - …3 - 12 - 21 - 30 - 39 - …4 - 13 - 22 - 31 - 40 - …

…¿Qué observas?

d) Continúa haciendo pruebas y anotando ordenada-mente los resultados. Después, expresa por escrito tus conclusiones.

1. Escribe con cifras.a) Veintiocho milésimas.b) Dos unidades y siete centésimas.c) Ciento treinta y dos diezmilésimas.d) Nueve millonésimas.

2. Piensa y contesta.a) ¿Cuántas milésimas hacen una décima?b) ¿Cuántas millonésimas hay en una milésima?

3. Ordena de menor a mayor y representa en la recta.2,07 - 0,27 - 2,71 - 2,7 - 2,17

4. Copia y completa con un número decimal.a) 4,5 < … < 4,6 b) 0,1 < … < 0,11

5. Redondea a las décimas y a las centésimas.a) 2,726 b) ,5 6

!

6. ¿Qué número señala cada letra?:2,8

A

2,9

B C D

7. Calcula.a) 2,8 – 3,75 + 1,245 b) 2,8 · 3,75 c) 6,8 · 100 d) 2,6 : 100

8. Calcula.a) 4,2 – 0,2 · 5 – 0,6 b) 4,2 – 0,2 · (5 – 0,6)c) (4,2 – 0,2) · 5 – 0,6 d) 4,2 – (0,2 · 5 – 0,6)

9. Calcula con dos cifras decimales.a) 7 : 13 b) 54,5 : 12 c) 8,34 : 15,25

10. El melón se vende a 1,75 €/kg. ¿Cuánto costará un melón de 2,800 kilos?

11. Manuel trabaja de forma eventual, en una tienda, envolviendo paquetes de regalo. Por cada paquete le dan ochenta céntimos. Ayer hizo 30 paquetes. ¿Cuánto ganó?

12. Para hacer un regalo a Rosa, debemos poner 33 € entre 10 amigos. Para hacer un regalo a mi madre, debemos poner 10 euros entre sus 3 hijos. ¿Cuál de los dos regalos me sale más caro?

John Napier

Investiga y exprésate

102

Echa cuentas… y un poco de ingenio• Tengo en el bolsillo 25 monedas. Todas son de 0,50

8

En la web Resoluciones de estos ejercicios.

Lee e infórmate

Escritura de los números decimales

El texto incluye algunas anécdotas relativas a la evolución de la notación decimal. Con ello, los alumnos y alumnas comprobarán que algo que per-ciben como un recurso acabado, sencillo y natural, es un aprendizaje con-seguido tras mucho esfuerzo a lo largo de la historia.

Investiga y exprésate

Se sugiere abordar las actividades en pequeño grupo, poniendo en co-mún las soluciones de cada apartado antes de pasar al siguiente.

La concreción por escrito de los procesos y las soluciones fija los aprendi-zajes conseguidos y desarrolla procedimientos y capacidades, en el terre-no de la expresión y del pensamiento, tan valiosos como las empleadas en la etapa de investigación.

Soluciones

a) Se obtiene , ; , ; , ; , ; , ; , ; …0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6! ! ! ! ! !

b) Se obtiene , ; , ; , ; , ; , ; , ; …0 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5! ! ! ! ! !

– Los números 1 - 10 - 19 - 28… dejan de resto 1 al dividirlos entre 9.

– Los cocientes tienen en común la parte decimal: 0,111… = 0,1!

.

c) Primera serie: , ; , ; , ; , ; , ; …0 1 2 3 42 2 2 2 2! ! ! ! !

Dejan de resto 2 al dividirlos entre 9.

Segunda serie: , ; , ; , ; , ; , ; …0 1 3 2 3 3 3 4 33! ! ! ! !

Dejan de resto 3 al dividirlos entre 9.

Tercera serie: , ; , ; , ; , ; , ;0 1 2 3 44 4 4 4 4 …! ! ! ! !

Dejan de resto 4 al dividirlos entre 9.

d) La división entera de un número entre 9 deja un resto, r, comprendido entre 0 y 8, ambos inclusive. La parte decimal del cociente está formada por la cifra “r” (resto de la división entera), repetida indefinidamente.

Entrénate resolviendo problemas

Echa cuentas… y un poco de ingenio

Soluciones

•Hay 15 monedas de 0,20 € y 10 monedas de 0,50 €.

• Solución 1 → 2 de 1 € + 2 de 0,50 € + 2 de 0,20 € + 1 de 0,05 €

Solución 2 → 1 de 1 € + 4 de 0,50 € + 2 de 0,20 € + 1 de 0,05 €

• Por ejemplo, 10 = 1,25 · 4 · 2 ; 10 = 0,25 · 20 · 2

• R. Rojo, gris; B. Blanco, roja; G. Gris, blanca.

Soluciones de la autoevaluación

1 a) 0,028 b) 2,07 c) 0,0132 d) 0,000009

2 a) 100 b) 1 000

3 0,27 < 2,07 < 2,17 < 2,7 < 2,71

4 a) 4,5 < 4,55 < 4,6 b) 0,1 < 0,105 < 0,11

5 A las décimas: a) 2,7; b) 5,7 A las centésimas: a) 2,73; b) 5,67

6 A → 2,78 B → 2,85 C → 2,925 D → 3

7 a) 0,295 b) 10,5 c) 680 d) 0,026

8 a) 2,6 b) 3,32 c) 19,4 d) 3,8

9 a) 0,53 b) 4,54 c) 0,54

10 El melón costará 4,90 €.

11 24 euros.

12 Sale más caro el regalo de la madre (3,33 € cada uno) que el regalo de Rosa (3,30 € cada uno).