Los números enteros, material didáctico

Bienvenidos a la Unidad III de Números Enteros

Nuestro Tema transversal es Identidad

Cultural

AUTOR: EUGENIO MARLON EVARISTO BORJA

Huánuco - Perú

DIVERSIFICACIÓN Aprendizajes esperados

Razonamiento y Demostración

• Compara, ordena y representa números enteros

• Estima el resultado de operaciones con números enteros.

• Interpreta criterios de divisibilidad de los números enteros.

• Realiza y verifica operaciones utilizando la calculadora, para reflexionar sobre conceptos y para descubrir propiedades de las operaciones con los números enteros.

Comunicación Matemática

• Interpreta el significado de números naturales, enteros y racionales en diversas situaciones y contextos.

• Matematiza situaciones de contexto real, utilizando los números naturales, enteros o racionales y sus propiedades.

Resolución de problemas

• Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números naturales, enteros o racionales y Ecuaciones lineales con una incógnita.

• Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas.

• Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa e inversa.

Contenidos

Sistemas numéricos • Representación, orden y

operaciones con números enteros.

Álgebra • Ecuaciones lineales con una

incógnita. • Valor numérico de

expresiones algebraicas. Funciones • Proporcionalidad directa e

inversa.

NÚMEROS ENTEROS ℤ Existen casos en los que se necesita utilizar

números menores que cero.

El conjunto de los Números Enteros se representan por ℤ = {…, -4, -3, -2, -1, 0, +1;

+2; +3; +4; …}

Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.

El “0” no es ni positivo ni negativo. Los números que tienen signo negativo se denominan ℤ-. Los números que tienen signo positivo se denominan ℤ+.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 …

ℤ …,-5, -4, -2, -1

ℕ 0, 1, 2, 3, …

>

NÚMEROS ENTEROS ℤ 1. Comparación de números

Enteros.

-5 6 7 8

7 9 7


+5 6 7 8 +5 6 7

-5 6 7 9

-7 9 7

Para los Z+ se respeta las mismas reglas que en los N, pero todos los negativos son menores que cero.

8 u < 9u

7 d = 7d

6 c = 6c

5 UM = 5 UM

>

4 cifras 3 cifras

<

Cuanto más alto sea el número negativo, menor será su valor por

alejarse del 0

-5 6 7 8 5 6 7 <

NÚMEROS ENTEROS ℤ Para ordenar ℤ los colocamos

de menor a mayor (<) o de mayor a menor (>).


2. Ordenar los números Enteros.

• Dado los siguientes números: • -123; 345; -4562; 456

• De menor a mayor(Ascendente):

• -4562<-123 < 345 < 456 • 456 > 345 >-123>-4562

• De mayor a menor (Descendente):

El signo > significa “mayor que” El signo < significa “menor que”

NÚMEROS ENTEROS ℤ El Valor absoluto es la medición

de la distancia en la recta numérica del Z a cero.


3. Valor Absoluto de un Número Entero.

• Dado los siguientes números: • -123; 345; -4562; 456

• Cal cular el valor absoluto

• |-123|=123 • |345|=345

• |-4562|=4562 • |+456|=456

Para calcular el valor absoluto se utiliza |-a|=a y |+a|=a.

Para representar un Z+ no es necesario ponerle el signo:

+5=5

NÚMEROS ENTEROS ℤ ¿Cuál es el opuesto de un

número entero?


4. Opuesto de un Número Entero

• Dado los siguientes números: • -12; +34; -456; +56

• Cal cular el opuesto

• Op(-12)=+12 • Op(+34)=-34

• Op(-456)=+456 • Op(+56)=-56

El opuesto de un número entero es el mismo número con signo opuesto o

cambiado.

Es decir: op(+5) = -5 y

op(-7)=+7 El 0 es el único que no tiene opuesto

OPERACIONES CON ℤ Cuando se suman números de signos

diferentes, se realiza una resta del mayor con el menor, ignorando el signo, y se

coloca el signo del mayor


1. Adición de ℤ.

• (+30) + (+56) = +86

• (-34) + (-20) = -54

Propiedades Expresión simbólica Ejemplo

Clausura ∀ a, b ∈ ℤ, a +b ∈ ℤ 4 + 3 = 7 ℤ

Conmutativa ∀ a, b ∈ ℤ, a + b = b + a 4 + 3 = 3 + 4

Asociativa ∀ a, b ∈ ℤ, (a +b) + c = a + (b + c) (4 + 3) + 2 = 4 + (3 +2)

Elemento Neutro ∀ a ∈ ℤ, a + 0 = a 4 + 0 = 4

• (+30) + (-56) = -26

• (-34) + (+20) = -14

La Adición de ℤ cumple las

siguientes propiedades:

Cuando se suma dos números del mismo signo, se respeta la

operación.

OPERACIONES CON ℤ Cuando se restan dos números de signos diferentes, se realiza la suma del primer

número con el opuesto del segundo.


2. Sustracción de ℤ.

• (+90) - (+56) = +46

• (-34) - (-20) = -14

• (+30) - (-56) = (+30) + (+56) = +86 • (-34) - (+20) = (-34) + (-20) = -54

Cuando se restan dos números del mismo signo, la operación se

respeta

No se olvide que en una sustracción de números del mismo signo, si el minuendo es menor que el sustraendo entonces el resultado es del signo

opuesto.

• (+20) - (+56) = -36

• (-14) - (-20) = +6

OPERACIONES CON ℤ

El producto de dos ℤs de

diferente signo es negativo.


3. Multiplicación de ℤ.

Las propiedades aplicadas en los números naturales se aplican en los ℤs .

x + -

+ + -

- - +

• -30 x -10 = +300

• +12 x +12 = +144

• -30 x +10 = -300

• +12 x -12 = -144

Para la multiplicación de ℤs

podemos usar la siguiente tabla de la ley de los signos .

La Multiplicación de ℤs del

mismo signo es positiva.

OPERACIONES CON ℤ

El cociente de dos ℤs de

diferente signo es negativo.


4. División de ℤ.

Al igual que en la división de ℕs existe división

Exacta e Inexacta

÷ + -

+ + -

- - +

• -30 ÷ -10 = +3

• +12 ÷ +12 = 1

• -30 ÷ +10 = -3

• +12 ÷ -12 = -1

Para la División de ℤs podemos

usar la siguiente tabla de la ley de los signos .

La División de ℤs del

mismo signo es positiva.

OPERACIONES CON ℤ

Existen algunas reglas que se pueden aplicar a los

números enteros.


5. Potenciación de ℤ.

43 = 64

Base Exponente

Potencia

Regla Ejemplo

Cuando la base es positiva no importa el exponente el resultado es positivo.

+32=+9 +33=+27

Cuando la base es negativa y el exponente es par el resultado es positivo.

-33=-27 -35=-243

Cuando la base es negativa y el exponente es impar el resultado es negativo.

-32=+9 -34=+81

La potencia de ℤ solo puede dar como resultado un ℤ si cumple con

lo siguiente a Єℤ y b Єℤ+ La Potenciación de ℤ cumple las mismas propiedades que los ℕ

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

5.A. Exponente cero 5.B. Exponente uno


Todo ℤ elevado a la 0 es 1.

a0=1 -40 = 1

1500 = 1

Todo ℤ elevado a la 1 es el mismo ℤ.

a1=a 41 = 4

-1501 = -150


5.C. Potencia de un producto 5.D. Producto de Potencias de igual base


La potencia de un producto es igual al

producto de sus potencias

(a x b)n=an x bn (4 x5)2 =42 x52

(10x6)3 =103 x63

El producto de dos potencias con bases iguales es igual a la misma base elevada a la suma

de sus exponentes.

am x an=am+n 4 2x43 =42+3

103x105 =103+5


5.E. Potencia de un cociente 5.F. Cociente de Potencias de igual base


La potencia de un cociente es igual al cociente de sus

potencias

(a ÷ b)n=an ÷ bn (4 ÷ 5)2 =42 ÷ 52

(10 ÷ 6)3 =103 ÷ 63

El cociente de dos potencias con bases iguales es igual a la misma base elevada a la

resta de sus exponentes.

am ÷ an=am-n 4 2 ÷ 43 =42-3

105 ÷ 104 =105-4


5.G. Potencia de Potencia


La potencia de una potencia es igual a la misma base y a

la multiplicación de los exponentes

(am )n=am.n (42)3 =42.3 = 46

(104)2 =104.2 = 108

Puedes probar estas propiedades haciendo uso de tu calculadora.

OPERACIONES CON ℤ Existen algunos casos especiales al realizar el cálculo de la raíz de ℤ


6. Radicación de ℤ.

La Radicación de ℤ

cumple las mismas propiedades que ℕ

Índice de la raíz Signo radical

Cantidad subradical

Radicación Caso Solución Ejemplo

Raíz de un ℤ+ e índice par

Resultado Negativo y Positivo

Raíz de un ℤ+ e índice impar

Resultado Positivo

Raíz de un ℤ- e índice par

No existe

Raíz de un ℤ- e índice impar

Proceso normal Resultado neg.

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

6.A. Producto de raíces de igual índice. 6.B. Cociente de raíces de igual índice


El producto de dos raíces de igual índice es igual a

la raíz del producto de los subradicales.

El cociente de dos raíces de igual índice es igual a

la raíz del cociente.

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

6.C. Raíz de una potencia 6.D. Raíz de raíz


La raíz de una potencia es igual a la división del exponente con el índice

La raíz de raíz es igual al producto de sus índices.


Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas, en este caso solo trabajaremos con ecuaciones de una incógnita.

En una ecuación encontraremos como solución un único valor.

7. Ecuaciones

OPERACIONES CON ℤ

• Si tenemos x + 5 = (-6)

• Procedemos realizar las operaciones:

• x + (+5) - (+5) = (-6) - (+5)

Se ejecuta una operación opuesta al que afecta a la incógnita

• x+5 +(+5)=(-6)-(+5)

• Operamos

• x=(-11)


Una inecuación es una desigualdad que contiene una o más incógnitas, en este caso solo trabajaremos con inecuaciones de una incógnita.

8. Inecuaciones

OPERACIONES CON ℤ

• Si tenemos x + (-10 )> 12 + 15

• Procedemos realizar las operaciones:

• x + (-10) > 27

Se ejecuta una operación opuesta al que afecta a la incógnita

• x+(-10) –(-10) > 27-(-10)

Operamos

• x >(+37)

• x={37, 38, 39, …}

En una inecuación encontraremos como solución más de un valor.

No se olviden practicar lo aprendido.

Ama a tu patria, estudia para que seas un mejor

peruano.

La grandeza de un país yace en cada uno de sus

habitantes.

¡Viva el Perú! ¡Viva Huánuco!

Fin de los Números Enteros

Los números enteros, material didáctico

Education

Transcript of Los números enteros, material didáctico