1. LOS NMEROS PRIMOSY LA CRIBA DE ERATSTENESIITQ4Ignacio Alonso HazaaAntonio Javier Garca OliverosPaula Monasterio-Huelin RomeroMerche Vilaplana Bauset

2. LOS NMEROS PRIMOSY LA CRIBA DE ERATSTENESPara este trabajo hemos elegido eltema de los nmeros primos. Dentrode este tema se vern distintosenfoques en la forma de explicareste concepto (enfoque tradicionaly enfoque mediante herramientasTIC) y una de las herramientas quevamos a utilizar, tambin condistintas formas de presentarlo, va aser la Criba de Eratstenes. El nivelde profundidad y la dificultad de losconceptos que vamos a utilizar paraexplicar qu es un nmeroprimo, depender del nivel denuestro alumnado. 3. LOS NMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATSTENESEn un primer enfoque la enseanza tradicional.Prepararemos un conjunto de conceptos tericospara explicar qu es un nmero primo y cmoidentificarlos.Ejemplo: definimos un nmero primo como un nmeroentero positivo mayor que 1 que slo es divisible por 1y por s mismo. Por ejemplo, el nmero 5 slo esdivisible por 1 y por el propio 5. El proceso de buscarlos divisores de un nmero se denomina factorizacin(Este ltimo trmino se utilizar si el alumno estfamiliarizado con l, aunque es bueno ensear lostrminos matemticos, lo importante es que elalumno se quede con el concepto de nmero primo). 4. LOS NMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATSTENESTambin podemos definir algunas caractersticas de los nmeros primos que resultencuriosas para el alumnado. Estos conceptos sern tiles o interesantes para alumnosque se encuentren en la secundaria, porque implican otros conceptos comonmeros pares, impares y algunos pensamientos ms abstractos.Por ejemplo, algunas caractersticas curiosas de los nmeros primos que los hanhecho histricamente atractivos para el estudio matemtico son: El nico nmero primo par es el 2. No existen dos nmeros primos consecutivos (uno de ellos sera obligatoriamente par) Carecen de un orden serial que permita predecir el siguiente nmero primo a uno dado. Todos los nmeros pares mayores que el dos son suma de dos nmeros primos Todos los nmeros impares mayores que cinco son suma de 3 nmeros primos. 5. LOS NMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATSTENESLa explicacin que viene a continuacin es un poco ms complicada y exige el conocimientopor parte del alumno de las races cuadradas:No existe un mtodo directo para obtener sistemticamente todos los nmeros primos. Laforma habitual de calcular un nmero primo es dividirlo por todos los nmeros naturales queestn entre el 2 y el natural que est despus de su raz cuadrada, teniendo en cuenta que laraz cuadrada no debe ser entera, pues entonces de entrada no sera primo. Un ejemplo de aplicacin para los alumnos puede ser el uso de los nmeros primos para la encriptacin. A nivel de la ESO se puede mencionar que los espas para enviar los mensajes secretos utilizan nmeros primos. Es una ancdota que puede ayudar a que se interesen o a asimilar el concepto de nmero primo. 6. LOS NMEROS PRIMOSY LA CRIBA DE ERATSTENESUna variante del mtodo tradicional podra ser lasiguiente:Fotocopiar el captulo de los nmeros primos queaparece en el libro El diablo de losnmeros, hacer que los estudiantes se lo lean encasa previamente y en la siguiente clasepreguntar a los estudiantes qu han aprendidodel libro. Una vez que conocemos el nivel decompresin de lo que han ledo procedemos aexplicar con ms detalle y ayudndonos de lasilustraciones que en l aparecen, el concepto denmeros primos. Concretamente en el libro utilizanla Criba de Eratstenes.Lo bueno de este enfoque es que los alumnos tienen una primera aproximacinpor su cuenta, fomenta el autoaprendizaje y tambin se fomenta la lectura, quees un requisito importante a la hora de desarrollar una programacin docente. 7. LOS NMEROS PRIMOSY LA CRIBA DE ERATSTENESOtro enfoque podra ser el uso de recursos TIC.En este enfoque se hanbuscado distintos recursos TICque explican el concepto denmero primo y cmoidentificarlo por medio de lacriba de Eratstenes.La Criba de Eratstenes estampliamente documentadaen internet y existen variosrecursos que ayudanacomprenderla y emplearla.Por ejemplo, tenemos unapresentacin en SlideShareque nos habla de Eratstenesynos explica elfuncionamientodesualgoritmo matemtico (eningls):Si no lo ves pincha aqu 8. LOS NMEROS PRIMOSY LA CRIBA DE ERATSTENESTambin tenemosvdeosenYouTube explicando la criba deEratstenes. Si utilizamos esterecurso en clase, previamentedeberemos haber dado algunosconceptos tericossobrelosnmeros primos y una introduccina la criba de Eratstenes. El vdeova a servir para mostrar de formams grfica cmo se calcula. Si no lo ves pincha aqu 9. LOS NMEROS PRIMOSY LA CRIBA DE ERATSTENESPodemos utilizar la herramienta Prezi si queremos una presentacin ms dinmicaque capte rpidamente la atencin del alumno. Si no lo ves pincha aqu 10. LOS NMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATSTENESOtro ejemplo de recurso TIC es sta pgina: Con esta actividad se plantea una motivacin extra en la que el alumnado se va a relacionar con los nmeros primos, descubriendo sus caractersticas/propiedades, sin que sea desde un plano expositivo y el aprendizaje ser ms significativo.Se planteauna situacin problemtica que requiere de la observacin, el anlisis, la extrapolacin de ideas y la toma de decisiones. El alumnado partir del anlisis de unos nmeros primos iniciales para ir construyendo la teora que se expondr al final de la actividad. Por lo tanto, el enfoque del desarrollo de la secuencia se plantea desde lo experimental a lo terico. http://www.eskola20.org/sd/6to/mat/primosycompu estos/modulos/es/content_1_1.html 11. LOS NMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATSTENESQu quieren saber ms? Pues all vamos! Para aquellos alumnos que deseen profundizar ms en el tema o aquellos alumnos con sobredotacin, se les puede plantear una actividad de complemento que es una variacin de la criba de Eratstenes. En primer lugar tenemos la Criba de los Cuadrilteros, cuyo objetivo es encontrar aquellos nmeros enteros cuya raz cuadrada tambin es entera: http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/SquareSieve.shtml 12. LOS NMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATSTENESOtra variacin de la Criba de Eratstenes es la Criba de Sundaram. Se basa en construir una tablasimtrica. En la primera fila y la primera columna colocaremos una serie de nmeros empezandopor 4 y sumando 3 para obtener el siguiente nmero. Para la segunda fila y segunda columnasumamos 5. Para la tercera fila y columna sumamos 7. Quedara de la siguiente manera: 4710 13 1619222528+3 La tablaresultantetiene la siguiente 712 17 22 2732374247+5 propiedad: 10 17 24 31 3845525966+7 13 22 31 40 4958677685+9 Si n ocurre en la tabla entonces 2n+1 no es 16 27 38 49 60718293104 +11 nmero primo. 19 32 45 58 718497110 123 +13 Si n no ocurre en la tabla, entonces 2n+1 es 22 37 52 67 8297112 127 142 +15 nmero primo. 25 42 59 76 93110 127 144 161 +17 Todos los nmeros pares quedan descartados. Al resto tendramos que restarle 1 y dividirlos por 28 47 66 85 104 123 142 161 180 +19 2 y comprobar si el resultante est en la tabla. +3 +5 +7 +9 +11 +13 +15 +17 +19 http://cosas.wordpress.com/2010/10/25/la- criba-de-sundaram/ 13. LOS NMEROS PRIMOS Y LA CRIBA DE ERATSTENESHas llegado hasta aqu? Entonces es que lo nmerosprimos han conseguido captar tu atencin.Sigue investigando. Aun queda mucho por aprenderde estos nmeros tan singulares.