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LOS NÚMEROS REALES

Los números Naturales.

Los números surgieron de la necesidad de contar pertenencias, objetos, personas, etc. Cuando contamos objetos se inicia con 1, luego 2, 3, 4, etc. ¿Qué tan grande es este conjunto de números?, imaginemos que estamos en la playa y tomamos una pizca de arena y la colocamos en nuestra mano, podríamos contar el número de granos de arena que tenemos sin ninguna dificultad. Pues bien, podríamos contar, por dar un ejemplo 34 granos de arena, iniciando la cuenta en 1, 2, 3, 4,…., 34. Pero luego imaginemos que quisiéramos contar una cantidad mayor de granos de arena, el proceso sería laborioso, pero al fin de cuenta no imposible; algo similar se tiene con las estrellas, pero en este caso sería imposible el contarlas todas. Esto nos da una idea de lo que es el infinito, debido a que el conjunto de números naturales no tiene fin.

Existe una polémica acerca de considerar al cero como elemento de los número naturales; como se inventaron para contar objetos, que representaría el cero, precisamente eso, la ausencia de objetos dirían los especialistas en teoría de conjuntos (probabilidad y lógica), entonces algunos consideran al cero como elemento de los números naturales, y otros más conservadores como los especialistas en teoría de números que no lo reconocen como tal así es que no lo incluyen.

El conjunto de números que utilizaremos es el de mayor tendencia: el conjunto en el que se excluye el cero como elemento uno de sus elementos.

Los números naturales se representan con la letra N y su notación de conjunto es:

Los números Enteros.

Estos son conocidos como números deudos, dado que nacen como una necesidad de representar deudas. Estos son usados para ubicar posiciones de objetos con respecto a un punto de referencia, como por ejemplo, cuando se quiere ubicar un objetos por encima o debajo del nivel del mar para operaciones prácticas, los que están por encima del nivel del mar serían los números positivos y los que están por debajo del nivel del mar son los números negativos. Estos números tienen las siguientes características: son infinitos, numerables y sirven para contar unidades completas, es decir, podemos tomar dos números consecutivos y no existe un número intermedio. Al igual que los números naturales, estos no tienen fin, tanto hacia la derecha como a la izquierda.

El conjunto se describe de la siguiente forma:

1

Los números Racionales.

Investigando los jeroglíficos de diferentes civilizaciones como los egipcios, babilonios, griegos, entre otros, se encontró que dichas civilizaciones conocieron las fracciones desde tiempos muy remotos; al analizar los jeroglíficos egipcios se encontró que las utilizaban para la construcción y la agrimensura.

Los números racionales se expresan como el cociente de dos números enteros, de ahí que se le denomine con la letra Q por “quotient”, que significa “cociente”. El término “racional” proviene de “razón”.

Al número racional se le conoce como fracción, porque puede ser expresado con numerados y denominador de números enteros, a excepción del cero como denominador. Por ejemplo:

etc. En las dos primeras fracciones se observa de forma clara la estructura de fracción.

Recordemos que cualquier número entero se puede escribir como una fracción con denominador 1, por ejemplo, el 6 se puede representar de la siguiente forma:

Así que al generalizar la definición en su forma de fracción de los números racionales, tendríamos que expresarlo de la siguiente forma:

También se sabe que cuando tenemos un número fraccionarios podemos realizar la división entre el numerador y el denominador, como en los siguientes ejemplos:

Numerador

Denominador

Numerador

Denominador

1

a)

b)

c)

d)

e)

Como se ve en los ejemplos, los números se expresan con desarrollo decimal y pueden ser finitos, como en el caso a) y b), o infinito periódicos como en el caso c), d) y e). De aquí que, se enuncia la definición de números racionales con base en la forma de su desarrollo decimal.

Los números racionales (Q): Son números con desarrollo decimal finito o infinito periódico.

Javier fue a comprar 2/3 de kilo de carne para asar; pero Karla, la dependienta del lugar, le dijo que no podía darle esa cantidad, Javier extrañado porque sabía que tenían suficiente producto se molestó al recibir la respuesta de Karla, se quedó pensando por qué la negativa de su solicitud.

¿Cuál fue el motivo por el que Karla no podía darle la cantidad de carne que Javier pedía?

Los números Irracionales.

Los antiguos griegos notaron que la recta no estaba completa con los números Racionales, al identificar ciertos puntos en ella a los cuales sólo se podían aproximar con fracciones.

El filósofo matemático Pitágoras de Samos, quien estudiando el triángulo rectángulo encontró que dichos números no pueden ser expresados como un cociente, se estaba enfrentando a otro tipo de números que por ser “desconocidos” desconcertaron de manera alarmante a los estudiosos dado que muchas suposiciones y demostraciones geométricas eran falsas o incompletas, incluso llegaron a contemplar mantenerlo en secreto porque contradecían su doctrina.

Hasta el siglo XVI fue cuando consideraron llamar número irracional a los números con desarrollo decimal infinito no periódico. Algunos de ellos se pueden encontrar al resolver un problema. Como por ejemplo:

1

Como se observa en los ejemplos, el desarrollo decimal que presentan estos números es infinito no periódico y con base a la definición planteada en los números racionales, no podríamos expresarlos como un cociente de dos números enteros.

Analizando todos los conjuntos que se mencionaron anteriormente, se observa que los Naturales están incluidos en los números Enteros, y éstos a su vez están incluidos en los Racionales. Pero ellos no tienen ninguna relación con los Irracionales, pues bien, todo ellos forman parte de los números Reales, como se muestra en el siguiente diagrama.

SISTEMA DE COORDENADAS LINEALES Y RECTANGULARES

Actividad 1.

Instrucciones: Identifica los siguientes números con la letra “N” si son naturales, “Z” para los enteros, con “Q” a los Racionales, con “I” si son Irracionales. Completa la tabla colocando un número del conjunto indicado. Represéntalos en la recta numérica.

Número 4 -6

Conjunto I Z Q

Gráfica

1

Actividad 2.

Número 2.7819 8

Conjunto Q Z I N

Gráfica

Actividad 3. Observa dentro y fuera de tu escuela para que enlistes los elementos ecológicos que se relacionan con los números Reales, anota la lista en el siguiente espacio:

1.__________________________________________________________________________________________

2.__________________________________________________________________________________________

3.__________________________________________________________________________________________

4.__________________________________________________________________________________________

5.__________________________________________________________________________________________

6.__________________________________________________________________________________________

7.__________________________________________________________________________________________

8.__________________________________________________________________________________________

9.__________________________________________________________________________________________

10._________________________________________________________________________________________

Actividad 4. Comenta con el grupo el resultado de tus observaciones y anota en el siguiente espacio los elementos que te resulten más interesantes, además marca con una “X” al conjunto(s) al cual pertenece cada ejemplo.

EJEMPLOS N Z Q I R

1

Actividad 5. Localiza en el sistema de coordenadas los siguientes puntos:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

1

Actividad 6. Escribe las coordenadas de los siguientes puntos:

Actividad 7. La siguiente información representa una equivalencia aproximada entre la edad de los gatos (o perros) y la de los seres humanos. Los veterinarios a menudo relacionan la edad de un animal con la de un humano comparando el crecimiento relativo de los dientes y huesos, también se considera la madurez. La mayoría de los animales maduran con mayor rapidez que los humanos.

Identifica los pares ordenados y enseguida traza la gráfica en un plano cartesiano.

Edad de un gato o perro

Edad aproximada equivalente de un

ser humano

3 meses 5 años6 meses 10 años

1 año 15 años2 años 24 años4 años 32 años6 años 40 años

K

H

L

N

G

M

J

F

I

E

1

10 años 56 años14 años 72 años

Actividad 8. Oscar sale de su casa y camina 4 km hacia el Oeste, se detiene y camina 6 km hacia el Norte, enseguida se dirige 8 km hacia el Este y finalmente lo hace 9 km hacia el Sur.

a) Dibuja en un plano cartesiano el recorrido completo de Oscar, considerando que su casa está en el origen.

b) Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos donde cambió de dirección.

Actividad 9. Ana realizó un experimento en la clase de Biología, éste consistió en observar el crecimiento de una colonia de bacilos, registró el tiempo y el número de bacilos presentes en el experimento en la siguiente tabla. Ubica los pares ordenados de la tabla en un plano cartesiano.

Tiempo(min)

NúmeroDe bacilos

6 200

12 300

18 500

24 1000

30 1800

1

Actividad 10. El terreno de Gilberto, tiene coordenadas (4, 2), (10, 2), (4, 9) y (10, 9).

a) Ubica el terreno en un sistema de coordenadas.b) ¿Qué forma tiene el terreno?c) Calcula el área del terreno.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

La siguiente tabla resume las propiedades de los números reales:

Propiedad Operación Definición Significado Ejemplo

Cerradura

Suma

Multiplicación

El resultado de sumar o multiplicar dos números reales, también es número real.

Conmutativa

Suma

Multiplicación

El orden al sumar o multiplicar los números reales, no afecta el resultado.

Asociativa Suma

Multiplicación

No importa el orden al asociar la suma o multiplicación de tres o más número reales, el resultado siempre será el

1

mismo.

Neutro

Suma

Multiplicación

Si a un número real se le suma el cero (neutro aditivo), se queda igual.

Sin un número real se multiplica por 1 (neutro multiplicativo), se queda igual.

Inverso

Suma

Multiplicación

Si a un número se le suma su inverso, se obtiene como resultado el 0 (neutro aditivo).

Si un número se multiplica por su inverso multiplicativo, se obtiene como resultado 1 (neutro multiplicativo).

DistributivaSuma respecto a la

multiplicación

El factor se distribuye a cada sumando.

Revisa la propiedad de los números reales que se ilustra con cada ejemplo:

a) Elemento Inverso para la Suma

b) Propiedad distributiva

c) Propiedad conmutativa para el producto

Actividad 11. Indica la propiedad de los Números Reales utilizada en cada ejemplo:

1. ______________________________________________________________

1

2. ___________________________________________________________________

3. _________________________________________________________

4. ___________________________________________________________

5. ____________________________________________________________

6. _________________________________________________

7. ____________________________________________________________________

8. _________________________________________________________

9. ______________________________________________________________

10. ________________________________________________________________

Actividad 12. Indica la propiedad de los Números Reales utilizada en cada ejemplo:

1. y entonces ________________________________________

2. __________________________________________________________

3. _______________________________________________________

4. entonces ___________________________________________________

5. _______________________________________

6. __________________________________________________________________

7. ____________________________________________________________________

8. ____________________________________________________________________

9. ___________________________________________________________________

10. _________________________________________________________

11. ______________________________________________________________

12. ______________________________________________________

13. _______________________________________________________________________

14. __________________________________________________________

15. ________________________________________________________________

1

INTERVALOS Y DESIGUALDAD

Si en una recta numérica localizamos los números -3, 0 y 5 y los marcamos con un punto, obtenemos el siguiente diagrama:

Podemos observar que hay un orden entre los números,, pues -3 se encuentra a la izquierda de 0 y de 5, 0 se encuentra a la derecha de -3 y a la izquierda de 5, y 5 está a la derecha de -3 y de 0. Estas posiciones de los números las podemos representar de la siguiente manera: un número es mayor que otro si se encuentra a su derecha y viceversa, un número es menor que otro si se encuentra a la izquierda. Para representar

matemáticamente lo anterior, utilizamos los símbolos “ ” y “ ”m veamos cómo indicamos así el orden entre los

números -3, 0 y 5.

Desigualdad Se lee

“-3 es menor que 0” o “0 es mayor que -3”

“5 es mayor que -3” o “-3 es menor que 5”

“0 es menor que 5” o “5 es mayor que cero”

Para establecer el orden entre los números reales, existe la Ley de Tricotomía que dice lo siguiente:

Si a y b son números reales, entonces sólo una de las siguientes expresiones es cierta:

Por ejemplo, si tenemos los números 8 y -2, sólo podemos escribir una de las tres expresiones, la cual sería para este caso:

Ya que las expresiones “ ” y “ ” no son ciertas.

Desigualdades Lineales.

¿Recuerdas qué es una ecuación?

Así como hay ecuaciones, también tenemos expresiones algebraicas en las que aparece un signo de “mayor que

“ o “menor que” a las que llamamos Desigualdades. Al igual que en una ecuación, en una desigualdad intervienen una o varias incógnitas y al resolverla, el valor obtenido satisface la expresión inicial. Veamos un ejemplo; tenemos la desigualdad:

1

En la siguiente tabla, le daremos algunos valores a la variable x y veamos si al sustituirlos producen una expresión verdadera:

Enunciado

3

4

4.1

5

5.5

6

Falso

Falso

Verdadero

Verdadero

Verdadero

Verdadero

La solución de una desigualdad está formada por aquellos valores de que den como resultado una expresión verdadera.

Como podemos ver en el ejemplo anterior, existen varias soluciones a la desigualdad enunciada. Para resolver una desigualdad, se deben obtener todas las soluciones y para lograrlo, aplicamos las propiedades de las desigualdades, las cuales podemos ejemplificar en la siguiente tabla:

Propiedad Ejemplo

Si y , entonces Si y , entonces

Si , entonces: , entonces

Si y , entonces: y , entonces

Si y , entonces: y , entonces

Como podemos observar, estas propiedades son similares a las que analizamos para las igualdades, a excepción de la última, pues en ésta observamos que cuando multiplicamos o dividimos una desigualdad por un número

1

negativo, la desigualdad se invierte, veamos por qué sucede esto en una gráfica. Localizamos en una recta numérica los números 2 y 3:

Vemos que podemos establecer entre los números la relación de orden ; si multiplicamos cada número por

-2 obtenemos -4 y -6 y si los localizamos en otra recta numérica obtenemos:

Y observamos que el orden se invierte, es decir, obtenemos que ; esto se debe a que al multiplicar un

número cualquiera por uno negativo, su signo cambia y el orden en los números negativos, recordemos que es inverso al de los positivos. Veamos ahora cómo resolver una desigualdad aplicando las propiedades que mencionamos anteriormente; utilizaremos una desigualdad lineal con una incógnita, es decir, donde el exponente de la variable es 1.

Desigualdad:

Restamos 3 en ambos lados

(la desigualdad se conserva):

Simplificamos:

Restamos 2x en ambos lados:

Simplificamos:

Dividimos entre 2:

Simplificamos y obtenemos la solución:

Gráficamente:

En forma de intervalo:

TIPOS DE INTERVALO

a) Cerrado: . Son todos los valores entre “a” y “b” incluyendo los extremos.

b) Abierto: (a , b) . Es similar al anterior, nada más que no incluye los extremos.

1

c) Semiabierto o semicerrado: Es el que incluye sólo uno de los dos extremos.i. Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: (a , b]

ii. Cerrado por la izquierda y abierto por la derecha: [a , b)

d) Infinito: Es cuando uno de los extremos no tiene límite o no se conoce.

i. ;

ii. ;

iii. ;

iv. ;

v. ;

Actividad 13. Representa gráficamente y en forma de intervalo las siguientes desigualdades:

a) b) c) d) e)

g) h)

Actividad 14. Representa gráficamente y con una desigualdad los siguientes intervalos:

1

a) b) c) d) e)

g) h)

Ejercicio resuelto:

Desigualdad:

Restar 1 en los tres lados:

Simplificar:

Dividir entre -2: Invertir el sentido a la desigualdad, por qué?

Simplificar:

Girando:

Actividad 15. Resuelve las siguientes desigualdades y expresa la solución en forma de desigualdad, intervalo y gráfica:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

2

1

Actividad 16. Lee cuidadosamente, determina la notación de intervalos, la notación de desigualdad y la gráfica.

1) Los números entre -1 y 5.

2) Todos los números mayores a -1.

3) Los números mayores o iguales a 3.

4) Los números mayores que 5 y menores que 8.

5) Los números menores o iguales a -2.

6) Los números menores o iguales a 3 y mayores a -5.

7) Los números entre 2 y 10.

8) Los números mayores a -10.

9) Los números menores o iguales a -5.

10) Los números mayores a 4.

11) Los números menores a 3 y mayores a -1

12) Los números menores o iguales a 10.

13) Los números entre -1 y 0.

14) Los números positivos.

15) Los números negativos.

16) Los números menores a 3 pero mayores a 0.

17) Los números mayores a 5 pero menores a 100.

18) Los números menores o iguales a 4 y mayores a -5.

19) Los números entre 2 y 3.

20) Los números menores o iguales a -5 pero mayores a -6.

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