Los números reales.

ÍNDICE.

1.Los números racionales.

2.Representación decimales de fracciones.

3.Número irracionales.

4.Números reales.

5.Orden de los números reales.

6.Intervalos de la recta real.

7.Valor absoluto.

8.Distancia.

9.Entorno de un punto.

10.Números aproximados.

11.Notación científica.

12.Cifras significativas.

13.Potencias. Propiedades de las Potencias.

14.Radicales. Potencias de exponente racional.

15.Propiedades de los radicales.

16.Operaciones con los radicales.

Los números reales.

Los números racionales

Los NÚMEROS RACIONALES, son aquellos que se pueden expresar en forma de

fracción de la forma a/b, donde a y b son números enteros y b 0, como por ejemplo:

(-5), 0.0001, 1.333 …..

Ya que:5 1 13,333... 1,333... 12

5 ; 0,001 ; 1,333...1 100 9 9

Los números racionales contienen a los NÚMEROS NATURALES y a los

NÚMEROS ENTEROS. Los NÚMEROS NATURALES son los que habitualmente

sirven para ordenar o contar y se representa por = {0, 1, 2, 3, 4, … }

Representación de los números naturales en la recta real.

Los NÚMEROS ENTEROS los componen los NÚMEROS NATURALES y sus

opuestos y se representan por = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

Representación de los números enteros en la recta real.

Los números racionales

Los NÚMEROS RACIONALES es un conjunto DENSO, ya que entre cualquier par de

números racionales distintos siempre podemos encontrar otro intermedio. Pues por

ejemplo entre 0,001 y 0,002, el número 0,0015 es intermedio.

Los NÚMEROS RACIONALES se representan por

Representación aproximada de 3,14156 en la recta real.

Ver REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES en la recta (DESCARTES)

Representa en Excel un número racional (haz CLIC en la imagen)

Representación decimales de fracciones

Dada una fracción, al dividir el numerador a entre el denominador, obtendremos como

resultado un número entero o decimal. Si el resultado es decimal, éste puede ser:

3EXACTO: como 0,6

5

2PERIÓDICO PURO: como 0,6666... 0,6

3

37PERIÓDICO MIXTO: como 1,2333... 1,23

50

Representación en fracciones de decimales

1010

n

n

D×

1010 1

n

n

D D× ––

( )( )

10 10

10 1 10

n m

n m

D D× ×

×

–

–

En caso contrario, es decir si tenemos un número racional D, para obtener una

fracción equivalente5 5

Si D es entero, basta con hacer el denominador 1, ejemplo: 51 1

Si D es DECIMAL EXACTO. Si tiene n cifras decimales, se efectúan las operaciones

0,27 100 270,27

100 100Ejemplos :12,3 10 123

12,310 10

Si D es DECIMAL PERIÓDICO PURO. Si tiene n cifras decimales de periódo, se

efectúan las operaciones

Si D es DECIMAL PERIÓDICO MIXTO. Si tiene n cifras decimales de periódo, y m de

decimales no periódicos, se efectúan las operaciones

ºº º17,67 100 17,67 1750

: 17,67100 1 99

Ejemplo×

= =–

–

»» »( )

( )

1,23456 1000 1,23456 100 123333: 1,23456

1000 1 100 99900Ejemplo

× ×= =

×

–

–

Números irracionales

Los números que no se pueden expresar como fracciones (y por tanto tampoco como

decimales periódicos) se denominan NÚMEROS IRRACIONALES y se representa por

, En las antiguas civilizaciones como la de Grecia y la de Roma, los números

irracionales generaron bastantes problemas matemáticos, pues dado que al utilizar por

ejemplo el teorema de Pitágoras obtenían números no racionales, pues por ejemplo, la

diagonal de un cuadrado de lado 1 unidad, tiene longitud √2, que no se puede expresar

en forma de fracción ya que √2 = 1.414213562 … tiene infinitas cifras decimales, y no

es un decimal periódico.

El número √2 no se puede poner en forma de fracción, pues si suponemos que existe

una fracción a/b, con a y b primos entre sí, tal que √2 = a/b. Elevando ambos miembros

de la ecuación al cuadrado, obtendríamos la ecuación:

2 = a² / b ²

Pero a² / b² 2, ya que a², b ² son primos entre sí, por serlo a y b, y llegamos una

contradicción. Por tanto √2 no se puede poner en forma de fracción

Lo mismo sucede con cualquier raíz, de un número primo √3, √5, √7, etc. Además,

existen números irracionales, que por su importancia matemática están definidos por un

símbolo o un nombre, como por ejemplo: Pi, Fi o e.

Números irracionales

Todos los números irracionales rellenan todos los huecos de la recta real

que no ocupan los racionales. Además, mediante recursos geométricos

podemos representar algunos números irracionales, como por ejemplo 2,

basta con que sobre los ejes de coordenadas dibujemos un triángulo

equilátero de lado 1, y como la hipotenusa mide 2 basta con abatirla

mediante un compás en la recta real

Números irracionales

A partir de 2 podemos construir otro triángulo rectángulo de catetos 2  y 1, cuya

diagonal es 3, que al abatirla sobre el eje de abscisas obtendríamos la representación

de  en la recta real de 3

3

Los números reales

El conjunto de los NÚMEROS REALES está formado por la unión de los números

racionales e irracionales, y se designa por , es decir U

PROPIEDADES DE LA SUMA Y PRODUCTO DE LOS NÚMEROS REALES .

  SUMA PRODUCTO

1.    Asociativa.a + ( b + c) = ( a + b ) + c a ( b c) = ( a b ) c

2.    Conmutativa.a + b = b + a a b = b a

3.    Existencia de elemento.a + 0 = a a 1 = a

4.   Existencia de elemento opuesto e inverso.a + (- a) = 0. a ( 1/a ) = 1

5.   Propiedad distributiva:a ( b + c) = a b + a c

( a + b ) c = a c + b c

Orden de los números reales

Dados dos números reales a y b, diremos que a es menor que b, y se escribe a < b,

cuando b – a es positivo. Es decir: a < b si y solo si b – a > 0.

Dados dos números reales a y b, diremos que a es mayor que b, y se escribe a > b,

cuando b < a.

Dados dos números reales a y b, a es menor o igual que b, y se escribe a   b,

cuando a < b o a = b.

Dados dos números reales a y b, a es mayor o igual que b, y se escribe a   b,

cuando a > b o a = b .

Ejemplos:

2 < 5, ya que 5 – 2 = 3 > 0

8 8, ya que 8 = 8

Propiedades de orden de los reales con respecto a las operaciones habituales.

El conjunto NÚMEROS REALES con la relación , con respecto de las

operaciones de la suma y del producto, cumple las siguientes propiedades

PROPIEDADES DE ORDEN CON RESPECTO DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO.

  PROPIEDAD EJEMPLO

1.   

a   b   y  b c  =>  a  c 3 8  y  8 11 => 3 11

2.

a   b   y  c d  =>  a + b  c + d 3   8   y  2 3  =>  3 + 2  8 + 3

3.  

a b y   k real  => a + k    b + k 3 8 y   k = (-2)  => a + (-2)    b + (-2)

4.  

a b  y  k real positivo =>  a × k b × k 3 8 y   k = 2   =>    3 × 2    8 × 2

Intervalos de la recta real

Dados dos números reales a, b con a < b. Denominamos INTERVALO ABIERTO de

extremos a y b, al conjunto   (a,b) = { x : a < x < b}

Dados dos números reales a, b con a b. Denominamos INTERVALO CERRADO de

extremos a y b, al conjunto   [a,b] = { x : a x b}

Dados dos números reales a, b con a < b. Denominamos INTERVALO SEMIABIERTO

O SEMICERRADO de extremos a y b, al conjunto

  (a,b] = { x : a < x b}

Dados dos números reales a, b con a < b. Denominamos INTERVALO SEMIABIERTO

O SEMICERRADO de extremos a y b, al conjunto

  [a,b) = { x : a x < b}

Intervalos de la recta real

Ejemplos: la representación gráfica de los intervalos (-4,1), (2,3] y [4,6] en la recta real

es la siguiente:

Si algunos de los extremos del intervalo es , los intervalos podrán ser de la forma:      ( - , b ) ó ( a , + ) ó (- , b ] ó [ a , + ) ó ( - , + ).

Para representar un intervalo, que contenga un extremo infinito solemos representar

gráficamente dicho extremo con un flecha. Así por ejemplo, la representación gráfica

del intervalo [2,+ ) en la recta real es la siguiente:

Para hallar el punto medio m de un intervalo (a,b), basta con hallar la media aritmética

de sus extremos, es decir

Así por ejemplo, el punto medio del intervalo (3,8) es m = 5,5

Valor absoluto

El valor absoluto de un número real, se designa por |a|, y se define como :

Así por ejemplo, el |-3| = 3 y |2,8| = 2,8:

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

1.- |a| 0.

2.- |a| = 0 si y solo si a = 0.

3.- | a + b |  |a| + |b|

4.- | a . b | = |a| . |b|

Ejemplos

a)     6 =  | 2 + 4 | = |2| + |4| = 6

b)     1 = | (-2) + 1 | < |(-2)| + |1| = 3

c) 3 =  | (-1) . 3 | = |(-1)| . |3| = 3

Valor absoluto

INECUACIONES DE VALORES ABSOLUTOS

• Si a es un número real positivo,

La inecuación |x|  a, tiene por solución el intervalo [-a,a].

La inecuación |x| < a, tiene por solución el intervalo (-a,a).

La inecuación |x| > a, tiene por solución ( - , - a )   ( + a , + )

La inecuación |x| a, tiene por solución ( - , - a ]   [ + a , + )

• Si a = 0

La inecuación |x| a, tiene por solución x = 0.

La inecuación |x| < a, no tiene solución.

La inecuación |x| > a, tiene por solución ( - , 0 )   ( + a , 0 ).

La inecuación |x|  a, tiene por solución todos los números reales

• Si a < 0

Las inecuaciones |x| a  y |x| < a, no tienen solución.

Las inecuaciones |x| > a  y  |x| a, tiene por solución todos los números

reales.

Valor absoluto

Ejemplos

|x| 2, se cumple cuando -2  x 2, es decir las soluciones son el intervalo [ - 2 , 2 ]

|x| 1, se cumple cuando x  - 1  y  x 1, es decir la solución es: (-,-1)  (+a,+)

Distancia

La distancia entre dos números reales, se designa por d(a,b),  y es igual a

      d(a,b) = | b – a |

PROPIEDADES DE LA DISTANCIA

1.- d(a,b) >=  0.

Puesto que | b – a | >= 0.

2.- d (a,a) = 0.

Puesto que | a – a | = |0| = 0.

3.- d(a,b) = d(b,a).

Puesto que | b – a | = | a – b |

4.- d(a,c) <= d(a,b) + d(b,c)

Puesto que

| c – a | = | (c – b) + ( b – a) |  <= | (c – b) | + | ( b – a) |

Ejemplo

d(6,7) =  |  7 - 6 | = |1| = |(-1)| = | 6 – 7 | = d(7,6)

Entorno de un punto

Se denomina entorno de un punto de radio r (r > 0 ) al conjunto

Ejemplo

El entorno de centro 1 y radio 2, es decir E 2 (1), es el intervalo abierto (-1,3)

r r

aa -r a + r

Números aproximados

En ocasiones empleamos números aproximados en lugar de números exactos.

En particular, los solemos utilizar cuando estos números tienen muchas o infinitas

cifras decimales, o cuando son números muy grandes o muy pequeños, y el error de

calculo que podamos cometer no suponga obtener cálculos erróneos.

TRUNCAR un número a partir de una cifra dada, consiste en sustituir los dígitos por

ceros a partir de dicha cifra, si la cifra está a la izquierda de la coma decimal o

consiste en suprimir los dígitos, si la cifra está a la derecha de la coma decimal.

Ejemplos: El número 567.437 truncado a las centenas es 567.400.

El número 23,456 truncado a las décimas es 23,4

REDONDEAR un número a partir de una cifra dada, consiste en truncar el número si la

cifra posterior a la dada es menor que cinco, o truncar el número y sumarle a dicha

cifra una unidad si la cifra posterior a la dada es menor que cinco.

En el caso de que la cifra posterior sea cinco, se deberá de tener en cuenta que

valor las cifras posteriores.

Ejemplos: El número 567.437 redondeado a las centenas es 567.400.

El número 23,476 redondeado a las décimas es 23,6

Errores de números aproximados

Si A es un número exacto y a es el número aproximado de A.

Denominamos ERROR al tomar a en vez de A a: e = A –a.

Denominamos ERROR ABSOLUTO al tomar a en vez de a: ea = | A – a |.

Denominamos ERROR RELATIVA al tomar a en vez de a: er = ea / A .

En ocasiones el ERROR ABSOLUTO no nos aporta la bondad de aproximación,

mientras que el ERROR RELATIVO si. Además, es habitual que el ERROR

RELATIVO lo expresemos en tanto por cien.

Ejemplo: Si utilizamos el número a = 3,14 en lugar del número  = 3,1415…cometemos

los siguientes errores:

Es decir que al utilizar a = 3,14 en lugar del número  = 3,1415…cometemos un error relativo del 0,05 %.

Notación científica

Habitualmente, cuando tenemos que utilizar número muy grandes o

números muy pequeños, solemos utilizar la notación científica, que

consiste en expresar dicho número como producto de un número

comprendido entre el 1 y el 10 (sin incluir el 10) denominado MANTISA y un

potencia de 10 .

Ejemplos:

La distancia media aproximada de la tierra al sol es 150.000.000.000 metros, que

expresado en notación científica es 1,50 ×  1011 m.

La carga de un electrón es aproximadamente de 0,00000000000000000016

Culombios, que expresado en notación científica es 1,60 ×  10-19 C.

Notación científica

Cuando representamos un número entero en notación científica, el número de

dígitos que indican su exactitud, se denominan cifras significativas. Y se obtiene

contando los dígitos de izquierda a derecha, comenzando por el primero y

finalizando poR el último no nulo.

Ejemplo:

El número 478.000 tiene tres cifras significativas, y su representación exacta en

notación científica será 4,78 ×  105.

Cuando representamos un número decimal, el número de cifras significativas se

obtiene contando los dígitos de izquierda a derecha, comenzando con el primero no

nulo y finalizando con el último (sea cual sea).

Ejemplo:

El número 32,5 tiene tres cifras significativas, mientras que el número 151,00 tiene

cinco cifras significativas .

El número de cifras significativas de un número representado en notación científica

viene determinado por el número de dígitos de su mantisa.

Ejemplo: El número 4,78 ×  105 tiene tres cifras significativas, mientras que el número

4,0000 ×  105 tiene cinco cifras significativas .

Potencias. Propiedades de las potencias.

Se denomina POTENCIA de base a y de exponente el número entero n, al producto:

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS:

Ejemplo:

Si el exponente es un número entero negativo – n (donde n es un natural positivo).

Dicha potencia se puede representar como:

Dado que utilizando propiedades de las potencias se cumple:

Ejemplo:

Radicales.

Se denomina RAÍZ enésima de a al número b (se representa por ) tal que:

Hay que observar:

Ejemplos:

Hay que observar, que si a es un número negativo y n es par no existe, pues no

puede existir ningún número b tal que b n = a.

Potencia de exponente racional.

n veces1 1 1 1 1 1 1 1n veces1

n veces

1 1 1

n n n n n n n n

n nn n n n

m mm mn mn nn n n n

a a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a a

Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, si utilizamos exponentes

fraccionarios, obtenemos la siguiente equivalencia

Ejemplos:

3 115 3 15 5

1 1 11 13 33 3 3 33 3

7 7 7 ;

56 56 2 7 2 7 2 7

Potencias. Propiedades de los radicales.

n

nn n n m n mnn

a aa b a b a a

b b

n na a

3 33 32 3 2 3 2

48 2 8 2 2 24 4 4

7 2 7 2 7 2

2 3 2 3 2 3

PROPIEDADES DE LOS RADICALES:

Ejemplos:

Podemos simplificar radicales introduciendo y extrayendo factores de una raíz,

teniendo en cuenta que:

En ocasiones para operar con radicales es necesario utilizar radicales equivalentes,

teniendo en cuenta que : k y p son números

naturales y p es divisor de n y m.

Ejemplo:

Para poder multiplicar o dividir radicales de índices distintos, podemos utilizar

radicales equivalentes de índice el mínimo común múltiplo de ambos.

n mpn n k nm m k m pa a a a

3 6 6 62 3 4 9 4 92 3 2 3 2 3

Operaciones con radicales.

Radicales semejantes: Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y al

extraer o introducir algún factor tiene el mismo radicando

Ejemplo:

Podemos simplificar expresiones radicales, si contiene expresiones semejantes

Ejemplo:

Racionalización de fracciones con radicales en el denominador.- En ocasiones

cuando tenemos que efectuar operaciones con fracciones con denominador radical, nos

es más práctico operar con fracciones equivalentes que no contengan números

racionales en el denominador .

3 3 3 3 3 324 es semejante a 2 3 , ya que 24 8 3 2 3= =g g g

Ejemplos:

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Dr. Juan Medina Molina

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