LOS PLASMONES

1 ENCABEZADO

El plasmón es la cuasipartícula resultado de la cuantización de las oscilaciones del plasma, que son ondas longitudinales, correspondientes a las interacciones coulombianas entre los electrones y los iones pesados en los sólidos.

Las oscilaciones plásmicas de frecuencias no muy elevadas se producen en los metales y en los semiconductores, es decir en los sólidos en que los electrones están débilmente ligados a los iones.

Estudios realizados por Bohm y Pines y posteriores, experimentalmente, recrearon la interacción fijando así el modelo jalea resultando que los plasmones son oscilaciones de la densidad del gas de Fermi (gas de electrones libres), pero a frecuencias ópticas.

Examinemos las oscilaciones plásmicas de onda larga en un cristal isótropo. Para las oscilaciones de onda larga los electrones pueden considerarse como un medio continuo. La variación de la densidad de electrones respecto del valor medio ν0 puede escribirse de la forma:

ν (r , t )−ν0=ν0÷R (r , t)

Donde: ν (r , t )es la desviación del número de electrones, ν0 es el valor medio de electrones y R(r , t) es el vector del pequeño desplazamiento del gas electrónico de su posición normal. Si e es la carga positiva unidad, la variación de la densidad de la carga eléctrica:

δ ρ=ρ (r ,t )−ρ0=−e ν0÷R (r ,t )

La variación de la densidad de electrones altera la neutralidad. Aparece un potencial electroestático φ (r , t ) que satisface la ecuación de Poisson:

∇2φ (r ,t )=−4 π δ ρ=4 πeν0÷R (r , t)

La energía potencial que surge al desplazarse los electrones estará constituida por las variaciones de las energías elástica y electroestática:

U=12∫ [ γ (divR )2+δ ρφ ]dτ

Donde: γ es el módulo de elasticidad del gas electrónico omitiendo las cargas. Tenemos en cuenta +unicamente los desplazamientos longitudinales, es decir, suponemos que rot R=0. Si m es la masa del electrón, la energía cinética del desplazamiento de los electrones:

K=mν02

∫ R2 (r , t )dτ

Supongamos que el cristal tiene la forma de un cubo de arista L y volumen V=L3. Por conveniencia introducimos las condiciones de contorno cíclicas. Entonces las funciones de onda:

ψk (r )= 1

√Ve ikr

Donde las componentes k x tienen los valores 2π lxL

(lx=0 , ±1 ,…) y constituyen un sistema de

funciones ortonormalizado completo. Descompongamos los desplazamientos R(r , t) según este sistema de funciones ortonormalizadas.

R (r , t )= 1

√V ∑k

Au ( t ) e(k )eikr

Aquí e (k ) es el vector unitario de polarizacion longitudinal, que satisface las condiciones

e2 (k )=1 ,e (k )=e , k ∥e (k )

De las condiciones de realidad de los desplazamientos (16.7) se deduce la igualdad

Ah=A¿¿k¿

De (16.7) se sigue que

¿ R= 1

√V ∑k

(ke (k ))Akeikr

Descompongamos el potencial de acuerdo con el sistema ortonormalizado de funciones (16.6)

φ (r , t )= 1

√V ∑k

φk (t ) eikr

De la ecuacion (16.3), teniendo en cuenta (16.8), obtenemos

φ0=0 , φk=−i 4 πe ν0

k 2(ke (k )) Ak , k ≠0

Tomando en consideracion (16.7)-(16.10), la energía potencial (16.4) se reduce a la forma

La energía cinética (16.5), de acuerdo con (16.7), se reduce a la forma

De (16.11) y (16.12) se siguen las ecuaciones

Suponiendo que ------------, obtenemos la ley de la dispersión de oscilaciones plásmicas en la región de los valores pequeños de k:

Donde -------- es el cuadrado de la frecuencia del plasma.

Cuando --------- desaparecen los efectos electrostáticos y -------------. Esta dependencia coincide con la ley de dispersión de frecuencia para las ondas sonoras que se propagan el gas con la velocidad ………., El valor de ------------. Por esto ……-- . Para valorar la magnitud de la frecuencia del plasma tomemos en consideración que ---------- y -------- u.e.e. Entonces

Por consiguiente. ------------- y la dispersión de las ondas de plasma es muy pequeña. La variación relativa --- dentro de los límites de la primera zona de Brillouin es menor que ---.

El impulso generalizado, conjugado de la coordenada colectiva ---, se encuentra por la regla general

Por esto la función clásica de Hamilton de las oscilaciones plásmicas, expresadas mediante las coordenadas generalizadas y los impulsos, se define por la ecuación

El paso al operador de Hamilton H en la representación de los números de ocupación de los plasmones se efectúa en (16.14) haciendo la transformación

Donde --- y ---- son los operadores de Bose de creación y aniquilamiento de los plasmones de vector de onda k. De este modo obtenemos

Los estados estacionarios del cristal se representan con las funciones de los números de plasmones --. El estado de vacío se caracteriza por la función --- . En este estado la energía nula de los plasmones ------------. El cuadrado de las amplitudes de las oscilacionbes nulas se determina por la expresión

Por consiguiente los operadores (16.15) pueden escribirse de la forma

Para determinar el límite de aplicabilidad de la descripción macroscópica antes expuesta de las oscilaciones del plasma, analicemos en que condiciones puede justificarse la representación de los electrones del cirstal como un medio continuo. Si admitimos que el electrón es una partícula puntual, la densidad y el vector del flujo de electrones en un punto r puede escribirse de la forma

Donde --- y – son, respectivamente, el radio vector y la velocidad del l-ésimo electrón; la sumación se extiende a todos los electrones del cristal, cuyo volumen se toma igual a la unidad.

Vamos a considerar únicamente las interacciones electrostáticas. La energía potencial de la interacción del l-ésimo electrón con todos los demás electrones y con la carga distribuida homogéneamente de los iones tiene la forma

Supongamos que ------------------- , entonces teniendo en cuanta (16.6) y con la condición de que ----, hallamos

De este modo, (16.19) se reduce a la forma

La virguilla con que se marca el signo de sumación indica la ausencia de los sumando ----------.

La energía cinética de los electrones tiene la forma ordinaria

De las expresiones (16.20) y (16.21) se deducen la ecuaciones del movimineto de los electrones aislados

Para obtener las ecuacion que definan la variación de la densidad de los electrones, hacemos previamente la transformación de Fourier (16.18)

Entonces, aplicando (16.6) y (16.18), hallamos

Aplicando a (16.23) la ecuación de continuidad---------, obtenemos las ecuacion

Sustituyendo en la última igualdad el valor --- de (16.22), hallamos, teniendo en cuenta (16.23),

Si en el primer sumando del segundo miembro de esta igualdad se seprada el término --, la suma restante ---------- puede omitirse, ya que contiene un gran número de pequeños sumandos de signo variable. Despreciando esta suma despreciamos la relación entre las variaciones de las impagenes de Fourier de las densidades correspondientes a distintas longitudes de onda (--------). Esta es la llamdada aproximación de las fases desordenadas. Aplicando esta aproximación reducimos la ecuación (16.24) a la forma

El segundo miembro de (16.25) depende de las velocidades de los electreones incluso a la temperatura del cero absoluto. Este movimiento ejerce una acción desordenadora en las oscilaciones plásmicas colectivas. Su influencia es tando menor, cuanto menor es k. Para evaluar los valores de k con los cuales es posible omitir el segundo miembro de (16.25), puede sustituirse – por el valor máximo de la velocidad ----------, donde – es la densidad electrones. Entonces

Por consiguiente, si se cumple la desigualdad

La ecuación (16.25) se transforma en la ecuación de las oscilaciones colectivas del plasma -------------- .

Cuando se cumple la desigualdad (16.26), la velocidad de fase de los plasmones --- supera a la valocidad máxima de los electrones. Por esto es imposible la transformación de la energía de los plasmones en energía del moviemtno de los electrones por separado. La amortiguación de los plasmones en el sólido está condicionada por la interacción con las oscilaciones de la red, con las impurezas y con otras heterogeneidades.

El valor de --- determinado por (16.26) puedo tomarse como límite superior de los vectores de onda de los plasmones. De este meodo, los vectores de onda los plasmones ocupan la región cnetra de la zona de Brillouin de volumen ----. Como a un vector le toca en parte el volumen ------, en el cual puede haber ------- plasmones.

Las excitaciones elementales con --- no tienen carácter colectivo. En el caso de esta excitaciones el gas electónico debe considerarse como un sistema de cuasipartículas aisladas con potencial de interacción

Así, la interacción, no precisada en las oscilaciones de plasma, de los elecvtrones que se hallan a la distancia r uno de otro, se determina por la expresión

Pasando en (16.27) de la sumación respecto de k a la integración en el espacio-k, obtenemos

De este modo, la interacción entre los electreones se manifiesta únicamente a pequeñasdistancias -----. La expresión --------- se llama potencial coulumbiano apantallado de la carga e. Al valor

donde --------------- es la energía de Fermi, le corresponde el cuadrado del radio de apantallamiento

Al calcular ----- partimos de la suposción de que la densidad de electrones --- en el metal es grande y aquéllos ocupan todos los estados con energía ---- (degenración). La magnitud --- se llama radio de apantrallamiento de Thomas-Fermi.

En los semiconductores la densidad de electrones __ es pequeña y no se produce degeneración. La distribucón de los electrones por los estados de energía se determina por la let de Boltzmann. La

interacción entre los electrones coulumbiana ___ se sustituye en el semiconductor de permitividad ___ por la interacción apantallada

donde __ es el radio de apantallamiento de Debye. Para su determinación calcularemos el potencial que crea una pequeña carga de ensayo ___ en el semiconductor.

La carga ---- desplaza los electrones de las posiciones de equilibrio, lo que ocasiona la aparición de una carga inducidad adicional __. La carga total __ crea el potencial __ que satisface la ecuación de Poisson

La densidad de la carga inducida __ se determina a su vez por el potencial __. En las condiciones de equilibrio termodinámico (a la temperatura T) la carga inducida viene determinada por la ex´resión

Por consiguiente, la ecuacion de Poisson se reduce a la forma

Donde

Es el cuadrado del radio de apantallamiento de Debye. Resolviendo esta ecuación, hallamos

Así, en el semiconductor, a la temperatura T, la interacción coulombiana es sustituida por la interacción de apantallamiento

El cuadrado del radio de apantallamiento de Debye __ es proporcional a la energía media de las oscilaciones térmicas de los iones e inversamente proporcional a la densidad :: de portadores de carga, la cual aumenta al elevarse la temperatura.

16.1. Excitación de ondas de plasma. La energía de los plasmones es grande, por lo que éstos no se excitan al calentarse. La excitación de los plasmones la efectúan los electrones rápidos (del orden de vario kilovoltios) que pasan a través de películas delgadas (----). Cuando los electrones rápidos pasan a través de películas de berilio, magnesio o aluminio, pierden una energía --,---, … según sea el número de plasmones que hayan excitado. La frecuencia de plasma que se observa coincide bien con la calculada teniendo en cuenta los electrones de valecia (dos en el Be y Mg y tres en el Al). En algunos metales y no metales (C, Si, Go,…) los electrones excitan un plasmón cada uno. En el carbono, silicio y germanio la frecuencia de plasma también se determina por los electrones de valencia (cuatro en cada átomo). En los metales Cu, Ar, Au y otro muchos de transición, en las oscilaciones de plasma, además de los de valencia, participan otros electrones. En la tabla 8 se dan los valores de las energía de los plasmones para algunos sólidos,

Energía de los plasmones (tabla 8)

Elemento Be B C Si Ge Al Mg Cu Ag ZnS Mgo------- 19 19 22 17 16 15 10 20 23 17 25

Las oscilaciones de plasma se manifistan también en las interacciones de las ondas electromagnéticas con los sólidos. Como sabemos, la interacción de las ondas electromagneticas con el sólido viene determinada por la permitividad. Hagamos un cálculo elemental de dicha permitivdad para una onda electromagnética transversal

que incida perpendicularmente sobre una lámina plana de metal. Si el espesor de la lámina es pequeño comparado con la longitud de la onda, dentro de aqélla ------. En las oscilaciones transversales de los eletrones no participan las fuerzas electrostáticas, por lo tanto, no teniendo en cuenta las débiles fuerzas elásticas del gas electrónico, los electrones pueden considerarse libres. En esta aproximación las oscilaciones forzadas se determinan por la ecuación

cuya