Losas de cimentacion armados y calculo estructural

Concreto Armado Ing. Francisco Serrano

LOSAS DE CIMENTACIÓN

Las losas de cimentación denominadas también plateas son otro tipo de cimentación superficial que si bien eliminan grandemente la posibilidad de asentamientos diferenciales resultan ser una solución bastante onerosa (cara), por lo que su uso se recomienda tan sólo cuando los suelos son de muy baja calidad (qa ≤ 1 Kg/cm2) o cuando las cargas son de tal magnitud que de utilizarse elementos aislados (zapatas) para la cimentación el área que estas cubran sea igual o mayor al 75% del área total de diseño cabe aclarar que cuando el área de cimentación es igual o menor al 50% del área total, se recomienda el uso de cimentaciones profundas en las cuales se busca de llegar con elementos auxiliares hasta profundidades en que el suelo alcance una resistencia adecuada como es el caso de pilotes cuyo estudio escapa a los alcances del presente curso.

En la figura siguiente se muestran las formas más usuales de losas de cimentación en obra.

Nueva Era 1

PLANTA

Límite de platea

Límite de la planta

Columna

PLATEA DE CIMENTACIÓN

PLATEA DE CIMENTACIÓN PARCIAL

Platea

PLANTA


METODOLOGÍA DE CÁLCULO PARA PLATEAS DE CIMENTACIÓN

Si se desea realizar un análisis refinado debe tomarse en cuenta la posibilidad de deformación del suelo bajo cada columna, vale decir que habría que considerar la interacción suelo- estructura. Sin embargo el método rígido que a continuación se detalla resulta n en valores muy cercanos a los reales, cuando las excentricidades no son grandes (menores al 10 % de la longitud en cada sentido).

En el caso de poder emplearse el método rígido se debe cumplir con los siguientes pasos:

1. Se calculan las cargas verticales para columna debiendo tomarse en cuenta que el peso propio de la platea no se incluye para el diseño estructural, puesto que la platea es soportada en forma uniforme por el suelo y los efectos de flexión son mínimos.

2. Se asume un espesor “e” para la losa de cimentación, el mismo que análogamente al caso de zapatas debe ser chequeado por corte flexión y corte punzonamiento.

3. Se determina las excentricidades ex y ey entre el centro de la figura de la edificación y el centro de rigideces debido a las cargas sobre cada columna. Esta excentricidad como ya se indicó debe ser menor al 10% de la longitud en ambos sentidos para que se pueda emplear el método rígido.

4. Ubicada la resultante del sistema y las excentricidades correspondientes se calcula las presiones en deferentes puntos de la losa con la siguiente ecuación:

1**

−−−−−−±±=Y

Y

X

X

I

XM

I

YM

A

Qq

La ecuación 1 no es aplicable si se resultan valores negativosq: Presión de contacto de un punto dado (x,y)P = Q : Carga vertical sobre la platea (total)A: Área de la plateaMX y MY : Carga q, multiplicada por la excentricidad paralela a los ejes coordenados x, y respectivamente .IX , IY: Momento de inercia del área de cimentación con respecto a los ejes coordenados x e y respectivamente.X, y : Coordenadas de cualquier punto de la planta con respecto a los ejes coordenados x e y que pasan por el centroide del área de la platea.

5. Conocidos los valores de la presión de contacto en cada punto , debemos determinar primeramente los momentos y luego el refuerzo de acero para toda la losa, para este efecto el criterio más empleado es dividir el tablero total de la losa en franjas con anchos iguales al ancho tributario en cada eje y en los dos sentidos , tal como se muestra en el gráfico siguiente:

6. Finalmente para cada franja calculo el diagrama de cortes y momentos utilizando cualquier método de análisis estructural, alternativamente para franjas en que las luces contiguas no varíen en mas del 20% y la diferencia entre cargas no exceda al 30%, se puede utilizar coeficientes del ACI. cuyos valores se muestran a continuación:

Nueva Era 2

franja Franja (l2) franja

franja

franja

Franja (l1)

l1

l1

l2

l2

l2/2

l1/2


COEFICIENTES:

Para la fuerza cortante:2

*0.1

2Lq

Para momentos flectores:

- 2 Tramos:- 3 o más tramos:

L = Distancia entre ejes de columnas (m)q’= Presión promedio por franja y por metro de ancho (t/m)

7. Con el corte máximo hallado se verifica si el peralte asumido cumple por corte – flexión y corte – punzonamiento y con los momentos máximos se calcula el acero positivo y negativo para la franja en estudio por los métodos ya conocidos.

PROBLEMA:Diseñar la losa sólida de cimentación para recibir las cargas que se muestran en la figura:f’c = 210 kg/cm2fy = 4200 kg/cm2Columnas = 40*40 cm²

2/8.0 cmkgT =σ

Centro de la figura: C = (6.5,7.5)

Cálculo de rigidez

∑ =0AM

mx

x

xR

42.6

)(800)13(220)5.6(360

)(13)4512055()5.6)(10040110(

==+

=+++++

cmex 842.650.6 =−=

∑ =01M

cmy

y

6.7

)(80015)5510060()75)(120140120(

==+++++

cmey 105.76.7 =−=

1. Calculadas las excentricidades debe verificarse que estas sean menores al 10% para poder utilizar el método convencional rígido.

%67.015

10

%62.013

8

=

=

cm

cmcm

cm

2. Cálculo de la ecuación de la presión efectiva.

y

y

x

x

I

xM

I

yM

A

Pq

)()( ±±=

Nueva Era 3


43

43

2

25.274612

)13(15

25.365612

)15(13

64)08.0(800

80)10.0(800)(800

19513*.15

800

mI

mI

mtnM

mtneM

mA

tnP

y

x

y

yx

==

==

−==

−=====

=

xyq 023.0021.010.4 ±±=

3. Conocida la ecuación de presiones buscaremos determinar el valor de la presión en los mas críticos de la losa para determinar así el valor mas critico y también la franja o franjas mas criticas.

En le cuadro siguiente se muestra los valores hallados para diferentes de la losa de cimentación:

PUNTO P/A Y X 0.021Y 0.023X Q(tn/m²)A-1A-3B-3C-3C-1B-1B-2A-2

4.104.104.104.104.104.104.104.10

-7.507.507.507.50-7.50-7.5000

6.506.500-6.50-6.50006.50

-0.15750.15750.15750.1575-0.1575-0.157500

0.14950.14950-0.1495-0.1495000.1495

4.0924.4074.25754.1083.7433.94254.104.2495

El eje mas critico será uno que contenga el 3, tomaremos el 1-2-3 por tener luces mayores.

4. Cálculo de los diagramas de cortes y momentos

Como se conocen las presiones en todos los puntos reincidencia de cargas en la losa puedo determinar la presión promedio para todos los ejes y calcular los momentos para cada franja. En el presente ejemplo analizaremos solo la franja correspondiente al eje A por ser la mas critica y el mismo proceso será repetitivo para las siguientes franjas.

En los siguientes gráficos se muestran los diagramas de corte y momentos para el eje en mención, debiendo destacarse que no se usa un valor promedio de la presión (q’) el diagrama de cortes y momentos difícilmente cortará en cero.

2/25.43

)2495.4407.4092.4(' mtnq =++=

mtnq /8.14)45.3(25.4' ==

dV

V

u 8.1469

69max

−==

Con el corte critico verificaremos si el peralte asumido para la losa que en este caso es t =50cm cumple o no con el corte flexión y corte punzonamiento como se muestra a continuación:

CORTE – FLEXION

Para t = 50cm → d = 40 cmtnVu 08.63)40.0(8.1469 =−=

dbcfVc **'53.0*φ=

uc

c

VV

tnV

>== 9.9040*345*21053.0*85.0

Nueva Era 4


CORTE PUNZONAMIENTO

tnVu 140= Carga columna central

dbcfVc **'53.0*φ= Fuerza cortante permisible por punzonamiento.

cmdperimetrob 60.140 +==

cmd

dd

VV uc

9.55

)60.14(21053.0*140000

=+=

=

φ

Espesor:

t = d+ recubrimiento+d/2t = 65 cm

Finalmente para cumplir con ambas condiciones utilizamos un peralte para la losa de 65 cm.

5. Cálculo de áreas de acero

El acero se calcula solo para la franja en estudio aunque el proceso es repetitivo para cualquier otra franja. Como la estructura es simétrica en luces y cargas para los momentos se utilizan los coeficientes del ACI.

q’ = 14.8 tn/m²L = 7.50 m.

Cálculo de acero negativoAsumiendo a = 5

25

44.52

2

555)4200(9.0

10*06.104cmAs =

−

= MALcma →== 5.3)345)(210(85.0

)4200(44.52

a = 3.5As = 51.70 cm²a = 3.5 O.K!

φ 5/8" → @ = 53.13345*70.51

2 = → 5/8” @ 10 cm

φ 3/4" → @ = 02.19345*70.51

85.2 = → 3/4” @ 15 cm

Acero Positivo

Asumiendo a = 2.8

25

09.41

2

8.255)4200(9.0

10*25.83cmAs =

−

=

!.8.2)345)(210(85.0

)4200(09.41kocma →==

→ 5/8” @ 15 cm

CAPITULO JHGKJ

DISEÑO DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS

Nueva Era 5


INTRODUCCIÓN.-

El presente análisis y diseño de losas armadas en dos sentidos incluye un método único para resolver tanto losas sólidas apoyadas sobre vigas perimetrales como también el caso de losas planas o flat-slabs en que las losas armadas en dos sentidos van apoyadas directamente sobre columnas generalmente a través de ábacos o capiteles en las mismas.Hasta la década de los años 70 se analizaba separadamente estos dos casos, pero desde la actual norma peruanas E-60 y en los reglamentos americanos desde el ACI 83 se consideran ambos casos como variantes de un método único en el que las losas apoyadas sobre vigas perimetrales dependiendo de la sección de estas últimas se considera como que la losa esta apoyada sobre elementos de poca rigidez (vigas chatas), o sobre elementos de gran rigidez (vigas peraltadas) y en el caso específico de losas planas se asume que la losa esta apoyada sobre una viga de rigidez cero. Esta teoría de un método único para resolver tanto losas sólidas apoyadas sobre vigas perimetrales, como losas perimetrales, como losa planas parte del concepto del Momento Isostático Total (Mo) y para su aplicación hay una serie de variantes como son el método de los coeficientes, el método directo y el método de la estructura equivalente cuyo desarrollo analizaremos posteriormente.

Finalmente debe destacarse que si bien analizaremos el caso de las losas planas, este tipo de estructura es preferible evitar en obra, puesto que al no haber un elemento que distribuya la carga como son las vigas toda la carga se concentra en las columnas de apoyo, produciéndose por tanto momentos y cortes demasiado grandes, que resulta crítico para la estructura especialmente en el caso de sismos.

COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS.-

Experimentos realizados en la universidad de Illinois o EEUU, con modelos realizados a escala para losas armadas en dos sentidos apoyadas perimetralmente sobre vigas en sus 4 bordes y con luces entre columnas de 1.5 m. a las que se sometió mediante ensayos a cargas similares a las reales y en las que se estudiaron los mecanismos den falla por flexión cortante y torsión para el caso de las vigas de borde, así como un chequeo de deflexiones y agrietamientos para diferentes niveles de carga en las losas, demostrar que el concepto de Momento Isostático Total (Mo), funciona adecuadamente para un eje cualquiera, tal como se muestra en el gráfico siguiente:

Nueva Era 6

1

2

3

4

150

150

150

PLANTA

A B

D C

5 150 150 150 5

variablesección

Dimensiones en cm

l2

l1

l1

l1

l2

l2

l2

4

B’B CA’A1

1’

2

3

D


Mo = Momento estático Total = momento positivo en el centro del claro mas el promedio de los momentos negativos en los extremos

Wl2 = Carga por unidad de longitudl1 = longitud del claro considerado

Por ejemplo en el claro 2-3

Una vez que se reparte el Momento Isostático Total (Mo) a lo largo del eje como se ve en el ejemplo anterior, en el que se repartió el Momento Total en momentos negativos en los extremos y momento positivo al centro, el siguiente paso consistirá en distribuir estos momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio , dividiéndose como veremos más adelante hasta en tres sectores:Sector de la viga es sí (que es la más rígida)Sector de la losa cercana a la viga (franja columna)Sector de la losa alejada de la viga (franja central)

Los diferentes métodos que analizaremos más adelante nos indicarán como hallar el porcentaje de momento para cada sector, primero a lo largo del eje y luego a lo ancho de la misma franja.

VARIABLES QUE INTERVIENEN PARA LA REPARTICIÓN DE MOMENTO ISOSTATICO TOTAL

Entre los principales tenemos lo siguientes:

Nueva Era 7

8

)( 212 lWl

Mo =

posnegneg

MMM

Mo ++

=2

32

1 2 3 4

Diagrama de Momentos en la Franja de la Losa


1. Rigidez De La Columna Soportante.

Si las columnas soportantes son bastante rígidas en comparación con las rigideces de las vigas y losa que forman en sistema entrepiso, entonces la restricción que se proporciona en los apoyos es más grande y como tal los momentos flexionantes en estos extremos son relativamente grandes , en el caso en que la rigidez de las columnas sea pequeña con respecto a la rigidez de las vigas y losa de piso, la restricción en los apoyos es menor y como tal los momentos en los extremos son menores . En el caso extremo de que las columnas tuvieran una rigidez muy pequeña comparada con los otros elementos del sistema de piso , prácticamente todo el momento sería absorbido por la losa creándose una condición de diseño crítica. Recuérdese que por el concepto de Momento Isostático Total (Mo) , lo que se pierda en momento negativo en los apoyos se gana en momento positivo al centro del tramo, de allí que para un diseño adecuado es conveniente que los momentos positivos y negativos sean similares para una distribución adecuada del refuerzo, bajo esta consideración el comportamiento con columnas rígidas, resulta mejor que el comportamiento con columnas flexibles, tal como se muestra en el gráfico siguiente:

1 2 3 4

C3

C1

Columnas Rígidas

C4

C2

Columnas Flexibles C1 > C2 , C4 > C3

C5

Columnas sin Rigidez

C5 > C4 > C3

2. Rigidez A La Flexión De La Viga.

Otro elemento importante para la distribución del Momento Isostático Total (Mo) es la rigidez a la flexión de la viga del sistema de piso.

Esta variable influye para la distribución a lo ancho de la franja, produciéndose que si la viga es bastante rígida (vigas peraltadas) casi todo el momento es absorbido por dicha viga y el momento que absorba la losa será bastante pequeño en cambio si la viga es poca rígida (vigas chatas) gran parte del momento tendrá que ser absorbido por la losa, llegándose al caso extremo de que cuando no hay vigas de apoyo todo el momento es soportado por la losa llegándose a una condición crítica de diseño.

3. Efecto Torsionante De Las Vigas

Nueva Era 8


Considerando que las losas armadas en los dos sentidos son generalmente de luces considerables , la rigidez torsionante de las vigas produce un empotramiento parcial de las losas, esta condición resulta crítica especialmente para las vigas de borde en que puede suceder que la capacidad torsionante de la viga no soporte el peso y las solicitaciones que le transmite la losa. Para que un sistema de piso exista el efecto de rigidez torsionante de las vigas, es necesario que estas sean monolíticas con la losa y con las columnas de apoyo.

4. Efecto De Las Cargas

La carga que actúa sobre el sistema de piso es variable pues si bien la carga permanente es constante sobre toda la estructura, la sobrecarga es variable, pues se da el caso en que por ejemplo en estructuras como bodegas, almacenes , locales industriales , etc, hay paños que reciben una carga considerable , mientras hay paños totalmente descargados lo que conlleva a que tengamos que analizar un juego de posiciones de sobrecarga para hallar los valores críticos de diseño. Considerando entonces que es la carga viva la que mayor problemática crea en el diseño de losas, el diseño será más crítico cuanto mayor sea la carga muerta y es por eso que todos los métodos se consideran un factor de corrección cuanto mayor sea la sobrecarga respecto a la carga permanente.

A parte de estos factores que son los más importantes existen una serie de variables que influyen para el análisis más adecuado de una losa sólida armada en dos sentidos, entre las principales variables que también influyen en el diseño esta la calidad de los materiales , índice de refuerzo, módulo de elasticidad del concreto, forma de vaciado y vibrado de la losa, etc.Todos estos factores hacen que el diseño de una losa armada en dos sentidos sea bastante complejo y que no pueda analizarse la losa como un sistema aislado, sino que hay que considerar la interacción entre columnas de apoyo, vigas y losa.

METODOS DE SOLUCIÓN

Entre los principales métodos de solución tenemos los siguientes:

• Método de los coeficientes• Método directo• Método de la estructura equivalente

De estos 3 métodos, en el presente curso se analizará los dos últimos, no considerándose el método de los coeficientes pues da resultados muy conservadores que nos sirven tan solo para un diseño preliminar, además de que su aplicación consiste tan solo en utilizar coeficientes que da la norma y que se encuentran en cualquier texto.En cuanto a los métodos de la Estructura Equivalente y el Directo que dan resultados menos conservadores, sólo desarrollaremos el segundo de éstos, que será analizado en detalle en los acápites siguientes:

METODO DIRECTO.-

El método Directo, como su nombre lo indica, es más simple y se basa fundamentalmente en que bajo ciertas hipótesis de diseño se trata de cuantificar todas las variables indicadas en el acápite anterior, y en base a tablas se reparte el Momento Isostático Total (Mo) primero en momentos positivos y negativos a lo largo del eje en estudio y luego se determina los diferentes momentos en el ancho de la franja tributaria , este método si bien mas sencillo, tiene las siguientes limitaciones:

1.- Debe existir por lo menos tres claros continuos en cada dirección.2.- Los tableros deben ser de tipo rectangular con una relación lado mayor a lado menor, no mayor que 2.3.- Entre tramos sucesivos no debe haber una diferencia de luces mayor al 30% con respecto a la mayor luz.4.- Las columnas deben estar alineadas sobre el mismo eje, aceptándose una excentricidad máxima del 10% de la luz del tramo adyacente y en el sentido que se realiza el análisis.5.- La estructura debe estar sujeta únicamente a carga vertical uniformemente distribuida y la carga viva no debe exceder de 3 veces la carga muerta.6.- Cuando exista vigas en los cuatro bordes de un tablero la relación de rigideces entre las dos direcciones perpendiculares de una estructura debe cumplir la siguiente relación:

Nueva Era 9


0.5*

*2.0

212

22

1 <<l

l

αα

Donde: l1= luz en le sentido de análisisl2= luz en el sentido transversal∝1 y ∝2 = relación de rigideces de las vigas en ambos sentidos

PROCEDIMIENTO DEL METODO DIRECTO.-

1. Determinación del Momento Isostático Total (Mo),

Tal como se muestra en el gráfico siguiente:

8

ln)*( 22lWu

Mo =

En la fórmula anterior se aprecia que en lugar de l1 se coloca ln, que no es otra cosa que la misma luz peor entre caras interiores de los apoyos como se aprecia en el gráfico anterior, debiendo cumplirse siempre que ln ≥ 0.65 l1.

Así mismo debe tenerse en cuenta que para columnas circulares puede tomarse un área equivalente al de las columnas cuadradas, donde el lado del cuadrado de igual área es 0.89 por el diámetro del círculo.

2. Distribución del Momento Isostático Total (Mo) en momentos positivos y negativos a lo largo del eje en estudio.

Para hacer esta distribución debe tenerse en cuenta que la metodología es diferente para tramos interiores y para tramos exteriores de la losa. En el gráfico siguiente se muestra la distribución para un tramo interior en que el momento positivo siempre será 35% del Momento Isostático Total (Mo) y el momento negativo será 65% del Momento Isostático Total (Mo).

Es de destacar que el valor de los momentos negativos coincide con la cara interior de la columna y no con el eje, ya que esta última sección en la cara interior del apoyo es la más crítica por flexión.

Nueva Era 10

A C B

3

2

1la

ln

ln

lc

lb

l2= (l

b+ l

c)/2

l2= l

a+l

b/2

Momentos en esta dirección

l1

l1


Para el caso de un tramo exterior hay que calcular los valores M1, M2 y M3 que se muestran en el gráfico anterior en base al grado de empotramiento entre los elementos de apoyo (placas, columnas o muros) y el sistema de entrepiso formado por vigas y/o losas tal como se muestra en la tabla siguiente:

COEFICIENTES DEL MOMENTO ISOSTATICO TOTAL, Mo, EN CLAROS EXTREMOS

1 2 3 4 5

Apoyo exterior libre

Losa con viga entre los apoyos

Losas sin vigas entre los apoyos interiores Apoyo

Exterior Totalmente Restringido

Sin vigas de borde

Con vigas de borde

Momento Negativo Interior (M1 en la figura)

0.75 0.70 0.70 0.70 0.65

Momento Positivo (M2 en la figura)

0.63 0.57 0.52 0.50 0.35

Momento Negativo Exterior (M3 en la figura)

0.00 0.16 0.26 0.30 0.65

Es de destacar que cuando los dos momentos negativos que llegan a un apoyo interior son diferentes se toma el de mayor valor absoluto.Así mismo hay que destacar que si existen vigas de borde transversales el momento negativo exterior M3 pasa a ser el momento torsionante para dicha viga de borde. En el caso de no existir vigas de borde es la losa en su franja de columna la que tiene que soportar la torsión en la forma que se detallará posteriormente.Finalmente hay que destacar que para el caso de losas planas exclusivamente antes de pasar al siguiente paso de diseño en esta etapa hay que verificar que el momento y corte transmitido a las columnas de apoyo no sea excesivo tal como se muestra en las relaciones siguientes:

Nueva Era 11

A B CExterior Interior

Mo

Mo 0.65MoM3

M1

M2

0.35Mo

a)

b)


a. Transmisión Del Momento De La Losa a La Columna (solo para losas planas)

fRN

f

MM

rhd

dC

dC

γ

γ

*

*3

21

1

2

1

=−=

++

+=

Donde : MN : Momento transmitido a la columna

Si MN < Mu OK¡MN > MU Rediseñar la columna¡

b. Transmisión Del Corte De Losa A Columna (solo para losas planas)

( )CJM

Ac

Vu Nvu

*γν +=

Donde:

ba

aC

dCb

dCa

+=

+=

+=

2

2

2

2

1

También tenemos :

Ac= (2a+b)d

[ ]6

/)2()2(2/

3 abadbaadCJ

+++=

Donde:

uν = Esfuerzo de corte transmitido a la columna

Vu = Corte actuante sobre la losa que puede calcularse de acuerdo a la siguiente relación:

122 *

2

*l

lWVu =

Nueva Era 12

C1 C

2

C2 +2(1.5h)

h


Donde:

Ac = es el área que resiste al corteγv = 1- γf

Donde:

MN = es el momento nominal transmitido a la columna y hallado en el paso anteriorJ = momento polar de inerciaC = distancia a la fibra más comprimida al eje neutroEste corte transmitido ala columna de ser comparado con el corte que absorbe el concreto en punzonamiento y que viene dado por la relación:

cfu ´1.1φν =

Si Vu < Vc ......OK!Si Vu > Vc ......Rediseñar la columna

3. Cálculo del efecto de cargas desfavorables

El paso siguiente sería distribuir los momentos positivos y negativos hallados para el eje en estudio en momentos a lo ancho de la franja en estudio, sin embargo en la metodología se analizó de que la presencia de sobrecargas considerables afectaría el diseño, en tal sentido los momentos hallados en el paso anterior deben ser verificados por este posible efecto de cargas desfavorables y recién verificables esta condición se distribuyen los momentos a lo ancho de la franja en estudio.

Esta verificación de cargas desfavorables se realizará siempre y cuando la relación entre la carga muerta y la carga viva (βa) sea menor que 2 tal como se muestra en la siguiente relación:

2≤=L

Da W

Wβ (sin factores)

En el caso que sea necesario chequear el efecto de las cargas desfavorables debe compararse dos parámetros:

( )bS

CC KK

K

+ΣΣ

=α

Donde:cc = Sumatoria de las rigideces de las columnas, por encima y debajo del punto en estudioΣKC + ΣKb = Sumatoria de las rigideces de la losa y el trave para el elemento en estudio

Estos valores deben compararse con un αmin (tablas) que es la relación de rigideces mínima para que no haya problema de cargas desfavorables.

En la tabla siguiente se muestra los valores del αminimo.

VALORES DE α MÍNIMO

βaRelación de claros l1/l2

Rigidez Relativa de la Viga0 0.5 1.0 2.0 4.0

2.0 0.5 – 2.0 0 0 0 0 0

1.0

0.50.81.01.252.0

0.60.70.70.81.2

000.10.40.5

00000.2

00000

00000

0.5 0.50.81.0

1.31.51.6

0.30.50.6

00.20.2

000

000

Nueva Era 13


1.252.0

1.94.9

1.01.6

0.50.8

00.3

00

0.33

0.50.81.01.252.0

1.82.02.32.813.0

0.50.90.91.52.6

0.10.30.40.81.2

0000.20.5

00000.3

Conocidos los valores de αc y αmin, se comparan estos y pueden presentarse dos casos:

a) Si αc > αmin ....... No se requiere corrección¡b) Si αc< αmin ......... Hay corrección¡

Y la corrección consiste en amplificar los momentos positivos del eje en estudio por el factor que se indica a continuación:

−

+−

+=min

14

21

αα

ββδ C

a

aS

4. Distribución de los momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio.-Los momentos positivos y negativos corregidos o no calculados en los pasos anteriores deben distribuirse a lo ancho de la franja en estudio tal como se muestra en el gráfico siguiente:

A efectos de distribuir los momentos en la franja columna que incluye la viga y en la franja central se puede utilizar la siguiente tabla:

Nueva Era 14

l1 A

B B

A

Franja de columnas

½ franja central

l2

½ franja central

½ franja columna

½ franja central

≤ 0.25l2

0.25l1

½ franja central

l2/4

Franja de columnas

½ franja central

l2/2 l2/4

SECCIÓN A-A (tablero interior)

½ franja central

Franja de columnas

SECCIÓN B-B (tablero de borde)


Tabla (% que va para la franja columna)

Relación de RigidecesValores l1/l2

0.5 1.0 2.0Momentos negativos en apoyos interiores

(α1l2/l1) = 0(α1l2/l1) ≥ 1.0

7590

7575

7545

Momentos negativos en apoyos exteriores

(α1l2/l1) = 0

(α1l2/l1) ≥ 1.0

βt = 0βt ≥ 2.5βt = 0βt ≥ 2.5

1007510090

1007510075

1007510045

Momentos positivos(α1l2/l1) = 0(α1l2/l1) ≥ 1.0

6090

6075

6045

CALCULO DEL PARÁMETRO α1

Este parámetro se define como la relación entre la rigidez a flexión de una viga situada en el eje de columnas y la rigidez a flexión de la franja de losa limitada por los ejes centrales de los tableros adyacentes, se expresa con la siguiente ecuación:

bcs

bcb

IE

IE

*

*1=α

Donde:

Ecb = módulo de elasticidad del concreto de la viga Ib = Inercia de la vigaEcs = Módulo de elasticidad del concreto de la losa}Is = Inercia de la losa

Es de destacar que cuando la construcción es monolítica, la viga incluye un tramo de losa cada lado de las losas laterales de la viga, igual a su proyección por abajo o por arriba de la losa pero no mayor que cuatro veces el espesor de la losa. Por tanto el momento de inercia Ib es de la sección L ó T que se muestran en los gráficos siguientes según se tratte de vigas de borde o de vigas interiores respectivamente.

Para la losa:

Nueva Era 15

bw+b

f

bw bf

h

t

EC b

f = (h-t) ≤ 4t

bw+2bf

bw bf

h

t

EC h-t

bf

l2

a)

c)

b)


e = espesor

CALCULO DEL PARÁMETRO β t.-

Este parámetro se define como la relación entre la rigidez a torsión de una viga de borde y la rigidez a flexión de una franja de losa cuyo ancho es igual al claro de la viga de borde medido centro a centro entre los apoyos.Se expresa mediante la siguiente ecuación:

scs

cbt IE

cE

*2

*=β

Donde:C = es una constante que define la rigidez a torsión de la viga de borde en forma semejante como el momento de inercia define la rigidez a flexión y se calcula tal como se muestra en la fórmula y gráfico siguientes:

363.01

3 yx

y

xc

−Σ=

Conocidos los parámetros de α y β es fácil ahora utilizar la tabla y definir el porcentaje de momento que va para la franja columna. Obviamente el porcentaje que va para la franja central será el 100% menos el porcentaje que absorbe la franja columna.

Finalmente quedaría por definir que porcentaje de la franja columna para la viga es para la viga en sí y que porcentaje para la losa en su franja de columna, pudiendo presentarse tres casos:

a. Si 00.11

21 ≥l

lα

El 85% del momento lo absorbe la viga y el 15% la losa (vigas peraltadas)

Nueva Era 16

12

* 32 el

I s =

x

y

y

x

y

y

x

x

y

x


b. Si 00.11

21 =l

lα

Quiere decir que es una losa plana y el 0% del momento para la viga y 100% para la losa en su franja columna.

c. Si 00.101

21 ≤≤l

lα

Se interpola entre los casos anteriores (vigas chatas).

5. Cálculo de áreas de acero

Para calcular las áreas de acero en la losa estas se calculan para cada uno de los ejes en los dos sentidos de análisis, buscando de uniformarse en uno y otro sentido el acero de refuerzo, las fórmulas a utilizarse son las ya conocidas:

( )2adf

MAs

y −=

φ

bfc

fAsa

y

'85.0=

En el caso de vigas se verifica que los momentos hallados sean menores a los momentos con que fue diseñada la viga, caso contrario se colocará refuerzo adicional en los referidos elementos.

6. Revisión de cortante para vigas y losas

Para chequear el corte en las losas propiamente dichas y en las vigas de apoyo tanto la norma peruana E-060 como el ACI- 95 utilizan el principio de áreas tributarias tal como se muestra en el siguiente gráfico:

PARA VIGAS:

Si las vigas son bastante rígidas vale decir:

00.11

21 ≥l

lα

Nueva Era 17

l2

45°

L

C

l2


Se utiliza el principio de áreas tributarias a 45° en que las vigas largas soportan el área trapezoidal C y las vigas cortas el área triangular L.

En el caso de losas planas, el corte totalmente lo soporta la losa y el corte que absorbe las vigas es V = 0.

Finalmente para el caso de vigas flexibles, cuando:

00.101

21 ≤≤l

lα

Se interpola entre los dos casos anteriores.En todos los casos se compara el corte hallado con el corte que fue diseñada la viga, si el corte hallado es menor no hay problema en el diseño de la viga, en cambio si el corte hallado en este paso resulta mayor que aquel con que se diseño la viga deberá confinarse en mejor forma los estribos para la viga en análisis.

Para Losas:

Para la losa en estudio se utiliza un corte crítico, que viene definido por la relación:

=

2

*15.1

1max

lWV

u

dbfcVc **'*53.0*φ=

Si Vmax ≤ Vc OK¡Si Vmax > Vc Mejorar espesor de la losa.

7. Cálculo del peralte

Este paso debe realizarse al inicio del problema, sin embargo su cálculo incluye ciertos parámetros que recién se han definido por lo que recién se menciona el cálculo de peralte.

Para calcular el peralte mínimo que requiere la losa armada en dos sentidos y evitar que se calcule deflexiones se utilizan las siguientes fórmulas:

Losas Con Vigas De Apoyo (mayor valor)

( )

( )

+−−+

+=

ββαβ 1

115.0*500036000

*071.0800ln

sm

fyh

( )( )sfy

hββ ++

+=

1*500036000

*071.0800ln

Losas Planas

( )36000

*071.0800ln fyh

+=

Donde:

αm = promedio de los valores de α , para el tablero en estudio.β = relación de claro largo a claro corto del tablero en estudio.βs = relación entre la longitud de lados continuos y el perímetro total del tablero.

Nueva Era 18


Independientemente de los valores que se halle con estas fórmulas, la norma da los siguientes espesores mínimos:a. Losas sin vigas o sin ábacos.......12.5 cmb. Losas con vigas y con ábacos.....10.0 cm c. Losas con vigas en los cuatro lados con un valor de αm por lo menos igual a 2.0.........9.0 cm

8. Detalles del refuerzo:

1.- El acero mínimo a utilizarse en cualquiera de los sentidos es:

AsT = 0.0018 * b * t

2.- El espaciamiento máximo del refuerzo de acero no excederá de :

Smax ≤ 2t

3.- Las longitudes mínimas para anclajes y empalmes son similares a las de losas aligeradas.4.- Para el caso de losas apoyadas sobre vigas rígidas:

00.11

21 ≥l

lα

Existen problemas en las esquinas de los tableros ya que se producen reacciones en los apoyos y como tal la losa tiende a levantarse para evitar este efecto la norma recomienda un refuerzo adicional inclinado a 45° y en una longitud igual a 1/5 de la luz, tal como se muestra en el gráfico siguiente:

PROBLEMA

Diseñar los tableros 2 y 4 para la losa armada en dos sentidos y apoyadas sobre vigas en todos sus bordes y con las características que se muestran a continuación:

Datos

f´c = 210 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

Vigas en la dirección horizontal: 25 * 70 cm.Vigas en la dirección vertical: 25 * 50 cm.Columnas: 40 * 40 cm.Espesor losa: 15 cm.Sobrecarga primer piso: 700 kg/m2

Peso piso terminado: 100 kg/m2

Nueva Era 19

LECHO SUPERIOR

b) En una sola dirección

1/5 del claro

a) En dos direcciones

1/5 del claro

LECHO INFERIOR

1/5 del claro


El primer paso en este tipo de problemas es identificar los diferentes tipos de tableros o paños que existen pues para el resto el armado será similar, en el presente caso hay 4 tipos de tableros.

1° Verificación de utilización del método directo

1. 3 sentido vertical 3 sentido horizontal OK!

2. 7/4 = 1.75 < 2 OK!

3. 5/4 = 1.25 < 1.3 OK!

4. Alineadas OK!

5. 00.3≤D

L

W

W

6. WD = 0.15*2400 = 360 Kg/m2

p.t. = 100 Kg/m2

--------------- 460 Kg/m2

Nueva Era 20

B

5 4 3 1 2

D

C

A

7 m

5 m

4 m

5 m

6 m 6 m 7 m

I

III IV

II

352.1460

700 ≤==D

L

W

W

1

0

2

3 m

5 m

55 cm 55 cm

(h-t) ≤ 4t70 - 15 = 55 55 ≤ 60


7.

Cálculo de los valores de α

Vigas interiores de 6 m y 7 m (ejes B y C)

Calculamos inercia: IT = Io+Ad2

Fig Area Yc A*Yc Io d d2 A*d2

12

20251375

62.527.5

126562.537812.5

37968.75346614.58

14.1520.85

200.22434.7

405450.56597743.44

Σ 3400 1643.75 384583.33 1003194

34.483400

164375*==

ΣΣ

=A

yAy c

ITrave = 384583.33 + 1003194 = 1387777.33 cm4

Vigas exteriores de 6m y 7m (ejes A y D)



Nueva Era 21

0.5*

*2.0

212

22

1 <<l

l

αα

135 cm.

25 cm

70 cm

15 cm

55cm

1

2

433

losa 2.12656212

15.0*5.4

12

t*b I cm===

96.102.126562

33.1387777 ===losa

Trave

I

Iα

25 cm

80 cm

55 cm

15 cm 1

2

55 cm

(h-t) ≤ 4t70 - 15 = 55 55 ≤ 60


12

12001375

7.542.5

900058437.5

22500346614.58

18.6916.31

349.32266.02

419179.32365772.14

Σ 2575 67437.5 399114.58 784951.46

19.262575

5.67437*==

ΣΣ

=A

yAy c

ITrave = 399114.58 + 784951.46 = 115406604 cm4

Inercia losa:

625.22

25.05.2

2=+=+= viga

lb

mt 15.0=

Vigas Interiores de 5m y 4m (ejes 2 y 4)



12

1425875

42.517.5

60562.515312.5

26718.7589322.92

9.51115.489

90.459239.909

128904.075209920.375

Σ 2300 75875 116041.667 338824.450

989.322300

75875*==

ΣΣ

=A

yAy c

ITrave = 116041.667 + 338824.450 = 454866.117 cm4

Nueva Era 22

433

losa 125.7382812

15*5.262

12

t*b I cm===

63.15125.73828

115406604 ===losa

Trave

I

Iα

433

losa 5.18281212

15*650

12

t*b I cm===

488.25.182812

117.454866 ===losa

Trave

I

Iα

25 cm

(h-t) ≤ 4t50 - 15 = 35 35 ≤ 60

50 cm

15 cm

35 cm

1

2

35 cm 35 cm

95 cm


Vigas Exteriores de 5m y 4m (ejes 1 y 5)



12

900875

42.517.5

3825015312.5

1687589322.917

12.32412.676

151.881160.681

136692.878140595.854

Σ 1775 53562.5 106197.917 277288.732

176.301775

5.53562*==

ΣΣ

=A

yAy c

ITrave = 106197.917 + 277288.732 = 383486.649 cm4

Inercia losa:

5.3622

25350

2=+=+= viga

lb

cmt 15=

Vigas interiores de 4m y 5m (eje 3)


Nueva Era 23

433

losa 125.10195312

15*5.362

12

t*b I cm===

761.3125.101953

649.383486 ===losa

Trave

I

Iα

25 cm

60 cm

35 cm

15 cm 1

2

35 cm

(h-t) ≤ 4t50 - 15 = 35 35 ≤ 60

25 cm

50 cm

15 cm

35 cm

1

2

35 cm 35 cm

(h-t) ≤ 4t50 - 15 = 35 35 ≤ 60

95 cm



12

1425875

42.517.5

60562.515312.5

26718.7589322.92

9.51115.489

90.459239.909

128904.075209920.375

Σ 2300 75875 116041.667 338824.450

989.322300

75875*==

ΣΣ

=A

yAy c

4Trave cm 454866.117 338824.450 116041.667 I =+=

Conocidos todos los valores de α, procedemos a verificar en los cuatro tipos deferentes de tableros si se cumple o no la ecuación:

Tablero I

α1 = 10.96 + 15.63 = 26.59

Nueva Era 24

433

losa 16875012

15*600

12

t*b I cm===

696.2168750

117.454866 ===losa

Trave

I

Iα

D

A

C

B

1 2 3 4 5

α= 15.63 α= 15.63 α= 15.63

α= 10.96 α= 10.96 α= 10.96

α= 10.96 α= 10.96 α= 10.96

α= 15.63 α= 15.63 α= 15.63

I II

III IV

α= 15.63

α= 3.76 α= 3.76α= 2.49 α= 2.7 α= 2.49

α= 10.96

α= 10.96

α= 15.63

0.5*

*2.0

212

22

1 <<l

l

αα


l1 = 7 mα2 = 3.76 + 2.49 = 6.25l2 = 5 m

OK!

Tablero II

α1 = 15.63+ 10.96= 26.59l1 = 6 mα2 = 2.49 + 2.7 5.19l2 = 5 m

OK!

Tablero III

α1 = 10.96 + 10.96 = 21.92l1 = 7 mα2 = 3.76 + 2.49 = 6.25l2 = 4 m

OK!

Tablero IV

α1 = 10.96 + 10.96 = 26.59l1 = 6 mα2 = 2.49 + 2.7 = 5.19l2 = 4 m

OK!

Finalmente concluimos en que el tablero más crítico es el número II y que es más factible emplear el Método Directo en la solución del presente problema.

Nueva Era 25

17.27*25.6

5*59.262

2

=

46.017.21 =

56.36*19.5

5*59.262

2

=

28.056.31 =

15.17*25.6

4*92.212

2

=

87.015.11 =

88.16*19.5

4*92.212

2

=

53.088.11 =


2° Verificación del Peralte

Pese a que en el presente problema se da un espesor de la losa de 15 cm., por razones académicas verificaremos, si ese es un peralte adecuado o no.

( )

( )

+−−+

+=

ββαβ 1

115.0*500036000

*071.0800ln

sm

fyh

( )( )sfy

hββ ++

+=

1*500036000

*071.0800ln

l n = 700 - 40 = 660 cm = 6.6 m

β =660/460 = 1.435βs En el tablero I

5.07755

75 =+++

+=Sβ

21.84

49.276.396.1063.15 =+++=mα

( )( )

cmh

h

89.7

435.1

115.015.021.8435.1*500036000

4200*071.0800660

=

+−−+

+=

( )( )

.5.15

5.01435.1*500036000

4200*071.0800660

cmh

h

=++

+=

De acuerdo a cálculos debiera asumirse un peralte de 15.5 cm, por lo que el valor asumido al inicio del problema de 15 cm parece correcto.

3° Cálculo de Momento Isostático Total :

22 /95.1/1950

700*8.1460*5.1

*8.1*5.1

mTnmKgW

W

WWW

U

U

UDU

==

+=+=

8

ln)*( 22lWu

Mo =

Ejes A y D:

mTnMo −=+= 87.276.6*8

)125.05.2(95.1 2 Tramos 1-2 y 4-5

Nueva Era 26


Tramos 2-3 y 3-4

Ejes B y C:

mTnMo −=−= 78.47)4.07(*8

)5.4(95.1 2 Tramos 1-2 y 4-5

Tramos 2-3 y 3-4

Ejes 1 y 5:

mTnMo −=+= 70.186.4*8

)125.05.3(95.1 2 Tramos A-B y C-D

Tramo B-C

Ejes 2 y 4:

mTnMo −== 53.336.4*8

)5.6(95.1 2 Tramos A-B y C-D

Tramo B-C

Eje 3:

mTnMo −== 95.306.4*8

)6(95.1 2 Tramos A-B y C-D

Tramo B-C

4° Distribución de Mo, en momentos positivos y negativos a lo largo de los diferentes ejes:

Ejes A y D: (Caso 2)

M1-2 (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 27.8 = 4.46 Tn-m

M1-2 (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 27.8 = 15.89 Tn-m

M2-1 (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 27.8 = 19.51 Tn-m

M2-3 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.07 = 13.05 Tn-m

Nueva Era 27

mTnMo −== 07.206.5*8

)625.2(95.1 2

mTnMo −=−= 40.34)4.06(*8

)5.4(95.1 2

mTnMo −== 45.116.3*8

)625.3(95.1 2

mTnMo −== 53.206.3*8

)5.6(95.1 2

mTnMo −== 95.186.3*8

)6(95.1 2


M2-3 (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 20.07 = 7.02 Tn-m

M3-2 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.07 = 13.05 Tn-m

Simetría

Ejes B y C: (Caso 2)

M1-2 (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 47.78 = 7.64 Tn-m

M1-2 (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 47.78 = 27.23 Tn-m

M2-1 (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 47.78 = 33.45 Tn-m

M2-3 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 34.40 = 22.36 Tn-m

M2-3 (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 34.40 = 12.04 Tn-m

M3-2 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 34.40 = 22.36 Tn-m

Simetría

Ejes 1 y 5:

MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 18.70 = 2.99 Tn-m

MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 18.70 = 10.66 Tn-m

MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 18.70 = 13.89 Tn-m

MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 11.45 = 7.44 Tn-m

MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 11.45 = 4.00 Tn-m

Simetría

Ejes 2 y 4:

MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 33.53 = 5.36 Tn-m

MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 33.53 = 19.11 Tn-m

MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 33.53 = 23.47 Tn-m

MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.53 = 13.34 Tn-m

MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 20.53 = 7.18 Tn-m

Simetría

Ejes 3:

MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 30.95 = 4.95 Tn-m

MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 30.95 = 17.64 Tn-m

MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 30.95 = 21.67 Tn-m

MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 18.95 = 12.32 Tn-m

MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 18.95 = 6.63 Tn-m

Nueva Era 28


Simetría

5° Chequeo de efecto de cargas desfavorables:

Antes de distribuir los momentos hallados en el paso anterior a lo ancho de la franja, debe verificarse que no haya efecto de cargas desfavorables. Este chequeo se hace por columnas y en el presente caso verificaremos una columna exterior (A1) y otra interior (B2).

2≤=L

Da W

Wβ

2700

460 ≤

266.0 ≤ Hay que hacer chequeo

Columna A-1 (Eje A : más crítico)

( )bS

CC KK

K

+ΣΣ

=α

44

33.21333312

40cmI ==

67.426500

33.2133331 ==K

11.711300

33.2133332 ==K

404.1154060 cmIb =

4125.73828 cmIs =

65.0

700

125.7382804.115406011.71167.426 =

++=

Cα

Para hallar αmin, tenemos:

βa=0.66

71.000.7

00.5

1

2 ==l

l

α = 15.63

αmin = 0

αc >αmin OK!

Columna B-2 (Eje 2)

( )bS

CC KK

K

+ΣΣ

=α

Nueva Era 29


44

33.21333312

40cmI ==

67.426500

33.2133331 ==K

11.711300

33.2133332 ==K

440.454866 cmIb =

450.182812 cmIs =

40.0

400

50.1828124.454866

500

50.18281240.45486611.71167.426 =

++++=

Cα

Para hallar αmin, tenemos:

βa=0.66

5.100.4

00.6

1

2 ==l

l

α = 2.49

αmin = 0

αc >αmin OK! No hay corrección

6. Distribución de momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio

Para distribuir los momentos a lo ancho de la franja en estudio conocemos ya los parámetros α , sin embarga calcularemos ya los previamente el parámetro βt para las vigas de borde.

Cálculo de βt , para las vigas de borde, ejes de A y D.

3)63.01(;

*2

3 yx

y

xC

IsEcs

CEcbt −Σ==β

3

55*25)

55

25*63.01(

3

80*15

80

15*63.01

33

1 −+

−=C

Nueva Era 30

41 83.283795 cmC =

80

25

15

55


3

70*25)

70

25*63.01(

3

55*15

55

15*63.01

33

2 −+

−=C

( )mayorelcmC 42 83.333795=

19.1

12

15*5002

83.333975

2 3=

==

Is

Ctβ

Por ser de borde se usa toda la longitud y no ancho tributario

EJES A y D: α = 15.63

SECCION M TOTAL

( Tn – m)L2 / L1 α1 ρ2 / ρ1 βt % Tabla M ( Franja

central )

M ( Viga ) M ( losa con

franj. colum.)M ( Franja

central )

M 1-2 ( - ) 4.46 0.71 11.10 1.19 0.93 4.15 3.53 0.62 0.31

M 1-2 ( + ) 15.89 0.71 11.10 0.84 13.35 11.35 2.00 2.54M 2-1 ( - ) 19.51 0.71 11.10 0.84 16.39 13.93 2.46 3.12

M 2-3 ( - ) 13.05 0.83 13.03 0.80 10.44 8.87 1.57 2.61M 2-3 ( + ) 7.03 0.83 13.03 0.80 5.62 4.78 0.84 1.41

M 3-2 ( - ) 13.04 0.83 13.03 0.80 10.44 8.87 1.57 2.61

EJES B y C: α = 10.95

32.15.12656212

15*450;

2

3

=∴=== tt IsIs

C ββ

SECCION M TOTAL


central )



central )

Nueva Era 31

80

25

15

70


M 1-2 ( - ) 7.64 0.64 7.01 1.32 0.925 7.07 6.01 1.05 0.57

M 1-2 ( + ) 27.23 0.64 7.01 0.86 23.42 19.91 3.51 3.81M 2-1 ( - ) 33.44 0.64 7.01 0.86 28.76 24.44 4.31 4.68

M 2-3 ( - ) 22.36 0.75 8.22 0.325 18.45 15.68 2.77 3.91M 2-3 ( +

)12.06 0.75 8.22 0.825 9.95 8.4 1.49 2.11

M 3-2 ( - )

22.36 0.75 8.22 0.825 18.45 15.68 2.77 3.91

EJES 1 y 5:

4

33

19.157129

3

35*25)

35

25*63.01(

3

60*15

60

15*63.01

cmC

C

=

−+

−=

53.0196875*2

17.207129196875

12

15*700;

2

3

==∴=== tt IsIs

C ββ

SECCION M TOTAL


central )



central )

M AB ( - ) 2.99 1.4 5.26 0.53 0.92 2.75 2.34 0.41 0.24M AB ( + ) 10.66 1.4 5.26 0.63 6.72 5.71 1.01 3.94

M BA ( - ) 13.89 1.4 5.26 0.63 8.75 7.44 1.31 5.14M BC ( - ) 7.44 1.75 6.58 0.53 3.94 3.35 0.59 3.50

M BC ( + ) 4.00 1.75 6.58 0.53 2.12 1.80 0.32 1.88

EJES 2 y 4:

Nueva Era 32

( )mayorelcmC

C

4

33

19.207129

350*25

)5025

*63.01(3

35*153515

*63.01

=

−+

−=

15

35

25

50

60

25

15

35


57.05.18281212

15*650;

24

3

=∴=== tt cmIsIs

C ββ

SECCION M TOTAL


central )



central )

M AB ( - ) 5.36 1.3 3.24 0.57 0.92 4.93 4.19 0.74 0.43M AB ( + ) 19.11 1.3 3.24 0.66 12.61 10.72 1.89 6.50

M BA ( - ) 23.47 1.3 3.24 0.66 15.49 13.17 2.32 7.98M BC ( - ) 13.34 1.63 4.06 0.56 7.47 6.35 1.12 5.87

M BC ( + ) 7.18 1.63 4.06 0.56 4.02 3.42 0.60 3.16

EJE 3:

61.015875012

15*600;

24

3

=∴=== tt cmIsIs

C ββ

SECCION M TOTAL


central )



central )

M AB ( - ) 5.36 1.3 3.24 0.57 0.92 4.93 4.19 0.74 0.43M AB ( + ) 19.11 1.3 3.24 0.66 12.61 10.72 1.89 6.50

M BA ( - ) 23.47 1.3 3.24 0.66 15.49 13.17 2.32 7.98M BC ( - ) 13.34 1.63 4.06 0.56 7.47 6.35 1.12 5.87

M BC ( + ) 7.18 1.63 4.06 0.56 4.02 3.42 0.60 3.16

7.- Cálculo de área de acero por franjas:

Conocidos los momentos para las diferentes franjas se procede al cálculo de las correspondientes áreas de acero. En el presente caso a manera de ejemplo calcularemos las áreas de acero para las diferentes franjas de los ejes B y C tal como se muestra en el siguiente gráfico:

EJES B y C:

EJES B y C:

SECCION M TOTAL

( Tn – m)M ( losa con


central )

As 1 As 2 As mín. ArmadoAs 1

ArmadoAs 2

Nueva Era 33

Viga

½ franja central

½ franja central

Franja de columna

7.00 6.00

1.25

1.25

1.00

1.00

B


M 1-2 ( - ) 7.64 1.06 0.57 6.08 6.08 6.08 φ 3/8 “ @ 25 cm. φ 3/8 “ @ 25 cm.M 1-2 ( + ) 27.23 3.47 4.08 7.34 8.63 6.08 φ 3/8 “ @ 20 cm. φ 3/8 “ @ 15 cm.M 2-1 ( - ) 33.44 4.26 5.02 9.01 10.62 6.08 φ 3/8 “ @ 15 cm. φ 3/8 “ @ 15 cm.M 2-3 ( - ) 22.36 2.77 3.91 6.08 8.28 6.08 φ 3/8 “ @ 25 cm. φ 3/8 “ @ 15 cm.M 2-3 ( + ) 12.06 1.49 2.11 6.08 6.08 6.08 φ 3/8 “ @ 25 cm. φ 3/8 “ @ 25 cm.M 3-2 ( - ) 22.36 2.77 3.91 6.08 8.28 6.08 φ 3/8 “ @ 25 cm. φ 3/8 “ @ 15 cm.

mTnMu

AsadfyMu

bcf

fyAsa

cm

Usando

cmAsmín

−=−=−=

===

==

==

91.208.6)2/64.013(4200*9.0

)2/(

64.0225*210*85.0

4200*08.6

*'85.0

*

.3.26225*08.6

71.0@

"8/3

080.615*25.2*0018.0 2.φφ

cm

cm

cmAs

cma

bcf

fyAsa

cmAs

a

dbcf

fyAsa

M

20@"8/3

208.21225*34.7

71.0@

34.7

77.0

*'85.0

*

34.7

1

13;*'85.0

*

47.3

2

2

φ

≅==

=∴

=

=

=

=

==

=−

Para el resto de franjas se calcula el área de acero en forma similar, debiendo después superponerse el armado de todas las franjas y buscar lograr que el armado final sea sencillo, económico y de relativa fácil ejecución.

8.- Revisión de cortante para la losa

1950)700*8.150.4(5.12

15.1 1

=+=

=

Wu

lWuVu

!...

87.848613*100*21053.0*85.0

'53.0

75.51572

60.4*195015.1

OKVcVu

KgVc

bdcfVc

Vu

<==

=

==

φ

Problema:- Calcular los momentos de diseño por el método directo en la dirección achurada para una losa armada en los dos sentidos ubicada en un piso intermedio, el edificio tiene placas de concreto que asumen las fuerzas del sismo y no tiene vigas de borde, las características de la edificación se muestran en el cuadro y grafico siguientes:

Datos:

Nueva Era 34


Altura del piso: 2.70 mColumnas: 40*40 cmTabiquerias: 100 Kg/cm2Acabados: 100 Kg/cm2Sobrecargas: 200 Kg/cm2f`c = 210 Kg/cm2fy = 4200 Kg/cm2Recubrimiento: 3 cm.

1.- Verificación de aplicación del Método Directo.

La presente estructura cumple contadas las condiciones de luces y cargas para poder aplicar el método directo. En cuanto al chequeo de los valores de , cuando no existen vigas de apoyo no se realiza esta verificación puesto que todos los valores de son igual a 0 ( cero ).

2.- Cálculo del espesor de la losa.( )

( )

.14.036000

4200*071.0800)4.05(

36000

071.0800

mh

h

fylh n

=

+−=

+=

Nueva Era 35

5

5

5

4 4 4


En la práctica por el alto corte y momento que soportan estas losas se sugiere aumentar en un 10%el valor hallado del peralte.

)%10(.17.0 excesodeConmh =

3.- Cálculo del Mo

( ) ( )

)(

46.13)4.05(8

0.4*272.1

/272.1/1272

2008.16085.1

/200

/0.608

1001002400*17.0

8

*

2

22

ejeeltodoPara

mTnMo

mTnmKgW

W

mKgW

mKgW

W

llWu

Mo

U

U

L

D

D

n

−=−=

==+=

==

++=

=

4.- Verificación del peralte hallado por corte – flexión y corte - punzonamiento.

En el caso de losas planas como ya se indico el problema de corte y momento es crítico, por lo que el peralte asumido debe chequearse por corte – flexión y corte punzonamiento.

a.- Chequeo por corte – flexión.

!...

14.914*100*21053.0*85.0

'53.0

75.2

)14.020.050.2(272.1

*

OKVcVu

TnVc

bdcfVc

TnV

V

lWV

U

U

UU

<==

=

=−−=

=

φ

b.- Chequeo por corte – punzonamiento.

( )'AAWV UU −=

( )

( ) TnVc

bdcfVc

TnV

V

U

U

97.4014*4*54*2101.1*85.0

'1.1

07.29

54.0*50.04*5272.1

==

=

=−=

φ

5.- Distribución del Mo en momentos positivos y negativos a lo largo del eje.

TablaCaso 3

Nueva Era 36


M1-2 ( - ) = 0.26 ( 13.46 ) = 3.50 Tn-m M1-2 ( + ) = 0.52 ( 13.46 ) = 7.00 Tn-m M2-1 ( - ) = 0.70 ( 13.46 ) = 9.42 Tn-m M2-3 ( - ) = 0.65 ( 13.46 ) = 8.75 Tn-m M1-2 ( + ) = 0.35 ( 13.46 ) = 4.71 Tn-m

Simétrico

6.- Verificación efecto cargas desfavorables.

!00.204.3

04.3200

608

00.2

chequeohayNo

W

W

t

t

L

Dt

>=

==

<=

β

β

β

7.- Distribución de los momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio.

MOMENTO MOMENTO1FACTORIZADO

FRANJA DE COLUMNA DOS MEDIAS FRANJAS CENTRALES% TABLA MOMENTO

Tramo exteriorNeg. Exterior

PositivoNeg. Interior

3.507.009.42

1006075

3.504.207.06

0.002.802.36

Tramo interiorNegativoPositivo

8.754.71

7560

6.562.83

1.191.88

8.- Verificación del momento y corte transmitido a las columnas de apoyo.

Esta verificación adicional se realizara sólo para el caso de losas planas.

a) Verificación del momento.- De acuerdo al siguiente gráfico:

Nueva Era 37

Franja de columna

Mn = As * fy ( d – a/2 )

C

C + 2 ( 1.5h )

h

0.26 Mo

γf ( 0.26 Mo)

* Ancho efectivo de la losa por transferencia de momento por flexión


Fig. Esfuerzo del momento nominal para franja de columna para calcular vMn = ( 1 – f )Mn.

a)

f = 0.6 ; v = 0.4

MR = 3.5Mn = f MRMn = 2.1 Tn-m

( ) ( ) ( ) ( )

mTnMn

LLW

Vu

cmC

abadbaad

C

−=

=

=

+++=+++=

10.2

2

78.354361

6

47/5447*21454*24714*47*2

6

/2221

122

3

33

Este momento hallado de 2.1 Tn-m, en el momento adicional que recibe la columna importante pero para un ancho:

b = C + 1.5 ( h ) 2

Habrá que convertir entonces el momento por metro de ancho en la forma siguiente.

b = 40 + 1.5 ( 17 ) 2 b = 91

91 ----------- 2.1100 ----------- X X = 2.31 Tn – m

mTnMn −= 31.2

Este valor es el momento final que se transmite a la columna y que merece un refuerzo adicional de la misma de acuerdo a las fórmulas de cálculo de acero.

b) Posición del cortante en la columna.

Nueva Era 38

( )[ ] 2207214*54472

541440

472/1440/1

cmAc

b

aC

M

Ac

VuVa

nv

=+=

=+==+=

+=γ


!....../55.132101.1*85.0

'1.1

/75.8

78.35436

10*31.2*4.0

2072

10*720.12

.72.12

52

4*272.1

2

/1

2

2

53

122

OKVcVucmKgVc

cfVc

cmKgVu

Vu

TnVv

Vv

LLW

Vv

C

M

Ac

VuVa

nv

<==

=

=

+=

=

=

=

+=

φ

γ

Habiéndose verificado que el corte transmitido a la unión losa – columna es aceptable, el problema está concluido y para calcular es As en franjas centrales y de columna se usa las fórmulas ya conocidas y que se aplicaron en problemas anteriores.

Nueva Era 39

Losas de cimentacion armados y calculo estructural

Engineering

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