Ecuaciones de Lotka - VolterraInteraccin Presa - PredadorYum, yumElija su ladoantes de que elijan por Ud.Adolfo Castillo Meza, M.Sc.Profesor PrincipalDepartamento de Fsica, Informtica y Matemticas - UPCHMe pareci ver un lindo gatito.....

Breve Referencia Histrica:Propuesto por primera vez en 1925 por Vito Volterra (Italia).Objetivo: Describir las variaciones observadas en las poblaciones de peces en el Mar AdrticoAlfred Lotka (USA) trabaj sobre el mismo sistema de ecuaciones, pero con el fin de descibir una reaccin qumica en la cual las concentraciones oscilan (1926)Recientemente se ha intentado aplicar este juego de ecuaciones inclusive a modelacin econmica o turismo sostenible.

Postulado:Consumidores y recursos pueden ser considerados como partculas que interactan en un medio homogneo (gas). Bajo estas condiciones la tasa de encuentros entre consumidores y recursos (tasa de reaccin) ser proporcional al producto de sus poblaciones (masas), es decir, se rigen por la ley de accin de masas.

FORMULACION DEL PROBLEMA:1. La velocidad con que vara la poblacin de presas x es proporcional a la poblacin existente en el momento t. 2. La velocidad con que vara la poblacin de presas x es proporcional al nmero de encuentros con los predadores y.Esto puede ser escrito como:A = tasa de crecimiento de las presas en ausencia de predadores. B = tasa de eliminacin de presas por parte de los predadores.La velocidad de variacin de la poblacin ser, combinando ambos efectos:

Para los predadores (y), la velociodad de variacin de la poblacin sera:Proporcional al nmero de predadores (y) en el momento t.Propocional al nmero de encuentros presa (x) predador (y), v.g. Propocional tanto a la poblacin de presas como de predadores en el momento t.

C = tasa de mortalidad de predadoresD = tasa de crecimiento de los predadores como resultado del exitoso consumo de presas. Combinando ambos efectos:

Puede verse que:1. En ausencia de predadores, la presa crece en forma exponencial. Para ello basta resolver2. En ausencia de presas, los predadores se extinguen en forma exponencial.xoyo

Lo que tenemos en realidad es un sistema de dos ecuaciones acopladas:El sistema es acoplado porque la variacin de uno de los componentes del sistema afecta al segundo componente que a su vez afectar al primero. Una analoga mecnica sera ver el comportamiento de dos sistemas oscilatorios acoplados. Este sera el resultado ideal, lamentablemente, no siempre ser as.

El punto estacionario de este sistema se encuentra cuando

En el plano xy, eliminando el parmetro t, este punto se ubicar:C/DA/Bxy

Punto de estabilidadEn el plano xy la solucin es una familia de curvas.

A=1B=1C=1D=1xy

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Una presentacin ms refinada permite escribir el sistema en la forma:Donde el punto de estabilidad es Podemos definir las denominadas funciones R:Tasa de variacin per cpita (densidad)

La solucin para este sistema de ecuaciones, grficamente, tiene el siguiente aspecto:

ANALICE EL DESFASE ENTRE LOS MAXIMOS Y MINIMOS DE AMBAS FUNCIONES. EXPLIQUE POR QUE ES NECESARIO EL DESFASE. CALCULE EL DESFASE MAXIMO POSIBLE.

Al graficar las soluciones x(t) e y(t) en forma paramtrica en el espacio de fases (x,y), obtenemos la superposicin de dos funciones oscilatorias(1):(1) Recuerde p.e. que sin(t) + cos(t) = 1 - circunferencia

Por otro lado, las isoclinas x = const e y = const dividen la grfica en cuatro regiones:En este punto el nmero de presas y predadores permanece constanteI. Ambas poblaciones crecenII. El nmero de predadores crece, pero como consecuencia de la caza decrece el nmero de presasIII. El nmero de presas decrece an m,as, empieza la escacez, disminuye el nmero de predadores.IV. El nmero de predadores ha decrecido, permitiendo la reproduccin y desarrollo de presas. CICLO LIMITE NEUTRALMENTE ESTABLE

Mostramos aqu un Ciclo Lmite Estable80 presas, 30 predadores

A =0.25B =0.01C=1.00D=0.01

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Dupliquemos la eficiencia de captura B (0.02)

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Sea B = 0.03

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Sea B =0.06Extincin, pero, en qu momento del ciclo?

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Interprete la sigueitne grfica:

A =0.10B =0.09C =0.50D =0.01

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Ampliemos ahora a tres especies el modelo:Restriccin: No hay poblaciones negativas. La solucin debe analizase en x 0, y 0, z 0.

Ejemplo de SolucionesA=B=C=D=E=F=G=1(xo, yo, zo) = (0.5,1,2)A=B=C=D=E=F=1G = 0.88PresaPredadorPredador del Predador

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Has ahora habamos asumido que los individuos de una msima especie no compiten entre s. Qu ocurre si tomamos en cuenta esta competencia INTRAESPECIFICA?Modelo LogsticoSi es mayor que 1, significa que el impacto sobre la especie por parte de individuos de la otra especie es mayor que el impacto de los congneres. Impacto sobre el crecimiento de la especie 1 de individuos por parte de la especie 2 en relacin al impacto de individuos de la misma especieSi es menor que 1, el impacto por parte de individuos de la misma especie es mayor.

Determinemos el estado en el cual las poblaciones se encuentran en equilibrio:1) Determinaremos la condicin de crecimiento cero de x2) Determinaremos la condicin de crecimiento cero de y.Aqu hemos descartado dos soluciones triviales, por qu?Obtenemos una rectaISOCLINA DE CRECIMIENTO CERO

Pueden darse las siguientes situaciones:ISOCLINA DE CRECIMIENTO CEROExisten menos individuos que los requeridos para lograr crecimiento cero. Los individuos x se multiplican y las poblaciones crecen.Existen ms individuos que los requeridos para crecimiento cero, la poblacin x decrece (se consume todo el forraje p.e.), Ambas poblaciones decrecen.

Procedemos en forma anloga para y:

TAREA PARA EXAMEN:

Si no hay competencia dentro de los predadores....

SOLO HAY DOS EXCEPCIONES A ESTE MODELO, VERIFICADAS AD INFINITUM A LO LARGO DEL TIEMPO:Coyotis HambrientusCorrecaminus Habilidosus