'

- ' profesor Titular de Econovza Financiera y

Contabilidad de la Universidad de las

Islas Baleares

,

Gonzalo Lozano Arnica

Resume~z.-l. Introducci;z.-2. El Modelo de Black-scho2es.-3. Funciona el ?nodelo de B-S?.+. La fornzula de Black-scholes: 4.1. Valor esperado de la opcin al vencimiento en condiciones de neutralidad ante el riesgo. 4.2. El modelo de B4.

4.3. El modelo de Rubinstein-Brennan de valoracin de opciones en tiempo , discreto.-5. Conclusiones.-Bibliografia.,

REFLEXIONES

RESUMEN ' I I ---- - - - -

- -

_Y--

-

- S -

E L modelo de Black-Scholes para la valoracin de opciones de com- pra no recibe la misma consideracin por parte de los acadmicos y por-parte de los prcticos. Los primeros lo consideran una bn- llante modelizacin que resiste muy bien la-prueba de-la confrontacin con, la realidad. Los segundos, a pesar de utilizarlo regularmente en los mercados de opciones, especialmente para calcular la volatilidad implci- ta de la accin subyacente, lo toman como una pieza de teora obra de cientficos alejados de la iealidad o 'LOko una vule of thtlrnb arbitraria de ,validez ambigua. Este tr-ajo reflexiona sobre estos pareceres contrasta- dos y apunta ,que se explica, al menos parcialmente, -porque, aunque en promedio los precios de las opciones se ajusten alos valores que' da la frmula de B-S, el arbitraje sobre el que'el"modelo de B S se basa no se da en la resilidad. Esto hace que la frmula de B-S no sea utilizable para predecir el precio de una opcin individual, aunque sea capaz de arrojar luz sobre algunos aspectos del mercado.

-

SOBRE LA VALIDEZ DEL'MODELO DE BLACK-SCHOLES

1. INTRODUCCION

Las opciones (1) sobre instrumentos financieros han tenido en los 1- timos casi veinte aos y continan teniendo hoy ,en da un papel destaca- do en el m,un+ financiero, tanto en el de los mercados financieros reales como en el mundo de la' teora financiera. La valoracin de opciones ha sido un rea especialmente fecunda de desarrollo terico -sobre todo en los aos que van de'1973 hasta mediadcs de la dcada de los ochenta- y ha producido resultados muy brillantes, qllmenos desde el punto de vista de la comunidad acadmica. El m ~ brillante de todos ellos es, sin duda, el modelo de Black y Scholes (2) para la,valoracin de opciones de com- pra, punto de partida de la moderna teora de valoracin de opciones y origen de una larga serie de modelos ,muy afines a l, pues se desarrollan a partir de la misma idea fundamental y comparten con l 'la mayora de las premisas.

La consideracin que en los mercados reales, entre los prcticos, obtiene el modelo de B-S -y, por su mayor complejidad, al menos apa- rente, sus afines- es, sin embargo, algo diferente que la que le dispensa el mundo acadmico. La siguiente pequea historia ilustra perfectamen- te los diferentes puntos de vista.

Se cuenta que un ~uscador del Conocimiento se puso en marcha en busca de respuesta a una pregunta que le haba inquietado durante mu- cho tiempo. En sus viajes tuvo noticia de dos sabios de los que muchos decan que tenan grandes conocimientos y experiencia en tales asuntos.

El primero, un famoso gur, viva en la cima de una monta, lejos del ajetreo de la vida diaria. Despus de una agotadora subida, el Busca- dor le plante su pregunta: "Cunto vale una opcin de compra?"

El gur respondi inmediatamente: "No es difcil de probar que

(1) Estrictamente hablando, debe entenderse, cuando decimos opciones, que nos refe- rimos a opciones de compra europeas protegidas frente a dividendos)). El grueso de los desarrollos tericos se ha hecho para este tipo de opciones y el tratamiento de otro tipo de opciones, por ejemplo! cuando el activo subyacente paga dividendos, se hace a partir del tratamiento de las primeras citadas. Es por ello que las reflexiones que hacemos en este trabajo se extienden hacia otros desarrollos tericosTuertemente conectados con el de B-S y a las opciones a las que afectan.

(2) Black-Scholes (1973).

artc?~los Gonzalo Lozano Amica REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES 921

doctrinale les

, donde S es el precio de la accin, X el precio de ejercicio, T el plazo de vencimiento, r el tipo de inters sin riesgo, o la volatilidad, N [ . ] denota la iiincin de distribucin de una normal y

, Por supuesto, esto debe ser modificado ligeramente en la prctica pa- ra tomar en cuenta dividendos, el valor del ejercicio anticipado y otros pocos detalles' tcnicos (ver apndice)."

La respuesta pareca muy exacta, aunque un poco complicada. El Buscador dio las gracias de corazn al gur y prosigui su camino.

El segundo sabio viva en el centro de una ciudad, en medio de un torbellino de ruido y actividad. Cuando el Buscador consigui llamar su atencin plante de nuevo su pregunta: "Canto vale una opcin de compra?"

Nuevamente la respuesta fue inmediata: "Depende. Qu quiere,us- w-

, ted, comprar o vender?" No sabiendo muy bien qu decir, el Buscador contest repitiendo las

palabras y ecuaciones del primer gun, pero fue rpidamente intemmpi- do: "No me interesa todo.ese rollo. Dgale que me haga una oferta. En- tonces hablaremos de lo que realmente vale una,opcin."-

Algo confundido, no del-todo segufo de que las respuestas de los sa- bios le hubieran acercado a la verdad, el Buscador se march meditando sobre su cuestin)) (3).

Para precisar un poco ms cmo es la visin de los modelos de valo- racin, entre escptica y desconfiada, que tienen los prcticos, creemos que se puede situar entre dos posturas. Una considera las diversas fr- mulas de valoracin, especialmente la de B-S y la binomial, a modo de mles of thumb que se aplican en unos casos directamente yen otros con modificaciones, .pero ignorando el modelo del que son resultado,.es decir, ignorando el conjunto de hiptesis a partir de las cuales se han derivado. Es difcil, entonces, emitir un juicio fundamentado sobre las circunstan- cias en que las frmulas son vlidas y en qu medida lo son. La otra pos- tura, tras una lectura rpida del conjunto de premisas del modelo de B-S -o de otros modelos afines-, concluye que son tan irrealistas que se

(3) Figlewsky (l989a), pg. 12.

gi2 Gonzalo Lozano mica artculos , REFLEXONES SOBRE LA VALIPEZ DEL MODELO PE BLACK-SCHOLZS doctrinales

!

trata de ateora)) -teora en el sentido de cosa-ajena-a-la-realidad- y, por lo tanto, intil para la prctica.,

Repasemos, brevemente, en qu consiste el modelo de B-S.

2. EL MODELO DE BEACK-SCHOLES

El modelo de B-S es un modelo 'de ar9itraje (4), es decir, su idea mo- triz es que en equilibrio no existirn en el mercado oportunidades de arbi- traje'(~). Muestra que una cartera constituida con las proporciones ade- cuadas de la accin que es activo subyacente de la opcin y de bonos de rentabilidad igual al tipo de inters sin riesgo reproduce el patrn de flu- jos de caja de la opcin en cualquier'~ituacin posible futura -la denomi- naremos cartera de rplica-. La postulada inexistencia de oportunida- des de arbitraje debe hacer que la opcin y la cartera de rplica, teniendo el mismo patrn de flujos de caja, se vendan por el mismo precio. El de la cartera de rplica es conocido, ya que acciones y bonos tienen sus respec- tivos mercados en los que son cotizados continuamente; dicho precio se le

(4) No es un modelo de equilibrio. Se pueden distinguir dos aproximaciones generales al problema de la valoracin de

activos en condiciones de incertidubmre. La primera se apoya en argumentos de arbitraje del tipo que sean, mientras que con la segunda los precios de equilibrio de los activos se obtienen igualando las demandas de activos endgenamente determinadas con sus ofertas, que se toman, tpicamente, como exgenas. Ejemplos de la primera aproximacin van des- de los argumentos de arbitraje esttico del teorema de Modigliani-Miller a las estrategias de arbitraje dinmico que son la base del Modelo de Valoracin de Opciones: tales mode- los basados en el arbitiaje slo pueden proporcionar el precio de un activo relativamente al precio de otros activos. El Capital Asset Pricing Model es un ejemplo de modelo de equi- librio en elrcual los precios de los activos se conectan a datos exgenos ... (New Palgrave, 1991,,I, Brennan, pag. 336).

Esta distincin es importante para este artculo porc&e creemos que a estas dos aproxi- maciones generales corresponden dos enfoques diferenciados para la contrastacin emp-

' rica. A' menudo se emplea el enfoque propio de los modelos de equilibrio para la contrasta- cin de los modelos de arbitraje.

(5) Una oportunidad de arbitraje es una estrategia de inversin que garantiza un flujo de caja positivo en alguna circunstancia sin posibilidades de flujos de caja negativos y con inversin neta nula. [...]

El estudio moderno del arbitraje es el estudio de las implicaciones de establecer la pre- misa de que no existen oportunidades de arbitraje. [...] Uno de los atractivos de los resulta- dos basados en la ausencia de arbitraje es 1 intuicin de que la ausencia de arbitraje es ms primitiva que el equilibrio, ya que se necesitan slo relativamente pocos agentes ra- cionales para eliminar oportunidades de arbitraje, incluso en presencia de una montaiia de agentes guiados por anii7zal spii-itsn (New Palgrave, 1991,I, Dybvig y Ross, pg. 100).

artculos Gonzalo Lozano Amica REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES 923 doctrinales

Black y Scholes parten de una serie de supuestos que califican de ((condiciones ideales)) para los mercados y que son los siguientes:

,

, 1,) Los mercados de acciones, bonos y opciones funcionan sin costes de transaccin, depsitos (margins) ni impuestos. Los valores que se negocian son infinitamente divisibles y se puede operar conti- nuamente.

2) El tipo de inters sin riesgo es conocido y constante a lo largo del tiempo.

b 3) Los inversores pueden prestar y endeudarse al tipo de inters sin riesgo.

4) No existe limitacin para las ventas al descubierto (short sales). Los vendedores al descubierto pueden disponer plenamente de los ingresos de tales ventas y no estn obligados a efectuar Gn- gn depsito de garanta.

5) La opcin es de tipo europeo, es decir, slo se puede ejercer en el - -

momento del vencimiento. A-- 6) La accin subyacente no paga djyidendo~-~an;es de la fecha de

- -

vencimiento de la opcin;- -

atribuye a la opcin que resulta as valorada. Postular la existencia de esta ((cartera de rplica equivale a decir que la opcin es un activo redundan- te, esto es, que en otra forma, desensamblado, existe yaren el mercado. Qu condiciones son necesarias para que todo esto tenga lugar?

7 ) El precio de la accin sigue un proceso geomtrico de Wiener con varianza constante. Todos los inversores coinciden en-el va- lor de la varianza.

Obsrvese que las condiciones ideales de los mercados se plantean en los cuatro primeros supuestos, y que los tres ltimos atribuyen carac- tersticas muy especficas a la opcin y a la accin subyacente, las cuales difcilmente sirven para calificar de ms'o menos, ideal a un mercado, pero que hacen que el modelo sea manejable (6). Para expres&lo grfica- mente: los cuatro primeros supuestos configuran un escenario, pero los tres ltimos se refieren ms bien a los actores. Con este conjunto de pre-

' -

(6) Aunque, como veremos mAs adelante, hay otros supuestos sobre los mismos aspec- tos que tambin proporcionan modelos manejables. Por ejemplo, el modelo de saltos pu- ro, de Cox y Ros, sustituye la premisa (7), suponiendo un proceso de saltos en lugar de un proceso geomtrico de Wiener.

924 Gonzalo Lozano Arnica artculos REFLEXONES SOBRE LA'VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES doctrinales

misas se demuestra que es posible constituir una cartera con la accin subyacente y bonos sin riesgo en proporciones determinadas que hay que modificar continuamente de forma adecuada, sin que ello suponga , aportacin de fondos nuevos - e s , ,pues, una estrategia de inversin auto- .financiada-, y que esta cartera reproduce el patrn de flujos de caja de la opcin. Sobre este hecho el modelo proporciona una frmula de valo- racin que: a bartir de unos pocos parmetros (el precio de la accin ' subyacente, el precio de ejercicio, el tipo de inters sin riesgo, el plazo de tiempo hasta el vencimiento y la varianza de la rentabilidad de la accin subyacente) da un valor exacto de lal opcin. Todos los parmet- LOS son observables, salvo uno, la varianza 4e la rintabilidad de la accin subya- cente, que debe ser estimado.

' 4 1 - ,

3. FUNCIONA EL MODELO DE B-S? ,

Este Conjunto de premisas no deja de se; restrictivo y,' en primera aproximacin, encaja con la postura, de aquellos prcticos que lo consi- deran un ejercicio terico de difcil aplicacin prctica. Frente a esto hay que contemplar e1 realismo de las premisas teniendo en cuenta que para comprender y modelizar cualquier fenmeno, deben ser simplificados o eliminados algunos elementos de la realidad. Y aunque un modelo basa- do en supuestos simplificadores puede ser siempre puesto en cuestin por ello, el test relevante del dao causado por las simplificaciones es examinar la relacin entre las predicciones del modelo y los fenmenos observados en el mundo real)) (7). Sin embargo, esta relacin entre pre- dicciones y fenmenos observados no es enteramente independiente de las premisas del modelo y de su filosofa.

Respecto al dao causado por las sim~lificaciones, las opiniones en la comunidad acadmica son claramente favorables al modelo de B-S. Vense como muestra algunas citas, Quiz porque la teora de valora- cin de-opciones funciona tan bien, la generado una literatura emprica sorprendentemente reducida (8). La frmula resul'tante [del modelo de B-S] y sus modificaciones y extensiones han sido muy slidamente apo- yados por los datos empricos (excepto la extensin para --- 'opciones de venta en las que, en mi opinin, la validacin emprica es muy dbil). Las

(7) Elton-Gruber (1991), pg. 337. (8) New Palgrave (1991), 11, Ros, pg. 332.

~ & ~ C U ~ O S Gonzalo Loza20 Atnica doc~na les REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES 925

discrepancias que existen entre la frmula de B-S y los datos son bien co- nocidas y han sido continuadamente tema de investigacin, a pesar de lo

e cual el edificio de Black-Scholes es muy slido)) (9). 0, ms matizada- mente: ((El modelo de B-S funciona relativamente bien, especialmente para opciones at-the-money. Se observan, consistentemente, desviaciones en opciones deep-in-the-money y deep-out-of-the money. (...) Ningn otro modelo ofrece consistentemente mejores predicciones que el de B-S. Existe alguna evidencia, no concluyente, ,a favor de un modelo de elasti- cidad de la varianza constante)) (10).

Paradjico, aunque no necesariamente en contradiccin con esto, es el hecho, bien establecido de que el tipo de arbitraje sin riesgo que es el espinazo de la argumentacin del modelo de B-S no se da en el mundo real. En un trabajo reciente Figlewsky~(l989b) trata de establecer hasta qu punto el modelo de B-S es sensible a las imperfecciones del merca- do. Para llevar a cabo una tal investigacin distingue tres posibles vas: la primera, analtica, que desecha por impracticable, ya que al incorporar imperfecciones de mercado al modelo ste se hace demasiado complica- do para tratarlo analticamente. La segunda, a partir de datos reale.i+que tambin se desecha, ya que no permitiria separar dos cuestiones: el efec- to de las imperfecciones del mercado y .el del no cumplimiento de las hi- ptesis estadsticas sobre el comportamiento de los precios de las accio- nes (lognormalidad, estacionariedad de la varianza). La-tercera, sobre un conjunto de precio,^ de la accin subyacents-obtenids mediante simula- cin suponiendo que el compprtamiento de la accin se ajusta a las hip- tesis ,estadsticas del modelo de B-S, lo cual permite distinguir j n preci- sin

a Gonzalo Lozano Arnica ~ & ~ C U ~ O S 926 amExoms SOBRE LA v*LIDEz DELtMoDELo DE BL.4cK-scI-IoLE.9 doctrinaiek

, ,

cin'cuyo precio se aparte del valor. que se obtiene dela frmula de valo- racin permite un*beneficiotseguro igual a la diferencia entre el precio de .la opcin-y e1 de valor segnXB-S (si la opcin est.sobrevalorada, se ven- , >de la opcin y se compra la cartera delrplica; si infravalorada, se com- pra la oy)cin iy?se vende la cartera de rplica). En la realidad los costes de transaccin ,y las dems imperfecciones $harn que -haya una;oportuni-

' dad de beneficio- si el precio de- mercado; de- la opain'est ,fuera de un cierto intervalo en cuyo interior est el valor de la opcin segn la fr- mula de B-S, y que tal beneficio no sea seguro sind con%una cierta proba- bilidad. Pues bien, estos intervalos.en los qasos,estgdiados por Figlewsb (1 989) (diversas. estrategias de arbitraje: reajuste de la cartera-de rplica diario, o solamente a partir de ciertosiniveles (de variacin

m - t ~ ~ 1 0 ~ . Gonzalo Lozano h i c a doctrinales REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZDEL MODELO DE BLACK-SCHOLES

927

,

'

---

El ltimo citado, el modelo de Rubinstein=BFenhan, es una justifica- cin alternativa de la frmula de-B-S. Como veremos a continuacin, di- chq modelo no utijizael argumento de,arEtraje,, ,, ,., sino quese plantea cunto vale el patrn de flujos de caja'dg'la opcin. Es 'un modelo de equilibrio basado en condiciones ciertamente restrictivas-y de problem- tica contrastacin, pero que ofrece un punto de vista realmente diferente de la frmUla de B-S.

.

El primero citado no es realmenteha1 como est enunciado, una jus- tificacin de la-frmula de B-S, ya Qie detrs del clculo del valor espe-

(12) Se podna considerar al modelo binominal como otra forma de obtener la fimula de B-S, pero el mpdelo binominales,ese~~ialme~~e,lo misgo que $1 modelo de B-S y que los'oti-s modelos de tie_mpo cntinuo inspirados>$'el de B-S: el sencillo proceso de dos ~eitados es realmente el i&edienteCesencia1 de la viloiac'in de opciones por procedimien- tos de arbitraje)). Gracias3a.ello, todos los procedimients exisientes de valoracin de op- ciones sin suposiciones sobre p-eferencias puedenser derivados como casos lmite de un proceso discreto con dos Estados. (Cox, 1979, pgs. 262-263)> Ej modelo binominal es normalmente ms flexible en el aspecto computacional.

(13) Ver Smith (1979), pgs. 15-20. (14) Ver Rubinstein (1979) y Brennan (1979):

en cada pesada para que,los pasteles ,salgan buenos: Una balanza que diera valores correctos en el promedio de-varias pesadas no sera, en ge- neral, de ninguna utilidad.

, - i ,- . . ,

1 > . , *.

kmi ido que el aybitraje sin riesgo'idkl modelo de B-S no tiene real- mente lugar, permanece la cuestin del 6uen fulicionamiento de la fr- mula. Hay qe recordar entonces que la frmula'de B-S no depende ex- clusivamente del modelo de B-S, sino que se puede obtener de tres (12) modos diferentes que relacionamos a continuacin-segn el orden de 'aparicin en la literatura cientfica: 7 .

, . _ , , 2 1 - 1

i) Como expresin del valor esperado actualizado de la opcin al vencimiento calculado-en condiciones de neutralidad ante el

. s . , , , 1 Y- '>' , ii) Como!resltado del-modelo de BS. ! - $ , * J b +,

iii) Como resultado del modelo de Rubinstein-Brennan (14).

928 Gonzalo Lozano Amica .,artculos REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO, DE BLACK:SCHOLES doctrinales

'

'

El mode1o"dk B-S sdponiii'algo'ms: que el precio de la accin sigui r . I

un proceso geomtrico de Wiener con varianza ,constante (premisa 7 de nuestra ~umeracin). Esto significLa que el precio de la accin, S@), para cualquier plazo de tiempo t a partir del momento presente se conforma a la siguiente expresin:

I

rado en condiciones de neutralidad ante el riesgo, que expondremos a continuacin, falta el. argumento econmicolque fundamente la condi- cin de neutralidad ante el riesgo, condicin que choca frontalmente con la evidencia ms inmediata y con la idea, unnimemente aceptada en Fi- nanzas, de que el riesgo es retribuido. Merece la pena sealar, sin embar- go, para relacionar los tres modos enunciados que la justificacin econ- mica del'clculo del valor esperado actualizado al vencimiento en condiciones de neutralidad ante el riesgo es doble y es, precisamente, el arbitraje sin riesgo del modelo de B-S, o 4 mercado del modelo de Ru- binstein-Brennan, con sus inversores con,aversin al riesgo de proporcio- nalidad constante. Es decir, que i) se incorpora naturalmente, como vere- mos, a ii)accin en el momentokactual y's* en el momento futuro de vencimiento de la opcin. Las letras en negrita denotan variables aleatorias). Es. decir, que el loga- ritmo del rendimiento en el vencimiento, Ln(S*/S), se ,distribuye segn unanormal: , L ,

In(SX/S) - yT ln(S*/S) - N(yT, dn. por lo tanto, . - N(0, 1).

C ~ T ,

La funcin de aensidad del precio de la accin ser entonces:

1 1 L

S*

I s(t> = S exp (yt + od71.13

.1 111 ' f(S*).= 1 exp ( - 2 S ' , , s*dT.1211: 2

l n - 7 p ~ ' S

, l. , &T

a ~ I $ ~ c ~ o s Gonzalo Lozano Amica doctrinales REnEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES 929

en la que, p es el parmetro de tendencia del proceso, dT es la varianza, y u es una variable aleatoria de distribucin normal reducida. Despejan-

' d o ~ j l j ,

por lo que en el vencimiento, t = T y S(T) = S*, la distribucin de proba- bilidad de la rentabilidad es la ya indicada.

4.1. VALOR ESPERADO DE LA O P C I ~ N AL VENCIMIENTO EN CONDICIONES DE NEUTRALIDAD ANTE EL RIESGO

El valor de una opcin de compra europea sobre una accin ordinaria en el momento del vacimiento es C*= Max(0, S*- K ) , siendo K el precio l de ejercicio de la opcin. Entonces, 'su valor esperado:

~,

V- m

E(C*) = E[Max (O, S* - K ) ] = / Max (O, S*-K) f(S*) dS*= - m

Conocida la funcin -de densidad f(S*), se resuelven las dos integra- les:

m

la segunda inmediatamente, ya que Kf(S*) dS* = K pis* 2 K ) . La prime- K

ra, haciendo el cambio de variable S* = S exp [yT + dT u] y teniendo en cuenta que, dado que S* se distribuye normalmente, E(S+') = exp [lnS +

930 Gonzalo Lozano Arnica artculos REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BEACK-SCHOLES doctrinales

, , La tasa continua de rentabilidad esperada de la accin al vencimiento, p, queda definida en la siguiente expresin: E(S*) = S exp[pT). Similar- mente la de la opcin, a la que denotamos por K: E(C*) = C eltp[~T]. En el caso de la accin, teniendo en cuenta,la expresin de E@*), obtenemos el

1 , 1 valor del parmetro p en funcin de p: p 8 p - 0 2 . que sustituimos en . a L 1 [ilpara obtener otra expresin de E(c*):

, (

E(C*) = C exb[fl)'= S exp[pT] N[dl,] - K N[dl,] , 131 ,

1

en la que

- .

Si utilizamos K como tasa de descuento paraiactualizar (15) E(C*), entonces, a partir de la expresin [3], obtenemos:

Supongamos ahora, finalmente, que estamos en-una economa neu- tral ante el riesgo, en la qu,e, por lo tanto, todos los activos tienen la mis- ma tasa de rentabilidad esperada, que es, adems, igual al tipo de inters sin riesgo. Es decir, denotando por r al tipo de inters continuo sin ries- go, en una tal economa p = K = 1; con lo cual la expresin [4] se convierte en la [51, que es la conocida frmula de Black-Scholes.

en la que

1 (15) De hecho, hemos definido K como la tasa de actuacin, ya que C = exp[-icz) E(C,).

S ax'tcdos Gonzalo Lozano Amica REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES 93 1 doctrinales

Como decamos anteriormente, la idea central del modelo de B-S es la existencia de la cartera de rplica)), que reproduce el patrn de flujos de caja de la opcin. Veamos cmo se desarrolla esta idea.

Sea C = C(S, t ) una funcin dos veces continuamente diferenciable respecto a S y una vez continuamente diferenciable respecto a t .

Constituyamos una cartera, que ser la cartera de rplica)), con Q, acciones yeQc opciones, cada una de stas sobre una accin. El valor de esta cartera, V,, ser entonces

VH= Q$ +Qcc [6I El cambio en el valor de la-.cartera, teniendo en cuenta que en cada

momento las.cantidades de acciones y opciones estn fijadas, vendr da- do por

. J . . ,+ dvH = Q ~ S + QJC r71

Dado que la accin sigue un proceso geomtrico de Wiener que es un caso de proceso de It6, se puede aplicar el lema-de It6 (16) para dife-

- -

renciar C. ac aF 1 a2c dc=-ds + d t t - -02S2dt as at 2 as2 [81

d . - .

Sustituyendo [8] en [7], resulta

>EI nico trmin?, estocstico en ?Sta ex$esin es dS; si hacemos que el pia'rntesis al que multiplica Se anyle, la expresin de dV, se convierte en no estocstica: si 8

(16) Para una explicaciin del proceso y del lema de It6 ver, por ejemplo, Rubio Ingo- yen (1989).

+ Gonzalo Lozano Arnica + 9 3 ~ artculos REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES doctrinales

ac Q,+Q,--=o as [lo1 1 l y hacemos Q, = 1, entonces I

l !

, I 1 ' 1 Q =-- S C ac/as' (17) [ l l l l

1 Sustituyendo este valor de Q, en la expresin [9], 1 I

Esta expresin carece de trminbs"aleatokos, es decir, aunque para cantidades arbitrarias de acciones y opciones la variacin de valor de la cartera tenga un componente aleatorio, para las cantidades que determi- na la expresin [lo] el componente aleatorio se anula.

Por otra parte, en equilibrio, una cartera cuyos flujos de caja se co- nozcan con certeza es una cartera no arriesgada, cuya rentabilidad debe igualar el tipo de inters sin riesgo; es decir,

-- d V ~ - r dt VH

r121

Se sustituye [6] en [12] y se despeja dVH, que se sustituye en [13]. En el resultado se sustituye [ l l ] y se obtiene entonces la siguiente ecuacin diferencial:

El valor de la accin al vencimiento, C* = Max (O, S*- K), es una con- dicin de contorno a la que est sujeta [13]. La solucin de la ecuacin diferencial es el precio de equilibrio de la opcin, y Black y Scholes la to- man de la Fsica, ya que la citada ecuacin, previamente transformada de modo adecuado, la haba resuelto la Termodinmica.

(17) El ratio de cobertura o ~deltar de una opcin-es A = aC1a.S.

articulos Gonzalo Lozano ~ c a doctrinales REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES 933

Una solucin ms intuitiva parte de dos observaciones (18). La prime- ra sobre la ecuacin diferencial [13]: cualquiera que sea su solucin, ha 'de contener inicamente variables de las que figuran en [13] y en la con- dicin de contorno C* = Max (O, S*- K), es decir: r, S, T, 02, K. La segun- da, sobre los supuestos que justifican la constitucin de la ,cartera de r- plica)): el nico supuesto sobre preferencias de los inversores es que dos activos que son sustitutivos perfectos deben tener la misma tasa de ren- tabilidad esperada, sin que se haga ningn supuesto que implique el ries- go de los activos. Esto sugiere que si existe una solucin al problema que atribuya un particular perfil a las preferencias, debe ser tambin la solu- cin a la ecuacin diferencial para cualquier perfil de las preferencias compatible con el equilibrio. El perfil de preferencias ms sencillo de tra- tar es el de neutralidad ante el riesgo, lo que supone, como decamos an- teriormente, que todos los activos tienen la misma tasa de rentabilidad esperada, que es, adems, igual al tipo de inters sin riesgo. El valor pre- sente de la opcin sera su valor esperado al vencimiento actualizado con el tipo de inters sin riesgo, que es precisamente el clculo que hemos realizdo en el apartado anterior, 4.1.

4.3. EL MODELO DE RUBINSTEIN-BRENNAN DE VALORACI~N ---

DE OPCIONES EN TIEMPO DISCRETO

Rubinstein (1976) y Brennan (1979) subrayan el hecho de que la fr- 1 mula de B-S es una ((relacin de valoracin riesgo-neutral, puesto que no depende de las actitudes ante el riesgo de los inversores, y tratan de

' obtener una tal relacin de valoracin prescindiendo de la premisa de negociacin en tiempo continuo, prescindiendo, incluso, de la necesidad de que los activos sean realmente negociados. No se basan, entonces, so- bre el argumento de arbitraje, sino que tratan de determinar la funcin de utilidad de los inversores que haga que las opciones de compra se va- loren como si los inversores fueran neutrales ante el riesgo. Esa relacin de valoracin que relaciona en el momento presente el valor de la opcin y el de la accin subyacente la denotaremos como C = c(S).

(18) Smith (1976), pg. 22.

Gonzalo Lozano Arnica artculos REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES doctrinales

,

* ,

(19) S~xiste agregacin de demanda [o simplemente agregacin] cuando es posible crear un individuo medio [conzposite individual1 cuvas caractersticas sean un promedio))

Se supone un mercado en el que el problema de la agregacin est re- suelto (19), en el que el inversor, promedio hace frente al problema de maxirnizar la utilidad de su consumo presente y la de su riqueza futura, habiendo de decidir sobre su c,onsumo presente y sobre la inversin en diversos activos. La riqueza futura, W*, depende de su riqueza inicial, de su consumo presente y de las inversiones que realice. Entonces, supo- niendo dos momentosadel tiempo, Oly T, la condicin de equilibrio en el mercado es que los precios actual y futuro, P y P*, respectivamente, de un activo financiero cualquiera se conformen, a la siguiente expresin: P = r-' E[z(P*) P*]. Es la que denominaremos ecuacin general de valo- racin del mercado. En ella r es el tipo de inters sin riesgo en el periodo considerado y z(P*) = E[v(W* IP*] , siendo V(. ) la Nncin de utilidad

EiV'W*jI a marginal de la riqueza en,el momepto T. ' '

Suponen una accin cuyo rendimiento en T sigue cqn la tasa de varia- cin de la riqueza agregada una distribucin lognor&al bivariante. La funcin de densidad marginal del precio de la accin en T, f(S*), ser en- tonces como [l].

En el caso de una opcin de compra con vencimiento en T emitida so- bre dicha accin existe una relacin precisa, que denotamos como c*(S*), entre los precios de la accin y de la opcin a su vencimiento: C* = ck(S*) = Max (O, S* - K). Adems, se ha de cumplir la ecuacin general de valoracin. Por lo tanto:

c = r1 E[z(c*) c*] = r1 E[z(c*(s*)) e*@*)] =

f

- -

de las de los individuos existentes en la economa, siendo el promedio hecho de tal modo que el sistema de precios de equilibrio que se alcance sea idntico al que se alcanzana en la economa original con los individuos heterogneos (...).

, Por otra parte, si los inversores fueran neutrales ante el riesgo, la ren- tabilidad esperada de cualquier activo sera el tipo de inters sin riesgo.

Se dice a veces'que el problema de agregacin de demanda se resuelve cuando los precios de equilibrio de los activos son independientes de la distribucin de riqueza entre los individuos,) (Krouse, 1989, pg. 268).

S artculos Gonzalo Lozano Arnica doctrinales REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES

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Por lo tanto, en el caso de la accin subyacente, S = r-' E,;(S*), siendo E,,(.) el operador de valor esperado bajo neutralidad ante el riesgo. La

' distribucin de probabilidad de S* en este caso tendr otro parmetro de localizacin que denotaremos como p,,. Teniendo en cuenta' la expresin ya vista en el apartado 4.1 del valor esperado de S * , tenemos que:

1 Despejando el valor de p,,: IL,, = lnr - - c2, que se sustituye en [l] 2

para obtener una nueva funcin de densidad que denotamos como f;(S*). El valor de la opcin bajo neutralidad ante el riesgo ser:

, .

Comparando [14] y [15] se obtiene z(c*(SQ)) = f ,(S*)/f(S*), expresign a partir de la que se determinan las funciones de utilidad que permiten la existencia de la citada relacin de valoracin riesgo-neutral, y que resul- tan ser aquellas que presentan aversin al riesgo de proporcionalidad constante. Adems, a partir de la expresin [15] se obtiene, siguiendo pa- recidos pasos a los seguidos 4.&-puesto que S; trata de calcular el valor esperado de C*, la relacin ilvaloracin C = c (S) , que resulta ser la fr- mula de B-S.

< .,

5. CONCLUSIONES

A pesar de su brillantez, el modelo de B-S tiene en el mundo'prctico un status diferente que en el mundo acadmico. Aunque la fpula de valoracin de opciones es utilizada corrientemente en los mercados de opciones, no lo es de acuerdo a su vocacin original, que es la de ser ecuacin de valoracin de opciones. Esto resulta coherente con el hecho de que el arbitraje sin riesgo que es el fundamento del modelo de B-S no se da en la realidad. La frmula de B-S, sin embargo, no Se deriva sola- mente a partir del citado arbitraje.sin riesgo, sino tambin de la condi- cin de equilibrio de mercado en el que los inversores tengan ciertas fun-

936 Gonzaio Lozano Arnica artculos 1 REFLEXONES SOBRE LA VALIDEZ DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES doctrinales

ciones de utilidad; es el modelo de Rubinstein-Brennan. Este modelo es, sin embargo, de difcil contrastacin. Quizs una ms exacta aproxima- cin a la valoracin de opciones venga a travs de un camino intermedio , que modelice el market-making, que de hecho se da en el mercado, to- mando as en cuenta tanto las caractersticas de aversin al riesgo de los inversores como el tipo de arbitraje que realmente tiene lugar.

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