Miguel Arturo Vallejo Trejo A00811889 25/04/2014Ingeniería de Control Trabajo de Investigación Antonio Favela

Lugar de las RaícesIntroducción

La técnica del lugar de las raíces es un método gráfico para dibujar las raíces en el plano “s” variando un parámetro. Este método permite al ingeniero obtener una medición de la sensibilidad de las raíces de un sistema con las variaciones en los parámetros que se consideran. Esta técnica puede ser usada con gran ventaja en conjunto con el criterio de Routh-Hurwitz. El método del lugar de las raíces nos proporciona información gráfica, por lo que se puede utilizar un dibujo aproximado para obtener información cualitativa con respecto a la estabilidad y el funcionamiento del sistema.

El desempeño dinámico de un Sistema de control de laso cerrado se describe con la función de transferencia de un ciclo cerrado como se muestra a continuación.

T ( s )=C (s)R (s )

=p(s)q (s )

*p(s) y q(s) son polinomios en dominio de s

Por otro lado, las raíces de la ecuación característica (q(S)) determinan los modos de respuesta del sistema. Para el caso de un sistema simple de un solo ciclo como el que se muestra anteriormente, la ecuación característica es la siguiente.

1+KG ( s )=0

*K es un parámetro variable y puede ser un valor desde 0 a infinito.

Estas raíces deben satisfacer la ecuación anterior y estarían en el plano s. Ya que s es una variable compleja, la ecuación anterior puede re-escribirse de la siguiente manera en forma polar.

|KG (s )|∠KG ( s )=−1+ j 0

Con esto sabemos que |KG (s )|=1 y que ∠KG ( s)=±180 °

Para el siguiente sistema simple de segundo orden:

a

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Su ecuación característica sería la siguiente.

1+KG ( s)=1+ Ks(s+a)

=0

El lugar de las raíces con forma la K varía, se encuentra asumiendo que

|KG (s )|=| Ks (s+a)|=1

∠KG ( s)=±180 ° , ±540 ° ,….

Como se sabe, las raíces de un sistema de segundo orden son las siguientes.

s1 , s2=−z ωn±ωn√z2−1

También sabemos que para z < 1, θ=cos−1 z

El problema con esta ecuación es que sólo sirve para sistemas de segundo orden, mientras que la técnica de lugar de las raíces sirve para sistemas de orden “n”.

Igualmente, podemos darle un valor unitario a “a” : a=1. Esto nos dejaría sacar el polinomio característico:

s2+s+k=0

Para finalmente adquirir el lugar de las raíces de k = 0:∞, es posible observar la posición de estas raíces aplicando regla de cuadráticas en todo el rango que se mencionó. Se obtienen las siguientes raíces:

s1 , s2=−12± 12 √1−4k

Con el resultado anterior, es posible darnos cuenta de que las raíces serán reales para todo k<1/4 y complejas para todo k>1/4 con polos repetidos para k = 1/4

Los pasos para conseguir el lugar de raíces de forma manual son los que se muestran a continuación:

- Paso #1: El primer paso consiste en escribir la ecuación característica del sistema de la siguiente manera: 1 + kF(s) =0. De manera que quede en forma de polos y ceros.

- Paso #2: Colocar los polos y los ceros en el plano “s”.

- Paso #3: Diferenciar los segmentos del eje real, donde se encuentran los lugares geométricos de la raíces.

- Paso #4: Encontrar el número de lugares geométricos en el eje.

- Paso #5: Encontrar el centro de las asíntotas σ c y los ángulos de las asíntotas θA .

- Paso #6: Calcular el punto de salida de los polos en el eje real.

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- Paso #7: En caso de que el lugar geométrico llegue a cruzar el eje imaginario, determinar el punto en el que lo hace utilizando el criterio de Routh-Hurwitz.

- Paso #8: Encontrar el ángulo de salida del lugar geométrico partiendo de los polos complejos y el ángulo llegando a los ceros complejos.

A continuación se mostrará la solución de un ejemplo con la ayuda del Método del Lugar Geométrico de las Raíces.

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Finalmente se realizará el problema E7.8 del libro de Dorf, demostrando el método con una ecuación de 3er orden.