Miguel Arturo Vallejo TrejoA0081188925/04/2014Ingeniera de ControlTrabajo de InvestigacinAntonio FavelaLugar de las RacesIntroduccinLa tcnica del lugar de las races es un mtodo grfico para dibujar las races en el plano s variando un parmetro. Este mtodo permite al ingeniero obtener una medicin de la sensibilidad de las races de un sistema con las variaciones en los parmetros que se consideran. Esta tcnica puede ser usada con gran ventaja en conjunto con el criterio de Routh-Hurwitz. El mtodo del lugar de las races nos proporciona informacin grfica, por lo que se puede utilizar un dibujo aproximado para obtener informacin cualitativa con respecto a la estabilidad y el funcionamiento del sistema.El desempeo dinmico de un Sistema de control de laso cerrado se describe con la funcin de transferencia de un ciclo cerrado como se muestra a continuacin.

*p(s) y q(s) son polinomios en dominio de sPor otro lado, las races de la ecuacin caracterstica (q(S)) determinan los modos de respuesta del sistema. Para el caso de un sistema simple de un solo ciclo como el que se muestra anteriormente, la ecuacin caracterstica es la siguiente.

*K es un parmetro variable y puede ser un valor desde 0 a infinito.Estas races deben satisfacer la ecuacin anterior y estaran en el plano s. Ya que s es una variable compleja, la ecuacin anterior puede re-escribirse de la siguiente manera en forma polar.

Con esto sabemos que y que Para el siguiente sistema simple de segundo orden:

a

Su ecuacin caracterstica sera la siguiente.

El lugar de las races con forma la K vara, se encuentra asumiendo que

Como se sabe, las races de un sistema de segundo orden son las siguientes.

Tambin sabemos que para z < 1, El problema con esta ecuacin es que slo sirve para sistemas de segundo orden, mientras que la tcnica de lugar de las races sirve para sistemas de orden n.Igualmente, podemos darle un valor unitario a a : a=1. Esto nos dejara sacar el polinomio caracterstico:

Para finalmente adquirir el lugar de las races de k = 0:, es posible observar la posicin de estas races aplicando regla de cuadrticas en todo el rango que se mencion. Se obtienen las siguientes races:

Con el resultado anterior, es posible darnos cuenta de que las races sern reales para todo k1/4 con polos repetidos para k = 1/4Los pasos para conseguir el lugar de races de forma manual son los que se muestran a continuacin: Paso #1: El primer paso consiste en escribir la ecuacin caracterstica del sistema de la siguiente manera: 1 + kF(s) =0. De manera que quede en forma de polos y ceros.

Paso #2: Colocar los polos y los ceros en el plano s.

Paso #3: Diferenciar los segmentos del eje real, donde se encuentran los lugares geomtricos de la races.

Paso #4: Encontrar el nmero de lugares geomtricos en el eje.

Paso #5: Encontrar el centro de las asntotas y los ngulos de las asntotas .

Paso #6: Calcular el punto de salida de los polos en el eje real.

Paso #7: En caso de que el lugar geomtrico llegue a cruzar el eje imaginario, determinar el punto en el que lo hace utilizando el criterio de Routh-Hurwitz.

Paso #8: Encontrar el ngulo de salida del lugar geomtrico partiendo de los polos complejos y el ngulo llegando a los ceros complejos.A continuacin se mostrar la solucin de un ejemplo con la ayuda del Mtodo del Lugar Geomtrico de las Races.

Finalmente se realizar el problema E7.8 del libro de Dorf, demostrando el mtodo con una ecuacin de 3er orden.