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Sistemas Automáticos

Universidad de Oviedo

12006

Lugar de las Raíces

Tema 5



22006

Índice

• Respuesta dinámica de un sistema• Respuesta dinámica de un sistema en bucle cerrado• Definición de Lugar de las Raíces (LR)• Ecuación Característica• Criterio del Argumento• Criterio del Módulo• Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces• Ejemplo• Lugares de las raíces básicos• Lugar inverso de las raíces• Contorno de las raíces



32006

El comportamiento dinámico de unsistema viene dado por los polos de laf.d.t. (raíces de la ecuacióncaracterística)

y(t)

Los ceros también influyen através de los coeficientes(pesos) de los modostransitorios

Respuesta Dinámica de un Sistema



42006

Captador

Σ+

-

U(s)C(s) ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

H(s)

G(s)

La dinámica del sistemaviene dada principalmente porlas raíces de la ec. característica

Problemas:• Difícil si el orden de la

ec. caract. >=3• Habitualmente,

necesario recalcularlosen función de unparámetro (ej.: K)

)()(1)()(

sHsKGsKGsM

+=

0)()(1 =+ sHsKG

Respuesta Dinámica de un Sistemaen Bucle Cerrado



52006

Polos y ceros del sistema realimentado

(s)D(s)NH(s)

(s)D(s)N

G(s)h

h

g

g == ,

Ceros de M(s):• Ceros de G(s)

• Polos de H(s)

Polos de M(s):dependen de K

)()(1)()(

sHsKGsKGsM

+=

(s)(s)NNK(s)(s)DD(s)(s)DNK

M(s)hghg

hg

⋅+⋅

=



62006

K=16

Definición:El L.R. es el lugar geométrico en elplano complejo que ocupan las raícesde la ecuación característica cuandovaría el parámetro K

Captador

Σ+

-

U(s)C(s) ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

K=5 K=10 K=20

Definición de Lugar de las Raíces (LR)



72006

El método del L.R. parte de la ecuación característica factorizada de lasiguiente forma:

Ecuación Característica



82006

Criterio del Argumento



92006

Criterio del Módulo



102006

s-p 1

s-p4 s-p3 s-z1s-p2

p3p4 p2 p1z1

s

θpi

Todo punto s del LR debesatisfacer esta condicióngeneral.

Ejemplo:Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces



112006

Reglas de trazado del Lugar de las Raíces



122006




132006




142006




152006

1 2

3

4

Ramas Independientes

Lugar en el eje real

Simetría respecto aleje real

Puntos decomienzo del LR

Puntosfinales del LR

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces



162006




172006

θ

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces



182006




192006




202006

pi

θp2

θz1θp1

θ

p1

p2

z1

Re

Im




212006




222006




232006

Captador

Σ+

-

U(s)C(s) ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

Función de transferencia en bucle abierto:



242006

-2-5-7-10-20

2

3

14



252006

-2-5-7-10-20



262006

-2-5-7-10-20



272006



282006



292006

-2-5-7-10-20

Centroide, Asíntotas y Punto de Dispersión

centroideσc=10

Asíntotas

Pto. dispersión



302006

37)1700(42037 K+−×

3701-)72000(37 ×+× K



312006



322006

Lugar de las Raíces final

-2-5-7-20 -10

+j14.439

-j14.439



332006

Lugares de las Raícesbásicos



342006

LR básicos: 1 polo real



352006

LR básicos: 2 polos reales



362006

LR básicos: 2 polos complejos



372006

LR básicos: 3 polos reales



382006

LR básicos: 3 polos (2 complejos + 1 real)



392006

LR básicos: 4 polos



402006

LR básicos: 1 polo + 1 cero



412006

LR básicos: 2 polos + 1 cero



422006

LR básicos: 3 polos + 2 ceros



432006

LR básicos: 3 polos + 1 cero



442006



452006



462006



472006

Examen Junio 2004

5. Se ha diseñado mediante el lugar de lasraíces otro regulador, y se ha obtenido lasiguiente representación. Sólo falta calcularsu ganancia estática k:

a.¿Para qué valores de k se cumplirá laespecificación del apartado 1?

b. Indique la función de transferencia delregulador ¿qué tipo de regulador es?



482006



492006

Captador

Σ+

-

U(s)C(s)

ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

Determinar el comportamiento del sistema realimentado en funciónde la constante de tiempo, τ, del captador para K=1



502006

Solución:

La ecuación característica será:

Reordenando términos…



512006

El problema queda planteado en términos de un LR:

El LR tiene 3 ceros…

… y dos polos

τ pequeñas:comportamientooscilatorio

τ=0.688:polo dobleamort. crítico τ=1:

3 polos realessobreamort.T = 2.6 seg

τ=10:3 polos realessobreamort.muy lentoT = 32 seg.

ConclusiónVemos cómo un captador lentoinfluye negativamente en elcomportamiento del lazoralentizándolo

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