Lugar Geométrico de La Raíz

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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL VALLE FACULTAD DE INFORMATICA Y ELECTRONICA INGENIERIA ELECTRONICA CAMPUS MIRAFLORES LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES Estudiantes: Victor Mamani Zarate Nestor Gutierrez Ticona Claudio Mayorga Balboa Jhon Valdivia Romero Docente: Ing. Jaime Peña Materia: Sistemas de Control I La Paz 26 Mayo del 2015 Evaluació n
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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL VALLEFACULTAD DE INFORMATICA Y ELECTRONICAINGENIERIAELECTRONICACAMPUS MIRAFLORES

LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICESEstudiantes:VictorMamani ZarateNestor Gutierrez TiconaClaudio Mayorga BalboaJhon Valdivia RomeroDocente:Ing Jaime !e"a Materia:#istemas de Control ILa Paz26 Mayo del 2015Ge!"#$I % 2015LUGAR GEOM&TRICO DE LA RA'(EvaluacinI$!)od*++"#$,Desde el punto de vista del diseo, un simple ajuste de la ganancia en algunos sistemas mueve los polos en lazo cerrado a las posiciones deseadas. A continuacin el problema de diseo se centrara en la seleccin de un valor de ganancia adecuado. Si el ajuste de la ganancia no produce por si solo un resultado conveniente, ser necesario aadir un compensador.. !. Evans diseo un m"todo sencillo para encontrar las ra#ces de la ecuacin caracter#stica, $ue se utiliza ampliamente en la ingenier#a de control. Este m"todo se denomina %M&'(D( DE) )*+A! +E(M&'!,-( DE )AS !A.-ES/, 0 en"l se representan las ra#ces de la ecuacin caracter#stica para todos los valores de un parmetro del sistema.Mediante el m"todo nombrado, el diseador puede predecir los e1ectos $ue tiene en la localizacin de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o aadir polo 02o ceros en lazo abierto. 3or tanto, es conveniente $ue el diseador comprenda bien el m"todo para generar los lugares de las ra#ces del sistema en lazo cerrado, 0a sea de 1orma manual o mediante el uso de programas de computadora como MA')A4 o S-,)A4.Debido a $ue generar los lugares de las ra#ces usando MA')A4 o S-,)A4 es mu0 sencillo, se podr#a pensar $ue dibujar los lugares de las ra#ces de 1orma manual es una p"rdida de tiempo 0 es1uerzo. Sin embargo, una buena 1orma de interpretar los lugares geom"tricos de las ra#ces generados por la computadora es ad$uirir la e5periencia de dibujar los lugares geom"tricos de las ra#ces de 1orma manual, cosa $ue adems proporciona con muc6a rapidez una idea global de los lugares de las ra#ces.Ma)+o Te#)"+o,G)a-+a del l*.a) .eo/0!)"+o de la )a1+e,-onsid"rese el siguiente sistema de la 7gura 8. )a 1uncin de trans1erencia en lazo cerrado es:C(s)R(s)=G(s)1+G(s) H(s)(I ) F".*)a 12En la ecuacin ( I )se puede notar en valor G(s)H(s) 0 con el determinar los 3()(S 0 -E!(S con la siguiente ecuacin:G( s) H ( s)= K( s2+am1sm1+am2sm2++a1s+a0)( sn+bn1sn1+bn2sn2++b1s+b0)( II )( tambi"n:G( s) H ( s)=k(s+z1) (s+z2)(s+zm)(s+p1) (s+p2)(s+pn) (III ) Dnde: )as ra#ces del numerador son los -E!(S: k(s+z1)(s+z2)(s+zm))as ra#ces del denominador son los 3()(S: (s+p1) (s+p2)(s+pn)MAGNITUD Y 3NGULO EN EL PLANO , -uando se llega a ubicar los 3()(S 0 -E!(S de lazo abierto en el eje real 0 el eje imaginario mediante la ecuacin ( II ) o (III ). 3or ejemplo si se tiene la siguiente ecuacin se puede ver un diagrama $ue muestra la medicin de ngulos de los polos 0 ceros en lazo abierto con el punto de prueba s:G( s) H ( s)=k( s+z1)( s+p1)(s +p2)(s+p3)(s+p4) (IV )

Antes de empezar dibujar los lugares geom"tricos de las ra#ces de un sistema mediante el m"todo analizado, se debe conocer la localizacin de los 3()(S 0 -E!(S de G(s)H( s) como se muestra en el ejemplo anterior.Dnde: p2 0 p3 son polos complejos conjugados, el ngulo deG( s) H ( s) es:G( s) H ( s)=11234Donde 1, 1, 2, 3,4 se miden en sentido contrario al de las agujas del reloj, como se muestra en la 7gura anterior. )a magnitud de G( s) H ( s) para este sistema es:|G(s)H(s)|=k|s+z1||s+p1||s+p2||s+p3||s+p4||G( s) H ( s )|=k B1A1A2A3A4-omo se observa, debido a $ue los 3()(S complejos conjugados 0 los -E!(S complejos conjugados en lazo abierto, si e5isten, siempre se sit9an sim"tricamente con respecto al eje real, los lugares de las ra#ces son sim"tricoscon respecto a este eje.3ara $ue un punto s pertenezca a la tra0ectoria del lugar geom"trico de la ra#z debe cumplir la condicin de ngulo:G( s) H ( s)=180 ( 2k+1) ( k=0,1,2,)[ delos angulos delos ceros!n!"os deG( s) H ( s) al pun"o(s)][delos angulos delos polosdel G( s) H ( s) al pun"o(s)]=180(2k+1)CONSTRUCCI4N DE LOS LUGARES GEOM&TRICOS DE LAS RA'CES,a5 I$"+"o y -$al de la !)aye+!o)"a,)as tra0ectorias del lugar geom"trico de las ra#ces empiezan en los polosen lazo abierto G( s)H( s) con k=0 0 terminan en los ceros deG( s)H( s) o en el in7nito :ceros 7nitos o ceros en in7nito; conk=+#.65T)aye+!o)"a o6)e el e7e )eal,-ada parte del lugar geom"trico de las ra#ces sobre el eje real se e5tiende sobre un rango de un 3()( a -E!( a otro 3()( o -E!(. E5isten tra0ectorias sobre el eje real si la cantidad total de 3()(S 0 -E!(S reales de G( s)H( s) a la derec6a de un punto de prueba es impar.+5 U6"+a+"#$ de lo +e)o "$-$"!o, -uando el lugar geom"trico de las ra#ces tiende a in7nito ( s$#) lo 6ace en 1orma asinttica :en l#nea recta;.NUMERO DE AS'NTOTAS ( As),3ara saber la cantidad de as#ntotas a usar se veri7ca con la siguiente 1ormula: As=npnzDonde:np= allando los 3()(S 0 -E!(S del sistema:C/R01: 1no pol!nom!os en el numerador20301: s ( s+2+2 4 ) ( s+22 4 )su +alores delos 20301 sons=0, s=22 4 - s=2+2 4I$"+"o y -$al de la !)aye+!o)"a, )as tra0ectorias del lugar geom"trico de lara#z empiezan en los polos de lazo abierto (0,22 4 -2+2 4 ) con k=0, 0 terminan en el in7nito con k=#.T)aye+!o)"a o6)e el e7e )eal, )as tra0ectorias del lugar geom"trico de la ra#z sobre el eje real e5isten entre (0 -#).U6"+a) de lo CEROS "$-$"!o, )a cantidad de tra0ectorias del lugar geom"trico de la ra#z $ue tienden a in7nito son D, 0a $ue no e5isten -E!(S 7nitos. As=npnz=30=3%A= pnzmnm=( 02.2 422 4 ) ( 0)30=1.333=2k+1nm ( 180)=2k+13( 180)==60( 2k+1)=60 ,180P*$!o de =*"e6)e o )*;!*)a (&'),