Lugar Geométrico de Las Raíces

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LUGAR DE LAS RAÍCES El Lugar de las Raíces permite examinar la ubicación de las raíces del polinomio característico en función de un parámetro variable (una ganancia, un cero del controlador, etc.).

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Lugar Geométrico de Las Raíces

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Diapositiva 1

LUGAR DE LAS RACESEl Lugar de las Races permite examinar la ubicacin de las races del polinomio caracterstico en funcin de un parmetro variable (una ganancia, un cero del controlador, etc.).

Consideremos la ecuacin

Y:

Donde K > 0; M(s) y D(s) tienen grados m y n respectivamente. La solucin del problema del lugar de las races requiere encontrar todos los puntos del plano complejo que son soluciones de (1) para todos los valores de K.

CONDICIONES DE NGULO Y MAGNITUD.

Condicin de ngulo:

Condicin de Magnitud:

PASOS PARA CONSTRUIR EL LR

Dibujar los polos y ceros de F(s) (lazo abierto).Dibujar la parte del LR sobre el eje real.Determinar el centroide y esbozar las asntotas.Determinar los puntos de bifurcacin.Determinar los ngulos de salida/llegada.Calcular los cruces con el eje imaginario.Seleccionar uno o varios puntos de prueba en una vecindad amplia del eje j y el origen.- Se aplica la condicin del ngulo de modo que la suma de ellos resulte 180.8. Determinar los polos de lazo cerrado.- Existe un polo de lazo cerrado, siempre y cuando el valor de K satisface la condicin de magnitud, es decir:

9. Dibujar el resto del LR.

1. Dibujar los polos y ceros a lazo abierto

2. Dibujar la parte del LR sobre el eje real.

Si hay un nmero impar de polos y ceros a lazo abierto a la derecha de un punto en el eje real, entonces el punto pertenece al LR.3. Determinar el centroide y esbozar las asntotas.centroide.

asntotas

4. Determinar los puntos de bifurcacin.

Si K es real y positivo5. Determinar los ngulos de salida/llegada.ngulo de salida: En cada polo complejo sumar los ngulos i desde los ceros al polo, luego restar los ngulos i desde los otros polos al mismo:

ngulo de llegada: En cada cero, sumar los ngulos i desde los polos al cero, y restar los ngulos i desde los otros ceros al mismo:

6. Calcular los cruces con el eje imaginario.

Por prueba y error, Por el criterio de Routh-Hurwitz, Planteando la ecuacin caracterstica en s = j, 7. Dibujar el resto del LR.

Los ceros tienden a atraer las ramas del LR, mientras que los polos las repelen.Las funciones rlocus y rltool de MATLAB calculan el LR exacto.SISTEMAS CON REALIMENTACIN POSITIVA.En este caso la ecuacin caracterstica tiene la forma:Es decir:Las condiciones del ngulo y de magnitud sern.

Modificaciones a las ReglasLa regla 2 se modifica a: Si el nmero total de de polos reales a y ceros a la derecha de un punto de prueba sobre el eje real es un nmero par, este punto de prueba se encuentra en el lugar de las races.La regla 3 se modifica del modo siguiente:

Donde: n = nmero de polos finitos de KF(s) m = nmero de ceros finitos de KF(s).

.. Siguen las modificacionesLa regla 5 se modifica del modo siguiente: cuando se calcula el ngulo de salida (o de llegada) a partir de un polo complejo en lazo abierto (o un cero complejo), se deben restar de 0 la suma de todos los ngulos de los vectores que parten de todos los otros polos y ceros hacia el polo complejo (o el cero complejo) en cuestin, incluyendo los signos adecuados.

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