LUGAR GEOMÉTRICO DE RAÍCES

Polos y ceros

En una función racional, los ceros son las raíces del

polinomio numerador y los polos son las raíces del polinomio

denominador.

Ejemplo:

F(s)=

Polos y ceros

Una función racional

F(s)=

Se puede siempre factorizar de la forma

F(s)=

Los ceros son los número z1, z2, …, zm y los polos son los números p1, p2, …, pn.

Polos y ceros

La constante k se conoce como constante multiplicadora

de la función y es la relación de los coeficientes principales

del numerador y del denominador.

k=

Polos y ceros

Ejemplos:

F1(s)= F3(s)=

F2(s)= F4(s)=

Gráfica de polos y ceros

Cuando se indican los polos y ceros de una función en el

plano complejo, el resultado es una gráfica de polos y ceros.

Los valores cero se indican por O en la gráfica y los valores

de los polos se representan por X.

Gráfica de polos y ceros

Se utiliza la notación de Clark y otros según la cual la constante multiplicadora de una

función racional se coloca dentro de un cuadro a la derecha de la gráfica de polos y ceros.

Evaluación gráfica

Una función racional

F(s)=

Cuando se evalúa en un valor específico de la variable s=s0 es

F(s0)=

Evaluación gráfica

En una gráfica de polos y ceros se traza un segmento de recta

dirigido desde la posición de un polo o un cero, por ejemplo,

p1, hasta el valor s0 en que se está evaluando la función.

La longitud del segmento es |s0 - p1| y forma un ángulo

<(s0-p1) con el eje real.

Evaluación gráfica

Evaluación gráfica

|F(s0)|=

< F(s0) = suma de los ángulos de los segmentos de recta

dirigidos desde los ceros hasta s0 – suma de los ángulos

polares + 180º si k es negativo

Evaluación gráfica

Si k fuera positiva no se suma 180º al ángulo y |k|=k.

Lugar geométrico de raíces de

sistemas con retroalimentación

Una gráfica de lugar geométrico de raíces consta de los

lugares de los polos de una función de transferencia, u otra

función racional, cuando se varía algún parámetro.

Configuración básica

Lugar geométrico de raíces de

sistemas con retroalimentación

G(s) y H(s) son funciones racionales.

La constante de ganancia K es el parámetro de interés.

Función de transferencia

T(s)=

Lugar geométrico de raíces de

sistemas con retroalimentación

Los polos de la función de transferencia son las raíces de

1+KG(s)H(s)=0

Las cuales dependen del parámetro K.

El producto de la transmitancia directa KG(s) y la transmitancia de retroalimentación H(s) se denomina transmitancia de ciclo abierto o ganancia del sistema.

Lugar geométrico de raíces de

sistemas con retroalimentación

Los polos y ceros de G(s)H(s) se llaman polos y ceros de ciclo

abierto, mientras que los polos y ceros de T(s) son polos y ceros

de ciclo cerrado.

Si 1+KG(s)H(s)=0, entonces G(s)H(s)= −1

𝐾

Para K positiva significa que un punto s que es un polo de T(s)

produce

|G(s)H(s)|= 1

𝐾 y G(s)H(s)=<180º

Lugar geométrico de raíces de

sistemas con retroalimentación

Si hay un s para el cual la segunda condición se satisface, entonces cualquiera que sea la magnitud de G(s)H(s) para este valor, existe un valor correspondiente de K.

Cualquier punto s para el cual <G(s)H(s)=180º es un punto en el lugar geométrico de las raíces para algún valor de K.

Los lugares principian en los polos de GH y terminan en los ceros de GH.

Lugar geométrico de raíces de

sistemas con retroalimentación

Superpuestas a la gráfica de polos y ceros de G(s)H(s) están las curvas que son los lugares de los polos de T(s) cuando K varía de cero a infinito.

Lugar geométrico de raíces de

sistemas con retroalimentación

Para determinar si un punto dado es un punto del lugar

geométrico de las raíces para algún valor de K entre 0 y +∞

es necesario determinar si <G(s)H(s) es o no 180º.

< G(s0) H(s0) = suma de ángulos cero a s0 – suma de ángulos

polares a s0 + 180º si k es negativo

Lugar geométrico de raíces de

sistemas con retroalimentación

Construcción del lugar geométrico de

raíces

Para la construcción del lugar geométrico de raíces existen ciertas reglas básicas.

Ramas

Regla 1: Curvas continuas que comprenden las ramas del lugar geométrico principian en cada uno de los polos de GH para los cuales K=0. Cuando K se aproxima a +∞ , las ramas del lugar se aproximan a los ceros de GH. El lugar geométrico de las ramas de los polos excedentes se extiende hasta el infinito. Para los ceros excedentes, los segmentos del lugar vienen desde el infinito.

Construcción del lugar geométrico de

raíces

Construcción del lugar geométrico de

raíces

Segmentos en el eje real

Regla 2: El lugar geométrico incluye a todos los puntos del eje

real que están a la izquierda de un número impar de polos más

los ceros de GH.

Construcción del lugar geométrico de

raíces

Ángulos asintóticos

Regla 3: Cuando K se aproxima a +∞, las ramas del lugar geométrico llegan a ser asíntotas en líneas rectas cuyos ángulos con el eje real están dados por

θ =180 + 𝑖360

𝑛 −𝑚

Para i=0, ±1,±2 hasta que se obtengan todos los n-m ángulos y no difieran en múltiplos de 360º.

n=número de polos de GH m=número de ceros de GH

Construcción del lugar geométrico de

raíces

Centroide de las asíntotas

Regla 4: El punto de partida del eje real desde el cual divergen

las líneas asintóticas se obtiene mediante la fórmula

σ = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

𝑛 − 𝑚

Este punto recibe el nombre de centroide de las asíntotas.

Construcción del lugar geométrico de

raíces

Construcción del lugar geométrico de

raíces

Puntos de separación

Regla 5: Las raíces salen del eje real con una ganancia K que es

el valor máximo posible de K en esa región del eje real. Las

raíces entran al eje real con una ganancia K que es el valor

mínimo posible de esa región del eje real. Dos raíces salen o

llegan al eje en un punto de convergencia a ángulos de ±90º.

Construcción del lugar geométrico de

raíces