Lugar geométrico. Parábola

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LA PARÁBOLA Equipo 5

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LA PARÁBOLA

Equipo 5

Definición:

Una parábola

es el lugar geométrico

de los puntos tales que

PA PF

El punto fijo se llama

y la recta fija

de la parábola.

La definición excluye

el caso en que el foco

está sobre l

f

a

oco

dire

direct

ctriz

riz.

Designemos por

el foco

y por la directriz

de la parábola.

F

l

La recta que pasa por

y es perpendi

e

cular a

se llama

je de la parábola

F

l

Sea el punto de intersección del eje y la directriz.A

Sea el punto medio

del segmento .

Por definición,

e

está

sobre la parábola;

ste punto se llama vértice

V

AF

V

El segmento de recta, tal como ' , que une dos puntos

cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda.

BB

En particular, una cuerda que pasa por el foco,

como ', se cuerdallam foa l. caCC

La cuerda focal ',

perpendicular al eje,

se ll lado rama ecto.

LL

Si es un punto

cualquiera de la

parábola,

la recta

que une el foco

con el punto ,

se llama

radio focal de

ó radio vector.

P

FP

P

F

P

Definición: Una parábola es el lugar geométrico de un

punto que se mueve en un plano de tal manera que su

distancia de una recta fija,

situada en el plano,

es siempre igual a

su distancia de un

punto fijo del plano

y que no pertenece

a la recta.

Definición:

Una parábola

es el lugar geométrico

de los puntos tales que

PA PF

Por definición de la parábola,

la ecuación de la directriz ,

es en este caso .

l

x p

Sea ( , )

un punto cualquiera,

completamente arbitrario,

de la parábola.

P x y

Por , tracemos el

segmento

perpendicular a .

Entonces,

por la definición de parábola,

el punto debe satisfacer

la condición geométrica

P x y

PA

l

P

FP PA

Ahora debemos traducir la condición geométrica

en una condición analítica; es decir, en una ecuación.

FP PA

2 2

2 2

Notamos primero que es la distancia entre el foco

,0 y el punto arbitrario , ; así que

0

ó sea

FP

F p P x y

FP x p y

FP x p y

Notamos también que es la distancia entre

el punto arbitrario , y la recta vertical ;

así que

PA

P x y x p

PA x p

2

2 2

2

Como y ,

la condición geométrica se expresa

analiticamente como:

FP x p y PA

x

x p

FP PA

p y x p

2 2

2 22

2 22 22

2

Si la expresión analítica

de la condición geométrica ,

la elevamos al cuadrado, tenemos

ó bien

2 2

que nos da finalmente la ecuación de la parábola

4

x p y x p

FP PA

x p

y

y x p

px y px

p

x

x

pxp

2

Ahora discutiremos la ecuación

4

siguiendo los métodos explicados

anteriormente.

y px

2 4y px

Intersecciones con el eje :

Se obtienen haciendo 0,

lo que en este

La

caso nos da 4 0; es decir,

curva intersecta al eje en 0

0

X

y

X x

px

x

2 4y px

2

Intersecciones con el eje :

Se obtienen haciendo 0,

lo que en este

La

c

ca

ur

so n

va i

os da 0

ntersecta al eje

; es decir,

0

en 0

Y

x

Y

y

y

y

2 4y px

Intersecciones con los ejes.

La curva pasa por el origen y no

tiene ninguna otra intersección

con los ejes coordenados.

Extensión de la curva:

Despejando en la ecuación,

tenemos 2

Por tanto, para valores de reales

y diferentes de cero,

y deben ser del mismo signo.

y

y px

y

p x

Extensión de la curva:

Si 0, deben excluirse todos los valores negativos de ,

y todo el lugar geométrico se encuentra a la derecha del eje .

Como no se excluye ningún valor positivo de ,

y como pue

p x

Y

x

y de tomar todos los valores reales,

el lugar geometrico de 2 es una curva abierta

que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje

y hacia arriba y abajo del eje . Se dice que la parábola

y px

Y

X se

abre hacia la derecha .

Extensión de la curva: Si 0p

2y px

Si 0, todos los valores positivos de deben excluirse en la ecuación

2 y todo el lugar geometrico aparece a la izquierda del eje .

Se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.

p x

y px Y

,2p p

, 2p p

Foco ,0F p

Lado recto.

Longitud 4 p

La ecuación de la parábola es, en el caso

que estamos estudiando, 2

Por tanto,

cuando ,

tenemos dos valores de

2 2

Pero es también

la abscisa del foco ,0 ,

así que la

longitud de lado recto

y px

x p

y pp p

x p

F p

es 4 .p

,2p p

, 2p p

Foco ,0F p

Lado recto.

Longitud 4 p

Si el vértice de la parábola está en el origen y

su eje coincide con el eje Y, se demuestra

análogamente, que la ecuación de la

parábola es

X2 = 4py,

En donde el foco es el punto (0,p). Puede

demostrarse fácilmente que, si p >0, la

parábola se abre hacia arriba; y, si p<0, la

parábola se abre hacia abajo.

2

2

Las ecuaciones

4

y

4

se llaman a veces la primera ecuación ordinaria

de la parábola.

Como son las ecuaciones más simples de la

parábola, nos referimos a ellas como a las

formas canónicas.

y px

x py

2

2

4

y

4

y px

x py

Ejemplos

2

Evidentemente la ecuación

de esta parábola es

4 3 12

ya que 3

x y y

p

2 12x y

Ecuación de una parábola

2

La ecuación de la parábola con referencia

a los nuevos ejes ' y ' esta dada por

' 4 '

X Y

y px

2

La ecuación de la parábola en los ejes ' ' es

' 4 '

Usando las ecuaciones de transformación que ya derivamos

' '

ó bien en su forma inversa

' '

Sustituyend

X Y

y px

x x h y y k

x x h y y k

2

o, podemos poner la ecuación de la parábola

como

4y k p x h

2

2

Las ecuaciones

4

y

4

se llaman, generalmente,

y k p x h

x h p y k

segunda ecuación ordinaria de la parábola

Discutiremos ahora la forma general de la ecuación

de la parábola:

2

1 2 3 0 (4)y a x a y a

2

1 2 3 0 (4)y a x a y a

2 2

En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria

de la parábola

4 y 4

hay tres constantes arbitrarias independientes

o parámetros , y . Por tanto, la ecuación de

cualquier pará

y k p x h x h p y k

h k p

bola, cuyo eje sea paralelo a uno de

los ejes coordenados, puede determinarse a partir

de tres condiciones independientes.

Ejemplos