Lugar geométrico. Parábola
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El punto fijo se llama
y la recta fija
de la parábola.
La definición excluye
el caso en que el foco
está sobre l
f
a
oco
dire
direct
ctriz
riz.
Sea el punto de intersección del eje y la directriz.A
Sea el punto medio
del segmento .
Por definición,
e
está
sobre la parábola;
ste punto se llama vértice
V
AF
V
El segmento de recta, tal como ' , que une dos puntos
cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda.
BB
Si es un punto
cualquiera de la
parábola,
la recta
que une el foco
con el punto ,
se llama
radio focal de
ó radio vector.
P
FP
P
F
P
Definición: Una parábola es el lugar geométrico de un
punto que se mueve en un plano de tal manera que su
distancia de una recta fija,
situada en el plano,
es siempre igual a
su distancia de un
punto fijo del plano
y que no pertenece
a la recta.
Por , tracemos el
segmento
perpendicular a .
Entonces,
por la definición de parábola,
el punto debe satisfacer
la condición geométrica
P x y
PA
l
P
FP PA
Ahora debemos traducir la condición geométrica
en una condición analítica; es decir, en una ecuación.
FP PA
2 2
2 2
Notamos primero que es la distancia entre el foco
,0 y el punto arbitrario , ; así que
0
ó sea
FP
F p P x y
FP x p y
FP x p y
Notamos también que es la distancia entre
el punto arbitrario , y la recta vertical ;
así que
PA
P x y x p
PA x p
2
2 2
2
Como y ,
la condición geométrica se expresa
analiticamente como:
FP x p y PA
x
x p
FP PA
p y x p
2 2
2 22
2 22 22
2
Si la expresión analítica
de la condición geométrica ,
la elevamos al cuadrado, tenemos
ó bien
2 2
que nos da finalmente la ecuación de la parábola
4
x p y x p
FP PA
x p
y
y x p
px y px
p
x
x
pxp
2 4y px
Intersecciones con el eje :
Se obtienen haciendo 0,
lo que en este
La
caso nos da 4 0; es decir,
curva intersecta al eje en 0
0
X
y
X x
px
x
2 4y px
2
Intersecciones con el eje :
Se obtienen haciendo 0,
lo que en este
La
c
ca
ur
so n
va i
os da 0
ntersecta al eje
; es decir,
0
en 0
Y
x
Y
y
y
y
2 4y px
Intersecciones con los ejes.
La curva pasa por el origen y no
tiene ninguna otra intersección
con los ejes coordenados.
Extensión de la curva:
Despejando en la ecuación,
tenemos 2
Por tanto, para valores de reales
y diferentes de cero,
y deben ser del mismo signo.
y
y px
y
p x
Extensión de la curva:
Si 0, deben excluirse todos los valores negativos de ,
y todo el lugar geométrico se encuentra a la derecha del eje .
Como no se excluye ningún valor positivo de ,
y como pue
p x
Y
x
y de tomar todos los valores reales,
el lugar geometrico de 2 es una curva abierta
que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje
y hacia arriba y abajo del eje . Se dice que la parábola
y px
Y
X se
abre hacia la derecha .
Si 0, todos los valores positivos de deben excluirse en la ecuación
2 y todo el lugar geometrico aparece a la izquierda del eje .
Se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.
p x
y px Y
,2p p
, 2p p
Foco ,0F p
Lado recto.
Longitud 4 p
La ecuación de la parábola es, en el caso
que estamos estudiando, 2
Por tanto,
cuando ,
tenemos dos valores de
2 2
Pero es también
la abscisa del foco ,0 ,
así que la
longitud de lado recto
y px
x p
y pp p
x p
F p
es 4 .p
Si el vértice de la parábola está en el origen y
su eje coincide con el eje Y, se demuestra
análogamente, que la ecuación de la
parábola es
X2 = 4py,
En donde el foco es el punto (0,p). Puede
demostrarse fácilmente que, si p >0, la
parábola se abre hacia arriba; y, si p<0, la
parábola se abre hacia abajo.
2
2
Las ecuaciones
4
y
4
se llaman a veces la primera ecuación ordinaria
de la parábola.
Como son las ecuaciones más simples de la
parábola, nos referimos a ellas como a las
formas canónicas.
y px
x py
2
La ecuación de la parábola en los ejes ' ' es
' 4 '
Usando las ecuaciones de transformación que ya derivamos
' '
ó bien en su forma inversa
' '
Sustituyend
X Y
y px
x x h y y k
x x h y y k
2
o, podemos poner la ecuación de la parábola
como
4y k p x h
2
2
Las ecuaciones
4
y
4
se llaman, generalmente,
y k p x h
x h p y k
segunda ecuación ordinaria de la parábola
2 2
En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria
de la parábola
4 y 4
hay tres constantes arbitrarias independientes
o parámetros , y . Por tanto, la ecuación de
cualquier pará
y k p x h x h p y k
h k p
bola, cuyo eje sea paralelo a uno de
los ejes coordenados, puede determinarse a partir
de tres condiciones independientes.