Lugar geométrico de

las raíces

(Root-Locus)

( ) ( )( )( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G H

G H G H

KN s D sKG sT s

GK s H s D s D s KN s N s

Los polos de T(s) no pueden conocerse sin factorizar la

ecuación característica 1+KG(s)H(s)=0. y son funciones de laganancia K.

El problema de control

clear,clc, syms k s eps;

L=collect(k/((s+1)*(s+2)*(s+3)),s);T=collect(L/(1+L),s);

[N,D] = numden(T); Pc = collect(D); disp('Pc(s)= '); pretty(Pc)

% Pc(s)=s3+6s2+11s+(6+k) es el polinomio característico

Pc=[1 6 11 6+k]; Routh_array=routh(Pc,eps)

Ejemplo

% Ejemplo del lugar geométrico de los polos a lazo cerrado al variar K

clear, clc, close all

plot([-1+eps*1i -2+eps*1i -3+eps*1i],'k*','MarkerSize',9),

hold on

for K=0:.01:70;

Pc=[1 6 11 6+K]; p=roots(Pc);%Importantes

plot(p+eps*1i,'r.')

end

hold on

for K=0:-.01:-70;

Pc=[1 6 11 6+K]; p=roots(Pc);%Importantes

plot(p+eps*1i,'b.')

end

xmin=-5.5; xmax=1; ymin=-5; ymax=5; axis([xmin xmax ymin ymax])

ejex=linspace(xmin,xmax,1000); plot(ejex,zeros(1,1000),'k','MarkerSize',3);

ejey=linspace(ymin,ymax,1000); plot(eps+ejey*1i,'k') %Eje imaginario

legend({'Lugar geométrico de los polos a lazo cerrado'},'FontSize',14,...

'FontWeight','bold','Location','North')

hold off

Lugar geométrico de los polos a lazo cerrado

Polinomio característico Pc(s) = s3+6s2+11s+(6+k)

Ejemplo de lugar geométrico de los polos a lazo cerrado

( ) ( ) 1 1 (2 1)180 , 0, 1,

0

oKG s H s k k

K

El conjunto de puntos del plano s que satisfacen la ecuación

característica:

cuando el parámetro K es positivo 0≤ K< se denomina el

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

1 ( ) ( ) 0KG s H s

( ) ( ) 1 ; 0

( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,o

K G s H s K

G s H s k k

Las condiciones de módulo y fase son:

Lugar geométrico de las raíces

Entonces un punto s pertenece al lugar de las raices si severifican las condiciones de módulo y fase:

( ) ( ) 1 ; 0

( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,o

K G s H s K

G s H s k k

K desaparece de la ecuación del ángulo por ser un escalarpositivo (no aporta nada a la fase).

Si un determinado valor de s0 satisface la condición angular

entonces existe un valor de K que satisfase la condición demódulo.

0 0

1

( ) ( )K

G s H s

Lugar geométrico de las raíces

El punto de prueba s pertenece al lugar de las raices si se verifican las

condiciones de módulo y fase

Lugar de las Raíces Complementario o Inverso

( ) ( ) 1 1 360 , 0, 1,

0

oKG s H s k k

K

El conjunto de puntos del plano s que satisfacen la ecuación

característica:

cuando el parámetro K es negativo -<K≤0 se denomina

Lugar de las Raíces Complementario o Inverso (LRC o LRI)

1 ( ) ( ) 0KG s H s

( ) ( ) 1; 0

( ) ( ) 360 , 0, 1,o

K G s H s K

G s H s k k

Las condiciones de módulo y fase ahora son:

Las condiciones de módulo y fase son:

( ) ( ) 1; 0

( ) ( ) 360 , 0, 1,o

K G s H s K

G s H s k k

K desaparece de la ecuación del ángulo ya que siempre aporta 180o

por ser un escalar negativo.

Si un determinado valor de s0 satisface la condición angular entonces

existe un valor de K negativo que satisfase la condición de módulo.

0 0

1

( ) ( )K

G s H s

Lugar de las Raíces Complementario o Inverso

El lugar geométrico de las raíces para el rango totalde la ganancia: −∞<K<∞. Se denomina LugarGeométrico Completo de las Raíces.

Lugar Geométrico Completo de las Raíces

Resumen:

Lugar Geométrico de las Raíces: El lugar geométrico delas raíces para el rango de ganancia positiva 0≤ K<.

Lugar de las Raíces Complementario o Inverso: El lugargeométrico de las raíces para el rango de ganancianegativa -<K≤0.

Lugar Geométrico Completo de las Raíces: El lugargeométrico de las raíces para el rango total de la ganancia−∞<K<∞.

Ejemplos del Lugar de las Raíces

para sistemas simples

Ejemplo del Lugar de las Raíces

para un sistema complejo

clear, clc,close all % Ogata, pag. 299

num=[1 2 4]; den=conv(conv([1 4 0],[1 6]),[1 1.4 1]);

rlocus(num, den); axis([-7 1 -5 5]);

title('Lugar de las raíces de G(s)=K(s^2+2s+4)/[s(s+4)(s+6)(s^2+1.4s+1)]')

Sistemas condicionalmente estables

Reglas básicas para construir el

lugar geométrico de las raíces

L=tf(zpk([],[-1 -2 -3],6))RLocusGui(L)

% RLocusGui es una interfaz gráfica que permite % aprender a dibujar el lugar de las raíces. Toma % una función de transferencia y aplica las reglas % para dibujar el lugar de las raíces a mano

Regla 1) NÚMERO DE RAMAS: El número de ramas esigual al orden de la ecuación característica F(s) (númerode polos a lazo cerrado).( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0G H G HF s KG s H s D s D s KN s N s

Regla 2) SIMETRÍA: El lugar de las raíces es simétricorespecto del eje real.

Regla 3) SEGMENTOS EN EL EJE REAL: Un segmento deleje real pertenece al lugar de las raices si está a laizquierda de un número impar de polos o ceros realesfinitos.

Ejemplo: Los polos y ceros complejos conjugados noaportan a la fase del punto P1. Los polos y ceros reales ala izquierda tampoco aportan fase ya que el ángulo decada uno es cero. Solo el polo real a la derecha de P1aporta -180o , P1 pertenece al LR.

Como no hay polos o ceros reales ningún punto del ejereal pertenece al Lugar de las Raíces.

Ejemplo

Regla 4) PUNTOS DE COMIENZO Y DE FINAL DE UNA RAMA:Las ramas comienzan para K=0 en los polos finitos deL(s)=G(s)H(s) y terminan para K= en los ceros finitos o

infinitos de L(s).

Regla 5) COMPORTAMIENTO EN EL INFINITO: Las ramasse aproximan asintóticamente a lineas rectas cuando ellugar se aproxima a infinito. Las asíntotas interceptan eleje real en el centróide a con ángulos a

Re( ) Re( )a

polos ceros

polos ceros

(2 1), 0, 1,a

kk

polos ceros

Ejemplo del comportamiento en el infinito

, 03(2 1) (2 1), 1

4 15

, 23

a

kk k

kpolos ceros

k

Re( ) Re( ) ( 1 2 4) ( 3) 4

4 1 3a

polos ceros

polos ceros

4

3a

/ 3 , 0

, 1

5 / 3 , 2a

k

k

k

Ejemplo del comportamiento en el infinito

Regla 6) CONSERVACIÓN DE LA SUMA DE LAS RAÍCESDEL SISTEMA

1 1

n n

j jj j

p r

Si pj son los polos a lazo abierto (polos de L(s)=G(s)H(s)

incluyendo los polos en el origen) y rj son los polos a lazocerrado (raíces de la ecuación característicaF(s)=1+KL(s)), entonces se verifica la siguiente igualdad:

Esta ecuación nos dice que a medida que la ganancia K

del sistema varía de cero a infinito, la suma de las raícesdel sistema permanecen constante independientementedel valor que toma K.

Ejemplo de Conservación de la Suma de las Raíces del Sistema

Ejemplo de Conservación de la Suma de las Raíces del Sistema% Ejemplo del lugar geométrico de los polos a lazo cerrado al variar k

clear, clc, close all %Ejemplo con el RL del sisotool

L=zpk([],[0 -1 -2 -3],1);

rltool(L) % Start root-locus design tool

% De manera alternativa se puede utilizar:

% sisotool('rlocus',L)

Regla 7) PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL: En lospuntos de ruptura, las ramas de lugar de las raíces formanun ángulo de 180o/n con respecto al eje real, donde n es elnúmero de polos a lazo cerrado que arriban o parten delpunto de ruptura. Para el caso normal de dos polos, losbrazos forman un ángulo de 90o con respecto al eje real.

VER EJEMPLOS

PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL

PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL: Para el de dos polos, los brazosforman un ángulo de 90o con respecto al eje real.

PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL: Para el de dos polos, los brazosforman un ángulo de 90o con respecto al eje real.

Los puntos de ruptura se pueden determinar de dos

maneras:

1 ) Encontrando las raíces de: 0 0dK dL

óds ds

1 1

1 1m n

i ii is z s p2 ) Resolviendo la ecuación:

PUNTOS DE RUPTURA EN EL EJE REAL

1 1

1 1m n

i ii is z s p

211 1 1 1

11 26 61 03 5 1

.45

2 3.28s s

s

s s ss s

2

2

( 8 15)1 ( ) ( ) 1 0

3 2

K s sKG s H s

s s

2

2

3 2

8 15

s sK

s s

2

2 2

11 26 610

( 8 15)

dK s s

ds s s

21.

11 26 6.2

13

045

8s s

s

s

Ejemplo:

Ejemplo de punto de ruptura en el eje real

2( ) ( )

( 2)( 4)( 6 10)

KG s H s

s s s s

Ejemplo de punto de ruptura en el eje real

Regla 8) ANGULOS DE SALIDA O LLEGADA DESDE UN POLO O UN

CERO DE L(s): Se puede determinar el ángulo de salidao llegada respectivamente al suponer un punto s1

que está muy próximo al polo o cero y aplicar lacondición de fase:

1 1 1 11 1

( ) ( ) ( ) ( ) (2 1)180

0, 1,

m no

i ji j

G s H s s z s p k

k

ANGULOS DE SALIDA O LLEGADA

ANGULOS DE SALIDA O LLEGADA

Regla 9) CRUCES DE LAS RAMAS POR EL EJE IMAGINARIO jω: El lugar de las raíces cruza el eje imaginario en los puntos donde :

Para encontrar los puntos de cruze por jω se puedeutilizar el criterio de Routh-Hurwitz.

( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,oG s H s k k

Para K=9.65 el lugar de las raíces cruza el eje en jω= ±j1.6

4 3 2

( 3)( )

7 14 (8 ) 3

K sT s

s s s K s K

Regla 10) CALIBRADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES: Todopunto del lugar de las raíces satisface las condicionesde módulo y fase.

La ganancia K en cualquier punto del lugar de lasraices es:

( ) ( ) (2 1)180 , 0, 1,oG s H s k k

1

( ) ( )

módulode los polosK

G s H s módulode los ceros