Luis Manuel Sánchez Ruiz

Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución analítica, EDPs y MathematicaLuis Manuel Sánchez RuizSergio Blanes Zamora

Esta publicación muestra cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias por desarrollos en series de potencias y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, principalmente relacionadas con problemas clásicos como son la ecuación de ondas y la del calor o difusión. Está enfocada a alumnos que ya hayan adquirido las competencias referentes a temas básicos de cálculo o análisis matemático como son el desarrollo de funciones en series de potencias, de funciones periódicas en series de Fourier, la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y las transformadas de Laplace. De cada tema tratado se dedica otro para su realización con el programa Mathematica que facilita su resolución y visualización de problemas matemáticos que aparecen en cursos intermedios de ingeniería. Los temas son expuestos de forma eminentemente práctica y hacen que, de modo natural, el lector asimile los métodos empleados y las posibilidades del programa.


EDITORIALUNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

Luis Manuel Sánchez Ruiz Es Catedrático de Universidad de Matemática Aplicada y comenzó a dar clases en la Universi-dad Politécnica de Valencia (UPV) en 1980. Desde entonces ha impartido docencia en prácticamen-te todas las titulaciones de la actual Escuela Téc-nica Superior de Ingeniería del Diseño (ETSID) -In-geniería Electrónica, del Diseño, y desde 2005 en las de Ingeniería Aeronáutica e Ingeniería Aeroes-pacial incluyendo los contenidos teórico/prácti-cos y Prácticas de Laboratorio con software ma-temático (DERIVE, DPGRAPH y MATHEMATICA). Imparte clase en grupos de Alto Rendimiento Académico desde su implantación en Ingeniería Aeroespacial y ha sido Profesor Visitante en la Universidad de Florida, Gainesville, FL, USA re-petidamente durante 1992-99, además de haber impartido clases en programas de movilidad en numerosas universidades extranjeras. Ha publica-do más de 150 trabajos en revistas y actas de congresos así como varios textos sobre Matemá-ticas en Ingeniería. Su interés investigador abar-ca el Análisis Funcional en su vertiente teórica y aplicada, y la Formación de Ingenieros. Ha sido Coordinador Académico de la Mediterranean University of Science and Technology, Director de Programas en la UPV con EEUU/Canadá y Asia/Pacífico y Subdirector de Relaciones Internaciona-les en la ETSID. Editor de Scientae Matematicae Japonicae, miembro de varios Comités de pro-grama de conferencias internacionales WSEAS e ICEE y actualmente miembro del Comité Admi-nistrativo de SEFI.

Sergio Blanes Zamora Es Profesor Titular de Universidad de Matemática Aplicada y comenzó a dar clases en la Universi-dad Politécnica de Valencia (UPV) en 2005. Des-de entonces ha impartido docencia en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería del Diseño (ETSID) mayoritariamente en Ingeniería Aeronáutica e Ingeniería Aeroespacial incluyendo los conteni-dos teórico/prácticos y Prácticas de Laboratorio con software matemático (MATHEMATICA y MATLAB). Ha realizado estancias por un total de cuatro años en las universidades de Cambridge (Reino Unido), Bath (Reino Unido), Maryland (USA) y Ginebra (Suiza). Ha sido investigador Ra-món y Cajal durante 2002-2007. Ha publicado más de 40 artículos de investigación en revistas internacionales y ha impartido charlas en más de 25 conferencias internacionales. Su interés inves-tigador abarca el estudio y desarrollo de métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales que preserven las propiedades más relevantes de las soluciones exactas, con aplicaciones que abar-can desde la Mecánica Cuántica hasta la Mecá-nica Celeste, pasando por numerosos problemas de ingeniería

Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución analítica, EDPs y Mathematica







Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución analítica, EDPs y Mathematica

EDITORIAL







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ISBN 978-84-8363-963-4

0789P03UPV

Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución

analítica, EDPs y Mathematica

Luis Manuel Sánchez Ruiz Sergio Blanes Zamora

EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

Los contenidos de esta publicación han sido revisados por el Departamento de Matemática Aplicada de la Universitat Politécnica de València Colección Académica Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: SÁNCHEZ RUIZ, L. M. y BLANES ZAMORA, S. (2012).Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución analítica, EDPs y Mathematica. Valencia: Universitat Politècnica de València © Luis Manuel Sánchez Ruiz

Sergio Blanes Zamora © 2012, de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València distribución: Telf.: 963 877 012 / www.lalibreria.upv.es / Ref.: 0789_03_01_12 Imprime: Byprint Percom, sl ISBN: 978-84-8363-963-4 Impreso bajo demanda Queda prohibida la reproducción, distribución, comercialización, transformación y, en general, cualquier otra forma de explotación, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra sin autorización expresa y por escrito de los autores. Impreso en España

Indice general

1. Resolucion analıtica de EDOs 1

1.1. Ecuacion lineal de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Resolucion en series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Series de potencias alrededor del origen . . . . . . . . . 5

1.2.3. Series de potencias alrededor de x0 �= 0 . . . . . . . . . 11

1.2.4. Resolucion alrededor de un punto singular . . . . . . . 13

1.3. Aplicaciones: Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1. Ecuacion de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2. Ecuacion de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.3. Ecuacion de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.4. Ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Primeras EDPs 29

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. EDP cuasilineal de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. EDP lineal reducible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.1. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.2. Caso homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.3. Caso no homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4. Problema de la cuerda ilimitada . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

i

ii

2.5. Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


3. EDPs de segundo orden sin funcion fuente 55

3.1. Introduccion y clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2. Ecuacion de ondas 1D con extremos fijos . . . . . . . . . . . . 57

3.3. Ecuacion del calor con condiciones de frontera nulas . . . . . . 62

3.4. Fronteras aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5. Ecuacion de Laplace en un rectangulo . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6. Caso 2D con simetrıa circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6.1. Ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6.2. Ecuacion del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


4. EDPs de segundo orden con funcion fuente 77

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Ecuacion de ondas 1D: Vibracion forzada de una cuerda finita 78

4.2.1. Extremos fijos y condiciones iniciales nulas . . . . . . . 78

4.2.2. Extremos fijos y condiciones iniciales no nulas . . . . . 80

4.2.3. Extremos moviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3. Ecuacion del calor con fuente y condiciones de contorno variables 84

4.3.1. Fuente de calor y condiciones de contorno no homogeneas 84

4.3.2. Otras situaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4. Ecuacion de Poisson en un rectangulo . . . . . . . . . . . . . . 87


5. Mathematica: Resolucion analıtica de EDOs 91

5.1. Resolucion en series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.1. Punto ordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.2. Punto singular regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

iii

5.2. Aplicaciones: Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.1. Ecuacion de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.2. Ecuacion de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.3. Ecuacion de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.2.4. Ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


6. Mathematica: Primeras EDPs 107

6.1. Metodo generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2. EDP lineal de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3. EDP lineal reducible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.4. Problema de la cuerda ilimitada . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.5. Problema de la cuerda semiinfinita . . . . . . . . . . . . . . . 116


7. Mathematica: EDPs de segundo orden sin fuente 119

7.1. Ecuacion de ondas 1D con extremos fijos . . . . . . . . . . . . 119

7.1.1. Solucion analıtica de la ecuacion . . . . . . . . . . . . . 119

7.1.2. Algoritmo de calculo con Mathematica . . . . . . . . . 120

7.2. Ecuacion del calor con condiciones de frontera nulas . . . . . . 122



7.3. Fronteras aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.4. Ecuacion de Laplace en un rectangulo . . . . . . . . . . . . . . 126



7.5. Caso 2D con simetrıa circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128




iv

8. Mathematica: EDPs de segundo orden con fuente 133

8.1. Vibracion forzada de una cuerda finita con extremos moviles . 133



8.2. Varilla finita con condiciones de contorno variables . . . . . . 137



8.3. Ecuacion de Poisson en un rectangulo . . . . . . . . . . . . . . 140

8.4. Intercambio de calor en la frontera . . . . . . . . . . . . . . . 141


v

Prologo

Esta publicacion muestra como resolver ecuaciones diferenciales ordinariaspor desarrollos en series de potencias y ecuaciones diferenciales en derivadasparciales, principalmente relacionadas con problemas clasicos como son laecuacion de ondas y la del calor o difusion. Esta enfocada a alumnos queya hayan adquirido las competencias referentes a temas basicos de calculo oanalisis matematico como son el desarrollo de funciones en series de potencias,de funciones periodicas en series de Fourier, la resolucion de las ecuacionesdiferenciales ordinarias lineales y las transformadas de Laplace. De cada te-ma tratado se dedica otro para su realizacion con el programa Mathematicaque facilita su resolucion y visualizacion de problemas matematicos que apa-recen en cursos intermedios de ingenierıa. Los temas son expuestos de formaeminentemente practica que hacen que, de modo natural, el lector asimile losmetodos empleados y las posibilidades del programa.

Las ecuaciones diferenciales modelan casi todos los procesos que aparecen enla tecnica en los cuales hay una relacion de cambio entre las variables in-volucradas. Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) estudian el casoen que solo haya una variable independiente y las ecuaciones en derivadasparciales (EDPs) cuando haya varias. A diferencia de las EDOs, donde esposible clasificar y resolver un gran numero de ecuaciones, en general cadaEDP requiere sus propias tecnicas. Ademas, necesitaremos poseer un ampliobagaje de conocimientos matematicos sobre series de Fourier, transformadasde Laplace y, especialmente, EDOs pues a menudo las tecnicas de resolucionde EDPs consisten en descomponer estas en un conjunto de EDOs a resol-ver. Esto se pondra claramente de manifiesto al resolver ciertas EDPs porseparacion de variables.

Por otra parte al trabajar en EDPs en varias dimensiones espaciales enlas que hay ciertas simetrıas (cilındrica, esferica, etc.) frecuentemente apare-cen EDOs lineales con coeficientes variables que no pueden ser resueltas portecnicas tradicionales. Las soluciones de estas ecuaciones dan lugar a funcio-nes especiales como las funciones de Bessel, o los polinomios de Laguerre, deLegendre, de Hermite, etc. que aparecen tambien en muchos otros camposde la ingenierıa. Abordaremos estos problemas utilizando series de potenciasy, como dicho metodo no siempre es estudiado de forma sistematica juntocon la teorıa de EDOs, dedicamos un primer capıtulo a su resolucion sinplantearnos desarrollar un tratado completo sobre resolucion de ecuacionesdiferenciales por series de potencias.

vi

Con esta publicacion pretendemos satisfacer las necesidades basicas quepuedan tener los alumnos de ingenierıa en la obtencion de soluciones analıti-cas (en series de potencias) de EDOs, poder abordar las EDPs mas habitualesy, asimismo, utilizar un programa matematico como esMathematica en todosestos temas.

A lo largo de todo el texto hay una amplia exposicion de ejemplos quefacilitan la comprension de los diferentes temas presentados, finalizando cadacapıtulo con una seleccion de ejercicios cuya resolucion se recomienda paraverificar que se ha entendido la materia desarrollada.

Los autores

Capıtulo 1

Resolucion analıtica de EDOs

1.1. Ecuacion lineal de segundo orden

En este capıtulo consideraremos la resolucion de ecuaciones diferencialesordinarias (EDOs) que sean de segundo orden y lineales con coeficientesvariables

p(x)y′′ + q(x)y′ + r(x)y = f(x). (1.1)

Este tipo de ecuaciones aparece en gran variedad de problemas de la inge-nierıa, existiendo funciones especıficas como los polinomios de Legendre, deHermite, de Laguerre o las diferentes familias de funciones de Bessel, porcitar unos pocas, que son soluciones de ecuaciones diferenciales de la forma(1.1) en el caso homogeneo, es decir con f(x) = 0, dependiendo de la eleccionde las funciones p(x), q(x) y r(x).

Ejemplo 1.1 Considera la siguiente ecuacion en derivadas parciales

∂u

∂t=

∂2u

∂x2+

1

x

∂u

∂x

con u(x, t) la funcion dependiente de las variables independientes x y t. Estaecuacion modeliza, por ejemplo, la distribucion de temperaturas en un discoo cilindro con simetrıa circular en funcion del tiempo, t, y la distancia alcentro o eje, x. Suponiendo que la solucion se puede factorizar en la formau(x, t) = e−ty(x), hallar la ED que debe satisfacer y(x).

Sol.: Calculamos

∂u

∂t= −e−ty,

∂u

∂x= e−ty′,

∂2u

∂x2= e−ty′′.

1

Resolucion analıtica de EDOs 2

Sustituyendo en la EDP y simplificando tenemos que y(x) deberıa de sersolucion de la siguiente EDO

y′′ +1

xy′ + y = 0.

Vemos que se trata de una EDO lineal de segundo orden con coeficientesvariables de la forma (1.1). �

Recordemos que por el metodo de reduccion del orden de una EDOlineal, si sabemos resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden,entonces para hallar la solucion general de la EDO de segundo orden (1.1),basta con buscar una solucion particular de la ecuacion homogeneaasociada a (1.1). Recordemos por que.

Si y0(x) es una solucion de la homogenea asociada, entonces el cambio

y(x) = z(x)y0(x) (1.2)

transforma (1.1) en la siguiente EDO con funcion incognita z(x),

z′′y0(x) +(2 y′0(x) +

q(x)

p(x)y0(x)

)z′ =

f(x)

p(x),

que podemos escribir como

u′ + P (x)u = Q(x)

donde

u(x) = z′(x) P (x) = 2y′0(x)y0(x)

+q(x)

p(x), Q (x) =

1

y0(x)

f(x)

p(x),

cuya solucion viene dada por la expresion

u(x,C1) = e−∫P (x) dx

(C1 +

∫e∫P (x) dxQ(x) dx

),

luego la solucion de (1.1) es

y =

(∫u(x,C1)dx+ C2

)y0(x).

Ejercicio 1.1 Comprobar que y0 (x) =senxx2 es una solucion de la ecuacion

diferencialx2y′′ + 4xy′ + (x2 + 2)y = 0,

y hallar la solucion general de la misma.


Sol.: Siguiendo el proceso descrito es facil obtener que

P (x) = 2cos(x)

sen(x), Q(x) = 0

luego u(x, C1) = C11

sen2(x)y por tanto

y =

(∫C1

1

sen2(x)dx+ C2

)sen x

x2= −C1

cosx

x2+ C2

sen x

x2.

�Por tanto, nuestro problema puede quedar reducido a la busqueda de una

solucion particular de la ecuacion homogenea

p(x)y′′ + q(x)y′ + r(x)y = 0 (1.3)

o equivalentemente

y′′ + q(x)p(x)

y′ + r(x)p(x)

y = 0.

Diremos que x = x0 es un punto ordinario de la ecuacion diferencial si

q(x)

p(x)y

r(x)

p(x)

son funciones analıticas en x = x0, es decir si pueden expresarse medianteseries de Taylor centradas en x0. En caso contrario diremos que x0 es unpunto singular.

Un punto singular x0 se denomina punto singular regular si

(x− x0) q(x)

p(x)y

(x− x0)2 r(x)

p(x)

son analıticas en x = x0.

Un punto singular no regular se denomina irregular.

Nota 1.1 A veces interesa conocer el comportamiento de la solucion en elpunto del infinito. Para estudiar este lımite haremos el cambio x = 1/t yestudiaremos como es el punto t = 0 en la ecuacion transformada.


1.2. Resolucion en series de potencias

1.2.1. Resultados generales

La busqueda de soluciones de una EDO por su desarrollo en serie depotencias puede emplearse bajo las condiciones del Teorema de Fuchs queenunciaremos luego. Ası, cuando busquemos una solucion en serie de poten-cias alrededor de un punto ordinario, x = x0, de la forma

y =∞∑n=0

an(x−x0)n = a0+a1(x−x0)+ a2(x−x0)

2+a3(x−x0)3+ . . . (1.4)

determinaremos la expresion de los coeficientes an sustituyendo y en la ecua-cion diferencial. Para esto necesitamos calcular las dos primeras derivadas

y′ =∞∑n=1

n an(x− x0)n−1 = a1 + 2a2(x− x0) + 3a3(x− x0)

2 + . . .

y′′ =∞∑n=2

n(n− 1) an(x− x0)n−2 = 2a2 + 6a3(x− x0) + 12a4(x− x0)

2 + . . .

sustituir en la EDO y, segun sean las expresiones de las funciones p(x), q(x),r(x), encontrar una ecuacion de recurrencia para los coeficientes an, dondetodos se pueden escribir en terminos de a0 y a1, en la forma

an = cna0 + dna1

con cn, dn expresiones que dependen solo de n, por lo que la solucion de laEDO se puede escribir en la forma

y = a0

( ∞∑n=0

cn(x− x0)n

)+ a1

( ∞∑n=0

dn(x− x0)n

). (1.5)

Con esto podemos escribir la solucion en la siguiente forma

y = a0y1(x) + a1y2(x) (1.6)

donde y1(x), y2(x) seran dos soluciones particulares (en general independien-tes) de la ecuacion diferencial homogenea mientras que a0 y a1 se pueden vercomo las constantes arbitrarias, y estaran determinadas si existen condicionesiniciales y(x0) = a0, y

′(x0) = a1.

La solucion (1.4) obtenida analıticamente tendra un radio de convergen-cia, R (que puede ser infinito), en el que una cota inferior al mismo se obtienea partir del siguiente teorema.


Teorema 1.1 (Teorema de Fuchs) Sea la ecuacion diferencial (1.3) conx = x0 un punto ordinario. Si R es la distancia desde x0 al punto singular(real o complejo) mas cercano de q(x)/p(x) o r(x)/p(x), entonces la solucionde (1.3) admite un desarrollo de Taylor alrededor del punto x = x0 queconverge dentro del intervalo ]x0 −R, x0 +R[.

Por Teorıa de Series Potenciales, la serie de potencias mencionada en elTeorema de Fuchs converge absolutamente en ]x0 −R, x0 +R[ por lo que esincondicionalmente convergente y puede ser reordenada en dicho intervalo.

1.2.2. Series de potencias alrededor del origen

Empezaremos buscando soluciones en series de potencias alrededor delorigen (x0 = 0) y luego adaptaremos el procedimiento a series de potenciasalrededor de otro punto. Lo ilustraremos basicamente a traves de ejemplos.

Ejemplo 1.2 Obtener la solucion en serie de potencias alrededor del origende la ecuacion diferencial

y′′ + 4y = 0.

Sol.: En este ejemplo de coeficientes constantes conocemos que la solucionviene dada por

y = C1 cos(2x) + C2 sen(2x) (1.7)

o equivalentemente, teniendo en cuenta el desarrollo de Taylor alrededor delorigen de las funciones seno y coseno,

y = C1

∞∑n=0

(−1)n22n

(2n)!x2n + C2

∞∑n=0

(−1)n22n+1

(2n+ 1)!x2n+1. (1.8)

Si ignorando lo anterior buscamos la solucion a la ecuacion diferencial originalcomo la serie

y =∞∑n=0

anxn, (1.9)

que por el Teorema 1.1 es convergente para todo x, calculamos

y′ =∞∑n=1

n anxn−1, y′′ =

∞∑n=2

n(n− 1) anxn−2


y sustituimos en la ED

∞∑n=2

n(n− 1) anxn−2 + 4

∞∑n=0

anxn = 0.

Con el objetivo de que todas las series esten escritas en potencias de xn,tendremos en cuenta que

M∑n=m

An =M+k∑

n=m+k

An−k =M−k∑

n=m−k

An+k

y desplazaremos dos unidades el sumatorio de la primera serie, quedando

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1) an+2xn + 4

∞∑n=0

anxn = 0.

Ahora ambas series empiezan en n = 0. Esto normalmente no ocurrira. En elsiguiente ejemplo indicaremos como proceder cuando esto no ocurra. Ahorapodemos agrupar ambas series en una sola

∞∑n=0

[(n+ 2)(n+ 1) an+2 + 4an

]xn = 0.

Teniendo en cuenta que una serie de potencias es identicamente nula si y solosi cada uno de los coeficientes vale 0, esto es

∞∑n=0

Anxn = 0 ∀ x ⇔ An = 0,

se tiene que los coeficientes an deben satisfacer la relacion

(n+ 2)(n+ 1) an+2 + 4an = 0

que es llamada la ecuacion de recurrencia para los coeficientes de la serie.Si despejamos an+2,

an+2 = − 4

(n+ 2)(n+ 1)an, n = 0, 1, 2, . . .


Dando valores a n obtenemos

n = 0 a2 = − 22

2×1a0

n = 1 a3 = − 22

3×2a1

n = 2 a4 = − 22

4×3a2 =

24

4×3×2×1a0

n = 3 a5 = − 22

5×4a3 =

24

5×4×3×2a1

n = 4 a6 = − 22

6×5a4 = − 26

6×5×4×3×2×1a0

n = 5 a7 = − 22

7×6a5 = − 26

7×6×5×4×3×2a1

......

Podemos deducir la expresion general para los terminos pares e impares

a2n =(−1)n22n

(2n)!a0, a2n+1 =

1

2

(−1)n22n+1

(2n+ 1)!a1 (1.10)

y sustituyendo obtenemos que (1.9) se puede escribir como

y =∞∑n=0

anxn =

∞∑n=0

a2nx2n +

∞∑n=0

a2n+1x2n+1

es decir

y = a0

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!(2x)2n +

a12

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!(2x)2n+1

que se corresponde con la solucion buscada (1.8) donde identificamos

C1 = a0, C2 = a1/2.

�En los casos en que la funcion f(x) en la ecuacion (1.1) se puede desa-

rrollar facilmente en serie de potencias puede ser mas expeditivo buscar unasolucion general evitando buscar una particular de la homogenea para des-pues obtener la solucion de la general por el metodo de reduccion.

Ejemplo 1.3 Obtener la solucion en serie de potencias alrededor del origenhasta x5 de la ecuacion diferencial

y′′ + 4y = sen(x).


Sol.: En este caso tenemos que

sen(x) =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!(x)2n+1 ,

y sutituyendo llegamos a la ecuacion

∞∑n=0

[(n+ 2)(n+ 1) an+2 + 4an

]xn =

∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)!(x)2k+1 .

Igualando coeficientes con la misma potencia en x obtenemos

n = 0 a2 = − 22

2×1a0

n = 1 a3 = − 22

3×2a1 +

16

n = 2 a4 = − 22

4×3a2 =

24

4×3×2×1a0

n = 3 a5 = − 22

5×4a3 − 1

120= 24

5×4×3×2a1 − 1

24

luego la solucion viene dada por

y = a0

(1− 2x2 +

2

3x4

)+ a1

(x− 2

3x3 +

2

15x5

)+

1

6x3 − 1

24x5 +O[x6],

donde O[x6] indica que se han suprimido los terminos con potencias de ordenmayor o igual que 6.

�Vemos que se trata de una ecuacion lineal con coeficientes constantes por

lo que la solucion de la homogenea se obtiene inmediatamente y una solucionparticular se obtiene de manera inmediata por coeficientes indeterminadosobteniendo como solucion general: y = C1 cos(2x)+C2 sen(2x)+

13sen(x). Si

tomamos a0 = C1 y a1 = 2C2 +13y desarrollamos en serie de potencias las

funciones seno y coseno podemos comprobar que ambas coinciden.

Ejemplo 1.4 Hallar la solucion en serie de potencias de x de la ecuaciondiferencial (de Airy)

y′′ − x y = 0.

Sol.: En este caso p(x) = 1 y por el Teorema 1.1 se tiene que el desarrolloen serie de su solucion

y =∞∑n=0

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Luis Manuel Sánchez Ruiz

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