Lunes 17

TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014


16 de febrero de 2014

Ecuaciones


ECUACION

def. Una igualdad en la cual al menos una de las expresiones esalgebraica recibe el nombre de ecuacion.

Ejemplo:3x = 1

9x + 2 = 5− 3x


ECUACION LINEAL

Este tipo de ecuaciones son las que contienen una sola incognitade grado 1, se escriben generalmente de la siguiente forma:

ax + c = 0; a, c ∈ R


SOLUCION DE UNA ECUACION

Es el valor o valores de la incognita que al ser sustituidos en laecuacion la transforman en una igualdad numerica verdadera.Resolvamos el siguiente ejemplo:

x− (2x + 1) = 8− (3x + 3)x− 2x− 1 = 8− 3x− 3−x− 1 = 5− 3x

−x− 1 + 3x = 5− 3x + 3x−1 + 2x = 5

−1 + 1 + 2x = 5 + 12x = 6x = 6

2x = 3


CONJUNTO SOLUCION

Al conjunto S de todas las soluciones de la ecuacion se le llamaconjunto solucion. En el ejemplo anterior tenemos que el valorde x que es solucion es 3

∴ S = {3}


CONJUNTO SOLUCION

Podemos verificar facilmente que el valor obtenido es,efectivamente, una solucion:

2(3)=66=6

Obtenemos una igualdad numerica verdadera. Tomemos 5 yproblemos si es solucion:

2(5)=6 ; 10=6

Se obtiene una igualdad falsa, por lo tanto 5 no pertenece a S


NOTAS:

1 Las ecuaciones de primer grado con una incognita tienenuna o ninguna solucion.

2 A las soluciones de una ecuacion se les llama tambienraıces de la ecuacion.


Resolvamos mas ecuaciones lineales

1 15x− 10 = 6x− (x + 2) + (−x + 3)

2 (5− 3x)− (−4x + 6) = (8x + 11)− 3x− 6

3 30x− (−x + 6) + (−5 + 4) = 5x + 6− 8 + 3x

4 −3(2x + 7) + (−5x + 6)− 8(1− 2x)− (x− 3) = 0

5 (x− 2)2 − (3− x)2 = 1


ECUACIONES CUADRATICAS

Unas ninas muy precoces,al cuadrado se elevaron.

Y como eran muy audacespor dos se multiplicaron.

Que ya eran muchas sintierony por eso se restaron

doce veces lo que fueron.

Las que al principio empezaroncon esto se contentaron

y treinta y dos ahora son.Ahora quiero que me digassin miedo y sin compasion

A¿Cuantas eran al principiode este juego jugueton?.

Alejandro Bravo,Margarita Espinosa.



def. Una ecuacion cuadratica o de segundo grado en unavariable con coeficientes reales es una ecuacion que puedeescribirse como:

ax2 + bx + c = 0;a, b, c ∈ R, a 6= 0

Ejemplo:

x2 − 6x− 3 = 0donde a=1 , b=-6 , c=-3



Para resolver una ecuacion de este tipo requeriremos de losmetodos de factorizacion estudiados previamente,principalmente inspeccion, completar cuadrados o la formulageneral que veremos a continuacion:

Formula General:−b±

√4

2aDiscriminante: 4 = b2 − 4ac

donde :

1 Si 4 > 0, ecuacion tiene dos soluciones reales.

2 Si 4 = 0, ecuacion tiene una solucion real.

3 Si 4 < 0, ecuacion no tiene soluciones reales.


Resolvamos las siguientes ecuaciones:

1 x2 − x− 6 = 0

2 x2 + 7x = 18

3 2x2 = 2x− 12

4 5(x2 + 1) = 8x

5 3t2 −√

15t + 2 = 0

6 3x2 + 3√

2x = 4


ECUACIONES DE GRADO MAYOR A 2

Para hallar las soluciones de este tipo de ecuaciones podemosutilizar los siguientes metodos de factorizacion principalmente:factor comun, agrupamiento y division sintetica. Veamos elsiguiente ejemplo:

x3 − 7x + 6 = 0


Resolvamos mas ejemplos:

1 x4 − 10x2 + 9 = 0

2 x2(3x2 + 2) = 4(x2 − 3) + 13

3 x6 = x3 + 12

4 x5 + 2x4 − 10x3 − 20x2 + 9x + 18 = 0


ECUACIONES RACIONALES

En este tipo de ecuaciones encontramos expresiones algebraicasracionales, utilicemos el siguiente ejemplo para comprendercomo se resuelven:

x− 1

2+

x− 2

4= 1 +

x

34(x− 1) + 2(x− 2)

8=

3 + x

36x− 8

8=

3 + x

33(6x− 8) = 8(3 + x)18x− 24 = 24 + 8x

10x = 48

x =24

5

S =

{24

5

}


SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistemas de ecuaciones lineales en las incognitas x, yo sistema 2X2 es una expresion de la forma:{

ax− by = ecx− dy = f

donde a, b, c, d, e, f ∈ R.Una solucion del sistema es una par ordenado (x0, y0);x0, y0 ∈ R, que satisface ambas ecuaciones simultaneamente.Estudiaremos cuatro metodos para resolver sistemas deecuaciones: igualacion, suma y resta, sustitucion ymediante una grafica.


IGUALACION

Resuelva el siguiente sistema:{2x + 3y = 15x + 4y = 2

1) Se despeja la variable x en ambas ecuaciones:

x =1− 3y

2

x =2− 4y

5


IGUALACION

2)Luego, igualamos ambas expresiones:

1− 3y

2=

2− 4y

55(1− 3y) = 2(2− 4y)

5− 15y = 4− 8y5− 4 = −8x + 15y

1 = 7y

y =1

7


IGUALACION

3)Luego se sustituye el valor de y en cualquiera de lasexpresiones anteriores:

5x + 4(17) = 25x + 4

7 = 25x = 2− 4

75x = 10

7x = 2

7

S =

{(2

7,1

7

)}


Sustitucion{2x + 3y = 15x + 4y = 2(?)

1)Se despeja X en cualquiera de las dos expresiones.

x =1− 3y

2(♠)

2)Sustituimos el valor de x en (?)

5

(1− 3y

2

)+ 4y = 2

y =1

7


Sustitucion

3)Sustituimos el valor de y en (♠):

y =1− 31

7

2=

2

7

∴ S =

{(2

7,1

7

)}


SUMA Y RESTA{2x + 3y = 15x + 4y = 2{

(2x + 3y = 1)5(5x + 4y = 2)− 2{10x + 15y = 5−10x− 8y = −4

7y = 1

y =1

7


SUMA Y RESTA

Sustituimos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones delsistema inicial:

2x + 3

(1

7

)= 1

x =2

7

∴ S =

{(2

7,1

7

)}


LENGUAJE MATEMATICO

La suma de 10 y x: 10 + x

La mitad de un numero:x

22 mas que a: a + 2

La diferencia de dos numeros: x− yEl producto de dos numeros: xy

El cociente de dos numeros:x

yEl doble de un numero: 2aEl triple de un numero: 3a


LENGUAJE MATEMATICO

Traduzcamos las siguientes frases:

1 Un numero disminuido en 16:

2 Un tercio de w:

3 El cociente de 25 entre un numero:

4 Luis tiene 4 helados mas que Marıa:

5 El total de dıas en x horas

6 Dos veces t menos nueve:

7 La suma de dos numeros es 81:


LENGUAJE MATEMATICO

Saber realizar este tipo de traduccion nos ayuda a la resolucionde problemas. Ejemplo:

El padre tiene 51 anos, el hijo tiene 9 anos.A¿Al cabo decuantos anos sera la edad del padre 8 veces la edad del hijo?


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