Luz y Óptica-Serway001

Los hermosos colores que se ven dentrode un buen corte de diamante son partede la fascinación de esta piedrapreciosa. Ahora es posible crear joyasartificiales que se venden a un preciomucho menor, pero que brillan casicomo un diamante. ¿Cómo puededistinguir usted una imitación barata deun artículo genuino usando algo queencuentra en la alacena de su cocina?(Charles D. Winters)

c a p í t u l o

La naturaleza de la luz y lasleyes de la óptica geométrica

' ¡ . ¡ ¡ . ' ' | ce !ii f i u lo

35.1 La naturaleza de la luz

35.2 Mediciones de la rapidez de laluz

35.3 La aproximación de rayos en laóptica geométrica

35.4 Reflexión

35.5 Refracción

35.6 El principio de Huygens

35.7 Dispersión y prismas

35.8 Reflexión total interna

35.9 (Opcional) Principio de Fermat

1106

35.1 La naturaleza de la luz 1107

LA NATURALEZA DE LA LUZ

Antes de iniciar el siglo xix la luz se consideraba como una corriente de partículasemitidas por el objeto que era visto o que se emitían de los ojos del observador. Elprincipal exponente de la teoría corpuscular de la luz fue Isaac Newton, quien ex-plicó que las partículas eran emitidas por una fuente luminosa y que éstas estimula-ban el sentido de la visión al entrar al ojo. Con base en ello, él pudo explicar la re-flexión y la refracción.

La mayoría de los científicos aceptó la teoría corpuscular de la luz de Newton.Sin embargo, durante el curso de su vida fue propuesta otra teoría, una que argüíaque la luz podría ser cierto tipo de movimiento ondulatorio. En 1678 un físico y as-trónomo holandés, Christian Huygens, demostró que la teoría ondulatoria de la luzpodría explicar también la reflexión y la refracción. La teoría ondulatoria no fueaceptada de inmediato. Asimismo, se argüía que si la luz era alguna forma de onda,debería rodear los obstáculos; por tanto, podríamos ver los objetos alrededor de lasesquinas. Ahora se sabe efectivamente que la luz rodea los bordes de los objetos. Elfenómeno, conocido como difracción, no es fácil de observar porque las ondas lumi-nosas tienen longitudes de onda cortas. De este modo, aunque Francesco Grimaldi•1618-1663) proporcionó pruebas experimentales para la difracción aproximada-mente en 1660, la mayoría de los científicos rechazó la teoría ondulatoria y aceptóla teoría corpuscular de Newton durante más de un siglo.

La primera demostración clara de la naturaleza ondulatoria de la luz fue pro-porcionada en 1801 por Thomas Young (1773-1829), quien demostró que, en con-diciones apropiadas, los rayos luminosos interfieren entre sí. En ese entonces dichocomportamiento no podía explicarse mediante la teoría corpuscular debido a queno hay manera concebible por medio de la cual dos o más partículas puedan jun-tarse y cancelarse una a la otra. Varios años después un físico francés, Augustín Fres-nel (1788-1829), efectuó varios experimentos relacionados con la interferencia y ladifracción. En 1850 Jean Foucault (1791-1868) proporcionó más pruebas de lo ina-decuado de la teoría corpuscular al demostrar que la rapidez de la luz en líquidoses menor que en el aire. De acuerdo con el modelo corpuscular, la rapidez de la luzsería más alta en líquidos que en el aire. Otros experimentos realizados durante elsiglo xix llevaron a la aceptación general de la teoría ondulatoria de la luz, y el tra-bajo más importante fue el de Maxwell, quien en 1873 afirmó que la luz era una for-ma de onda electromagnética de alta frecuencia. Como estudiamos en el capítulo54, Hertz proporcionó la confirmación experimental de la teoría de Maxwell en1887 al producir y detectar ondas electromagnéticas. Además, Hertz y otros investi-gadores demostraron que tales ondas experimentaban reflexión y refracción y exhi-bían todas las otras propiedades características de las ondas.

Aunque el modelo ondulatorio y la teoría clásica de la electricidad y el magne-tismo pudo explicar la mayor parte de las propiedades conocidas de la luz no ocu-rrió lo mismo con algunos experimentos subsecuentes. El nías impresionante de és-tos es el efecto fotoeléctrico, descubierto también por Hertz: cuando la luz incidesobre una superficie metálica, algunas veces los electrones son arrancados de la su-perficie. Como un ejemplo de las dificultades que surgen, los experimentos mostra-ban que la energía cinética de un electrón arrancado es independiente de la inten-sidad luminosa. El hallazgo contradecía la teoría ondulatoria, la cual sostenía queun haz más intenso de luz debe agregar más energía al electrón. Una explicacióndel efecto fotoeléctrico fue propuesta por Einstein en 1905 en una teoría que em-pleó el concepto de cuantización desarrollado por Max Planck (1858-1947) en 1900.El modelo de cuantización supone que la energía de una onda luminosa está pre-sente en paquetes llamados fotones, por tanto, se dice que la energía está cuantizada.De acuerdo con la teoría de Einstein la energía de un fotón es proporcional a la fre-cuencia de la onda electromagnética:

E— nf (35.1) Energía de un fotón

1108 CAPÍTULO 35 La naturaleza de la luz y las leyes de la óptica geométrica

donde la constante de proporcionalidad A = 6.63 x 10 :wj-s es la constante de Pl(véase la sección 11.7). Es importante observar que esta teoría retiene algunasten'sticas tanto de la teoría ondulatoria como de la teoría corpuscular. El efectotoeléctríco es una consecuencia de la transferencia de energía de un solo fotón aelectrón en el metal y aun este fotón tiene características similares a las de las orya que su energía está determinada por la frecuencia (una cantidad ondulator

En vista de los hechos antes referidos, debe considerarse que la luz tienenaturaleza dual: En algunos casos la luz actúa como una onda y en otros comopartícula. La luz es la luz, sin duda. Sin embargo, la pregunta, ¿"la luz es una oro una partícula"? es inadecuada. En algunos casos la luz actúa como una onda votros como partícula. En el siguiente capítulo se investigará la naturaleza ondiria de la luz.

15.2 MEDICIONES DE LA RAPIDEZ DE LA LUZ

La luz viaja a una rapidez tan alta (c = 3 x 10" m/s) que los primeros intentos paramedir su rapidez no tuvieron éxito. Galileo intentó medir la rapidez de la luz colo-cando dos observadores en torres separadas por aproximadamente 10 km. Cada ob-servador llevaba una linterna tapada. Uno de los observadores destaparía su linter-na primero y el otro haría lo mismo en el momento en que viera la luz de la primeralinterna. Galileo pensó que, conociendo el tiempo de tránsito de los haces lumino-sos entre las linternas obtendría la rapidez. Sus resultados no fueron convincentesEn la actualidad sabemos (como el propio Galileo concluyó) que es imposible me-dir la rapidez de la luz de esta manera debido a que el tiempo de tránsito es mir»pequeño comparado con el tiempo de reacción de los observadores.

A continuación describiremos dos métodos para determinar la rapidez de la luz.

® '

Figura 35. í Método de Roemer pa-ra medir la rapidez de la luz. En eltiempo que larda la Tierra en viajar90° alrededor del Sol (3 meses), Júpi-ter recorre sólo 7.5° (el dibujo no es-tá a escala).

Método de Roemer

El primer cálculo exitoso de la rapidez de la luz fue hecho en 1675 por el astróno-mo danés Ole Roemer (1644-1710). Su técnica incluía observaciones astronómicasde una de las lunas de Júpiter, lo, la cual tiene un periodo de revolución aproxima-do de 42.5 h. El periodo de revolución de Júpiter alrededor del Sol es aproximada-mente de 12 años; de modo que cuando la Tierra se mueve 90° alrededor del Sol.Júpiter gira sólo (1/12)90°= 7.5° (Fíg. 35.1).

Un observador empleando el movimiento orbital de lo como un reloj esperaríaque su órbita tuviera un periodo constante. Sin embargo, Roemer observó variacio-nes sistemáticas en el periodo de lo durante un año. Descubrió que los periodos sevolvían más grandes que el promedio cuando la Tierra se alejaba de Júpiter, y máspequeños que el promedio cuando nuestro planeta se aproximaba a él. Por ejem-plo, si lo tenía un periodo constante, Roemer debía haber visto un eclipse que ocu-rría en un instante particular y habría podido predecir cuándo se produciría el si-guiente eclipse. Sin embargo, cuando verificó el segundo eclipse conforme la Tierrase alejaba de Júpiter encontró que el eclipse se retrasaba. De hecho, si el intervaloentre las observaciones era de tres meses, el tiempo de retraso era de aproximada-mente 600 s. Roemer atribuyó esta variación en el periodo al hecho de que la dis-tancia entre la Tierra v Júpiter cambiaba de una observación a la siguiente. En tresmeses (un cuarto del periodo de revolución de la Tierra alrededor del Sol), la luzde Júpiter viaja una distancia igual al radio de la órbita terrestre.

Empleando los datos de Roemer, Huygens estimó el límite inferior para la rapi-dez de la luz aproximadamente igual a 2.3 X 108 m/s. Dicho experimento es impor-tante desde el punto de vista histórico porque demostró que la luz tiene una rapi-dez finita y proporcionó una estimación de esta rapidez.

35.3 La aproximación de rayos en la óptica geométrica 1109

Técnica de Fizeau

El primer método útil para medir la rapidez de la luz mediante técnicas puramenteterrestres fue desarrollado en 1849 por Armand H. L. Fizeau (1819-1896). La figura35.2 representa un diagrama simplificado de su aparato. El procedimiento básicoconsiste en medir el tiempo total que tarda la luz en viajar de un punto a un espe-to distante y regresar. Si d es la distancia entre la fuente de luz (considerando queestá en la posición de la rueda) y el espejo, y si el tiempo de tránsito para un reco-rrido completo es /, entonces la rapidez de la luz es c = lld/1.

Para medir el tiempo de tránsito Fizeau utilizó una rueda dentada rotatoria, lacual convierte un haz continuo de luz en una serie de pulsos luminosos. La rotaciónde la rueda controla lo que un observador ve en la fuente luminosa. Por ejemplo, sid pulso viaja hacia el espejo y pasa por la abertura en el punto A, en la figura 35.2,debe regresar a la rueda en el instante que el diente B ha girado a una posición pa-ra cubrir la trayectoria de regreso, entonces el pulso no alcanzará al observador. Aana rapidez mayor de rotación, la abertura en el punto C podía moverse a una po-rción que permitiera al pulso reflejado llegar al observador. Conociendo la distan-cia d, el número de dientes en la rueda y la rapidez angular de la misma, Fizeau Ile-so al valor de c = 3.1 x 108 m/s. Mediciones similares hechas por investigadoressubsecuentes produjeron valores mas precisos de c, aproximadamente de 2.997 9 X1(P m/s.

Ruedadentada

Espejo

Figura 35,2 Método de Fizeau paramedir la rapidez de la lu?. utilizandouna rueda dentada giratoria. Se con-sidera que la fuente de luz está en laposición de la rueda; así se conoce ladistancia d.

EJEMPLO 35.1 Medición de la rapidez de la luz con la rueda dentada de Fizeau

Suponga que la rueda de Fizeau tiene 360 dientes y está gi-rando a 27.5 rev/s cuando un pulso de luz qvie pasa por taabertura A en la figura 35.2 es bloqueado por el diente B alregresar. Si la distancia al espejo es de 7 500 m, ¿cuál es la ra-pidez de la luz?

Solución Puesto que la rueda tiene 360 dientes, debe tener360 aberturas. Por tanto, como la luz pasa a través de la aber-tura A, pero está bloqueada por el diente adyacente inme-diato a A, la rueda debe girar un ángulo de 1/720 rev en eltiempo que transcurre mientras la luz efectúa su recorrido

completo. A partir de la definición de la rapidez angular ve-mos que el tiempo es

O (I/720) rev

27.5 rev/s= 5.05 x 10-5 s

Por tanto, la rapidez de la luz es

2(7500 m.'= 2.97 xlOWs5.05 x 10-3

35.3 LA APROXIMACIÓN DE RAYOS EN LA ÓPTICA GEOMÉTRICA

E campo de la óptica geométrica implica el estudio de la propagación de la luz, con'• b suposición de que la luz viaja en una dirección fija en línea recta conforme éstaatraviesa un medio uniforme y cambia su dirección cuando encuentra la superficieie un medio diferente o si las propiedades ópticas del medio son no uniformes, ya«ra en el espacio o en el tiempo. Al estudiar la óptica geométrica aquí y en el capí-tulo 36 se emplea lo que se conoce como aproximación de rayos. Para entender es-ta aproximación advierta primero que los rayos de una onda determinada son líneasrectas perpendiculares a los frentes de onda, como se analizó en la sección 17.4 y selustra en la figura 35.3 para una onda plana. En la aproximación de rayos supone-mos que una onda que se mueve por un medio viaja en línea recta en la direcciónde sus rayos.

Si la onda llega a una barrera en la cual hay una abertura circular cuyo diáme-es mucho más grande en relación con la longitud de onda, como se muestra en

figura 35.4a, la onda que emerge de la abertura continúa moviéndose en línea:ta (aparte de algunos pequeños efectos de borde); en consecuencia, la aproxima-

Rayos

Frentes de onda

Figura 35.3 Una onda plana que sepropaga hacia la derecha.

CAPITULO 35 La naturaleza de la luz y las leyes de la óptica geométrica

1d

TA-r f

b) c)

Figura 35.4 Una onda plana de longitud de onda A incide sobre una barrera en la cual haytura de diámetro d. a) Cuando A « d, los rayos continúan en línea recia y la aproximación desigue siendo válida, b) Cuando A = d, los rayos se dispersan hacía afuera después de pasar por 1¿tura, c) Cuando A » rf. la abertura se comporta como una fuente puntual que emite ondas •

ción de rayos continúa siendo válida. Sin embargo, si el diámetro de la abeidel orden de la longitud de onda, como se muestra en la figura 35.4b, las oídispersan desde la abertura en todas las direcciones. Por último, si la abertura e*, acho más pequeña que la longitud de onda, la abertura puede ser aproximada ceauna fuente puntual de ondas (véase la figura 35.4c). Se observan efectos similarcuando las ondas encuentran un objeto opaco de dimensión d. En cuyo caso, »« d, el objeto proyecta una sombra aguda.

Tanto la aproximación de rayos como la suposición de que X « d empleadaquí y en el capítulo 36, tienen que ver con la óptica geométrica. Tal aproximacxes muy buena en el estudio de espejos, lentes, prismas e instrumentos ópticos aaciados, como telescopios, cámaras y anteojos.

.4 REFLEXIÓN

j? Cuando un rayo de luz que viaja en un medio encuentra una frontera que conduce14 3 a un segundo medio, parte de la luz incidente se refleja. La figura 35.5a presenta •••>

rios rayos de un haz de luz incidente sobre una superficie reflectora lisa, similar íun espejo. Los rayos reflejados son paralelos entre sí, como se indica en la figura. Ladirección de un rayo reflejado está en el plano perpendicular a la superficie reflec-tora que contiene el rayo incidente. La reflexión de la luz a partir de dicha superñ-cie lisa recibe el nombre de reflexión especular. Si la superficie reflejante es rugo-sa, como se muestra en la figura 35.5b, la superficie refleja los rayos no como unconjunto paralelo sino en varias direcciones. La reflexión en cualquier superficie ru-gosa se conoce como reflexión difusa. Una superficie se comporta como una super-ficie lisa siempre que las variaciones en la misma sean más pequeñas que la longi-tud de onda de la luz incidente.

La diferencia entre las dos clases de reflexión explica por qué es más difícil ob-servar mientras se conduce en una noche lluviosa. Si la carretera está mojada, comose muestra en la figura 35.5c, la superficie lisa del agua refleja de manera especularla mayoría de la luz que emiten sus faros a mayor distancia de su auto (y quizá enlos ojos de los conductores que se acercan). Cuando la carretera está seca (véase lafigura 35.5d) dicha superficie rugosa refleja en forma difusa parte de la luz que emi-ten sus faros hacia atrás de usted, permitiéndole ver claramente la carretera. En es-ta obra nos interesa sólo la reflexión especular, y utilizamos el término reflexión parareferirnos a la reflexión especular.

Considere un rayo de luz que viaja en el aire y que incide a cierto ángulo sobreuna superficie plana y lisa, como se muestra en la figura 35.6. Los rayos incidente y

La fotografía, tomada en Salamanca,España, muestra la reflexión de la nue-va catedral en el río Tormes. ¿Puedeusted distinguir la catedral de su ima-gen?

35.5 Representación esquemática de a) una reflexión especular, donde los rayos reflejados«dos paralelos entre sí, y b) una reflexión difusa, donde los rayos reflejados viajan en direcciones

c) y d) Reflexión especular y difusa en la carretera. (Charles D. Wintm)

1112 CAPITULO 35 La naturaleza de la luz y las leyes de la óptica geométrica

Normal

Rayoincidente

Rayoreflejado

Figura 35.6 De acuerdo con la ley de la reflexión.El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal están en <plano.

Ley de reflexión

reflejado forman ángulos q¡ y 0,', respectivamente, donde los ángulos esténdesde la normal a los rayos. (La normal es una línea dibujada perpendicular aperficie en el punto donde los rayos incidentes golpean.) Los experimentos y laría muestran que el ángulo de reflexión es igual al ángulo incidente:

Tal relación se llama ley de la reflexión.

EJEMPLO 35.2 Rayo de luz doblemente reflejado

Dos espejos forman un ángulo de 120° entre sí, como se veen la figura 35.7. Un rayo incide sobre el espejo M[ a un án-gulo de 65° con la normal. Encuentre la dirección del rayodespués de que éste se refleja desde el espejo M¡¡.

Solución De acuerdo con la ley de reflexión, sabemos queel primer rayo reflejado forma un ángulo de 65° con la nor-mal. Así, este rayo forma un ángulo de 90o- 65°= 25", con lahorizontal.

A partir del triángulo formado por el primer rayo refleja-do y los dos espejos, observamos que el primer rayo reflejadoforma un ángulo de 35° con M2 (puesto que la suma de losángulos interiores de cualquier triángulo es de 180°). Lo an-terior significa que este rayo forma un ángulo de 55° con lanormal a M,. Por tanto, según la ley de reflexión, el segundorayo reflejado forma un ángulo de 55° con la normal a M.¿. Alcomparar la dirección del rayo conforme éste incide en M j

con su dirección después de reflejarse en M.,, vemos querayo se refleja por 2(55°) = 120" lo cual corresponde al ánplo entre los espejos.

65

Figura 35,7 Los espejos M| y Ma forman un ángulo entre sí de120°.

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Si el ángulo entre los dos espejos en el ejemplo anterior fuera de 90°, el haz re-flejado regresaría a la fuente paralelo a su trayectoria original. Dicho fenómenollamado retrorrejkxión tiene muchas aplicaciones prácticas. Si un tercer espejo se co-loca perpendicular a los dos primeros, de tal manera que el tercero forme la esqui-na de un cubo, la retrorreflexión trabaja en tres dimensiones. En 1969 un panel devarios pequeños reflectores fue puesto en la Luna por los astronautas del Apolo 11(véase la figura 35.8a). Un haz de láser desde la Tierra puede ser reflejado directa-mente hacia atrás de él mismo y se mide el tiempo de tránsito. Tal información sir-ve para determinar la distancia a la Luna con una incertidumbre de 15 cm. (¡Ima-gine qué tan difícil serfa alinear un espejo plano regular, de tal forma que el haz deláser reflejado incida en alguna posición particular de la Tierra!) Una aplicación máspráctica se encuentra en los faros posteriores de un auto. Parte del plástico de queestá hecho el faro está formado en varias esquinas cúbicas diminutas (véase la figu-ra 35.8b), de modo que los haces de los faros de los carros que se acercan por la

35.5 Refracción 1113

d)

c)

Figura 35.8 Aplicaciones de retrorreflexión. a) El panel en la Luna refleja un haz de láser directa-mente atrás de su fuente en la Tierra, b) Un faro trasero de automóvil tiene pequeños retrorreflecto-rtí que aseguran que los haces del faro delantero son reflejados hacia atrás del auto que los envía, c)L"n haz de luz incidiendo en una esfera transparente se retrorrefleja. d) Dicho símbolo de alto pareceresplandecer con los haces de luz de los faros porque su superficie está cubierta con una capa de mu-chas esferas retrorreflectoras diminutas. ¿Qué se podría ver si el símbolo tuviera una superficie pare-cida a un espejo? («, Corteña de la NASA; b y d,

parte de atrás se reflejan detrás de los conductores. En lugar de las esquinas cúbicastipo pirámide, se usan algunas veces pequeñas protuberancias esféricas (véase la fi-gura 35.8c). Se encuentran esferas retrorreflectoras diminutas en el material que cu-bre muchos de los símbolos de la carretera. El símbolo de alto en la figura 35.8d pa-rece mucho más brillante que si fuera simplemente sin relieve, la superficie brillanterefleja la mayor parte de la luz que incide sobre ella en una autopista.

'

REFRACCIÓN

Cuando un rayo de luz que viaja a través de un medio transparente encuentra unafrontera que lleva a otro medio transparente, como se muestra en la figura 35.9, par-le del rayo se refleja y parte entra al segundo medio. La parte que entra al segundomedio se dobla en la frontera y se dice que se refracta. El rayo incidente, el rayo re-flejado y el rayo refractado se encuentran en el mismo plano. El ángulo de refrac-

Experímento sorpresa

Póngase un par de zapatos de corrercon marcas de seguridad retrorre-flectoras en una habitación oscura allado de un espejo pequeño. Manten-ga una linterna al lado de su cabezay mande un rayo hacia el espejo ylos zapatos desde varios ángulos.¿Cuáles son más brillantes, lasmarcas de seguridad o el espejo?

CAPÍTULO 35 La naturaleza de la luz y las leyes de la óptica geométrica

Rayoincidente

Normal

AireVidrio

Rayoreflejado

Rayorefractado

a) b)

Figura 35.9 a) Un rayo que incide en forma oblicua sobre una inlerface de aire-vidrio. El ravose refracta se desvía hacia la normal debido a que u¿ < v\. Todos los rayos y la normal se encu<en el mismo plano, b) La luz incidente sobre el bloque de Incita se desvía cuando entra al bloqwr'cuando sale de él. (b, Henry Leapyjim Lehman)

ción, $.¿, que se observa en la figura 35.9, depende de las propiedades de los dos medios y del ángulo de incidencia a través de la relación

sen

sen 0,= — = constante (35:

donde v-¡ es la rapidez de la luz en el medio 1 y v2 es la rapidez de la luz en el me-dio 2.

La trayectoria de un rayo luminoso a través de una superficie refractante es re-versible. Por ejemplo, el rayo que se muestra en la figura 35.9a viaja del punto A ¿.punto B. Si el rayo se hubiera originado en B, éste viajaría a la izquierda a lo largode la línea BA para llegar al punto A, y la parte reflejada apuntaría hacia abajo v ala izquierda en el vidrio.

Pregunta sorpresa 35.1

SÍ el haz (D es el haz entrante en la figura 35.9b, ¿cuáles de las otras cuatro líneas rojas sonhaces reflejados y cuáles son haces refractados?

De la ecuación 35.3 se deduce que cuando la luz se mueve de un material en elque su rapidez es mayor a un material en el que su rapidez es menor, como se indi-ca en la figura 35.10a, el ángulo de refracción 02 es menor que el ángulo de inciden-cia 0,, y el haz se dobla hacia la normal. Si el rayo se mueve de un material en elcual éste se mueve lentamente a un material en el que se mueve con más rapidez,como se ilustra en la figura 35.10b, ft¡ es más grande que 0h y el haz se dobla haciala normal.

El comportamiento de la luz cuando ésta pasa del aire a otra sustancia y luegoresurge en el aire es a menudo una fuente de confusión para los estudiantes. Cuan-do la luz viaja en el aire su rapidez es igual a 3 X 10H m/s; pero dicha rapidez se re-duce a aproximadamente 2 X 10H m/s cuando entra en un bloque de vidrio. Cuan-do la luz vuelve a emerger en el aire su rapidez aumenta en forma instantánea hastasu valor original de 3 x 10H m/s, lo cual es muy diferente de lo que ocurre, por ejem-plo, cuando una bala se dispara contra un bloque de madera. Aquí la rapidez de labala se reduce cuando ésta se mueve a través de la madera debido a que un pocode su energía original se utiliza para separar las fibras de la madera. Cuando la ba-

35.5 Refracción

AireVidrio

Normal

a)

Aire

Normal

b)

£

•

35,10 a) Cuando el haz luminoso se desplaza del aire al vidrio, la luz va más despacio al en-«ar en el vidrio y su trayectoria se desvía hacia la normal, b) Cuando el haz se desplaza del vidrio almtt. la luz se mueve más rápido al entrar al aire y su trayectoria se desvía alejándose de la normal.

Íb entra al aire otra vez, emerge a la rapidez que tenía justo antes de abandonar elbioque de madera.

Para ver por qué la luz se comporta así observe la figura 35.11, la cual represen-ta un haz de luz que entra a un pedazo de vidrio desde la izquierda. Una vez den-•o del vidrio, la luz puede encontrar un electrón ligado a un átomo, indicado CO-BO punto A en la figura. Supongamos que la luz es absorbida por el átomo, lo cual«rigina que el electrón oscile (un detalle representado por las flechas verticales de^ -ble punta en el dibujo). El electrón oscilante actúa luego como una antena1 y ra-±¿ el haz de luz hacia un átomo en B, donde la luz es absorbida otra vez por el áto-•o. Los detalles de estas absorciones y radiaciones se explican mejor en términosóe la mecánica cuántica, un tema que estudiamos en la versión extensa de este li-fcro. Por ahora, es suficiente considerar el proceso como uno en el cual la luz pasaóe un átomo a otro a través del vidrio. A pesar de que la luz viaja de un átomo de«•drio a otro a 3 x 10H m/s, la absorción y radiación que ocurren ocasionan que larapidez promedio de la luz a través del material disminuya a 2 x 108 m/s. Una vezque la luz emerge en el aire, la absorción y radiación cesan y su rapidez regresa al•cilor original.

i i A

A B

Figura 35.11 Luz que pasa de un átomo a otro en un medio. Lospuntos son electrones, y las flechas verticales representan sus oscilacio-

la frecuencia de la luz es tal que ocasiona que los electrones oscilen cerca de una frecuen-resonante, la amplitud es tan grande que los átomos del medio chocan unos con otros y mucha demergía de la luz se transforma en energía interna, y, en consecuencia, es absorbida por el medio,i electrones de diferentes materiales üenen diferentes frecuencias de resonancia. Ello explica porc usted puede ver luz visible a través del vidrio y por qué las frecuencias ultravioleta, que llegan asar quemaduras por sol, no pueden atravesar el vidrio. Por otra parte, la luz ultravioleta es capaz de^f irar nubes, mientras que la luz visible no. Así, aunque no es probable que se queme por el sol pori ventana, sí puede quemarse por el sol si está afuera en un día nublado.


Figura 35,12 Vista desde arriba de un barril que rueda del cemento al césped.

En la figura 35.12 se observa una analogía mecánica de refracción. Cuandoextremo izquierdo del barril que gira alcanza el césped, se mueve lentamente,tras que el extremo derecho permanece en el cemento y se mueve a su rapidezginal. Tal diferencia en rapidez ocasiona que el barril pivotee, y esto cambia larección del viaje.

índice de refracción

En general, la rapidez de la luz en cualquier material es menor que su rapidez e¡vacío. En efecto, la luz viaja a su máxima rapidez en el vacío. Es conveniente definííndice de refracción n de un medio como la relación

índice de refracción

Experimento sorpresa

Llene un vaso con agua y coloqueun lápiz en el interior, como semuestra en la figura de abajo. Obser-ve el lápiz de lado a un ángulo deaproximadamente 45° con respectode la superficie. ¿Por qué el lápiz pa-rece doblado en la superficie

Rapidez de la luz en el vacio cn = ¡ = —

Rapidez de la luz en el medio v(35*

A partir de esta definición vemos que el índice de refracción es un número adimer-sional mayor que la unidad ya que v siempre es menor que c. Además, n es igual *la unidad para el vacío. Los índices de refracción para diferentes sustancias se listanen la tabla 35.1.

A medida que la luz viaja de un medio a otro, su frecuencia no cambia pero selongitud de onda sí. Para ver por qué ocurre esto, considere la figura 35.13. Frentesde onda pasan a un observador en el punto A en el medio 1 con una cierta frecuen-cia e inciden sobre la frontera entre el medio 1 y el medio 2. La frecuencia con lscual los frentes de onda pasan a un observador en el punto B en el medio 2 debeigualar la frecuencia a la cual pasan al punto A. Si éste no fuera el caso, los frentesde onda se apilarían en la frontera o se destruirían o crearían en la frontera. Por-que no hay mecanismo para que esto ocurra, la frecuencia debe ser una constantecuando un rayo luminoso pase de un medio a otro.

Por tanto, debido a que la relación v = /A (ecuación 16.14) debe ser válida enambos medios, y en virtud de quey¡ = f¿ =/ vemos que

y (35.5Í

Ya que v¡ ^ v2, se concluye que A, ^ A,,.

35.5 Refracción 1117

TABLA 35.1 índices de refracción1

Sustancia

SóÜdos a 20°CCircona cúbicaDiamante (C)Fluorita (CaF2)\1drio de cuarzo (SiO2)Fosfuro de galioVidrio, ópticoCristalHielo (H,¡O)PoliestirenoCloruro de sodio (NaCl)

índicede refracción

2.202.4191.4341.4583.501.521.661.3091.491.544

Sustanciade

Líquidos a 20°CBencenoDisulfuro de carbonoTetracloruro de carbonoAlcohol etílicoGlicerinaAgua

Gases a 0°C, 1 atmAireDióxido de carbono

índicerefracción

1.5011.6281.4611.3611.4731.333

1.0002931,000 45

los valores son para luz con una longitud de onda de 589 nm en el vacío.

Se obtiene una relación entre el índice de refracción y la longitud de onda alla primera ecuación 35.5 entre la segunda, y después usando la ecuación 35.4:

AA,

v\l producec/n?

= A,,ny

(35.6)

ri medio 1 es el vacío, o aire para todos los fines prácticos, entonces nt = 1. En?cuencia, se concluye de la ecuación 35.6 que el índice de refracción de cual-medio puede expresarse como la relación

n = (35.7)

Experimento sorpres*

Pegue una moneda en el fondo deuna gran pecera opaca, como semuestra en la figura a. Párese dondemire la moneda sobre el tazón y des-pués aléjese de él hasta que ya nopueda ver la moneda desde el borde.Permanezca en esa posición y pídalea un amigo que llene el tazón conagua, como se muestra en la figurab. Ahora puede ver nuevamente lamoneda, ya que la luz se refracta enla interface aire-agua.

Moneda/_

a)

b)

le X es la longitud de onda de la luz en el vacío y Xn es la longitud de onda en! medio cuyo índice de refracción es n. En la ecuación 35.7 se ve que como n > 1,

< X..Ahora se está en posición de expresar la ecuación 35.3 en una forma alternati-

S* reemplazamos al término v.2/v¡ con n{/n2 en la de la ecuación 35.6, obtene-

«, sen B¡ = n.¿ sen 6.¿(35.8) Ley de la refracción de Snell

Figuro 35.13 Conforme un frente de onda se mueve del medio 1al medio 2, su longitud de onda cambia pero su frecuencia perma-nece constante.


EJEMPLO

El descubrimiento experimental de esta relación suele acreditarse a Willebrord Sod(1591-1627) y, por tanto, se le conoce como la ley de refracción de Snell.remos dicha fórmula posteriormente en las secciones 35.6 y 35.9.

Una medición del índice de refracción

Ex.-. -<-

Un haz de luz de 500 nm de longitud de onda que viaja enel aire incide sobre una placa de material transparente. El hazincidente forma un ángulo de 40.0" con la normal, y el hazrefractado forma un ángulo de 26.0° con la normal. Determi-ne el índice de refracción del material.

Solución Usando la ley de refracción de Snell (ecuación35.8) con estos datos, y tomando n\ 1.00 para el aire, se ob-tiene

n\n 0, = n.¿ sen 0¡

n¡ sen tsen O-,

sen 40.0° 0.643

sen 26.0° 0.438= 1.4:

_ .En la tabla 35.1 se ve que el material puede ser vidno de

Ejercicio ¿Cuál es la longitud de onda de la luz en el nadrial? "

Respuesta 374 nm.

EJEMPLO 35.4 Ángulo de refracción para el vidrio

Un rayo luminoso de 589 nm de longitud de onda que viajaa través del aire incide sobre una placa plana y lisa de vidrioóptico a un ángulo de 30.0° con la normal, como se muestraen la figura 35.14. Determine el ángulo de refracción.

Normal

Rayorefractado

Figura 35.14 Refracción de la luz en vidrio.

Solución La ley de la refracción de Snell puede recomo

sen 02 = — sen 0,«2

t-- - - -v

En la tabla 35.1 encontramos que «j = 1.00 para el aire.«2= 1.52 para el vidrio óptico. Por consiguiente,

1.00isen 30.0°) = 0.329

1.52

02 = sen'1 (0.329) = 19.2°

Como éste es menor que el ángulo incidente de 30°, else dobla hacia la normal, como se esperaba. Tal cambio e» hdirección se llama ángulo de desviación y está dado por 6 = H- 0,1 = 30.0° - 19.2° = lO.í

Ejercido Si el rayo luminoso se mueve del interior delhacia la ¡merface vidrio-aire, a un ángulo de 30.0° con lamal, determine el ángulo de refracción.

Respuesta 49.5° lejos de la normal.

EJEMPLO 35.5 Luz láser en un disco compacto

Un láser en un reproductor de discos compactos genera una Solución Si se usa la ecuación 35.7 para calcular la longioriluz que tiene una longitud de onda de 780 nm en aire, a) En- de onda en el plástico, observe que se está dando lacuentre la rapidez de esta luz una vez que entra en el plástí- tud de onda en el aire de X = 780 nm:co de un disco compacto (n= 1.55).

Solución Se espera encontrar un valor menor que 3 x 10H

m/s, ya que n > 1. Se obtiene la rapidez de la luz en el plás-tico usando la ecuación 35.4:

A 780 nmAn = — = = 503 nm

n 1.55

c 3.00x1 08 m/s

1.55= 1.94 x 10Mm/s

Ejercicio Encuentre la frecuencia de la luz en el aire y en eplástico.

b) ¿Cuál es la longitud de onda de esta luz en el plástico? Respuesta 3.85 x 1014 Hz en ambos casos.

35.6 El principio de Huygens 1119

EJEMPLO 35.6 Luz que pasa a través de una placa

Un haz luminoso pasa del medio 1 al medio 2; este último es Por consiguiente, 0S = 6[t y la placa no altera la dirección deluna gruesa capa de material cuyo índice de refracción es n-¿ haz. Sin embargo, esto hace que el haz se desplace paralelo a(Fig. 35.15). Muestre que el haz que emerge es paralelo al haz sí mismo,incidente.

Solución Primero aplicamos la ley de refracción de Snell ala superficie superior:

n,1) sen ft¿ = —sen f?.

La aplicación de esta ley a la superficie inferior produce

n»2) sen &., ~ — sen ft,

n,

La sustitución de 1) en 2) produce

n»\n\n 03 = — —sen 9l = sen 0,

0i

Figura 35.15 Cuando la luz pasa por una placa plana de material,el haz emergente es paralelo al haz incidente, por lo que 0, = #,. Lalínea punteada dibujada paralela a la línea roja que sale del fondo dela placa representa la trayectoria que la luz seguiría si la placa no es-tuviera ahí.

EL PRINCIPIO DE HUYGENS

esta sección desarrollamos las leyes de la reflexión y la refracción empleando un¿iodo geométrico propuesto por Huygens en 1678. Como señalamos en la sección. 1, Huygens supuso que la luz era cierta forma de movimiento ondulatorio más que

corriente de partículas. Él no tenía conocimiento de la naturaleza de la luz o decarácter electromagnético. A pesar de eso, su modelo ondulatorio simplificado es

ido para comprender muchos aspectos prácticos de la propagación de la luz.El principio de Huygens es una construcción geométrica para usar el conoci-ito de un frente de onda anterior con el fin de determinar la posición de un

vo frente de onda en algún instante. En la construcción de Huygens,

- -ios los puntos de un frente de onda determinado se toman como fuentes pun-r__iles de la producción de ondas secundarias esféricas, llamadas ondulaciones, las: -Jes se propagan hacia afuera del medio con rapidez característica de las ondasrn ese medio. Después de que ha transcurrido cierto tiempo, la nueva posición<lel frente de onda es la superficie tangente a las ondulaciones.

Primero consideremos una onda plana que se mueve a través del espacio libre,se indica en la figura 35.16a. En t = O, el frente de onda se indica por el pla-

Uamado AA'. En la construcción de Huygens, cada punto de este frente de ondaconsidera una fuente puntual. Por claridad sólo se muestran tres puntos sobrei". Con los puntos como fuentes para las ondas secundarias esféricas, se dibujan

iciilos, cada uno de radio c Ai, donde c es la rapidez de la luz en el espacio libre yBles el tiempo de propagación de un frente de onda al siguiente. La superficie di-

latada tangente a estas ondas esféricas secundarias es el plano BB', el cual es para-b a AA'. De una manera similar, la figura 35.16b muestra la construcción de Huy-ros para una onda esférica.

La figura 35.17 muestra una demostración convincente del principio de Huy-E3- Las ondas planas que vienen de lejos de la costa surgen de las aberturas en la

^rrera como las ondas circulares bidimensionales se propagan al exterior.

Principio de Huygens

1120

Christian Huygens (1629-1695)Huygens fue un físico y astrónomoholandés mejor conocido por suscontribuciones en los campos de ladinámica y la óptica. Para Huygens, laluz era un tipo de movimiento vibrato-rio, extendiéndose y produciendo lasensación de la vista cuando toca elojo. Con base en esta teoría, él dedu-jo las leyes de la reflexión y la refrac-ción y explicó el fenómeno de la do-ble refracción. (Cortesía de fíiiksmu-seum voor de Geschiedenis der fJatuurwe-tenschappen. Cortesía de Niels Bohr Li-brary.)


Frente deondas viejo

—cAí- Frente de Frente deondas nuevo ondas viejo

B'

Frente deondas nuevo

a)Ai

b)

Figura 35,16 Construcción de Huygens para a) una onda plana propagándose a la derecha y b.onda esférica propagándose a la derecha.

Figura 35.17 I,a fotografía de la playa de Tel Aviv, Israel, muestra las ondas esféricas secundarias órHuygens radiando desde cada abertura a través de un rompeolas. Observe cómo se ha formado la pla-ya por la acción de las olas. (Córtala de Sabina Zigman/Bfnjamin Carduzo High School, T con permisoTEACHER, vot. 37, mero de 1999, p. 55.)

El principio de Huygens aplicado a la reflexión y a la refracción

Las leyes de la reflexión y la refracción se enunciaron antes en el presente capítulo,pero no se demostraron. Ahora se deducen estas leyes utilizando el principio deHuygens.

Para la ley de la reflexión, refiérase a la figura 35.18a. La línea AA' representaun frente de onda de la luz incidente. Conforme el rayo 3 viaja de A' a C, el rayo 1se refleja desde A y produce una onda secundaria esférica de radio AD. (Recuerdeque el radio de una onda secundaria esférica de Huygens es c Ai.) Ya que las dos on-das secundarias esféricas tienen radios A'Cy AD están en el mismo medio, tienen lamisma rapidez c, por tanto, A'C= AD. Mientras tanto, la onda secundaria esférica

35.6 El principio de Huygens

D

e, e\) b)

35.18 a) Construcción de Huygens para probar la ley de reflexión, b) Los triángulos ADC yAVC son congruentes.

cmtrada en B se ha extendido sólo la mitad de la que está centrada en A ya que elOÍQ 2 pega en la superficie después de que pega el rayo 1.

Del principio de Huygens se encuentra que el frente de onda reflejado es CD,•a línea tangente a todas las ondas secundarias esféricas salientes. El resto de nues-

ID análisis depende de la geometría, como se resume en la figura 35.18b. Observepr los triángulos rectángulos ADC y AA'Cson congruentes, ya que tienen la mismahpxenusa ACy porque AD= A'C. De la figura 35.18b se tiene

sen 0, =A'C

ACsen 6', =

AD_

~AC

sen 0, = sen Q\l es la ley de la reflexión.

.Ahora usaremos el principio de Huygens y la figura 35.19a para deducir la leyfe refracción de Snell. Advierta que en el intervalo de tiempo A/, el rayo 1 se mue-rde A a By el rayo 2 se mueve de A' a C El radio de la onda secundaria esféricaArate que está centrada en A es igual a u-, Ai. La distancia A'Ces igual a v¡ Ai. Las•^sideraciones geométricas muestran que el ángulo A'ACes igual a 0, y el ángulofcCB es igual a &.,. De acuerdo con los triángulos AA'Cy ACB, encontramos que

sen 0, =v} A/

ACsen 0-> =

v-¿AC

Figura 35.19 Construcción de Huygens para demostrar la leyde la refracción de Snell.


Al dividir la primera ecuación entre la segunda obtenemos

sen 0, vl

sen

Pero de la ecuación 35.4 sabemos que v} = c/n¡ y v.¿ = c/n.¿. En consecuencia.

c/n, «2sen

sen n¡

rij sen 0, = T^ sen 8.2

que es la ley de refracción de Snell.

DISPERSIÓN Y PRISMAS

n1.54

1.52

1.50

1.48

1.46

\

\s

^

.VK

Vid•=;

-̂.

no

no

---

/s*,

de

>pi

— --

hCríl— .

i i . i

1 i í

co

ico- — -

•zo

,

400 500 600 700

Figura 35.20 Variación del índicede refracción con longitudes de ondaen el vacío para tres materiales.

Una importante propiedad del índice de refracción es que, para un material4 minado, el índice varía con la longitud de onda de luz que pasa a través del

nal, como se indica en la figura 35.20. Dicho comportamiento se llamaPuesto que n es una función de la longitud de onda, la ley de la refracción deindica que luz de diferentes longitudes de onda se desvía a diferentes ángulosdo incide sobre un material refractante.

Como se ve en la figura 35.20, el índice de refracción por lo general disminuircon las longitudes de onda crecientes, lo cual significa que la luz azul se desvia matque la luz roja cuando pasa por un material refractante. Para entender los efec-tos que la dispersión puede tener en la luz, consideremos qué ocurre cuando la Í-incide en un prisma, como en la figura 35.21. Un rayo de luz incidente de una soi»longitud de onda sobre el prisma de la izquierda emerge refractado de su direcciotoriginal de recorrido en un ángulo 5, denominado ángulo de desviación.

Supongamos ahora que un haz de luz blanca (una combinación de todas las lon-gitudes de onda visibles) incide sobre un prisma como se ilustra en la figura 35.ÜLos rayos que emergen se dispersan en una serie de colores conocida como el es-pectro visible. Estos colores, en orden de longitud de onda decreciente son rojo, na-ranja, amarillo, verde, azul, índigo y violeta. Claramente, el ángulo de desviación £depende de su longitud de onda. La luz violeta se desvía más y la roja menos, y lo*colores restantes en el espectro visible están entre estos extremos, Newton demostróque cada color tiene un ángulo particular de desviación, y que los colores puedenrecombinarse para formar la luz blanca original.

Con frecuencia, se emplea un prisma, instrumento conocido como espectróme-tro de prisma, cuyos elementos esenciales se muestran en la figura 35.23. En gene-ral, el instrumento se utiliza para estudiar las longitudes de onda emiüdas por unafuente luminosa. La luz de la fuente se envía por una estrecha ranura ajustable pa-ra producir un haz paralelo o colimado. La luz pasa después a través del prisma y sedispersa en un espectro. La luz dispersada se observa con un telescopio. El experi-

Figura 35.21 Un prisma refractaun rayo de luz de una sola longitudde onda a través de un ángulo 5.

Figura 35.22 Los colores diferentes se refractan adiferentes ángulos debido a que el índice de refrac-ción del vidrio depende de la longitud de onda. Laluz violeta se desvía más; la luz roja se desvía menos.(Cortesía dt Bausch & Lomb)

35.7 Dispersión y prismas

Abertura

Fuente

Telescopio

a) b)

35.23 a) Diagrama de un espectrómetro de prisma. Los diferentes colores en el espectro vi-e son vistos a través de un telescopio, b) Fotografía de un espectrómetro de prisma. (Cortesía de Cen-Sfientifif Company)

mentador ve una imagen de la ranura a través del ocular del telescopio. El telesco-pio se puede mover, o el prisma se puede girar, de modo que se puedan ver las di-rerentes imágenes formadas por las diferentes longitudes de onda a diferentes án-r-Jos de desviación.

Todos los gases calientes a baja presión emiten su propio espectro característi-co. Por ende, uno de los usos del espectrómetro de prisma es la identificación de¿ases. Por ejemplo, el sodio emite dos longitudes de onda a 589.0 nm y 589.6 nm,*T. el espectro visible, las cuales aparecen como dos líneas amarillas muy próximasentre sí. Así, es posible determinar que un gas que emite estos colores tiene sodiocomo uno de sus constituyentes. De igual modo, el vapor de mercurio tiene su pro-pK> espectro característico, compuesto por líneas en las que predominan cuatro co-lores —naranja, verde, azul y violeta—junto con algunas otras líneas de intensidadDenor. Las longitudes de onda particulares emitidas por un gas sirven como "hue-las digitales" del gas.

La dispersión de la luz en el espectro se demuestra de manera más real en lariaruraleza en la formación de un arco iris, que a menudo es visto por un observa-

colocado entre el Sol y la lluvia. Para entender cómo se forma el arco iris con-la figura 35.24. Un rayo de luz del Sol (que es luz blanca) en el cielo pega en

gota de agua en la atmósfera y se refracta y refleja como se indica a continua-i: Este primero se refracta en la superficie frontal de la gota, la luz violeta se des-más y la luz roja se desvía menos. En la superficie posterior de la gota, la luz se

•tfleja y se regresa a la superficie frontal, donde nuevamente experimenta una re-fracción conforme se mueve del agua al aire. El rayo abandona la gota de tal mane-Q que el ángulo entre la luz blanca incidente y el rayo violeta más intenso que re-toma es 40° y el ángulo entre la luz blanca y el rayo rojo más intenso que retorna

Luz del Sol

Figura 35.24vía esférica.

Refracción de la luz del Sol por una gota de llu-


Blan

a)

Figura 35.25taño, Canadá.

b)

a) La formación de un arco iris, b) Un arco iris sobre las cataratas del Niágara en O»-(John Edwards/Tony Stone Images)

es de 42°. Esta pequeña diferencia angular entre los rayos que retornan ocasionaque se vea un arco de colores.

Ahora consideremos un observador que está viendo un arco iris, como se muevtra en la figura 35.25a. Si se está observando una gota de lluvia alta en el cielo, la luzroja que regresa de la gota puede llegar al observador porque es la que se desvíamás, pero la luz violeta pasa sobre el observador porque es la que se desvía menos.Así, el observador ve a esta gota como roja. De manera similar, una gota a menor al-tura en el cielo podría ser directamente violeta e ir al observador y parecer violeta.(La luz roja de esta gota podría pegar en el piso y no verse.) Los otros colores delespectro que llegarían al observador desde las gotas de agua estarían entre estas dosposiciones extremas.

Es interesante observar las interpretaciones artísticas de los arco iris porque mu-chas veces los dibujos no son correctos, con la parte exterior violeta y la parte inte-rior roja.

35.5 Reflexión total interna 1125


Los lentes en una cámara usan refracción para formar una imagen en una película, y ustedquiere que, tanto como sea posible, todos los colores en la luz desde el objeto que está fo-tografiando se refracten por la misma cantidad. De los materiales que se muestran en la fi-gura 35.20, ¿cuál elegiría para lentes de cámara?

EJEMPLO 35.7 Medición de nempleando un prisma

Aunque no lo probamos aquí, el ángulo de desviación míni-mo, 5,,,,,,, para un prisma ocurre cuando el ángulo de inciden-cia 0, es tal que el rayo refractado dentro del prisma forma elmismo ángulo a con la normal a las dos caras del prisma,2 co-mo se indica en la figura 35.26. A partir de esta informaciónobtengamos una expresión para el índice de refracción delmaterial del prisma.

Utilizando la geometría mostrada en la figura 35.26 en-contramos que 0.2= 4V2, donde $ es el ángulo ápice y

0)

T+ ¿mí»

De la ley de refracción de Snell, con n\ 1, ya que el medio1 es el aire, tenemos

sen 0i = TI sen

sen — = nsen (<D/2)

O + 5niín

sen (O/2)

Por consiguiente, conociendo el ángulo ápice "í> del prisma,y midiendo 6min, se calcula el índice de refracción del mate-

rial del prisma. Además, un prisma hueco sirve para determi-nar los valores de n para varios líquidos que llenen el prisma.

<t>/2

(35 9) Figura 35.26 Rayo de luz que atraviesa un prisma con el ángulode desviación mínima, 5,1MII.

'REFLEXIÓN TOTAL INTERNA

L~n interesante efecto llamado reflexión total interna llega a ocurrir cuando la luz«r intenta mover de un medio que tiene un determinado índice de refracción y unor_c tiene un índice de refracción menor. Considere un haz de luz que viaja en el•rdio 1 y se encuentra en la frontera entre el medio 1 y el medio 2, donde TÍ, esKts grande que n.¿ (véase la figura 35.27a). Se indican varias posibles direcciones delkxz por los rayos del 1 al 5. Los rayos refractados se doblan desde la normal porque«. es más grande que n.¿. Para algún ángulo de incidencia particular <?„ llamado án-p»o critico, el rayo de luz refractado se mueve paralelo a la frontera, así que 6.¿ =

: travo 4 en la figura 35.27a).Para ángulos de incidencia mayores que $„ el haz es completamente reflejado

: la frontera, como lo muestra el rayo 5 en la figura 35.27a. Tal rayo se refleja eni frontera conforme pega en la superficie perfectamente reflejante. Dicho rayo, y

más detalles véase F. A. Jenkins y H. E. White, Fundamentáis of Optics, Nueva York, McGraw-Hill,


Ángulo crítico para reflexión totalinterna

todos los parecidos a él, obedecen la ley de la reflexión; es decir, para estosángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Se utiliza la ley de la refracción de Snell para encontrar el ángulo crítico,do 0, = 0(, B>¿ = 90° y la ecuación 35.8 da

tti sen Of = n.¿ sen 90° = n,¿

sen Oc = —- (para n, > nt) (35 '

Esta ecuación se usa sólo cuando n, es más grande que n.¿. Es decir,

la reflexión total interna ocurre sólo cuando la luz se mueve de un medio de .índice de refracción determinado a un medio de un índice de refracción mer.

Normal

Normal

b)

Figura 35,27 a) El rayo viaja de unmedio de índice de refracción n, a unmedio de índice de refracción n.¡,donde na < n,. Conforme el ángulode incidencia 0, aumenta, el ángulode refracción 0-, aumenta hasta que ft,es 90° (rayo 4). Para ángulos de inci-dencia aún más grandes, ocurre la re-flexión total interna (rayo 5). b) Elángulo de incidencia produce un án-gulo de refracción igual a 90° que esel ángulo crítico, 0,. '

Si n, fuera menor que n->, la ecuación 35.10 daría sen 9r > 1; y este resultado no te»dría sentido, ya que el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que uno.

El ángulo crítico para la reflexión total interna es pequeño cuando n, es coa»derablemente mayor que n.2. Por ejemplo, el ángulo crítico para un diamante (m»2.4) en el aire es 24°. Cualquier rayo que incide sobre el diamante que se aproxim*a la superficie con un ángulo más grande que esto es completamente reflejado ha-cia atrás de la piedra. Dicha propiedad, combinada con la cara apropiada, causa queel diamante brille. Los ángulos de las caras se cortan de modo que la luz esté "atra-pada" dentro de la piedra a lo largo de múltiples reflexiones internas. Estas reflex»nes múltiples dan a la luz una larga trayectoria a través del medio, y ocurre una dt*-persión sustancial de colores. Por el tiempo en que la luz sale por la parte superk':de la piedra, los rayos asociados con los diferentes colores se separaron bastanteunos de los otros.

La circona cúbica tiene también un alto índice de refracción y se puede hacerque brille de manera muy parecida a un diamante genuino. Si una joya sospechosase sumerge en jarabe de maíz, la diferencia en n para la circona cúbica y para el ja-rabe es pequeña, por tanto, el ángulo crítico es mayor. Esto significa que más ravoíescapan más pronto, y da como resultado que el brillo desaparezca por completoUn diamante real no pierde todo su brillo cuando se sumerge en jarabe de maíz


Si mira de cerca la figura 35.28, verá que hay cinco rayos saliendo del fondo del prisma¿Por qué los dos rayos de la derecha son mucho más brillantes que los otros tres?

Figura 35.28 Cinco rayos de luz no paralelos entran a <prisma de vidrio desde la izquierda. Los dos rayos del fondoestos cinco rayos experimentan una reflexión total internala cara derecha del prisma. Los tres rayos superiores son refrtados en la cara conforme abandonan el prisma. (CanesúHfnry Lrap y Jim Lrhman)

35.5 Reflexión total interna 1127

b) c)

figuro 35.29 Reflexiones internas en un prisma, a) La dirección de viaje se cambia 90". b) La di-cción de viaje se invierte, c) Dos prismas usados como un periscopio.

Un prisma y la reflexión total interna alteran la dirección del viaje de un haz deluz. Se ilustran dos posibilidades en las figuras 35.29a y b.

Una aplicación común de la reflexión total interna es en el periscopio de un>ubmarino. En tal dispositivo se colocan dos prismas como en la figura 35.29c, de talforma que el haz incidente de luz sigue la trayectoria mostrada. Como resultado, sepuede "ver alrededor de las esquinas" cuando se mira a través de un periscopio.

EJEMPLO Una vista desde el ojo de un pez

a) Encuentre el ángulo crítico para una frontera agua-aire (elíndice de refracción del agua es 1.33).

Solución Se puede usar la figura 35.27 para resolver esteproblema, con el aire arriba del estanque con un índice derefracción n.2, y el agua con un índice de refracción n^. Al apli-car la ecuación 35.10 se encuentra que

1= 0.752

1.33

6r = 48.8°

b) Emplee los resultados del inciso a) para predecir lo queel pez ve en una pecera cuando mira hacia arriba en direc-ción a la superficie del agua a ángulos de 40°, 48.8° y 60°(Fig.35.30).

Solución Puesto que la trayectoria del rayo luminoso es re-versible, la luz que viaja del medio 2 al medio 1 sigue las tra-veciorias indicadas en la figura 35.27a, pero en la direcciónopuesta. Un pez mirando arriba hacia la superficie del agua,como se muestra en la figura 35.30, puede ver fuera del aguasi ve hacia la superficie a un ángulo menor que el ángulo crí-rico. Así, cuando la línea de visión del pez forma un ángulode 40° con la normal a la superficie, la luz de una nube, por

ejemplo, alcanza el ojo del pez. A un ángulo de 48.8°, el án-gulo crítico para el agua, la luz roza en la superficie de aguaantes de que sea refractada en el ojo del pez; a dicho ángulo,el pez puede en principio ver la costa completa del estanque.A ángulos mayores que el crítico, la luz que llega al pez vie-ne de la reflexión interna en la superficie. Así, a 60°, el pezve una reflexión de algún objeto sobre el fondo del estanque.

Figura 35.30


Figura 35,31 La luz viaja en unabarra transparente curva por múlti-ples reflexiones internas.

Fibras ópticas

Otra aplicación interesante de la reflexión interna total es el empleo de barras dvidrio o plástico transparente para "entubar" la luz de un lugar a otro. Como se •dica en la figura 35.31, la luz viaja confinada dentro de las barras, incluso alredeóode curvas, como resultado de sucesivas reflexiones internas. El "tubo luminoso" «flexible si se utilizan fibras delgadas en lugar de barras gruesas. Si se emplea un nanojo de fibras paralelas para construir una línea de transmisión óptica, las imágenepueden transferirse de un punto a otro. Se trata de una técnica que se emplea auna industria muy importante, conocida como fibras ópticas.

Muy poca intensidad luminosa se pierde en estas fibras como consecuencia <ireflexiones en los dos extremos. Cualquier pérdida en la intensidad se debe prinapálmente a reflexiones de los dos extremos y a la absorción por el material de la fibra. Los dispositivos de fibra óptica son particularmente útiles cuando quiere obseívarse la imagen de un objeto que se encuentra en un punto inaccesible. Por ejemplolos médicos a menudo utilizan esta técnica para examinar órganos internos del cuerpo o para realizar cirugías sin hacer incisiones grandes. Los cables de fibras óptica:sustituyen alambres de cobre y cables coaxiales en telecomunicaciones, ya que las fibras pueden conducir un volumen mucho mayor de llamadas telefónicas u otras formas de comunicación que los alambres eléctricos.

Principio de Fermat

Filamentos de fibra óptica de vidriopara transportar voz, video y señalesde datos en redes de telecomunica-ciones. Las fibras típicas tienen diá-metros de 60 fj.m. (Dennis O'Claír/TonyStonr ¡muges)

Sección opcional

PRINCIPIO DE FERMAT

Un principio general que puede utilizarse para determinar trayectorias de luz fu<desarrollado por Fierre de Fermat (1601-1665). El principio de Fermat establece qu<

cuando un rayo de luz viaja entre dos puntos cualesquiera su trayectoria es aque-lla que necesita el menor tiempo.

Una consecuencia natural de este principio es que las trayectorias de los rayos de luzque viajan en un medio homogéneo son líneas rectas debido a que la distancia máscorta entre dos puntos es una línea recta.

Ilustremos cómo se puede usar el principio de Fermat para deducir la ley de re-fracción de Snell. Suponga que un rayo luminoso va a viajar de un punto P en elmedio 1 a un punto £?en el medio 2 (véase la figura 35.32), donde Py Q están adistancias perpendiculares a a y b, respectivamente, de la interface. La rapidez de laluz es c/n¡ en el medio 1, y c/n¿ en el medio 2. Empleando la geometría de la figu-ra 35.32 se ve que el tiempo que tarda el rayo en viajar de /*a Qes

(d ~

c/n¡ (35.11)

Con el fin de obtener el valor de x, para el cual t toma su valor mínimo, se toma laderivada de / respecto de xy el conjunto de derivadas se iguala a cero:

2x 2(d -*)(-!)

nx n.¿(d — x)= 0

Resumen 1129

ru¿ (d — x)

(35.12)

De acuerdo con la Figura 35.32,

sen 0, = sen 0,, =d - x

Sustituyéndolo en la ecuación 35.12 se encuentra que

n [ sen 0, = n.¿ sen 02

que es la ley de refracción de Snell.Es sencillo emplear un procedimiento similar para obtener la ley de la reflexión

i véase el problema 65).

Figura 35.32 Geometría para de-ducir la ley de la refracción de Snellusando el principio de FermaL

Use software de hoja de cálculo o alguna otra herramienta pa-ra crear una gráfica de / versus x basada en la ecuación 35.11.

Solución De acuerdo con el hecho de que estamos encon-trando el tiempo mínimo requerido para que la luz vaya deun punto Pa un punto Q la figura 35.33 indica que un valorespecífico de x da como resultado un tiempo mínimo. Cam-biando los valores de a, b, d, n, y n2 cambian los detalles dela gráfica pero no la forma general de la función. (Cuandousted asigna números a estos parámetros, de modo que elsoftware de la hoja de cálculo pueda crear una gráfica, asegú-rese de tomar d > x. También deberá elegir n¿ > n\, así quela situación corresponde a la trayectoria mostrada en la figu-ra 35.32. Si n, < n.,, la trayectoria se dobla de otra manera).

Dicha situación es equivalente al problema de decidir dón-de un salvavidas puede correr más rápidamente que nadar alentrar al agua para ayudar a un nadador en problemas. Si en-tra al agua directamente (en otras palabras, a un valor de (?,muy pequeño en la figura 35.32), la distancia x es más peque-

ña que el valor de x que da el valor mínimo del tiempo nece-sario para que el salvavidas llegue del punto inicial de la are-na al nadador. Como resultado, él gasta muy poco tiempo co-rriendo y aún menos tiempo nadando. La localización óptimadel salvavidas para que entre al agua, de modo que alcance alnadador en el tiempo más corto, es en la que el punto de in-terface que da el valor de x satisface la ecuación 35.12.

Figura 35.33

RESUMEN

En la óptica geométrica empleamos la aproximación de rayos, la cual supone queuna onda viaja por un medio uniforme en líneas rectas en la dirección de los rayos.

La ley de reflexión establece que para un rayo de luz que viaja en el aire e inci-de sobre una superficie lisa, el ángulo de reflexión, 6{, es igual al ángulo de inciden-cia,

(35.2)La luz que cruza una frontera cuando ésta viaja del medio 1 al medio 2 se re-

fracta, o dobla. El ángulo de refracción 62 se define por la relación

sen ft, v.¿= —- = constante

sen 0 v (35.3)


El índice de refracción de un medio, n, se define por medio de la relación

(35.4

donde c es la rapidez de la luz en el vacío y v es la rapidez de la luz en el medio. Engeneral, n varía con la longitud de onda y está dado por

A,,(35.7

donde X es la longitud de onda en el vacío y \ es la longitud de onda en el medio-Conforme la luz viaja de un medio a otro, su frecuencia se conserva constante.

La ley de refracción de Snell establece que

H! sen 0, = n¿ sen 6,¿ (35.8

donde n} y n¿ son los índices de refracción en los dos medios. El rayo incidente, elrayo reflejado, el rayo refractado y la normal a la superficie se encuentran en el min-ino plano.

La reflexión interna total ocurre cuando la luz viaja de un medio de alto índicede refracción a uno de menor índice de refracción. El ángulo crítico 6, para el cualocurre la reflexión total en una interfase está dado por

sen Of = — (para n, > n.¿) (35.10

PREGUNTAS

1. Una luz de longitud de onda X incide sobre una rendija de 9.ancho d. ¿En qué condiciones es válida la aproximación derayos? ¿En qué circunstancias la rendija produce suficientedifracción para hacer inválida la aproximación de rayos?

2. Las ondas sonoras tienen mucho en común con las ondasluminosas, incluidas las propiedades de reflexión y refrac-ción. Proporcione ejemplos de estos fenómenos para on- 10.das sonoras.

3. ¿Un rayo luminoso que viaja de un medio a otro siemprese desvía hacia la normal, como se muestra en la figura35.9? Explique.

[4T1 A medida que la luz viaja de un medio a otro, ¿cambia su [TT]longitud de onda? ¿Cambia la frecuencia? ¿La rapidez? Ex-plique. 12.

5. Un haz láser que pasa por una solución de azúcar no ho-mogénea sigue una trayectoria curva. Explique. 13.

6. Un haz láser de longitud de onda en el vacío de 632.8 nmincide desde el aire sobre un pedazo de lucita, como se 14.muestra en la figura 35.9b. Suponiendo que la línea de vi-sión de la fotografía es perpendicular al plano en el quese mueve la luz, encuentre la rapidez, frecuencia y longi-tud de onda de la luz en la lucita.

7. Suponga que en el experimento mostrado en la figura35.9b, se utilizó luz azul en lugar de luz roja. ¿El haz re-fractado se desviaría a un ángulo mayor o menor? [15J]

8. El nivel del agua en un vaso de vidrio transparente y sincolor se observa fácilmente a simple vista. El nivel de he- 16.lio líquido en un recipiente de vidrio transparente es muydifícil de observar a simple vista. Explique.

En el ejemplo 35.6 vimos que la luz que entra en una pli-ca con lados paralelos sale desviada pero aún es paralelaal haz entrante. Nuestra suposición fue que el índice derefracción del material no variaba con la longitud de oivda. Si la placa estuviera hecha de vidrio óptico (véase la fi-gura 35.20), ¿a qué se parecería el rayo saliente?El bombardero F-l 17A (figura P35.10) está específicamen-te diseñado para ser un no-retrorreflector de radar. ¿Quéaspectos del diseño ayudan a alcanzar esto? Observe quela estructura del avión se compone de muchos entrepaño*planos inclinados y de un fondo plano.Explique por qué un diamante brilla más que un cristal devidrio de la misma forma y tamaño.Explique por qué un remo en el agua parece estar do-blado.Rediseñe el periscopio de la figura 35.29c de manera quepueda mostrarle dónde ha estado en vez de adonde va.En ciertas circunstancias el sonido puede escucharse a dis-tancias extremadamente largas. Esto sucede con frecuen-cia sobre un cuerpo de agua, donde el aire cerca de la su-perficie está más frío que el que se encuentra más arriba.Explique cómo la refracción de ondas sonoras en dicha si-tuación podría aumentar la distancia a la cual puede escu-charse el sonido.¿Por qué los astrónomos que investigan galaxias distante?hablan de mirar hacia atrás en e! tiempo?Un eclipse solar ocurre cuando la Luna pasa entre la Tie-rra y el Sol. Emplee un diagrama para mostrar por qué enalgunas áreas de la Tierra ven un eclipse total, en tanto

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